高三一輪總復習理科數(shù)學課時跟蹤檢測95古典概型與幾何概型

[課時跟蹤檢測]1．(2017屆開封模擬)一個質(zhì)地均勻的正四面體玩具的四個面上分別標有1,2,3,4這四個數(shù)字，若連續(xù)兩次拋擲這個玩具，則兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：拋擲兩次該玩具共有16種情況：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，…，(4,4)．其中乘積是偶數(shù)的有12種情況：(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).答案：D2．(2018屆山西省第二次四校聯(lián)考)甲、乙兩人有三個不同的學習小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)解析：∵甲、乙兩人參加學習小組的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個，其中兩人參加同一個小組的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3個，∴兩人參加同一個小組的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：A3．已知正棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，在正棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是()A.eq\f(3,4) B．eq\f(7,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)解析：由題意知，當點P在三棱錐的中截面以下時，滿足VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC，故使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率P＝eq\f(大三棱錐的體積－小三棱錐的體積,大三棱錐的體積)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).答案：B4．在區(qū)間[0,10]內(nèi)隨機取出兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的平方和在區(qū)間[0,10]內(nèi)的概率為()A.eq\f(π,40) B．eq\f(\r(10),10)C．eq\f(1,10) D．eq\f(π,4)解析：所求概率為幾何概型，測度為面積，設這兩個數(shù)為x，y，則0≤x，y≤10，構(gòu)成一個正方形，面積為102，這兩個數(shù)的平方和x2＋y2∈[0,10]在正方形中陰影面積為eq\f(10π,4)，因此所求概率為eq\f(\f(10,4)π,102)＝eq\f(π,40)，故選A.答案：A5．如圖，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC與∠BOC都不小于15°的概率為()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：在eq\x\to(AB)上取C1，C2兩點使∠AOC1＝15°，∠BOC2＝15°，則滿足條件的射線OC落在∠C1OC2內(nèi)部，∠C1OC2＝60°，則所求概率為eq\f(60,90)＝eq\f(2,3).故選D.答案：D6．(2018屆東北四市聯(lián)考)從3雙不同的鞋中任取2只，則取出的2只鞋不能成雙的概率為()A.eq\f(3,5) B．eq\f(8,15)C．eq\f(4,5) D．eq\f(7,15)解析：設這3雙鞋分別為(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，則任取2只鞋的可能為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，共15種情況，其中2只鞋不能成雙的12種情況，故所求概率為P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5)，故選C.答案：C7．如圖，在正方形OABC內(nèi)，陰影部分是由兩曲線y＝eq\r(x)，y＝x2(0≤x≤1)圍成，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：陰影部分面積S＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\f(3,2)－\f(1,3)x3))))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，所以所求概率為P＝eq\f(\f(1,3),1×1)＝eq\f(1,3).故B正確．答案：B8．(2018屆重慶適應性測試)從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個，則所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的概率為_____________________________．解析：依題意，從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個，共有10種不同的取法，其中所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的取法共有1＋3＝4(種)(包含兩種情形：一種情形是所取的3個數(shù)均為偶數(shù)，有1種取法；另一種情形是所取的3個數(shù)中2個是奇數(shù)，另一個是偶數(shù)，有3種取法)，因此所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)9．(2017年江蘇卷)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________．解析：由題意得6＋x－x2≥0，所以(x＋2)(x－3)≤0，所以－2≤x≤3，所以P＝eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)10．在[－1,1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________________________________．解析：由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，即16k2<9，解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4).由幾何概型的概率計算公式可知P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)11．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M(1)求四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率；(2)求M落在三棱柱ABC－A1B1C1解：(1)正方體ABCD－A1B1C1D1中，設M－ABCD的高為h，令eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×h＝eq\f(1,6)，∵S四邊形ABCD＝1，∴h＝eq\f(1,2).若體積小于eq\f(1,6)，則h<eq\f(1,2)，即點M在正方體的下半部分，∴P＝eq\f(\f(1,2)V正方體,V正方體)＝eq\f(1,2).(2)∵V三棱柱＝eq\f(1,2)×12×1＝eq\f(1,2)，∴所求概率P1＝eq\f(V三棱柱,V正方體)＝eq\f(1,2).12．移動公司在國慶期間推出4G套餐，對國慶節(jié)當日辦理套餐的客戶進行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元．國慶節(jié)當天參與活動的人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．(1)求從中任取1人獲得優(yōu)惠金額不低于300的概率；(2)若采用分層抽樣的方式從參加活動的客戶中選出6人，再從這6人中隨機選出2人，求這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率．解：(1)設事件A為“從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”，則P(A)＝eq\f(150＋100,50＋150＋100)＝eq\f(5,6).(2)設事件B為“從這6人中選出2人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的有1人，獲得優(yōu)惠500元的有3人，獲得優(yōu)惠300元的有2人，分別記為a1，b1，b2，b3，c1，c2，從中選出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2則P(B)＝eq\f(4,15).[能力提升]1．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB的中點，一只蝴蝶在幾何體ADF－BCE內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體F－AMCD內(nèi)的概率為()A.eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：由題圖可知VF－AMCD＝eq\f(1,3)×SAMCD×DF＝eq\f(1,4)a3，VADF－BCE＝eq\f(1,2)a3，所以它飛入幾何體F－AMCD內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,4)a3,\f(1,2)a3)＝eq\f(1,2).答案：D2．(2018屆重慶適應性測試)在區(qū)間[1,4]上任取兩個實數(shù)，則所取兩個實數(shù)之和大于3的概率為()A.eq\f(1,18) B．eq\f(9,32)C．eq\f(23,32) D．eq\f(17,18)解析：依題意，記從區(qū)間[1,4]上取出的兩個實數(shù)為x，y，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤4，,1≤y≤4))表示的平面區(qū)域的面積為(4－1)2＝9，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤4，,1≤y≤4，,x＋y>3))表示的平面區(qū)域的面積為(4－1)2－eq\f(1,2)×12＝eq\f(17,2)，因此所求的概率為eq\f(\f(17,2),9)＝eq\f(17,18)，選D.答案：D3．在某項大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率；(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務的概率．解：(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務”為事件EA，那么P(EA)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,40)，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率是eq\f(1,40).(2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務”為事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(4,4),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,10)，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是P(eq\o(E,\s\up16(－)))＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)有兩人同時參加A崗位服務的概率P2＝eq\f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，所以僅有一人參加A崗位服務的概率P1＝1－P2＝eq\f(3,4).4．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b.①記“2≤a＋b≤3”為事件A，求事件A②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個實數(shù)x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依題意共有小球n＋2個，標號為2的小球n個，從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球概率為eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，得n＝2.(2)①從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，(a