專題21圖形的相似（共50題）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國）含解析

備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國通用）專題21圖形的相似（共50題）一．選擇題（共24小題）1．（2022?涼山州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm2．（2022?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．213．（2022?云南）如圖，在△ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，設(shè)△ABC的面積為S1，△EBD的面積為S2，則＝（）A． B． C． D．4．（2022?武威）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，則＝（）A． B． C． D．5．（2022?十堰）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為（）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm6．（2022?臺(tái)灣）△ABC的邊上有D、E、F三點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，則根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，求四邊形ADEF與△ABC的面積比為何？（）A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：87．（2022?宿遷）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，以O(shè)A為一邊作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，則線段OB長的最小值是（）A．1 B． C．2 D．48．（2022?孝感）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．19．（2022?山西）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對(duì)稱 D．黃金分割10．（2022?湘潭）在△ABC中（如圖），點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則S△ADE：S△ABC＝（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：411．（2022?衡陽）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m12．（2022?眉山）如圖，四邊形ABCD為正方形，將△EDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△HBC，點(diǎn)D，B，H在同一直線上，HE與AB交于點(diǎn)G，延長HE與CD的延長線交于點(diǎn)F，HB＝2，HG＝3．以下結(jié)論：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD?CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)13．（2022?樂山）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PE，過點(diǎn)E作PE的垂線交BC的延長線于點(diǎn)F，M是線段EF的中點(diǎn)．那么，當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為（）A． B．3 C．2 D．414．（2022?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（）A．4 B．6 C．2 D．315．（2022?揚(yáng)州）如圖，在△ABC中，AB＜AC，將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③16．（2022?泰安）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長交AD于點(diǎn)F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．117．（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長不可能是（）A． B． C．10 D．18．（2022?連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④19．（2022?達(dá)州）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若CD＝3BF，BE＝4，則AD的長為（）A．9 B．12 C．15 D．1820．（2022?金華）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，把該紙片沿EF折疊，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，A′E與BC相交于點(diǎn)G，B′A′的延長線過點(diǎn)C．若＝，則的值為（）A．2 B． C． D．21．（2022?麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．222．（2022?重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF的周長之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：923．（2022?重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：3．若△ABC的周長為4，則△DEF的周長是（）A．4 B．6 C．9 D．1624．（2022?遂寧）如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點(diǎn)B，連接EC、GA，交于點(diǎn)O，GA與BC交于點(diǎn)P，連接OD、OB，則下列結(jié)論一定正確的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④二．填空題（共17小題）25．（2022?宜賓）如圖，△ABC中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，則EF＝．26．（2022?邵陽）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ADE∽△ABC．27．（2022?河北）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長為1個(gè)單位長的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)A，B的連線與釘點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)E，則（1）AB與CD是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）AE＝．28．（2022?陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分別是邊AD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分別為E、F，則ME+NF的值為．29．（2022?新疆）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，點(diǎn)F在邊AB上，以點(diǎn)D為中心，將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△DAF恰好完全重合，連接EF交DC于點(diǎn)P，連接AC交EF于點(diǎn)Q，連接BQ，若AQ?DP＝3，則BQ＝．30．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為．31．（2022?陜西）在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點(diǎn)，即BE2＝AE?AB．已知AB為2米，則線段BE的長為米．32．（2022?杭州）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時(shí)刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，則AB＝m．33．（2022?婁底）如圖，已知等腰△ABC的頂角∠BAC的大小為θ，點(diǎn)D為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），將AD繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)點(diǎn)D落在D′處，連接BD′．給出下列結(jié)論：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③當(dāng)BD＝CD時(shí)，△ADD′的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有（填結(jié)論對(duì)應(yīng)的應(yīng)號(hào)）．34．（2022?婁底）九年級(jí)融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實(shí)物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈DE．（精確到0.001）35．（2022?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，＝．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為v1，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為v2，且v1＜v2．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MA′B′N．若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好與CD的中點(diǎn)重合，則的值為．36．（2022?湖州）如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，＝．若DE＝2，則BC的長是．37．（2022?武威）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于點(diǎn)G，若G是EF的中點(diǎn)，則BG的長為cm．38．（2022?溫州）如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA，OB，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線段CD，測得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2：3，則點(diǎn)O，M之間的距離等于米．轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，葉片外端離地面的最大高度等于米．39．（2022?紹興）如圖，AB＝10，點(diǎn)C是射線BQ上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC，作CD⊥AC，CD＝AC，動(dòng)點(diǎn)E在AB延長線上，tan∠QBE＝3，連結(jié)CE，DE，當(dāng)CE＝DE，CE⊥DE時(shí)，BE的長是．40．（2022?達(dá)州）人們把≈0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．a(chǎn)＝，b＝，記S1＝+，S2＝+，…，S100＝+，則S1+S2+…+S100＝．41．（2022?成都）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA：AD＝2：3，則△ABC與△DEF的周長比是．三．解答題（共9小題）42．（2022?宜賓）如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的延長線上一點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作AB的垂線交AC于點(diǎn)G，交DC的延長線于點(diǎn)E，且EG＝EC．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，BD＝4，sin∠D＝，求EC的長．43．（2022?常德）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于B，E是OA上的一點(diǎn)，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，連接AC交ED于F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的長．44．（2022?廣元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．45．（2022?常德）在四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AF交BC于F，延長AB到E使BE＝FC，G是AF的中點(diǎn)，GE交BC于O，連接GD．（1）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，如圖1，求證：①GE＝GD；②BO?GD＝GO?FC．（2）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，如圖2，（1）中的結(jié)論都成立．請(qǐng)給出結(jié)論②的證明．46．（2022?孝感）問題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．嘗試證明：（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明：＝；應(yīng)用拓展：（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的長（用含m，α的式子表示）．47．（2022?泰安）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點(diǎn)O，BE與AC相交于點(diǎn)F．（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長度．48．（2022?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．（1）若AB＝8，求線段AD的長．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．49．（2022?江西）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當(dāng)AB＝6，AC＝4時(shí)，求AE的長．50．（2022?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于點(diǎn)G，求證：DG＝EG．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在?ABCD中，∠ADC＝45°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為AO上一點(diǎn)，EG∥BD交AD于點(diǎn)G，EF⊥EG交BC于點(diǎn)F．若∠EGF＝40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G＝10，求BF的長．備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國通用）專題21圖形的相似（共50題）一．選擇題（共24小題）1．（2022?涼山州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】根據(jù)＝，得到＝，根據(jù)DE∥BC，得到∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出答案．【解析】∵＝，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝15（cm），故選：C．2．（2022?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．21【分析】（1）方法一：設(shè)2對(duì)應(yīng)的邊是x，3對(duì)應(yīng)的邊是y，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列等式，解出即可；方式二：根據(jù)相似三角形的周長的比等于相似比，列出等式計(jì)算．【解析】方法一：設(shè)2對(duì)應(yīng)的邊是x，3對(duì)應(yīng)的邊是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周長是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，∴C△DEF＝27；故選：C．3．（2022?云南）如圖，在△ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，設(shè)△ABC的面積為S1，△EBD的面積為S2，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可．【解析】在△ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△BED∽△BAC，∵＝，∴＝，即＝，故選：B．4．（2022?武威）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)△ABC∽△DEF，可以得到，然后根據(jù)BC＝6，EF＝4，即可得到的值．【解析】∵△ABC∽△DEF，∴，∵BC＝6，EF＝4，∴＝，故選：D．5．（2022?十堰）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為（）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長，再根據(jù)某零件的外徑為10cm，即可求得x的值．【解析】∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm，∴AB＝9cm，∵某零件的外徑為10cm，∴零件的厚度x為：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），故選：B．6．（2022?臺(tái)灣）△ABC的邊上有D、E、F三點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，則根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，求四邊形ADEF與△ABC的面積比為何？（）A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8【分析】證明△CAF∽△CBA，推出CA2＝CF?CB，推出AC＝4，可得＝＝，推出S△ACF：S△ACB＝5：16，同法S△BDE：S△ABC＝5：16，由此可得結(jié)論．【解析】∵∠C＝∠C，∠CAF＝∠B，∴△CAF∽△CBA，∴＝，∴CA2＝CF?CB，∴CA2＝5×16＝80，∵AC＞0，∴AC＝4，∴＝＝，∴S△ACF：S△ACB＝5：16，同法可證△BDE∽△BCA，∵BD＝AC，∴＝，∴S△BDE：S△ABC＝5：16，∴S四邊形ADEF：S△ABC＝（16﹣5﹣5）：16＝3：8，故選：D．7．（2022?宿遷）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，以O(shè)A為一邊作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，則線段OB長的最小值是（）A．1 B． C．2 D．4【分析】根據(jù)三角形OAB是等腰直角三角形，當(dāng)OB最小時(shí)，OA最小，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式解答即可．【解析】∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴當(dāng)OB最小時(shí)，OA最小，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），∴OA＝，∵≥0，即：﹣4≥0，∴≥4，∴當(dāng)a2＝時(shí)，OA有最小值，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB為斜邊，∴OB＝OA＝2．故選：C．8．（2022?孝感）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)題意分別證明各個(gè)結(jié)論來判斷即可．【解析】根據(jù)題意知，BF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四邊形AECF是菱形，故①結(jié)論正確；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②結(jié)論正確；∵S四邊形AECF＝CF?CD＝AC?OE×2＝AC?EF，故③結(jié)論不正確；若AF平分∠BAC，則∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④結(jié)論正確；故選：B．9．（2022?山西）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對(duì)稱 D．黃金分割【分析】利用黃金分割比的意義解答即可．【解析】∵每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618，又黃金分割比為≈0.618，∴其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割，故選：D．10．（2022?湘潭）在△ABC中（如圖），點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則S△ADE：S△ABC＝（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理解答即可．【解析】在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝＝．故選：D．11．（2022?衡陽）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】設(shè)下部高為xm，根據(jù)雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比列方程可解得答案．【解析】設(shè)下部的高度為xm，則上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故選：B．12．（2022?眉山）如圖，四邊形ABCD為正方形，將△EDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△HBC，點(diǎn)D，B，H在同一直線上，HE與AB交于點(diǎn)G，延長HE與CD的延長線交于點(diǎn)F，HB＝2，HG＝3．以下結(jié)論：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD?CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證明△GBH∽△EDC，得到，即，利用△HEC是等腰直角三角形，求出，再證明△HGB∽△HDF即可求出EF＝3可知③正確；過點(diǎn)E作EM⊥FD交FD于點(diǎn)M，求出，再證明∠DEC＝∠EFC，即可知④正確．【解析】∵△EDC旋轉(zhuǎn)得到△HBC，∴∠EDC＝∠HBC，∵ABCD為正方形，D，B，H在同一直線上，∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDC＝135°，故①正確；∵△EDC旋轉(zhuǎn)得到△HBC，∴EC＝HC，∠ECH＝90°，∴∠HEC＝45°，∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠ECD＝∠ECF，∴△EFC∽△DEC，∴，∴EC2＝CD?CF，故②正確；設(shè)正方形邊長為a，∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，∵∠GBH＝∠EDC＝135°，∴△GBH∽△EDC，∴，即，∵△HEC是等腰直角三角形，∴，∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，∴△HBG∽△HDF，∴，即，解得：EF＝3，∵HG＝3，∴HG＝EF，故③正確；過點(diǎn)E作EM⊥FD交FD于點(diǎn)M，∴∠EDM＝45°，∵ED＝HB＝2，∴，∵EF＝3，∴，∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，∴∠DEC＝∠EFC，∴，故④正確綜上所述：正確結(jié)論有4個(gè)，故選：D．13．（2022?樂山）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PE，過點(diǎn)E作PE的垂線交BC的延長線于點(diǎn)F，M是線段EF的中點(diǎn)．那么，當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為（）A． B．3 C．2 D．4【分析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，點(diǎn)F與C重合，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F″，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是△ECF″的中位線，M′M″＝CF″，利用相似三角形的性質(zhì)求出CF″可得結(jié)論．【解析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，點(diǎn)F與C重合，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F″，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是△ECF″的中位線，M′M″＝CF″，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AE∥BC，AE＝BC，∴AE＝CH，∴四邊形AHCE是平行四邊形，∵∠AHC＝90°，∴四邊形AHCE是矩形，∴EC⊥BF″，AH＝EC，∵BC＝2，S△ABC＝2，∴×2×AH＝2，∴AH＝EC2，∵∠BFF″＝∠ECB＝∠ECF″，∴∠BEC+∠CEF″＝90°，∠CEF″+∠F″＝90°，∴∠BEC＝∠F″，∴△ECB∽△F″CE，∴EC2＝CB?CF″，∴CF″＝＝6，∴M′M″＝3故選：B．14．（2022?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（）A．4 B．6 C．2 D．3【分析】在網(wǎng)格中，以MN為直角邊構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形，使PM最長，利用勾股定理求出即可．【解析】如圖所示：△MNP為等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此時(shí)PM最長，根據(jù)勾股定理得：PM＝＝＝2．故選：C．15．（2022?揚(yáng)州）如圖，在△ABC中，AB＜AC，將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，進(jìn)而得出∠B＝∠ADB，得出∠ADE＝∠ADB，得出DA平分∠BDE，可判斷結(jié)論②符合題意；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出△AFE∽△DFC，可判斷結(jié)論①符合題意；由∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠FAE，由相似三角形的旋轉(zhuǎn)得出∠FAE＝∠CDF，進(jìn)而得出∠BAD＝∠CDF，可判斷結(jié)論③符合題意；即可得出答案．【解析】∵將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，∴∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∴DA平分∠BDE，∴②符合題意；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AFE∽△DFC，∴①符合題意；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠FAE，∵△AFE∽△DFC，∴∠FAE＝∠CDF，∴∠BAD＝∠CDF，∴③符合題意；故選：D．16．（2022?泰安）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長交AD于點(diǎn)F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】通過判定△ABE為等邊三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠EAC＝30°，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．【解析】∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BC＝2BE＝2CE，又∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AB⊥AC，故①正確；在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AB⊥AC，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∴平行四邊形AECF是菱形，故③正確；∴AC⊥EF，在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴OE＝CE＝BC＝AD，故②正確；在平行四邊形ABCD中，OA＝OC，又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC，故④正確；正確的結(jié)論由4個(gè)，故選：A．17．（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長不可能是（）A． B． C．10 D．【分析】根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)和分類討論的方法，求出剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．【解析】如右圖1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，則，設(shè)DF＝x，CE＝y(tǒng)，則，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故選項(xiàng)B不符合題意；EB＝DF+AD＝+2＝，故選項(xiàng)D不符合題意；如圖2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，則，設(shè)FC＝m，F(xiàn)D＝n，則，解得，∴FD＝10，故選項(xiàng)C不符合題意；BF＝FC+BC＝8+6＝14，故選：A．18．（2022?連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)分析判斷①；通過點(diǎn)G為AD中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，設(shè)AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理分析求得AB與AD的數(shù)量關(guān)系，從而判斷②；利用相似三角形的判定和性質(zhì)分析判讀GE和DF、OC和OF的數(shù)量關(guān)系，從而判斷③和④；根據(jù)相似三角形的判定分析判斷⑤．【解析】由折疊性質(zhì)可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故①正確；設(shè)AD＝2a，AB＝2b，則DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得：b＝a，∴AB＝AD，故②錯(cuò)誤；在Rt△COF中，設(shè)OF＝DF＝x，則CF＝2b﹣x＝2a﹣x，∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，解得：x＝a，∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，在Rt△AGE中，GE＝＝a，∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正確；無法證明∠FCO＝∠GCE，∴無法判斷△COF∽△CEG，故⑤錯(cuò)誤；綜上，正確的是①③④，故選：B．19．（2022?達(dá)州）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若CD＝3BF，BE＝4，則AD的長為（）A．9 B．12 C．15 D．18【分析】證明△BEF∽△CFD，求得CF，設(shè)BF＝x，用x表示DF、CD，由勾股定理列出方程即可求解．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，∵將矩形ABCD沿直線DE折疊，∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，∴△BEF∽△CFD，∴，∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12，設(shè)BF＝x，則CD＝3x，DF＝BC＝x+12，∵∠C＝90°，∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，∴（3x）2+122＝（x+12）2，解得x＝3（舍去0根），∴AD＝DF＝3+12＝15，故選：C．20．（2022?金華）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，把該紙片沿EF折疊，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，A′E與BC相交于點(diǎn)G，B′A′的延長線過點(diǎn)C．若＝，則的值為（）A．2 B． C． D．【分析】連接FG，CA′，過點(diǎn)G作GT⊥AD于點(diǎn)T．設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)．設(shè)BF＝2k，CG＝3k．則AE＝DE＝y(tǒng)，由翻折的性質(zhì)可知EA＝EA′＝y(tǒng)，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，因?yàn)镃，A′，B′共線，GA′∥FB′，推出＝，推出＝，可得y2﹣12ky+32k2＝0，推出y＝8k或y＝4k（舍去），推出AE＝DE＝4k，再利用勾股定理求出GT，可得結(jié)論．【解析】連接FG，CA′，過點(diǎn)G作GT⊥AD于點(diǎn)T．設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)．∵＝，∴可以假設(shè)BF＝2k，CG＝3k．∵AE＝DE＝y(tǒng)，由翻折的性質(zhì)可知EA＝EA′＝y(tǒng)，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG＝y(tǒng)﹣5k，∴GA′＝y(tǒng)﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，∵C，A′，B′共線，GA′∥FB′，∴＝，∴＝，∴y2﹣12ky+32k2＝0，∴y＝8k或y＝4k（舍去），∴AE＝DE＝4k，∵四邊形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k，∴ET＝k，∵EG＝8k﹣5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝＝2k，∴＝＝2．解法二：不妨設(shè)BF＝2，CG＝3，連接CE，則Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4則A'B'＝2，故選：A．21．（2022?麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．2【分析】過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【解析】過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線于E，則＝，即＝2，解得：BC＝，故選：C．22．（2022?重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF的周長之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【分析】根據(jù)兩三角形位似，周長比等于相似比即可求解．【解析】∵△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且相似比為1：2，∴△ABC與△DEF的周長之比是1：2，故選：A．23．（2022?重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：3．若△ABC的周長為4，則△DEF的周長是（）A．4 B．6 C．9 D．16【分析】根據(jù)位似圖形是相似圖形，相似三角形的周長比等于相似比，可以求得△DEF的周長．【解析】∵△ABC與△DEF位似，相似比為2：3．∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周長為4，∴△DEF的周長是6，故選：B．24．（2022?遂寧）如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點(diǎn)B，連接EC、GA，交于點(diǎn)O，GA與BC交于點(diǎn)P，連接OD、OB，則下列結(jié)論一定正確的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④【分析】由四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，可得△ABG≌△CBE（SAS），即得∠BAG＝∠BCE，即可證明∠POC＝90°，可判斷①正確；取AC的中點(diǎn)K，可得AK＝CK＝OK＝BK，即可得∠BOA＝∠BCA，從而△OBP∽△CAP，判斷②正確，由∠AOC＝∠ADC＝90°，可得A、O、C、D四點(diǎn)共圓，而AD＝CD，故∠AOD＝∠DOC＝45°，判斷④正確，不能證明OB平分∠CBG，即可得答案．【解析】∵四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正確；取AC的中點(diǎn)K，如圖：在Rt△AOC中，K為斜邊AC上的中點(diǎn)，∴AK＝CK＝OK，在Rt△ABC中，K為斜邊AC上的中點(diǎn)，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C四點(diǎn)共圓，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正確，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D四點(diǎn)共圓，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正確，由已知不能證明OB平分∠CBG，故③錯(cuò)誤，故正確的有：①②④，故選：D．二．填空題（共17小題）25．（2022?宜賓）如圖，△ABC中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，則EF＝．【分析】由∠1＝∠2，∠A＝∠A，得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的性質(zhì)即可得出EF的長度．【解析】∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，∴，∴EF＝，故答案為：．26．（2022?邵陽）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一），使△ADE∽△ABC．【分析】要使兩三角形相似，已知一組角相等，則再添加一組角或公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可．【解析】∵∠A＝∠A，∴當(dāng)∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝時(shí)，△ADE∽△ABC，故答案為：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．27．（2022?河北）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長為1個(gè)單位長的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)A，B的連線與釘點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)E，則（1）AB與CD是否垂直？是（填“是”或“否”）；（2）AE＝．【分析】（1）證明△ACM≌△CFD，得出∠CAM＝∠FCD，由∠CAM+∠CMA＝90°，得出∠FCD+∠CMA＝90°，進(jìn)而得出∠CEM＝90°，即可得出AB⊥CD；（2）先利用勾股定理求出AB＝2，再證明△ACE∽△BDE，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AE的長度．【解析】如圖1，在△ACM和△CFD中，，∴△ACM≌△CFD（SAS），∴∠CAM＝∠FCD，∵∠CAM+∠CMA＝90°，∴∠FCD+∠CMA＝90°，∴∠CEM＝90°，∴AB⊥CD，故答案為：是；（2）如圖2，在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，∵AC∥BD，∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE∽△BDE，∴，∴，∴AE＝，故答案為：．28．（2022?陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分別是邊AD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分別為E、F，則ME+NF的值為．【分析】連接AC交BD于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，根據(jù)勾股定理求出OA，證明△DEM∽△DOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，用含AM的代數(shù)式表示ME、NF，計(jì)算即可．【解析】連接AC交BD于O，∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，由勾股定理得：OA＝＝＝，∵M(jìn)E⊥BD，AO⊥BD，∴ME∥AO，∴△DEM∽△DOA，∴＝，即＝，解得：ME＝，同理可得：NF＝，∴ME+NF＝，故答案為：．29．（2022?新疆）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，點(diǎn)F在邊AB上，以點(diǎn)D為中心，將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△DAF恰好完全重合，連接EF交DC于點(diǎn)P，連接AC交EF于點(diǎn)Q，連接BQ，若AQ?DP＝3，則BQ＝．【分析】通過證明△BAQ∽△PFD，可得，即可求解．【解析】如圖，連接DQ，∵將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△DAF恰好完全重合，∴DE＝DF，∠FDE＝90°，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)Q，點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，∴DF＝DQ，∵AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝45°，AQ＝AQ，∴△ABQ≌△ADQ（SAS），∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠FDC＝∠AQB，又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，∴△BAQ∽△PFD，∴，∴AQ?DP＝3＝BQ?DF，∴3＝BQ?BQ，∴BQ＝，故答案為：．30．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為．【分析】根據(jù)正切的定義求出AB，證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【解析】由題意得，DE＝1，BC＝3，在Rt△ABC中，∠A＝60°，則AB＝＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BD＝，故答案為：．31．（2022?陜西）在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點(diǎn)，即BE2＝AE?AB．已知AB為2米，則線段BE的長為﹣1+米．【分析】根據(jù)BE2＝AE?AB，建立方程求解即可．【解析】∵BE2＝AE?AB，設(shè)BE＝x，則AE＝（2﹣x），∵AB＝2，∴x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），∴線段BE的長為（﹣1+）米．故答案為：﹣1+．32．（2022?杭州）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時(shí)刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，則AB＝9.88m．【分析】根據(jù)平行投影得AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，證明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】∵同一時(shí)刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，∴，即，解得AB＝9.88，∴旗桿的高度為9.88m．故答案為：9.88．33．（2022?婁底）如圖，已知等腰△ABC的頂角∠BAC的大小為θ，點(diǎn)D為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），將AD繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)點(diǎn)D落在D′處，連接BD′．給出下列結(jié)論：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③當(dāng)BD＝CD時(shí)，△ADD′的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有①②③（填結(jié)論對(duì)應(yīng)的應(yīng)號(hào)）．【分析】由題意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，即可根據(jù)SAS判斷△ACD≌△ABD′；根據(jù)∠BAC＝∠D′AD＝θ，＝，即可判斷△ACB∽△ADD′；由△ACB∽△ADD′，得出＝（）2，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，當(dāng)BD＝CD，則AD⊥BC時(shí)，AD最小，△ADD′的面積取得最小值．【解析】由題意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正確；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正確；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，△ADD′的面積取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴當(dāng)BD＝CD時(shí)，△ADD′的面積取得最小值，故③正確；故答案為：①②③．34．（2022?婁底）九年級(jí)融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實(shí)物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈0.618DE．（精確到0.001）【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得＝≈0.618，再根據(jù)題意可得EG＝AE，即可解答．【解析】∵點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，且DE≈0.618AD，∴＝≈0.618，由題意得：EG＝AE，∴≈0.618，∴EG≈0.618DE，故答案為：0.618．35．（2022?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，＝．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為v1，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為v2，且v1＜v2．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MA′B′N．若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好與CD的中點(diǎn)重合，則的值為．【分析】如圖，設(shè)AD交AB′于點(diǎn)Q．設(shè)BN＝NB′＝x．利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性質(zhì)求出AM（用k表示），可得結(jié)論．【解析】如圖，設(shè)AD交AB′于點(diǎn)Q．設(shè)BN＝NB′＝x．∵＝，∴可以假設(shè)AB＝2k，CB＝3k，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，∴（3k﹣x）2+k2＝x2，∴x＝k，∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，由翻折的性質(zhì)可知∠A′B′N＝∠B＝90°，∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，∴∠DB′Q＝∠CNB′，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DB′Q∽△CNB′，∴DQ：DB′：QB′＝CB′：CN：NB′＝3：4：5，∵DB′＝k，∴DQ＝k，∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，∴△DQB′∽△A′QM，∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，設(shè)AM＝MA′＝y(tǒng)，則MQ＝y(tǒng)，∵DQ+QM+AM＝3k，∴k+y+y＝3k，∴y＝k，∴＝＝＝，故答案為：．36．（2022?湖州）如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，＝．若DE＝2，則BC的長是6．【分析】由平行線的旋轉(zhuǎn)得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的旋轉(zhuǎn)得出，代入計(jì)算即可求出BC的長度．【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∵＝，DE＝2，∴，∴BC＝6，故答案為：6．37．（2022?武威）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于點(diǎn)G，若G是EF的中點(diǎn)，則BG的長為cm．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，從而可得∠ABD＝∠BDC，然后利用直角三角形斜邊上的中線可得EG＝BG，從而可得∠BEG＝∠ABD，進(jìn)而可得∠BEG＝∠BDC，再證明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性質(zhì)可求出BF的長，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的長，即可解答．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），∵G是EF的中點(diǎn)，∴EG＝BG＝EF，∴∠BEG＝∠ABD，∴∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴＝，∴＝，∴BF＝6，∴EF＝＝＝2（cm），∴BG＝EF＝（cm），故答案為：．38．（2022?溫州）如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA，OB，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線段CD，測得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2：3，則點(diǎn)O，M之間的距離等于10米．轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，葉片外端離地面的最大高度等于（10+）米．【分析】解法一：作平行線OP，根據(jù)平行線分線段成比例定理可知PC＝PD，由EF與影子FG的比為2：3，可得OM的長，同法由等角的正弦可得OB的長，從而得結(jié)論；解法二：作輔助線，構(gòu)建直角△CND，證明△HMC∽△EFG，根據(jù)垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2：3，列比例式可得HM的長，由三角函數(shù)的定義可得CN的長，從而得OA＝OB＝，由此可解答．【解析】解法一：如圖，過點(diǎn)O作OP∥BD，交MG于P，過P作PN⊥BD于N，則OB＝PN，∵AC∥BD，∴AC∥OP∥BD，∴＝，∠EGF＝∠OPM，∵OA＝OB，∴CP＝PD＝CD＝6.5，∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，tan∠EGF＝tan∠OPM，∴＝＝，∴OM＝×15＝10；∵DB∥EG，∴∠EGF＝∠NDP，∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，∴OB＝PN＝，以點(diǎn)O為圓心，OA的長為半徑作圓，當(dāng)OB與OM共線時(shí)，葉片外端離地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．解法二：如圖，設(shè)AC與OM交于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CN⊥BD于N，∵HC∥EG，∴∠HCM＝∠EGF，∵∠CMH＝∠EFG＝90°，∴△HMC∽△EFG，∴＝＝，即＝，∴HM＝，∵BD∥EG，∴∠BDC＝∠EGF，∴tan∠BDC＝tan∠EGF，∴＝＝，設(shè)CN＝2x，DN＝3x，則CD＝x，∴x＝13，∴x＝，∴AB＝CN＝2，∴OA＝OB＝AB＝，在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，∴sin∠AHO＝＝，∴＝，∴OH＝，∴OM＝OH+HM＝+＝10，以點(diǎn)O為圓心，OA的長為半徑作圓，當(dāng)OB與OM共線時(shí)，葉片外端離地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．故答案為：10，（10+）．39．（2022?紹興）如圖，AB＝10，點(diǎn)C是射線BQ上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC，作CD⊥AC，CD＝AC，動(dòng)點(diǎn)E在AB延長線上，tan∠QBE＝3，連結(jié)CE，DE，當(dāng)CE＝DE，CE⊥DE時(shí)，BE的長是．【分析】如圖，過點(diǎn)C作CT⊥AE于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作DJ⊥CT交CT的延長線于點(diǎn)J，連接EJ．由tan∠CBT＝3＝，可以假設(shè)BT＝k，CT＝3k，證明△ATC≌△CJD（AAS），推出DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，再利用勾股定理，構(gòu)建方程求解即可．【解析】如圖，過點(diǎn)C作CT⊥AE于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作DJ⊥CT交CT的延長線于點(diǎn)J，連接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假設(shè)BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四點(diǎn)共圓，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[?]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5和，∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或，故答案為：5或．40．（2022?達(dá)州）人們把≈0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．a(chǎn)＝，b＝，記S1＝+，S2＝+，…，S100＝+，則S1+S2+…+S100＝5050．【分析】利用分式的加減法則分別可求S1＝1，S2＝2，S100＝100，…，利用規(guī)律求解即可．【解析】∵a＝，b＝，∴ab＝×＝1，∵S1＝+＝＝1，S2＝+＝＝2，…，S100＝+＝＝100，∴S1+S2+…+S100＝1+2+…+100＝5050，故答案為：5050．41．（2022?成都）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA：AD＝2：3，則△ABC與△DEF的周長比是2：5．【分析】先根據(jù)位似的性質(zhì)得到△ABC和△DEF的位似比為OA：OD，再利用比例性質(zhì)得到OA：OD＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性質(zhì)求解．【解析】∵△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．∴△ABC和△DEF的位似比為OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC與△DEF的周長比是2：5．故答案為：2：5．三．解答題（共9小題）42．（2022?宜賓）如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的延長線上一點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作AB的垂線交AC于點(diǎn)G，交DC的延長線于點(diǎn)E，且EG＝EC．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，BD＝4，sin∠D＝，求EC的長．【分析】（1）要證明DE是⊙O的切線，只要證明OC⊥CD即可，根據(jù)題目中的條件和等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，可以得到∠OCD＝90°，從而可以證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)和題目中的數(shù)據(jù)，可以求得DE和CD的長，從而可以得到EC的長．【解答】（1）證明：連接OC，如圖所示，∵EF⊥AB，AB為⊙O的切線，∴∠GFA＝90°，∠ACB＝90°，∴∠A+∠AGF＝90°，∠A+∠ABC＝90°，∴∠AGF＝∠ABC，∵EG＝EC，OC＝OB，∴∠EGC＝∠ECG，∠ABC＝∠BCO，又∵∠AGF＝∠EGC，∴∠ECG＝∠BCO，∵∠BCO+∠ACO＝90°，∴∠ECG+∠ACO＝90°，∴∠ECO＝90°，∴DE是⊙O的切線；（2）解：由（1）知，DE是⊙O的切線，∴∠OCD＝90°，∵BD＝4，sin∠D＝，OC＝OB，∴＝，即＝，解得OC＝2，∴OD＝6，∴DC＝＝＝4，∵點(diǎn)E為OA的中點(diǎn)，OA＝OC，∴OF＝1，∴DF＝7，∵∠EFD＝∠OCD，∠EDF＝∠ODC，∴△EFD∽△OCD，∴，即，解得DE＝，∴EC＝ED﹣DC＝﹣4＝，即EC的長是．43．（2022?常德）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于B，E是OA上的一點(diǎn)，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，連接AC交ED于F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的長．【分析】（1）連接OD，證明△BOC≌△DOC根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ODC＝∠OBC＝90°，根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，根據(jù)勾股定理求出ED，根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求出BC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF．【解答】（1）證明：連接OD，∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠OAD，∴∠BOC＝∠DOC，在△BOC和△DOC中，，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∵OD為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，∵ED∥BC，∴∠OED＝180°﹣∠ABC＝90°，則四邊形EBHD為矩形，∴BH＝ED，DH＝BE＝7，∵AB＝8，AE＝1，∴OE＝3，∴ED＝＝＝，∵CB、CD是⊙O的切線∴CB＝CD，設(shè)CB＝CD＝x，則CH＝x﹣，在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2，即72+（x﹣）2＝x2，解得：x＝4，即BC＝4，∵ED∥BC，∴＝，即＝，解得：EF＝．44．（2022?廣元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OD，CD，根據(jù)已知可得∠ACD+∠DCB＝90°，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠OCD＝∠ODC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠CDB＝90°，從而利用直角三角形斜邊上的中線可得DE＝CE，進(jìn)而可得∠DCE＝∠CDE，然后可得∠ODC+∠CDE＝90°，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可證△ACB∽△ADC，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出AC的長，即可解答．【解答】（1）證明：連接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴DE＝CE＝BC，∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD?AB＝4×13＝52，∴AC＝2，∴⊙O的半徑為．45．（2022?常德）在四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AF交BC于F，延長AB到E使BE＝FC，G是AF的中點(diǎn)，GE交BC于O，連接GD．（1）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，如圖1，求證：①GE＝GD；②BO?GD＝GO?FC．（2）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，如圖2，（1）中的結(jié)論都成立．請(qǐng)給出結(jié)論②的證明．【分析】（1）連接CG，過點(diǎn)G作GJ⊥CD于點(diǎn)J．證明△EAG≌△DAG（SAS），可得EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再證明△OBE∽△OGC，推出＝，可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)D作DT⊥BC于點(diǎn)T，連接GT．證明△EAG≌△DAG（SAS），推出EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再證明△OBE∽△OGT，推出＝，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：連接CG，過點(diǎn)G作GJ⊥CD于點(diǎn)J．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∴∠AFB＝∠BAF＝45°，∴BA＝BF，∵BE＝CF，∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，∵AG＝AG，∴△EAG≌△DAG（SAS），∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，∵AD∥FC，AG＝GF，∴DJ＝JC，∵GJ⊥CD，∴GD＝GC，∴∠GDC＝∠GCD，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG＝∠GCO，∴∠OEB＝∠OCG，∵∠BOE＝∠GOC，∴△OBE∽△OGC，∴＝，∵GC＝GD，BE＝CF，∴BO?GD＝GO?FC；（2）解：過點(diǎn)D作DT⊥BC于點(diǎn)T，連接GT．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAG＝∠BAF，∴BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，∵AG＝AG，∴△EAG≌△DAG（SAS），∴∠AEG＝∠ADG，∵AD∥FT，AG＝GF，∴DJ＝JT，∵GJ⊥DT，∴GD＝GT，∴∠GDT＝∠GTD，∵∠ADT＝∠BTD＝90°，∴∠ADG＝∠GTO，∴∠OEB＝∠OTG，∵∠BOE＝∠GOT，∴△OBE∽△OGT，∴＝，∵GC＝GD，BE＝CF，∴BO?GD＝GO?FC．46．（2022?孝感）問題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．嘗試證明：（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明：＝；應(yīng)用拓展：（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的長（用含m，α的式子表示）．【分析】（1）證明△CED∽△BAD，由相似三角形的性質(zhì)得出，證出CE＝CA，則可得出結(jié)論；（2）①由折疊的性質(zhì)可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，由勾股定理求出BC＝，則可求出答案；②由折疊的性質(zhì)得出∠C＝∠AED＝α，則tan∠C＝tanα＝，方法同①可求出CD＝，則可得出答案．【解答】（1）證明：∵CE∥AB，∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，∴△CED∽△BAD，∴，∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，∴∠E＝∠CAD，∴CE＝CA，∴．（2）解：①∵將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處，∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，又∵AC＝1，AB＝2，∴，∴BD＝2CD，∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝，∴BD+CD＝，∴3CD＝，∴CD＝；∴DE＝；②∵將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處，∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，∴tan∠C＝tanα＝，由（1）可知，，∴tanα＝，∴BD＝CD?tanα，又∵BC＝BD+CD＝m，∴CD?tanα+CD＝m，∴CD＝，∴DE＝．47．（2022?泰安）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點(diǎn)O，BE與AC相交于點(diǎn)F．（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長度．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義，求得∠3＝∠6，從而求證BF⊥AC；（2）根據(jù)相似三角形的判定進(jìn)行分析判斷；（3）利用相似三角形的性質(zhì)分析求解．【解答】（1）證明：如圖，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6+∠5＝90°，∴BF⊥AC；（2）解：與△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，△EBC，理由如下：由（1）可得∠1＝∠4，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠BFC＝90°，∴△ABF∽△BOF，∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△BOF，∵∠1＝∠6，∠CFB＝∠BCD＝90°，∴△EBC∽△OBF；（3）解：∵△ECF∽△BOF，∴，∴，即3CF＝2BF，∴3OA＝2BF+9①，∵△ABF∽△BOF，∴，∴BF2＝OF?AF，∴BF2＝3（OA+3）②，聯(lián)立①②，可得BF＝1±（負(fù)值舍去），∴DE＝BE＝2+1+＝3+．48．（2022?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．（1）若AB＝8，求線段AD的長．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【分析】（1）證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列式，可解答；（2）根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可得△ABC的面積是16，同理可得△EFC的面積＝9，根據(jù)面積差可得答案．【解析】（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面積為1，∴△ABC的面積是16，∵四邊形BFED是平行四邊形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面積＝9，∴平行四邊形BFED的面積＝16﹣9﹣1＝6．49．（2022?江西）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當(dāng)AB＝6，AC＝4時(shí)，求AE的長．【分析】（1）根據(jù)兩角相等可得兩三角形相似；（2）根據(jù)（1）中的相似列比例式可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．50．（2022?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于點(diǎn)G，求證：DG＝EG．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在