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文檔簡(jiǎn)介
2024屆山東省聊城市高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.函數(shù)圖象的大致形狀是()A. B.C. D.3.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為()A. B. C. D.4.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,則雙曲線的離心率為()A. B. C.3 D.45.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-56.如圖,四邊形為平行四邊形,為中點(diǎn),為的三等分點(diǎn)(靠近)若,則的值為()A. B. C. D.7.如圖所示,三國時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),取),則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.1088.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.9.2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中,甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉).若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88,則()A.170 B.10 C.172 D.1210.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.3311.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為,,,分別是棱,,的中點(diǎn),給出下列四個(gè)命題:①;②直線與直線所成角為;③過,,三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中,正確命題的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在一塊土地上種植某種農(nóng)作物,連續(xù)5年的產(chǎn)量(單位:噸)分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是______噸.14.展開式中項(xiàng)的系數(shù)是__________15.已知函數(shù)()在區(qū)間上的值小于0恒成立,則的取值范圍是________.16.已知實(shí)數(shù),滿足,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)證明:18.(12分)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn).(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,,求的值.20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.21.(12分)如圖,在三棱錐中,,,側(cè)面為等邊三角形,側(cè)棱.(1)求證:平面平面;(2)求三棱錐外接球的體積.22.(10分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明;(Ⅱ)已知點(diǎn),點(diǎn),設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為,求出,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
判斷函數(shù)的奇偶性,可排除A、C,再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小,即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)椋?,所以函?shù)是奇函數(shù),可排除A、C;又當(dāng),,可排除D;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像,屬于中檔題.3、B【解析】
根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等,求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后求和即可.【詳解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、A【解析】
根據(jù)題意,由拋物線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo),由此可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),由雙曲線的幾何性質(zhì)可得,解可得,由離心率公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,拋物線的焦點(diǎn)為,則雙曲線的焦點(diǎn)也為,即,則有,解可得,雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是求出拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5、C【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.6、D【解析】
使用不同方法用表示出,結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出.【詳解】解:,又解得,所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為,
則小正方形的邊長(zhǎng)為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.8、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.9、D【解析】
中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從小(大)到大(?。┡帕泻螅幵谧钪虚g的那個(gè)數(shù),平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)為,故;乙的平均數(shù)為,解得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí),是一道容易題.10、C【解析】
依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí),,n=2時(shí),,n=3時(shí),,n=4時(shí),,n=5時(shí),.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11、B【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.12、C【解析】
畫出幾何體的圖形,然后轉(zhuǎn)化判斷四個(gè)命題的真假即可.【詳解】如圖;連接相關(guān)點(diǎn)的線段,為的中點(diǎn),連接,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),可知,,可知平面,即可證明,所以①正確;直線與直線所成角就是直線與直線所成角為;正確;過,,三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形;如圖:是五邊形.所以③不正確;如圖:三棱錐的體積為:由條件易知F是GM中點(diǎn),所以,而,.所以三棱錐的體積為,④正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用,涉及空間幾何體的體積,直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用,平面的基本性質(zhì),是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、10【解析】
根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算即得.【詳解】由題得,.故答案為:10【點(diǎn)睛】本題考查求平均數(shù),是基礎(chǔ)題.14、-20【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,再分情況考慮即可求解.【詳解】解:展開式中項(xiàng)的系數(shù):二項(xiàng)式由通項(xiàng)公式當(dāng)時(shí),項(xiàng)的系數(shù)是,當(dāng)時(shí),項(xiàng)的系數(shù)是,故的系數(shù)為;故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,注意分情況考慮,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
首先根據(jù)的取值范圍,求得的取值范圍,由此求得函數(shù)的值域,結(jié)合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組,解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于,所以,由于區(qū)間上的值小于0恒成立,所以().所以,由于,所以,由于,所以令得.所以的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法,考查三角函數(shù)值恒小于零的問題的求解,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.16、-1【解析】
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識(shí),通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出實(shí)數(shù)x,y滿足對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直線yx,由圖象可知當(dāng)直線yx經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線yx的縱截距最小,此時(shí)z最?。桑肁(﹣1,﹣1),此時(shí)z的最小值為z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案為﹣1.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,是基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)最小值為;(Ⅱ)見解析【解析】
(1)根據(jù)題意構(gòu)造平均值不等式,結(jié)合均值不等式可得結(jié)果;(2)利用分析法證明,結(jié)合常用不等式和均值不等式即可證明.【詳解】(Ⅰ)則當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),所以的最小值為.(Ⅱ)要證明:,只需證:,即證明:,由,也即證明:.因?yàn)?,所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí),有,即,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式,分析法證明不等式,審清題意,仔細(xì)計(jì)算,屬中檔題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)由拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時(shí),最小;(2)設(shè)點(diǎn),,分別代入拋物線方程和得到三個(gè)方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解:(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,,根據(jù)拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時(shí),最小,最小值為,即為4.(2)由題意,設(shè)點(diǎn),,其中,.則,①,②因?yàn)?,,,所?③由①②③,得,由,且,得,解不等式,得點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題,考查運(yùn)算能力,此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等,易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)解.19、(1),;(2)2.【解析】
(1)由得,求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線的普通方程;(2)將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,韋達(dá)定理得,點(diǎn)在直線上,則,即可求出的值.【詳解】(1)由可得,即,即,曲線的直角坐標(biāo)方程為,由直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去得,即直線的普通方程為.(Ⅱ)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,整理得,直線與曲線交于兩點(diǎn),,即.設(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,由韋達(dá)定理可得,.點(diǎn)在直線上,,.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用,屬于中檔題.20、(Ⅰ)當(dāng)時(shí),<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),>0,單調(diào)遞增;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).【解析】試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.第(Ⅰ)問,對(duì)求導(dǎo),再對(duì)a進(jìn)行討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;第(Ⅱ)問,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而證明結(jié)論,第(Ⅲ)問,構(gòu)造函數(shù)=(),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求解a的值.試題解析:(Ⅰ)<0,在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當(dāng)時(shí),<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),>0,單調(diào)遞增.(Ⅱ)令=,則=.當(dāng)時(shí),>0,所以,從而=>0.(Ⅲ)由(Ⅱ),當(dāng)時(shí),>0.當(dāng),時(shí),=.故當(dāng)>在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí),必有.當(dāng)時(shí),>1.由(Ⅰ)有,而,所以此時(shí)>在區(qū)間內(nèi)不恒成立.當(dāng)時(shí),令=().當(dāng)時(shí),=.因此,在區(qū)間單調(diào)遞增.又因?yàn)?0,所以當(dāng)時(shí),=>0,即>恒成立.綜上,.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.求函數(shù)的單調(diào)性,基本方法是求,解方程,再通過的正負(fù)確定的單調(diào)性;要證明不等式,一般證明的最小值大于0,為此要研究函數(shù)的單調(diào)性.本題中注意由于函數(shù)的極小值沒法確定,因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍.比較新穎,學(xué)生不易想到,有一定的難度.21、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出,利用勾股定理得出,由線面垂直的判定定理可證得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先確定三棱錐的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半徑,再由球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,因?yàn)?,所?又,所以,又由已知,,則,所以,.又為正三角形,且,所以,因?yàn)椋?,,,平面,又平面,平面平面;?)由于是底面直角三角形的斜邊的中點(diǎn),所以點(diǎn)是的外心,由(1)知平面,所以三棱錐的外接球的球心在上.在中,的垂直平分線與的交點(diǎn)即為球心,記的中點(diǎn)為點(diǎn),則.由與相似可得,所以.所以三棱錐外接球的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,同時(shí)也考查了三棱錐外接球體積的計(jì)算,找出外接球球心
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