2021年四川省資陽市中考數學試卷（含解析版）

2021年四川省資陽市中考數學試卷一、選擇題：（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意．1．（4分）2的相反數是（）A．﹣2 B．2 C． D．2．（4分）下列計算正確的是（）A．a2+a2＝2a4 B．a2?a＝a3 C．（3a）2＝6a2 D．a6+a2＝a33．（4分）如圖是由6個相同的小立方體堆成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數字表示該位置小立方體的個數，則這個幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．4．（4分）如圖，已知直線m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，則∠3的度數為（）A．80° B．70° C．60° D．50°5．（4分）15名學生演講賽的成績各不相同，若某選手想知道自己能否進入前8名，則他不僅要知道自己的成績，還應知道這15名學生成績的（）A．平均數 B．眾數 C．方差 D．中位數6．（4分）若a＝，b＝，c＝2，則a，b，c的大小關系為（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c7．（4分）下列命題正確的是（）A．每個內角都相等的多邊形是正多邊形 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 C．過線段中點的直線是線段的垂直平分線 D．三角形的中位線將三角形的面積分成1：2兩部分8．（4分）如圖是中國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成，恰好拼成一個大正方形ABCD．連結EG并延長交BC于點M．若AB＝，EF＝1，則GM的長為（）A． B． C． D．9．（4分）一對變量滿足如圖的函數關系．設計以下問題情境：①小明從家騎車以600米/分的速度勻速騎了2.5分鐘，在原地停留了2分鐘，然后以1000米/分的速度勻速騎回家．設所用時間為x分鐘，離家的距離為y千米；②有一個容積為1.5升的開口空瓶，小張以0.6升/秒的速度勻速向這個空瓶注水，注滿后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度勻速倒空瓶中的水．設所用時間為x秒，瓶內水的體積為y升；③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，點P從點A出發(fā)．沿AC→CD→DA路線運動至點A停止．設點P的運動路程為x，△ABP的面積為y．其中，符合圖中函數關系的情境個數為（）A．3 B．2 C．1 D．010．（4分）已知A、B兩點的坐標分別為（3，﹣4）、（0，﹣2），線段AB上有一動點M（m，n），過點M作x軸的平行線交拋物線y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點．若x1＜m≤x2，則a的取值范圍為（）A．﹣4≤a＜﹣ B．﹣4≤a≤﹣ C．﹣≤a＜0 D．﹣＜a＜0二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）中國共產黨自1921年誕生以來，僅用了100年時間，黨員人數從建黨之初的50余名發(fā)展到如今約92000000名，成為世界第一大政黨．請將數92000000用科學記數法表示為．12．（4分）將2本藝術類、4本文學類、6本科技類的書籍混在一起．若小陳從中隨機抽取一本，則抽中文學類的概率為．13．（4分）若x2+x﹣1＝0，則3x﹣＝．14．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝cm以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交CD于點E，則圖中陰影部分的面積為cm2．15．（4分）將一張圓形紙片（圓心為點O）沿直徑MN對折后，按圖1分成六等份折疊得到圖2，將圖2沿虛線AB剪開，再將△AOB展開得到如圖3的一個六角星．若∠CDE＝75°，則∠OBA的度數為．16．（4分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延長線于點E．連結AE交BD于點F，交CD于點G．FH⊥CD于點H，連結CF．有下列結論：①AF＝CF；②AF2＝EF?FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝．其中所有正確結論的序號為．三、解答題：（本大題共8個小題，共86分）解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（9分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中x﹣3＝0．18．（10分）目前，全國各地正在有序推進新冠疫苗接種工作．某單位為了解職工對疫苗接種的關注度，隨機抽取了部分職工進行問卷調查，調查結果分為：A（實時關注）、B（關注較多）、C（關注較少）、D（不關注）四類，現將調查結果繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖．請根據圖中信息，解答下列問題：（1）求C類職工所對應扇形的圓心角度數，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）若D類職工中有3名女士和2名男士，現從中任意抽取2人進行隨訪，請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．19．（10分）我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．20．（10分）如圖，已知直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（m，3）、B（3，n）兩點．（1）求直線AB的解析式；（2）連結AO并延長交雙曲線于點C，連結BC交x軸于點D，連結AD，求△ABD的面積．21．（11分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC交BA的延長線于點E，交AC于點F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC＝6，tanE＝，求AF的長．22．（11分）資陽市為實現5G網絡全覆蓋，2020﹣2025年擬建設5G基站七千個．如圖，在坡度為i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡腳C測得塔頂A的仰角為45°，然后她沿坡面CB行走13米到達D處，在D處測得塔頂A的仰角為53°．（點A、B、C、D均在同一平面內）（參考數據：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D處的豎直高度；（2）求基站塔AB的高．23．（12分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，已知點D在BC邊上，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結CE．試探究BD與CE的關系；（2）如圖2，已知點D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于點F，求AF的長；（3）如圖3，已知點D在BC下方，連結AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．24．（13分）拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且B（﹣1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是拋物線上位于直線AC上方的一點，BP與AC相交于點E，當PE：BE＝1：2時，求點P的坐標；（3）如圖2，點D是拋物線的頂點，將拋物線沿CD方向平移，使點D落在點D'處，且DD'＝2CD，點M是平移后所得拋物線上位于D'左側的一點，MN∥y軸交直線OD'于點N，連結CN．當D'N+CN的值最小時，求MN的長．

2021年四川省資陽市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意．1．（4分）2的相反數是（）A．﹣2 B．2 C． D．【分析】根據相反數的表示方法：一個數的相反數就是在這個數前面添上“﹣”號．【解答】解：2的相反數是﹣2．故選：A．【點評】本題考查了相反數的意義，一個數的相反數就是在這個數前面添上“﹣”號；一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0的相反數是0．2．（4分）下列計算正確的是（）A．a2+a2＝2a4 B．a2?a＝a3 C．（3a）2＝6a2 D．a6+a2＝a3【分析】根據合并同類項法則，同底數冪乘法，冪的乘方與積的乘方逐項進行計算即可．【解答】解：A.a2+a2＝2a2，因此選項A不正確；B.a2?a＝a2+1＝a3，因此選項B正確；C.（3a）2＝9a2，因此選項C不正確；D.a6與a2不是同類項，不能合并計算，因此選項D不正確；故選：B．【點評】本題考查合并同類項法則，同底數冪乘法，冪的乘方與積的乘方，掌握合并同類項法則，同底數冪乘法，冪的乘方與積的乘方的計算方法是得出正確答案的前提．3．（4分）如圖是由6個相同的小立方體堆成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數字表示該位置小立方體的個數，則這個幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．【分析】由俯視圖中相應位置上擺放的小立方體的個數，可得出主視圖形狀，進而得出答案．【解答】解：主視圖看到的是兩列，其中左邊的一列為3個正方形，右邊的一列為一個正方形，因此選項C中的圖形符合題意，故選：C．【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義，掌握三視圖的畫法是正確判斷的前提．4．（4分）如圖，已知直線m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，則∠3的度數為（）A．80° B．70° C．60° D．50°【分析】由兩直線平行，同位角相等得到∠4＝40°，再根據三角形的外角性質即可得解．【解答】解：如圖，∵直線m∥n，∠1＝40°，∴∠4＝∠1＝40°，∵∠3＝∠2+∠4，∠2＝30°，∴∠3＝30°+40°＝70°，故選：B．【點評】此題考查了平行線的性質，熟記平行線的性質定理即三角形的外角性質是解題的關鍵．5．（4分）15名學生演講賽的成績各不相同，若某選手想知道自己能否進入前8名，則他不僅要知道自己的成績，還應知道這15名學生成績的（）A．平均數 B．眾數 C．方差 D．中位數【分析】15人成績的中位數是第8名的成績．參賽選手要想知道自己是否能進入前8名，只需要了解自己的成績以及全部成績的中位數，比較即可．【解答】解：由于總共有15個人，且他們的成績互不相同，第8的成績是中位數，要判斷是否進入前8名，故應知道中位數的多少．故選：D．【點評】本題考查統(tǒng)計量的選擇，解題的關鍵是明確題意，選取合適的統(tǒng)計量．6．（4分）若a＝，b＝，c＝2，則a，b，c的大小關系為（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】根據算術平方根、立方根的意義估算出a、b的近似值，再進行比較即可．【解答】解：∵＜＜，∴1＜＜2，即1＜a＜2，又∵2＜＜3，∴2＜b＜3，∴a＜c＜b，故選：C．【點評】本題考查實數的大小比較，算術平方根、立方根，理解算術平方根、立方根的意義是正確判斷的前提．7．（4分）下列命題正確的是（）A．每個內角都相等的多邊形是正多邊形 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 C．過線段中點的直線是線段的垂直平分線 D．三角形的中位線將三角形的面積分成1：2兩部分【分析】利用正多邊形的定義、平行四邊形的判定、垂直平分線的定義和三角形中位線定理進行判斷即可選出正確答案．【解答】解：A、每條邊、每個內角都相等的多邊形是正多邊形，故錯誤，是假命題；B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故正確，是真命題；C、過線段中點，并且垂直于這條線段的直線是線段的垂直平分線，故錯誤，是假命題；D、三角形的中位線將三角形的面積分成1：3兩部分，故錯誤，是假命題．（∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，相似比為1:2，∴S△ADE：S△ABC＝1:4，∴S△ADE：S四邊形DECB＝1：3．）故選：B．【點評】本題考查正多邊形的定義、平行四邊形的判定、垂直平分線的定義和三角形中位線定理，解題的關鍵是熟練掌握這些定理、定義．8．（4分）如圖是中國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成，恰好拼成一個大正方形ABCD．連結EG并延長交BC于點M．若AB＝，EF＝1，則GM的長為（）A． B． C． D．【分析】由大正方形ABCD是由四個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成，在直角三角形AEB中使用勾股定理可求出BF＝AE＝GC＝DH＝2，過點M作MN⊥FC于點N，由三角形EFG為等腰直角三角形可證得三角形GNM也為等腰直角三角形，設GN＝NM＝a，則NC＝GC﹣GN＝2﹣a，由tan∠FCB＝＝＝＝，可解得a＝．進而可得GM＝＝．【解答】解：由圖可知∠AEB＝90°，EF＝1，AB＝，∵大正方形ABCD是由四個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成，故AE＝BF＝GC＝DH，設AE＝x，則在Rt△AEB中，有AB2＝AE2+BE2，即13＝x2+（1+x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍去）．過點M作MN⊥FC于點N，如圖所示．∵四邊形EFGH為正方形，EG為對角線，∴△EFG為等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM為等腰直角三角形．設GN＝NM＝a，則NC＝GC﹣GN＝2﹣a，∵tan∠FCB＝＝＝＝，解得：a＝．∴GM＝＝＝．故選：D．【點評】本題考查了正方形的性質、勾股定理、銳角三角函數、等腰三角形的性質、正確作出輔助線是解決本題的關鍵．9．（4分）一對變量滿足如圖的函數關系．設計以下問題情境：①小明從家騎車以600米/分的速度勻速騎了2.5分鐘，在原地停留了2分鐘，然后以1000米/分的速度勻速騎回家．設所用時間為x分鐘，離家的距離為y千米；②有一個容積為1.5升的開口空瓶，小張以0.6升/秒的速度勻速向這個空瓶注水，注滿后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度勻速倒空瓶中的水．設所用時間為x秒，瓶內水的體積為y升；③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，點P從點A出發(fā)．沿AC→CD→DA路線運動至點A停止．設點P的運動路程為x，△ABP的面積為y．其中，符合圖中函數關系的情境個數為（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根據下面的情境，分別計算判斷即可．【解答】解：①小明從家騎車以600米/分的速度勻速騎了2.5分鐘，離家的距離＝600×2.5＝1500（米）＝1.5（千米），原地停留＝4.5﹣2.5＝2（分），返回需要的時間＝1500÷1000＝1.5（分），4.5+1.5＝6（分），故①符合題意；②1.5÷0.6＝2.5（秒），2.5+2＝4.5（秒），1.5÷1＝1.5（秒），4.5+1.5＝6（秒），故②符合題意；③根據勾股定理得：AC＝＝＝2.5，當點P在AC上運動時，y隨x增大而增大，運動到C點時，y＝×2×1.5＝1.5，當點P在CD上運動時，y不變，y＝1.5，當點P在AD上運動時，y＝×AB×AP＝×2×（2.5+2+1.5﹣x）＝6﹣x，y隨x增大而減小，故③符合題意；故選：A．【點評】本題考查了函數的圖象，注意看清楚因變量和自變量分別表示的含義．10．（4分）已知A、B兩點的坐標分別為（3，﹣4）、（0，﹣2），線段AB上有一動點M（m，n），過點M作x軸的平行線交拋物線y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點．若x1＜m≤x2，則a的取值范圍為（）A．﹣4≤a＜﹣ B．﹣4≤a≤﹣ C．﹣≤a＜0 D．﹣＜a＜0【分析】如圖，由題意，拋物線的開口向下，a＜0．求出拋物線經過點A時a的值即可．【解答】解：如圖，由題意，拋物線的開口向下，a＜0．當拋物線y＝a（x﹣1）2+2經過點A(3,﹣4)時，﹣4＝4a+2,∴a＝﹣,觀察圖象可知，當拋物線與線段AB沒有交點或經過點A時，滿足條件,∴﹣≤a＜0．故選：C．【點評】本題考查二次函數的圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征等知識，解題的關鍵是學會尋找特殊點解決問題，屬于選擇題中的壓軸題．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）中國共產黨自1921年誕生以來，僅用了100年時間，黨員人數從建黨之初的50余名發(fā)展到如今約92000000名，成為世界第一大政黨．請將數92000000用科學記數法表示為9.2×107．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：92000000＝9.2×107．故答案為：9.2×107．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．12．（4分）將2本藝術類、4本文學類、6本科技類的書籍混在一起．若小陳從中隨機抽取一本，則抽中文學類的概率為．【分析】用文學類書籍的數量除以書籍的總數量即可．【解答】解：∵一共有2+4+6＝12本書籍，其中文學類有4本，∴小陳從中隨機抽取一本，抽中文學類的概率為＝，故答案為：．【點評】本題主要考查概率公式，隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現的結果數÷事件A可能出現的結果數．13．（4分）若x2+x﹣1＝0，則3x﹣＝﹣3．【分析】根據公因式法可以先將所求式子化簡，然后根據x2+x﹣1＝0，可以得到x﹣的值，然后代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：3x﹣＝3（x﹣），∵x2+x﹣1＝0，x+1﹣＝0，∴x﹣＝﹣1，當x﹣＝﹣1時，原式＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案為：﹣3．【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法．14．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝cm以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交CD于點E，則圖中陰影部分的面積為（﹣π）cm2．【分析】連接BE．首先證明∠EBC＝30°，根據S陰＝S矩形ABCD﹣S△EBC﹣S扇形AEB計算即可．【解答】解：如圖，連接BE．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝cm，∠C＝∠ABC＝90°，CD∥AB，在Rt△BCE中，∵AB＝BE＝2cm，BC＝cm，∴EC＝＝1cm，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠BEC＝60°，∴S陰＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB，＝2﹣×1×﹣?π?22，＝（﹣π）cm2．故答案為：（﹣π）．【點評】本題考查矩形的性質、扇形的面積公式、直角三角形30度角的判斷等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．15．（4分）將一張圓形紙片（圓心為點O）沿直徑MN對折后，按圖1分成六等份折疊得到圖2，將圖2沿虛線AB剪開，再將△AOB展開得到如圖3的一個六角星．若∠CDE＝75°，則∠OBA的度數為135°．【分析】根據翻折可以知道∠OAB＝∠DCE，且∠CDE＝75°，CD＝CE，求出∠AOB和∠OAB的度數即可求∠OBA的度數．【解答】解：由題知，∠AOB＝×180°＝30°，由翻折知∠OAB＝∠DCE，CD＝CE，∵∠CDE＝75°，∴∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠OAB＝∠DCE＝＝15°，∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣30°﹣15°＝135°，故答案為：135°．【點評】本題主要考查剪紙問題，熟練掌握剪紙中的翻折是解題的關鍵．16．（4分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延長線于點E．連結AE交BD于點F，交CD于點G．FH⊥CD于點H，連結CF．有下列結論：①AF＝CF；②AF2＝EF?FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝．其中所有正確結論的序號為①②③④．【分析】由菱形ABCD的對稱性可判斷①正確，利用△CFG∽△EFC,可得CF2＝EF?GF,從而判斷②正確，設AD＝CD＝BC＝m,Rt△CDE中，CE＝CD?cos60°＝CD＝m,BE＝m,可得＝＝＝,設AF＝2n，則CF＝AF＝2n,EF＝3n,可得FG＝n,EG＝EF﹣FG＝n,從而FG:EG＝(n):（n)＝4:5,可判斷③正確，設CE＝t,Rt△CDE中，CD＝2t＝AD,DE＝t,Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t,可求出DF＝BD＝t,Rt△DFH中，FH＝DF＝t,Rt△ADE中，AE＝＝＝t,即可得EF＝AE＝t,FG＝EF＝t,Rt△FHG中，cos∠GFH＝＝＝,即可判斷④正確，【解答】解：∵菱形ABCD，∴對角線BD所在直線是菱形ABCD的對稱軸，沿直線BD對折，A與C重合，∴AF＝CF,故①正確，∠FAD＝∠FCD,∵AD∥BC,∴∠FAD＝∠FEC,∴∠FCD＝∠FEC,又∠CFG＝∠EFC,∴△CFG∽△EFC,∴＝,∴CF2＝EF?GF,∴AF2＝EF?GF,故②正確，∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，∠CBD＝∠CDB＝30°，AD＝CD＝BC,設AD＝CD＝BC＝m,∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，Rt△CDE中，CE＝CD?cos60°＝CD＝m,∴BE＝m,∵AD∥BE,∴＝＝＝,設AF＝2n，則CF＝AF＝2n,EF＝3n,又CF2＝FG?EF,∴(2n)2＝FG?3n,∴FG＝n,∴EG＝EF﹣FG＝n,∴FG:EG＝(n):（n)＝4:5,故③正確，設CE＝t,Rt△CDE中，CD＝2t＝AD,DE＝t,Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t,∵AD∥BE,∴＝＝＝,∴DF＝BD＝t,Rt△DFH中，FH＝DF＝t,Rt△ADE中，AE＝＝＝t,∴EF＝AE＝t,∵FG:EG＝4:5,∴FG＝EF＝t,Rt△FHG中，cos∠GFH＝＝＝,故④正確，故答案為：①②③④．【點評】本題考查菱形性質及應用，涉及菱形的軸對稱性、三角形相似的判定及性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握菱形性質，從圖中找出常用的相似三角形模型解決問題．三、解答題：（本大題共8個小題，共86分）解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（9分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中x﹣3＝0．【分析】首先將分式的分子與分母進行分解因式進而化簡，再將x的值代入求出答案．【解答】解：原式＝（﹣）?＝?＝?＝,∵x﹣3＝0,∴x＝3,此時，原式＝．【點評】此題主要考查了分式的化簡求值，正確分解因式是解題關鍵．18．（10分）目前，全國各地正在有序推進新冠疫苗接種工作．某單位為了解職工對疫苗接種的關注度，隨機抽取了部分職工進行問卷調查，調查結果分為：A（實時關注）、B（關注較多）、C（關注較少）、D（不關注）四類，現將調查結果繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖．請根據圖中信息，解答下列問題：（1）求C類職工所對應扇形的圓心角度數，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）若D類職工中有3名女士和2名男士，現從中任意抽取2人進行隨訪，請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．【分析】（1）由B類的人數和所占百分比求出調查的總人數，即可解決問題；（2）畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，恰好抽到一名女士和一名男士的結果有12種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）調查的職工人數為：150÷75%＝200（人），∴C類職工所對應扇形的圓心角度數為：360°×＝27°，A類的人數為200﹣150﹣15﹣5＝30（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：（2）畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結果，恰好抽到一名女士和一名男士的結果有12種，∴恰好抽到一名女士和一名男士的概率為＝．【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．19．（10分）我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．【分析】（1）設甲種獎品的單價為x元/件，乙種獎品的單價為y元/件，根據“購買1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，購買2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購買甲種獎品m件，則購買乙種獎品（60﹣m）件，設購買兩種獎品的總費用為w，由甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，可得出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，再由總價＝單價×數量，可得出w關于m的函數關系式，利用一次函數的性質即可解決最值問題．【解答】解：（1）設甲種獎品的單價為x元/件，乙種獎品的單價為y元/件，依題意，得：，解得，答：甲種獎品的單價為20元/件，乙種獎品的單價為10元/件．（2）設購買甲種獎品m件，則購買乙種獎品（60﹣m）件，設購買兩種獎品的總費用為w元，∵購買乙種獎品的件數不超過甲種獎品件數的2倍，∴m（60﹣m），∴m≥20．依題意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，∵10＞0，∴w隨m值的增大而增大，∴當學習購買20件甲種獎品、40件乙種獎品時，總費用最小，最小費用是800元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出w關于m的一次函數關系式．20．（10分）如圖，已知直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（m，3）、B（3，n）兩點．（1）求直線AB的解析式；（2）連結AO并延長交雙曲線于點C，連結BC交x軸于點D，連結AD，求△ABD的面積．【分析】（1）由反比例函數解析式求得A、B點的坐標，然后根據待定系數法即可求得直線AB的解析式；（2）根據反比例函數的對稱性求得C的坐標，即可根據待定系數法求得直線BC的解析式，從而求得D的坐標，利用三角形面積公式求得S△ACD＝S△AOD+S△COD＝3，根據勾股定理求得CD、BD的長，即可根據同高三角形面積的比等于底邊的比求得△ABD的面積．【解答】解：（1）∵直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（m，3）、B（3，n）兩點．∴3m＝3n＝6，∴m＝n＝2，∴A（2，3），B（3，2），把A（2，3），B（3，2）代入y＝kx+b得，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5；（2）∵AC經過原點O，且點A，C均在反比例函數的圖象上，∴A、C關于原點對稱，∵A（2，3），∴C（﹣2，﹣3），設直線CB的解析式為y＝mx+n，∴，解得，∴直線BC為y＝x﹣1，令y＝0，則x＝1，∴D（1，0），∴S△ACD＝S△AOD+S△COD＝2××1×3＝3，∵BC＝＝5，BD＝＝2，∴CD＝BC﹣BD＝3，∴＝，∴S△ABD＝S△ACD＝2．【點評】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了待定系數法求一次函數的解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數的對稱性，三角形的面積以及勾股定理的應用等，求得交點坐標是解題的關鍵．21．（11分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC交BA的延長線于點E，交AC于點F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC＝6，tanE＝，求AF的長．【分析】（1）由等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠ACB＝∠OBD＝∠ODB，可證OD∥AC，可得OD⊥DE，可得結論；（2）由銳角三角函數可求DE＝4，在直角三角形ODE中，由勾股定理可求OE＝5，通過證明△AEF∽△OED，可得，即可求解．【解答】證明：（1）如圖，連接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠ACB，∴AC∥OD，∴∠DFC＝∠ODF，∵DE⊥AC，∴∠DFC＝∠ODF＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）∵AC＝6＝AB，∴AO＝OB＝3＝OD，∵OD⊥DE，tanE＝，∴＝，∴DE＝4，∴OE＝＝＝5，∴AE＝OE﹣OA＝2，∵AC∥OD，∴△AEF∽△OED，∴，∴，∴AF＝．【點評】本題考查了切線的判定和性質，銳角三角函數，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，求出OE的長是解題的關鍵．22．（11分）資陽市為實現5G網絡全覆蓋，2020﹣2025年擬建設5G基站七千個．如圖，在坡度為i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡腳C測得塔頂A的仰角為45°，然后她沿坡面CB行走13米到達D處，在D處測得塔頂A的仰角為53°．（點A、B、C、D均在同一平面內）（參考數據：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D處的豎直高度；（2）求基站塔AB的高．【分析】（1）通過作垂線，利用斜坡CB的坡度為i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；（2）設出DE的長，根據坡度表示BE，進而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由銳角三角函數可列方程求出DE，進而求出AB．【解答】解：（1）如圖，過點C、D分別作AB的垂線，交AB的延長線于點E、F，過點D作DM⊥CF，垂足為M，∵斜坡CB的坡度為i＝1：2.4，∴＝，即＝，設DM＝5k米，則CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝132，解得k＝1（米），∴DM＝5（米），CM＝12（米），答：D處的豎直高度為5米；（2）斜坡CB的坡度為i＝1：2.4，設DE＝12a米，則BE＝5a米，又∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝（12+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，∵tan∠ADE＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），答：基站塔AB的高為米．【點評】本題考查解直角三角形，通過作垂線構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系和坡度的意義進行計算是常用的方法．23．（12分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，已知點D在BC邊上，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結CE．試探究BD與CE的關系；（2）如圖2，已知點D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于點F，求AF的長；（3）如圖3，已知點D在BC下方，連結AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．【分析】（1）證明△BAD≌△CAE（SAS），進而求解；（2）證明四邊形ADHE為正方形，則BH＝BD+DH＝2+6＝8，CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4，在Rt△BCH中，tan∠CBH＝，在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×＝1，進而求解；（3）由DE2＝2AD2＝DH2+EH2，得到（3﹣x）2+（+x）2＝2×（4+），求出BD＝x＝1，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2，BD＝，用解直角三角形的方法，即可求解．【解答】解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，BD＝CE，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴BD＝CE且BD⊥CE；（2）延長BD和CE交于點H，由（1）知BD⊥CE，即∠H＝90°，CE＝BD＝2，而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°，故四邊形ADHE為矩形，而AD＝AE，故四邊形ADHE為正方形，在Rt△ACE中，AE＝＝＝＝6＝DH＝EH＝AD，則BH＝BD+DH＝2+6＝8，CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4，在Rt△BCH中，tan∠CBH＝，在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×＝1，故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，連結CE，延長EC和BD交于點H，連接DE，由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H