2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習-第六章　概率復習提升

2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊

本章復習提升

易混易錯練

易錯點1對條件概率理解不清致誤

L（2020黑龍江哈爾濱南崗期末）甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，比賽為三

局兩勝制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為2且各局比賽結果相互獨立,則在甲

獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為（）

A-B.-C.-D.-

3535

2.袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球（只有顏色不同），不放回抽取,每次任取一

球,取兩次，求：

⑴第二次才取到黃球的概率；

（2）其中之一是黃球時,另一個也是黃球的概率.

易錯點2離散型隨機變量取值不當或對應的概率求錯致誤

3.（2020遼寧沈陽期中）某射手每次射擊擊中目標的概率均為,且各次射擊的結

果互不影響.

⑴假設這名射手射擊3次,求至少2次擊中目標的概率；

（2）假設這名射手射擊3次,每次擊中目標得10分,未擊中目標得0分.在3次射

擊中，若有2次連續(xù)擊中目標,而另外1次未擊中目標,則額外加5分;若3次全

部擊中目標,則額外加10分.用隨機變量W表示這名射手射擊3次后的總得分,

求W的分布列.

易錯點3不能正確區(qū)分超幾何分布與二項分布致誤

4.（多選）（2020江蘇徐州期末）某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二

進制數(shù)A=a1a2a3a4a5（例如10100）,其中A的各數(shù)位上ak（k=2,3,4,5）出現(xiàn)0的概率

為出現(xiàn)1的概率為|,記X=a2+a3+a4+a5,則當程序運行一次時（）

A.X服從二項分布B.P（X=l）=1-

81

C.X的期望EX=1D.X的方差DX=1

5.一批產品共10件,其中3件是不合格品,用下列兩種不同方法從中隨機抽取2

件產品檢驗：

方法一:先隨機抽取1件,放回后再隨機抽取1件；

方法二:一次性隨機抽取2件.

記方法一抽取的不合格產品數(shù)為一，方法二抽取的不合格產品數(shù)為一.

(1)求I1,W2的分布列；

(2)比較兩種抽取方法抽到的不合格產品數(shù)的均值的大小，并說明理由.

易錯點4對正態(tài)曲線的性質理解不全面致誤

6.(2020湖南長沙長郡中學月考)設隨機變量X?N(l,1),其正態(tài)分布密度曲線如

圖所示,若向正方形ABCD中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分的點的個數(shù)

的估計值是()

(附:若X~N(u,。之)，貝I]P(R-O〈XWR+O)=0.6826,P(U-

2o<X<u+2o)^0.9544)

A.7539B.7028C.6587D.6038

7.（2021安徽蚌埠教學質量檢查）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N⑵。9,且

P（X<1）?P（X>3）=-,則P（KX<2）=（）

9

A.i1B.IiC.I-D.I-

6432

8.某市一次高三年級數(shù)學統(tǒng)測,經抽樣分析,成績X近似服從正態(tài)分布N（84,。2）,

且P（78〈XW84）=0.3.該市某校有400人參加此次統(tǒng)測，估計該校數(shù)學成績不低于

90分的人數(shù)為.

思想方法練

、函數(shù)與方程思想在離散型隨機變量中的應用

1.（2020四川棠湖中學開學考試）設0<a<i隨機變量X的分布列為

則當DX取得最大值時,a的值是（

2.（多選）（2021湖北武漢部分重點中學期中）體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則

是:每位學生最多可發(fā)球3次,一旦發(fā)球成功,則停止發(fā)球;否則一直發(fā)到3次為

止.設學生一次發(fā)球成功的概率為P（pWO）,發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學期望

EX>1.75,則p的取值可能是（）

A.-B.-

412

C.—5D.-3

124

二、分類討論思想在概率中的應用

3.甲、乙兩個人進行射擊訓練，甲射擊一次中靶概率是右乙射擊一次中靶概率是

1

3,

⑴兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目標,則完成目標的概率是多少？

⑵兩人各射擊兩次，中靶至少三次就算完成目標,則完成目標的概率是多少？

三、數(shù)形結合思想在正態(tài)分布中的應用

4.（2020吉林長春中學模擬）“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習

俗,2020年春節(jié)前夕,A市某質檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢

測其某項質量指標,檢測結果的頻率分布直方圖如圖所示.

［頻率/組距

0.030------1~I

0.025-

0.020「

0.015-------4-

0.010—

01020304050質量指標值

(I)求所抽取的100包速凍水餃該項質量指標值的樣本平均數(shù)歹(同一組中的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間的中點值作代表)；

⑵①由頻率分布直方圖可以認為,速凍水餃的該項質量指標值Z服從正態(tài)分布

N(u,。D,利用該正態(tài)分布,求Z落在(38.45,50.4］內的概率；

②將頻率視為概率,若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包

速凍水餃中該項質量指標值位于(10,30］內的包數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學期望

及方差.

附:①計算得所抽查的這100包速凍水餃的該項質量指標值的標準差為

o=<142.75=11.95;

②若Z~N(u,。2),則P(p-?！碯W口+。)弋0.6826,P(u-

2。〈ZWu+2。)=0.9544.

答案與分層梯度式解析

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易混易錯練

1.A記事件A:甲獲得冠軍,事件B:比賽進行了三局,事件AB:甲獲得冠軍,且

比賽進行了三局，即第三局甲勝,前二局甲勝了一局，

則P(AB)=C^X-xix-=—,

244432

對于事件A,甲獲得冠軍包含兩種情況:前兩局甲勝和事件AB,

*竊+箕,

9

??.P(B］A)=^=f=|,故選A.

()32

易錯警示P(B|A)與P(A|B)是不同的.另夕卜，在事件A發(fā)生的條件下，事件B

發(fā)生的概率不一定是P(B),即P(B|A)與P(B)不一定相等.

2.解析(1)設A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到黃球”，C表

示“第二次才取到黃球”.

則P(C)=P(AB)=P(A)P(B)系X抬.

⑵設D表示“其中之一是黃球”，E表示“兩個都是黃球”，F(xiàn)表示“其中之

一是黃球時,另一個也是黃球”.

mP(F)=P(E1D)=^=Ax^(Axi+±x^Ax|

3.解析⑴設這名射手射擊3次,擊中目標的次數(shù)為X,則X?B(3().

故P(X22)=P(X=2)+P(X=3)

嗚0(1號)+(|)號,

所以所求概率為患.

(2)由題意可知,€的可能取值為0,10,20,25,40.

用AKi=l,2,3)表示事件“第i次擊中目標”，

2

P(g=10)=P(x=l)=cix|x(l-0_2

9

P(^=20)=P(A1712A3)=|X|X|=±

P(g=25)=P(X=2)-p(g=20)唉

P(€=40)=P(X=3)=(|)3=^.

故W的分布列為

010202540

12488

p

279272727

易錯警示在求解此類問題時，要注意隨機變量取值的準確性以及計算的正確

性.本題中的易錯之處是試驗結果的所有可能情況列舉錯誤，忽視額外加分情

況.

4.ABC由二進制數(shù)A的特點知每一個數(shù)位上的數(shù)字只能是0,1,且每個數(shù)位

上的數(shù)字互不影響，故A的各數(shù)位上后4位的所有結果有5類：

①后4位都是0,此時X=0,P(X=0)=Qj=2；

②后4位只出現(xiàn)1個1,此時X=l,

p(x=i)=q(|)Q)=^；

③后4位出現(xiàn)2個1,此時X=2,

P（X=2）=C"|）6）吟;

④后4位出現(xiàn)3個1,此時X=3,

23132

pGW；

4

⑤后4位都是1,此時X=4,P(X=4)=(|_16

81

故X?B(4,|),故A正確；

P(X=1)4,故B正確;

81

?(

??X~B4,|>?-EX=4Xr?

DX-4x|x^f,故C正確,D錯誤.

339

故選ABC.

5.解析⑴由題意得gi的可能取值為0,1,2,且WJB（2,￡）,

P(E)=%)'G)W

因此h的分布列為

012

49219

P

10050100

一的可能取值為0,1,2,且W2服從參數(shù)為10,3,2的超幾何分布,

c弼—7

P(12=0)=-

1一雙

禺的_7

P(€2=1)=

C?o15'

cjc￡_j_

P(&2=2)=■高一垣

因此一的分布列為

2012

771

P

151515

33Lo2X33

(2)由(1)得E『=2X■,Eg2=—=-

105105

因此E€FEC2,

所以兩種抽取方法抽到的不合格產品數(shù)的均值相等.

解后反思使用二項分布、超幾何分布模型解決問題不能靠“套公式”，而要

真正理解這兩個分布模型，理解兩個分布模型各自的適用條件,超幾何分布是

不放回抽樣，二項分布是放回抽樣.

6.C由題意知，正方形的邊長為1,所以正方形的面積S=l.

又隨機變量X?N(l,1),所以正態(tài)分布密度曲線關于直線x=l對稱,且。=1,

由P(口一。<X<口+。)y0.6826,得P(0<X<2)^0.6826,

所以陰影部分的面積竺詈=0.6587,

點落入陰影部分的概率P=*=0.6587,

所以落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是10000X0.6587=6587,故選C.

7.A因為隨機變量X服從正態(tài)分布N⑵。2),

所以由正態(tài)曲線的對稱性可知,P(X<1)=P(X>3),

又P(X〈1)?P(X>3)=-,

9

所以P(X<1)=P(X>3)三，

411

故p(1<X<2)二i(x<i>P(x>3)2zn」.故選A.

226

8.答案80

解析因為X近似服從正態(tài)分布N(84,。2),且P(78〈XW84)=0.3,

所以P(XN90)=上警衛(wèi)0.2,

所以估計該校數(shù)學版績不低于90分的人數(shù)為400X0.2=80.

思想方法練

1.D由已知得EX=-1X(2a)+lxf-+-)+2X-=—，所以DX二(-1-

7\22/22

2xQ+-|a)2X^

a)+(一|a)

2

],325a2—25(3\,109

—1---——ICL—)+—,

244\25/100

構造二次函數(shù)模型,通過討論函數(shù)的單調性得出最值,充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程

思想.

因為0<a<|,所以當DX取得最大值時,a的值為套故選D.

2.AC由題意得,X的可能取值為1,2,3.

P(X=l)=p,

P(X=2)=(l-p)p,

P(X=3)=(l-p)2.

因止匕EX=p+2(l-p)p+3(l-p)2=p2-3p+3,

令EX>1.75,解得p>|或p<|.故選AC.

通過解一元二次不監(jiān)式得11P的取值范圍，體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想.

3.解析(1)完成目標共分三種情況：甲不中乙中，概率為:X甲中乙不中,

236

概率為1x|=|；甲、乙全中，概率為5x

z33z36

因此,所求概率是

6363

⑵分以下兩類情況：

共擊中3次,概率為C)xcix|x|+cJx|x|xQ)=|:

共擊中4次,概率為0X(J二套

按照兩人各射擊兩次共擊中的次數(shù)分類,應用獨立重復試驗的概率公式求出概

率.

因此,所求概率為］+日或.

思想方法在概率問題中，當一個事件有多種情況時，需要分類討論,計算出在

各種情況下的概率，再根據(jù)兩種基本計數(shù)原理求出所要求的事件的概率.

4.解析(1)根據(jù)頻率分布直方圖可直接讀出黑的值,進而求出各部分的頻

組距

率，體現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”的過程.

根據(jù)頻率分布直方圖可得：

(0,10］的頻率為0.010X10=0.1,

(10,20］的頻率為0.020X10=0.2,

(20,30］的頻率為0.030X10=0.3,

(30,40］的頻率為0.025X10=0.25,

(40,50］的頻率為0.015X10=0.15,

???所抽取的100包速凍水餃該項質量指標值的