浙江省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，而，方程，當(dāng)時，方程無解，則，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；所以的取值范圍為.故選：A2.若直線在平面內(nèi)，直線在平面外，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件〖答案〗D〖解析〗如下圖所示，若直線與平面相交點，但不垂直時，當(dāng)直線垂直于直線在平面內(nèi)的射影，此時，得不出，因為，且直線在平面內(nèi)，所以，則“”是“”的必要不充分條件，故選：D.3.數(shù)列首項為，接下來項為，再接下來項為，再后面項為，以此類推（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令數(shù)列首項為，公差為的等差數(shù)列，前項和為，有個，個，等等可推得有個令可得所以故選：C.4.已知一組成對數(shù)據(jù)中關(guān)于的一元非線性回歸方程，已知，，，則（）A.3 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，則，可得.故選：B5.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行、也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽．足球由32塊黑白相間的皮革縫制而成，其中，黑色的皮塊呈正五邊形，每一塊黑皮的周圍都5塊白皮相連；而白色的皮塊呈正六邊形，每一塊白皮的周圍分別連著3塊黑皮、3塊白皮．若制作一個半徑為的足球（正多邊形近似看做平面正多邊形），則一塊黑皮面積約為________．（注：邊長為的正五邊形面積，邊長為的正六邊形面積，取3.14）（）A.32.44 B.31.92 C.30.51 D.29.49〖答案〗D〖解析〗設(shè)黑色正五邊形有個，則白色六邊形有個，由已知條件可知，解得，即黑色正五邊形有個，則白色六邊形有個，足球的表面積為，所以，解得，所以一塊黑皮的面積約為，故選：D.6.已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡為以為焦點，長軸長的橢圓，則橢圓短半軸長為，橢圓方程為，表示橢圓上的點到原點的距離，當(dāng)點位于橢圓長軸上的頂點時，取值大值2；當(dāng)點位于橢圓短軸上的頂點時，取值小值；故的取值范圍為，故選：D7.雙曲線右焦點為，離心率為，，以為圓心，長為半徑的圓與雙曲線有公共點，則最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，右焦點，又，則，，以為圓心，為半徑的圓的方程為，，聯(lián)立方程組，得，由圓與雙曲線有公共點，所以，即，結(jié)合，化簡為，由方程兩根為：，，所以不等式的解為，或，由已知，得所以，當(dāng)時，取得最小值.故選：A8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知得，，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，，所以，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，令，，令，，令，，令，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，因為，所以，綜上：.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．9.已知數(shù)列，的前項和分別為，，下列說法正確的是（）A.若能成立，則能成立 B.若能成立，則恒成立C.若恒成立，則恒成立 D.若恒成立，則恒成立〖答案〗ACD〖解析〗若，，能成立，也能成立，故A正確：若，，能成立，不能恒成立，故B錯誤：若恒成立，則二者是相同數(shù)列，即恒成立，故C正確；若恒成立，則，當(dāng)時，兩者作差得，當(dāng)時，若，則，故D正確.故選：ACD.10.雙曲線，點，則（）A.該雙曲線漸近線為B.過點的直線與雙曲線交于兩點，若，則滿足的直線有1條C.與雙曲線兩支各有一個交點的直線斜率可以是1.1D.過點能作4條僅與雙曲線有一個交點的直線〖答案〗ACD〖解析〗由題意，雙曲線，則雙曲線漸近線為，選項A正確；依題意，當(dāng)過點的直線直線與雙曲線的右支交于兩點時，通徑最短，為，當(dāng)直線與雙曲線的兩支交于兩點時，的最小值為，所以，若，則滿足條件的直線有3條，故選項B錯誤；由于雙曲線漸近線為，與雙曲線兩支各有一個交點的直線斜率，而，選項C正確；過點能作兩條與漸近線平行的直線和兩條切線，均與雙曲線只有一個交點，故滿足條件的直線有4條，選項D正確.故選：ACD11.函數(shù)在上有兩個零點，下列說法正確的是（）A. B.C. D.在上有2個極值點且〖答案〗ACD〖解析〗由于函數(shù)在上有兩個零點，故函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點，作出函數(shù)的圖象如圖：要滿足題意，需滿足與在間圖象相切，由圖象可知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由于，則設(shè)與在間的圖象相切時的切點為，此時，則，于是，C正確；對于A，當(dāng)時，，此時，，由于，即，令，，即為減函數(shù)，，，故在內(nèi)有唯一零點，即，A正確；對于B，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，，即；故，B錯誤；對于D，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即為函數(shù)在內(nèi)的一個極小值點；當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即為函數(shù)在內(nèi)的一個極小值點；即在上有2個極值點，設(shè)為，則，故，D正確；故選：ACD12.半徑為2的球上有三個點，，，，三棱錐的頂角均為銳角，二面角的平面角為，為邊上一動點，則（）A.若，則B.若，則C.若的最小值等于，則三棱錐體積最小為D.若的最小值等于，則三棱錐體積最小為〖答案〗BC〖解析〗如圖所示：當(dāng)時，三棱錐為正四面體，點在底面內(nèi)的射影為的中心，即平面，連接延長交于，易知，為的中點，連接，所以，故二面角的平面角為，即．在中，，，所以，故B正確，A錯誤；如圖所示：因為三棱錐的頂角均為銳角，所以．因為點在底面內(nèi)的射影為的外心，即平面，過點作于，連接，因為為等邊三角形，所以為的中點，又易知平面，所以二面角的平面角為，即，因為，為到平面的距離，根據(jù)三余弦定理可知，的最小值為直線與平面所成的角，即當(dāng)三點共線時（重合），最小，此時，，且最小，故，而，所以，三棱錐體積最小為．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.，，則在上的投影向量為________．（用坐標(biāo)表示）〖答案〗〖解析〗由題意得，，故在上的投影向量為，故〖答案〗為：14.橢圓過點且上頂點到軸的距離為1，直線過點與橢圓交于A，兩點且中點在坐標(biāo)軸上，則直線的方程為________．〖答案〗或或〖解析〗因為過點且上頂點到軸的距離為1，所以所以，因為，即點在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓相交，當(dāng)斜率不存在時，則時，由橢圓對稱性可得，則中點為在坐標(biāo)軸上，所以符合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立方程,消去y得，則，，因為中點在坐標(biāo)軸上，則或，解得或，此時直線的方程為或；綜上所述：所以直線的方程為或或.故〖答案〗為：或或.15.為了紀(jì)念世界地球日，復(fù)興中學(xué)高三年級參觀了地球自然博物館，觀后某班級小組7位同學(xué)合影，若同學(xué)與同學(xué)站在一起，同學(xué)站在邊緣，則同學(xué)不與同學(xué)或相鄰的概率為________．〖答案〗〖解析〗將同學(xué)與同學(xué)看成一個整體，與剩下的5人排列，先讓同學(xué)站在邊上，有種方法，然后同學(xué)與同學(xué)組成的整體與剩下4人排列，有種方法，所以分步乘法原理可知同學(xué)與同學(xué)站在一起，同學(xué)站在邊緣，共有種方法，其中同學(xué)不與同學(xué)或相鄰的有：先讓同學(xué)站在邊上，有種方法，然后同學(xué)與同學(xué)組成的整體從與同學(xué)不相鄰的4個位置中選一個位置，有種方法，再讓剩下的4人去站剩下的4個位置，有種方法，所以由分步乘法原理可得同學(xué)不與同學(xué)或相鄰的共有種方法，所以所求概率為，故〖答案〗為：16.5320的因數(shù)有________個，從小到大排列后，第24個因數(shù)為________．〖答案〗①2②280〖解析〗因為，所以當(dāng)因數(shù)是一個質(zhì)數(shù)時，有4種，當(dāng)因數(shù)是2個質(zhì)數(shù)的乘積時，有種，當(dāng)因數(shù)是3個質(zhì)數(shù)的乘積時，有種，當(dāng)因數(shù)是4個質(zhì)數(shù)的乘積時，有種，當(dāng)因數(shù)是5個質(zhì)數(shù)的乘積時，有種，當(dāng)因數(shù)是6個質(zhì)數(shù)的乘積時，有1種，還有一個1，所以5320共有32個因數(shù)，或所以5320的因數(shù)有32個，從小到大排列為1，2，4，5，7，8，10，14，19，20，28，35，38，40，56，70，76，95，133，140，152，190，266，280，380，532，665，760，1064，1330，2660，5320，所以第24個因數(shù)為280.故〖答案〗為：32，280四、解答題：本題共5小題，共58分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖幾何體為圓臺一部分，上下底面分別為半徑為1，2的扇形，，體積為．（1）求；（2）劣弧上是否存在使∥平面．猜想并證明．解：（1）由題意可知，設(shè)，設(shè)上底的面積為，下底的面積為，則，，所以，解得，在中由余弦定理可得，所以；（2）不存在，證明如下：過作的垂線交劣弧于，由（1）可知，所以，以所在的直線分別為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，因為，所以，取，則有，如果平面，則有，即，即，矛盾，所以平面不成立，故劣弧上不存在使∥平面.18.內(nèi)角、、滿足．（1）求的大??；（2）、分別為、上的點，，且平分，求.解：（1），即，即，所以，，即，所以，，因為，則，因為，則，所以，或，所以，或（舍去）.綜上所述，.（2）如下圖所示：因為、分別為、上的點，，則，所以，，則，因為，則，，因為平分，所以，，則，故，所以，，設(shè)，則，，其中，在中，由正弦定理可得，所以，因為，則為銳角，即，故，所以，，因為，所以，，故，因為，又因為，所以，.19.，，遞增數(shù)列前項和為．（1）證明：為等比數(shù)列并求；（2）記，為使成立的最小正整數(shù)，求．解：（1）由于，，當(dāng)時，；當(dāng)時，依次取值為，（）時，總存在使得成立，證明該結(jié)論，只需證明能被3整除，由于，即能被3整除，即上述結(jié)論成立，當(dāng)時,，由于能被3整除，則不是3的倍數(shù)，即時，不適合題意；綜合上述，為遞增數(shù)列：，（），故，即是以為首項，公比為4的等比數(shù)列，則.（2）由（1）可得，則，為使成立的最小正整數(shù)，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，故此時使成立的最小正整數(shù)為14，當(dāng)時，，故此時使成立的最小正整數(shù)為11，故為周期數(shù)列：，周期為2，則.20.過的直線與交于，兩點，直線、與分別交于、．（1）證明：中點在軸上；（2）若、、、四點共圓，求所有可能取值．解：（1）由題意，作圖如下：過的直線與交于，兩點，可設(shè)直線方程為,令，，則，可得:，，，的方程，即，可得，聯(lián)立，可得，即，同理可得，即，，，，，又即，，中點在軸上.（2）若、、、四點共圓，，又三點共線，三點共線，，又，，，，，又，，，解得，，又，，則，即，解得：或，，，.21.人口老齡化加劇的背景下，我國先后頒布了一系列生育政策，根據(jù)不同政策要求，分為兩個時期Ⅰ和Ⅱ．根據(jù)部分調(diào)查數(shù)據(jù)總結(jié)出如下規(guī)律：對于同一個家庭，在Ⅰ時期內(nèi)生孩人，在Ⅱ時期生孩人，（不考慮多胞胎）生男生女的概率相等．服從0-1分布且．分布列如下圖：012現(xiàn)已知一個家庭在Ⅰ時期沒生孩子，則在Ⅱ時期生2個孩子概率為；若在Ⅰ時期生了1個女孩，則在時期生2個孩子概率為；若在Ⅰ時期生了1個男孩，則在Ⅱ時期生2個孩子概率為，樣本點中Ⅰ時期生孩人數(shù)與Ⅱ時期生孩人數(shù)之比為（針對普遍家庭）．（1）求的期望與方差；（2）由數(shù)據(jù)組成的樣本空間根據(jù)分層隨機(jī)抽樣分為兩層，樣本點之比為，分別為與，，總體樣本點與兩個分層樣本點均值分別為，，，方差分別為，，，證明：，并利用該公式估算題設(shè)樣本總體的方差．解：（1）由分布列知：，即，事件分別表示Ⅰ時期沒生孩子、生了1個女孩、生了1個男孩，事件表示Ⅱ時期生2個孩子，則，又，所以，即，則，綜上，分布列如下：012..（2）由題意，，則，，而，上式，又，且，上式.綜上，得證.由題設(shè)知：，，，，則總體均值，綜上，題設(shè)樣本總體的方差.22.，，，．（1）若，，證明：；（2）是否存在使有且僅有一組解，若存在，求取值集合；若不存在，請說明理由．解：（1）依題意，，，由知，，，當(dāng)時，，又，于是當(dāng)且時，，不等式成立.當(dāng)時，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞