巧用平方根的概念解決相關(guān)題目（解析版）-七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

第05講巧用平方根的概念解決相關(guān)題目類型一：巧用非負(fù)性求值類型二：巧用正數(shù)的兩個(gè)平方根的關(guān)系求值類型三：巧用算術(shù)平方根的最小值求值類型四：巧用平方根的定義解方程【類型一：巧用非負(fù)性求值】1．（2023秋?余姚市期中）已知，則的值是（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m、n的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵，∴m﹣4＝0，n+9＝0，解得m＝4，n＝﹣9，∴＝＝﹣．故選：B．2．（2023春?祥云縣期末）已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值為（）A．﹣1 B．1 C．32023 D．﹣32023【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、絕對(duì)值的非負(fù)性，求出a、b的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵+|b﹣1|＝0．∴a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，故選：A．3．（2023春?五華區(qū)校級(jí)期中）已知x，y滿足+（y+1）2＝0，那么x﹣y的平方根是（）A． B． C．1 D．±1【分析】利用算術(shù)平方根的定義以及偶次方的性質(zhì)得出x，y的值，再利用平方根的定義求出答案．【解答】解：∵x，y滿足+（y+1）2＝0，∴x＝2，y＝﹣1，∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝3，∴x﹣y的平方根是：±．故選：A．4．（2023秋?大東區(qū)期中）+|b+2|＝0，則的值是（）A．0 B．2018 C．﹣1 D．1【分析】直接利用絕對(duì)值以及算術(shù)平方根的性質(zhì)得出a，b的值，代入計(jì)算得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得a﹣1＝0，b+2＝0，解得：a＝1，b＝﹣2，則＝＝1．故選：D．5．（2023春?西崗區(qū)月考）已知（4﹣a）2與互為相反數(shù)，則a﹣b的平方根是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性求出a、b的值，再求出a﹣b的值，由平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，（4﹣a）2+＝0，而（4﹣a）2≥0，≥0，∴4﹣a＝0，b+1＝0，解得a＝4，b＝﹣1，∴a﹣b＝5，∴a﹣b的平方根是，故選：C．6．（2022秋?九龍坡區(qū)期末）已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，若，則的值等于（）A．1 B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】先根據(jù)平方，絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a，b，c的值，再將a，b，c代入中即可求解．【解答】解：∵，，|2b﹣|≥0，（c+2a）2≥0，∴a﹣2＝0，2b﹣＝0，c+2a＝0，∴a＝2，b＝，c＝﹣4，∴＝＝＝2，故選：C．7．（2023春?賽罕區(qū)期中）已知，則a2+b2的值為（）A．2 B． C．1或﹣1 D．1【分析】由已知得，兩邊平方整理可得（1﹣a2﹣b2）2＝0，從而可選出正確答案．【解答】解：，則兩邊平方得，整理得，兩邊平方得4b2（1﹣a2）＝（1+b2﹣a2）2＝（1﹣a2）2+2b2（1﹣a2）+b4，所以（1﹣a2）2﹣2b2（1﹣a2）+b4＝0，即（1﹣a2﹣b2）2＝0，所以1﹣a2﹣b2＝0，即a2+b2＝1，故選：D．8．（2023春?南山區(qū)校級(jí)月考），則a+b＝（）A．a(chǎn)+b＝﹣1 B．a(chǎn)+b＝1 C．a(chǎn)+b＝2 D．a(chǎn)+b＝3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性，可得a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，從而得到a＝2，b＝﹣1，即可求解．【解答】解：∵，，∴，∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1．故選：B．【類型二：巧用正數(shù)的兩個(gè)平方根的關(guān)系求值】9．（2023秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a﹣3和5﹣a，則這個(gè)數(shù)是（）A．49 B．25 C．16 D．7【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)得出2a﹣3+5﹣a＝0，求出a的值，即可求出這個(gè)數(shù)．【解答】解：由題意得，2a﹣3+5﹣a＝0，解得a＝﹣2，∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，∴（±7）2＝49，即這個(gè)數(shù)是49，故選：A．10．（2023春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是3m+1與2m﹣6，則m的值是（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．16【分析】根據(jù)平方根的定義得出3m+1+2m﹣6＝0，再進(jìn)行求解即可得出答案．【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是3m+1與2m﹣6，∴3m+1+2m﹣6＝0，∴m＝1；故選：C．11．（2023秋?玄武區(qū)校級(jí)期中）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是2a﹣2和﹣a+3，則a＝﹣1，這個(gè)正數(shù)是16．【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求得a的值，然后根據(jù)平方根的定義即可求得這個(gè)正數(shù)的值．【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是2a﹣2和﹣a+3，∴2a﹣2﹣a+3＝0，解得：a＝﹣1，則﹣a+3＝1+3＝4，那么這個(gè)正數(shù)是16，故答案為：﹣1；16．12．（2023春?南通期末）已知正實(shí)數(shù)x的兩個(gè)平方根是a和a+b，若2a2x+（a+b）2x＝27，則x＝3．【分析】一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，由此可得x＝a2＝（a+b）2，然后將其代入2a2x+（a+b）2x＝27中，利用平方根的定義計(jì)算后根據(jù)題意確定x的值即可．【解答】解：∵正實(shí)數(shù)x的兩個(gè)平方根是a和a+b，∴x＝a2＝（a+b）2，∵2a2x+（a+b）2x＝27，∴2x?x+x?x＝27，即3x2＝27，則x2＝9，∵x為正實(shí)數(shù)，∴x＝3，故答案為：3．13．（2023秋?太和區(qū)期中）若＝2，正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．【分析】由于一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，得：2c﹣1和﹣c+2＝0．解方程即可求出c，然后即可求b，根據(jù)算術(shù)平方根的定義可求a，再代入計(jì)算可求2a+b+c平方根．【解答】解：∵正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是2c﹣1和﹣c+2，∴2c﹣1﹣c+2＝0，解得c＝﹣1，∴b＝（﹣2﹣1）2＝9，∵＝2，解得a＝5，∴2a+b+c＝10+9﹣1＝18，∴18的平方根是±3．14．（2023春?普蘭店區(qū)期中）一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是2a﹣1與﹣a+2，求a的值和這個(gè)正數(shù)x的值．【分析】正數(shù)x有兩個(gè)平方根，分別是﹣a+2與2a﹣11，所以﹣a+2與2a﹣1互為相反數(shù)；即﹣a+2+2a﹣1＝0解答可求出a；根據(jù)x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值．【解答】解：∵正數(shù)x有兩個(gè)平方根，分別是﹣a+2與2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．15．（2023秋?臨汾月考）若實(shí)數(shù)b的兩個(gè)不同平方根是2a﹣3和3a﹣7，求5a﹣b的平方根．【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行解題即可．【解答】解：由題意得（2a﹣3）+（3a﹣7）＝0，解得a＝2，∴b＝（2a﹣3）2＝1，∴5a﹣b＝9．∴5a﹣b的平方根為±3．16．（2023春?惠陽(yáng)區(qū)期末）已知正實(shí)數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為a和a+b．（1）若a＝﹣2，求b和x的值；（2）若b＝6時(shí)，求a和x的值；（3）若a2x+（a+b）2x＝8，求x的值．【分析】（1）根據(jù)平方根的定義及性質(zhì)即可求得b的值和x的值；（2）根據(jù)平方根的定義及性質(zhì)即可求得a的值和x的值；（3）根據(jù)平方根的定義將原式進(jìn)行變形后解方程，然后結(jié)合已知條件確定x的值即可．【解答】解：（1）∵正實(shí)數(shù)x的平方根分別為a和a+b，∴a+a+b＝0，即2a+b＝0，∵a＝﹣2，∴b＝4，x＝（﹣2）2＝4；（2）∵2a+b＝0，b＝6，∴2a+6＝0，解得：a＝﹣3，∴x＝（﹣3）2＝9；（3）∵正實(shí)數(shù)x的平方根分別為a和a+b，∴x＝a2＝（a+b）2，∵a2x+（a+b）2x＝8，∴x2+x2＝8，即2x2＝8，解得：x＝±2，∵x為正實(shí)數(shù)，∴x＝2．【類型三：巧用算術(shù)平方根的最小值求值】17．（2023?墨玉縣一模）當(dāng)x＝4時(shí)，式子3+有最小值，且最小值是3．【分析】先根據(jù)二次根式非負(fù)的性質(zhì)求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵，∴當(dāng)x﹣4＝0時(shí)，會(huì)有最小值，∴當(dāng)x＝4時(shí)，會(huì)有最小值，且最小值是3．故答案為：4，3．18．（2023春?東湖區(qū)校級(jí)期中）已知y＝﹣9+，當(dāng)x＝13時(shí)，y的最小值＝﹣9．【分析】由算術(shù)平方根的非負(fù)性求解即可．【解答】解：∵，∴當(dāng)x＝13時(shí)，有最小值是0，∴當(dāng)x＝13時(shí)，y有最小值，最小值為﹣9+0＝﹣9，故答案為：13；﹣9．19．（2023春?潮陽(yáng)區(qū)期末）已知是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是（）A．2 B．3 C．8 D．11【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得被開方數(shù)是9，進(jìn)而求出答案．【解答】解：若是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是3，故選：B．20．（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于式子m2+1（m為實(shí)數(shù)），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．式子m2+1定有平方根 B．當(dāng)m＝0時(shí)，式子m2+1有最小值 C．無(wú)論m為何值，式子m2+1的值一定是有理數(shù) D．式子m2+1的算術(shù)平方根一定大于等于1【分析】分別根據(jù)平方根有意義的條件，最小值，無(wú)理數(shù)的意義及算術(shù)平方根的意義判斷求解．【解答】解：∵m2+1（m為實(shí)數(shù)）≥1，∴A：m2+1定有平方根，B：當(dāng)m＝0時(shí)，m2+1有最小值1，D：m2+1的算術(shù)平方根大于等于1，C：當(dāng)m＝π時(shí)，m2+1是無(wú)理數(shù)，故選：C．21．（2023春?淮北月考）當(dāng)a取什么值時(shí)，的值最?。空?qǐng)求出這個(gè)最小值．【分析】根據(jù)≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．【解答】解：∵≥0，∴當(dāng)a＝﹣時(shí)，有最小值，是0．則的最小值是1．【類型四：巧用平方根的定義解方程】22．（2023秋?永修縣期中）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)不相等的平方根是a+5與2a﹣11．（1）求a及m的值；（2）求關(guān)于x的方程ax2﹣16＝0的解．【分析】（1）根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)解答；（2）根據(jù)平方根的定義解方程即可．【解答】解：（1）由題意得：a+5+2a﹣11＝0，解得：a＝2，∴m＝（a+5）2＝49；（2）原方程為：2x2﹣16＝0，∴x2＝8，解得：．23．（2023春?牧野區(qū)校級(jí)期中）解方程：（1）16x2＝49；（2）（x﹣2）2＝64．【分析】（1）（2）如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，由此即可求解．【解答】解：（1）16x2＝49，∴x2＝，∴x＝±；（2）（x﹣2）2＝64，∴x﹣2＝±8，∴x＝10或x＝﹣6．24．（2023春?西和縣期中）解方程：（1）25x2﹣49＝0；（2）2（x+1）2﹣49＝1．【分析】（1）利用一元二次方程的解法求解即可；（2）把（x+1）看作一個(gè)整體，求解即可．【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，化為：，∴x＝±，∴；（2）2（x+1）2﹣49＝1，化為：（x+1）2＝25，∴x+1＝±5，∴x1＝4，x2＝﹣6．25．（2023春?澄海區(qū)期末）已知|2a+b﹣4|與互為相反數(shù)．（1）求5a﹣4b的平方根；（2）解關(guān)于x的方程ax2+5b﹣5＝0．【分析】（1）依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，然后再求得5a﹣4b的值，最后依據(jù)平方根的定義求解即可；（2）將a、b的值代入得到關(guān)于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：（1）由題意，得，∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，解得：a＝4，b＝﹣4，∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，∴5a﹣4b的平方根為±6；（2）將a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，得4x2﹣25＝0，解得：．26．（2023春?鄱陽(yáng)縣期末）已知a、b滿足，解關(guān)于x的方程（a+4）x+b2＝a﹣1．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式得到關(guān)于x的一元一次方程，求解即可．【解答】解：根據(jù)題意得，2a+10＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣5，b＝，所以，方程為（﹣5+4）x+5＝﹣5﹣1，即﹣x+5＝﹣6，解得x＝11．27．（2023春?天河區(qū)期中）已知一個(gè)正數(shù)的平方根是a+6與2a﹣9，（1）求a的值；（2）求關(guān)于x的方程ax3﹣64＝0的解．【分析】（1）根據(jù)平方根的定義可求出a的值；（2）將a的值代入后，再由立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵一個(gè)正數(shù)的平方根是a+6與2a﹣9，∴a+6+2a﹣9＝0，解得a＝1，答：a＝1；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，原方程可變?yōu)閤3﹣64＝0，由立方根的定義可知，x＝4，即方程x3﹣64＝0的解為x＝4．28．（2023春?昭平縣期中）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)不相等的平方根是a+6與2a﹣9．（1）求a的值；（2）求這個(gè)正數(shù)m；（3）求關(guān)于x的方程ax2﹣16＝0的解．【分析】（1）根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)解答；（2）將a＝1代入m＝（a+6）2中，可得m的值；（3）根據(jù)平方根的定義解方程即可．【解答】解：（1）由題意得，a+6+2a﹣9＝0，解得，a＝1；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，a+6＝1+6＝7，∴m＝72＝49；（3）x2﹣16＝0，x2