工程流體力學(xué)：第二章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2-1跡線、流線和色線§2-2研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法§2-3幾個(gè)基本概念§2-4流體連續(xù)性方程第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)(FluidKinematics)重點(diǎn)：歐拉方法及其流體質(zhì)點(diǎn)的加速度，定常運(yùn)動(dòng)，流線，流管，流量，平均速度，一元不可壓縮運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程(積分形式)，空間不可壓縮運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程(微分形式)難點(diǎn)：流線，歐拉方法下流體質(zhì)點(diǎn)的加速度本章運(yùn)用分析和幾何描述方法來研究流體運(yùn)動(dòng)的主要性質(zhì)，即流體運(yùn)動(dòng)學(xué)，不牽涉力的計(jì)算。第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2-1跡線、流線和色線一、定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)

定常流動(dòng)(SteadyFlow)：空間點(diǎn)上所有流動(dòng)參數(shù)(速度、壓力、密度、溫度等)不隨時(shí)間發(fā)生變化的流動(dòng)。

特點(diǎn)：

否則，為非定常流動(dòng)。UnsteadyFlow

大容器小孔出流短時(shí)間內(nèi)可近似認(rèn)為定常流動(dòng)，管道內(nèi)流動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)為定常流動(dòng)，等等。一瓶水第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-1跡線、流線和色線

非定常流動(dòng)可轉(zhuǎn)化為定常流動(dòng)，與選擇坐標(biāo)系有關(guān)。如船舶在靜止的水中等速直線運(yùn)動(dòng)周圍水的流動(dòng)。如果站在岸上觀察，某點(diǎn)水由靜止運(yùn)動(dòng)靜止，非定常運(yùn)動(dòng)。如果人站在船上觀察，離船等距離的點(diǎn)的流動(dòng)狀態(tài)是保持不變的，為定常流動(dòng)。由于定常流動(dòng)比非定常流動(dòng)簡(jiǎn)單，往往通過轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系使非定常流動(dòng)轉(zhuǎn)化為定常流動(dòng)，如上例。第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-1跡線、流線和色線

二、跡線ParticlePath

跡線：流體質(zhì)點(diǎn)在空間中運(yùn)動(dòng)的軌跡。與Lagrange方法相連。不同的流體質(zhì)點(diǎn)有不同的跡線，不同時(shí)刻經(jīng)過同一空間點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)具有不同的軌跡。對(duì)于定常流動(dòng)，通過同一空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)具有相同的跡線。12t1t2空間點(diǎn)第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-1跡線、流線和色線

拉格朗日法：歐拉法：(t為自變量，x,y,z為t的函數(shù))跡線方程：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-1跡線、流線和色線

三、流線StreamLine

流線：在某一瞬時(shí)，在流場(chǎng)中作這樣一條曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該瞬時(shí)處于該空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向一致。人為所做的曲線。適應(yīng)歐拉方法的特點(diǎn)。在流場(chǎng)撒一些小顆粒（如石松粉、鋁粉、鋸木粉等），流體質(zhì)點(diǎn)帶動(dòng)小顆粒運(yùn)動(dòng)，快拍照，每一顆粒留下一短條線，觀察照片，前后相接的小線段構(gòu)成流線。第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-1跡線、流線和色線

對(duì)于定常流動(dòng)，不同時(shí)刻得到的照片上一簇流線是不變的，即定常流動(dòng)流線形狀、位置不變，且與跡線重合。一般來講，流線不能在流場(chǎng)中相交，除某些速度為0或無窮大點(diǎn)。歐拉法下流線方程：設(shè)為流線上的單位線元，為流線上流體質(zhì)點(diǎn)的速度。第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-1跡線、流線和色線

由流線定義，可得：

整理為：這就是流線的微分方程式。（x,y,z為t的函數(shù)，t為參數(shù)）第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-1跡線、流線和色線

三、色線StreakLine

色線：不同時(shí)刻通過同一空間點(diǎn)的所有流體質(zhì)點(diǎn)的連線。又稱條紋線、染色線、煙線或脈線。思考：

現(xiàn)從t=0時(shí)刻起，不停地從空間點(diǎn)P向外噴煙。開始吹x方向的風(fēng)，當(dāng)煙在t=t1時(shí)刻到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，改吹y方向的風(fēng)，煙在t=t2時(shí)刻到達(dá)RT線。問：1.到t=t2時(shí)刻，t=0時(shí)刻的流體質(zhì)點(diǎn)的跡線？2.t=t1時(shí)刻流場(chǎng)中的流線、色線是否存在？是哪條線3.t=t2時(shí)刻流場(chǎng)中的流線、色線是否存在？是哪條線第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-1跡線、流線和色線

1.PQT2.流線、色線：PQ3.流線：PR、色線：PRT第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-1跡線、流線和色線§2-2研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法一、拉格朗日(Lagrange)法(質(zhì)點(diǎn)法)

拉格朗日法跟蹤流體質(zhì)點(diǎn)，研究流體質(zhì)點(diǎn)本身的運(yùn)動(dòng)情況，即從研究流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)（x,y,z）隨時(shí)間的變化規(guī)律出發(fā)，得到流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，流場(chǎng)中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)清楚了，也就知道了整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-2研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

假設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)隨時(shí)間的變化規(guī)律已知，即：式中(a,b,c)為流體質(zhì)點(diǎn)的初始位置。由此，還可得流體質(zhì)點(diǎn)的速度(vx,vy,vz)和加速度(ax,ay,az)：(a,b,c)一定，某一質(zhì)點(diǎn)的物理量隨時(shí)間的變化；t一定，流場(chǎng)所有質(zhì)點(diǎn)在某一瞬時(shí)的值此方法直觀，但太難，除特別情形，很少被實(shí)際采用。第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-2研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法二、歐拉(Euler)方法歐拉方法不是研究個(gè)別的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而是研究流場(chǎng)中各個(gè)固定的空間點(diǎn)。在固定點(diǎn)(x、y、z)處觀察，從給出通過該空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)(速度、壓力、密度、溫度等)分布隨時(shí)間變化的關(guān)系式出發(fā)，分析流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法。如流場(chǎng)速度分布：

壓力分布：

密度分布：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-2研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

同理：

下面已知流場(chǎng)速度，看看流體質(zhì)點(diǎn)的加速度是如何表示的。流體質(zhì)點(diǎn)加速度是質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化率，在歐拉法下，流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)(x,y,z)也是時(shí)間的函數(shù)，那么加速度的表達(dá)式：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-2研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法寫成矢量形式：

引入微分算子符號(hào)：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-2研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

歐拉加速度由兩部分組成：

局部加速度（當(dāng)?shù)丶铀俣龋谝豁?xiàng)，是由固定點(diǎn)處速度隨時(shí)間發(fā)生變化而引起的。反映流場(chǎng)的不定常性。localacceleration

遷移加速度——后三項(xiàng)，是由速度場(chǎng)空間分布不均勻引起的(質(zhì)點(diǎn)空間位置發(fā)生變化，導(dǎo)致速度發(fā)生變化而引起的)。反映流場(chǎng)的不均勻性。convectiveacceleration思考：

1.定常運(yùn)動(dòng)局部加速度等于多少？

2.均勻流動(dòng)遷移加速度等于多少？第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-2研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

用歐拉法求流體質(zhì)點(diǎn)的其它物理量隨時(shí)間的變化率一般式：隨體導(dǎo)數(shù)Substantialdifferential

當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)

Local遷移導(dǎo)數(shù)Convective

對(duì)于ρ、p等有類似的形式：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-2研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

具體應(yīng)用歐拉法研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，又有兩種處理方法：一種是在流場(chǎng)空間取一微元體(如六面體)，分析流體通過該微元體時(shí)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立流體運(yùn)動(dòng)時(shí)各種微分方程式。因此這種方法叫做微分法。

另一種方法是在流場(chǎng)中取一有限的任意形狀的固定控制體(其邊界封閉曲面稱為控制面)，分析流體通過該控制體時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立流體運(yùn)動(dòng)時(shí)各種整體關(guān)系式(即積分方程式)。這種方法叫控制體法，或稱積分法。

第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-2研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

一、一維流動(dòng)、二維流動(dòng)與三維流動(dòng)

(Onedimensionalflow)

如果在直角坐標(biāo)系oxyz下，流動(dòng)參數(shù)如速度、壓力、密度等只要有一個(gè)是x,y,z三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，稱為三維流動(dòng)；如果所有物理量只是同一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，稱為一維流動(dòng)。類似得出二維流動(dòng)。且維數(shù)越小，問題越簡(jiǎn)單。工程上，在保證一定精度條件下，將三維化為二維，將二維化為一維來近似求解?！?-3幾個(gè)基本概念第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-3幾個(gè)基本概念

如擴(kuò)散管（帶錐度）內(nèi)粘性流動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)速度分布在同一橫截面上沿徑向r發(fā)生變化，且沿x軸方向發(fā)生變化，即，速度是r、x的函數(shù)，為二維問題。xrou

當(dāng)錐度比較小時(shí),工程上，常取橫截面的平均速度代替截面上各點(diǎn)實(shí)際速度，則速度在橫截面上為一常值，僅沿x軸發(fā)生變化，轉(zhuǎn)化為一維問題，。第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-3幾個(gè)基本概念

二、流管、流束、流量

流管：某一時(shí)刻，在流場(chǎng)空間劃一任意封閉曲線，不是流線，過此曲線上每一點(diǎn)作出該時(shí)刻的流線，這些流線組成一個(gè)管狀的表面，即稱流管。StreamTube特點(diǎn)：1．流體不能穿過流管流出流入：因?yàn)榱鞴苡闪骶€組成，流線上流體質(zhì)點(diǎn)速度與流線相切，不可能有法線方向的分速度。2．流管內(nèi)流體流動(dòng)與真實(shí)管子一樣。換句話說，真實(shí)的管道流動(dòng)可用流管來代替。3．定常流動(dòng)，流管的形狀及位置不發(fā)生變化。第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-3幾個(gè)基本概念

微元流管：截面積無限小的流管，其極限為流線。

流束：流管內(nèi)部流體。

緩變流流束：流線平行或接近平行。

微元流束：有效截面無限小的流束。

有效截面：截面上處處流速垂直于截面，或近似垂直截面，稱有效截面?？赡苁乔?。有效截面有效截面第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-3幾個(gè)基本概念

流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過某一斷面的流體量。flux

體積流量Q：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過某一斷面的流體體積。單位：volumeflux

重量（質(zhì)量）流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過某一斷面的流體重量（質(zhì)量）。

通過流管有效截面上的流體體積流量Q：流過dA的體積流量：流過截面的體積流量：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-3幾個(gè)基本概念

通過流管任意截面上的流體體積流量Q：

平均速度：有效截面的體積流量與有效截面面積之比。

總流：管道或渠道內(nèi)流動(dòng)，將其中的流體作為總的流束，為總流。

αα為速度與面法線之間的夾角。

為速度在面法線上的分速度。第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-3幾個(gè)基本概念

§2-4流體連續(xù)性方程(EquationofContinuity)

介紹積分形式和微分形式的連續(xù)性方程,重點(diǎn)掌握一維不可壓縮流動(dòng)積分形式的和三維不可壓縮微分形式的連續(xù)性方程。

連續(xù)性方程式是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的表現(xiàn)形式。質(zhì)量守恒定律：質(zhì)量既不能產(chǎn)生也不能消失。第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

一、一維流動(dòng)的連續(xù)性方程在流場(chǎng)中取一流管表面及其兩有效截面所圍的體積(控制體)作為研究對(duì)象，分析控制體體內(nèi)流體質(zhì)量的變化規(guī)律。如圖所示。

定常流動(dòng)，所有物理量不隨時(shí)間發(fā)生變化，則體積內(nèi)流體的質(zhì)量也不變化，說明從1截面流入的質(zhì)量等于從2截面流出的，即：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

流過有效截面的質(zhì)量流量相等。有多個(gè)出入口:

(onedimensionalflow)第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

不可壓縮流動(dòng)，，控制體的體積不發(fā)生變化，則控制體內(nèi)流體的質(zhì)量同樣不變化，說明從1截面流入的質(zhì)量仍等于從2截面流出的，即：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程流過有效截面的體積流量等。

不可壓一維管流，管徑越大，流速越小，管徑越細(xì)，流速越大。達(dá)芬奇

有多個(gè)出入口:

第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

二、三維流動(dòng)的微分形式連續(xù)性方程

在流場(chǎng)中取一微六面體(控制體)作為研究對(duì)象，邊長(zhǎng)分別為

、、

，密度為ρ，分析控制體體內(nèi)流體質(zhì)量的變化規(guī)律。如圖所示。流入的質(zhì)量-流出的質(zhì)量=控制體質(zhì)量的增加第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

下面分析控制體的質(zhì)量變化。

設(shè)六面體頂點(diǎn)A(xA,yA,zA)的速度為：流入面:流出面:第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

在dt時(shí)間內(nèi)流入控制體的質(zhì)量：

在dt時(shí)間內(nèi)流出控制體的質(zhì)量：流入的質(zhì)量-流出的質(zhì)量=控制體質(zhì)量的增加流入–流出體積第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

控制體內(nèi)質(zhì)量的增加

：流入–流出那么，代入質(zhì)量守恒，有：體積不變，密度增加第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

將上式化簡(jiǎn)為：這就是空間三維流動(dòng)微分形式的連續(xù)性方程。

矢量形式為：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

定常流動(dòng)：不可壓縮流體：矢量形式為：矢量形式為：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程例1.已知流場(chǎng)的速度分布為：試求：⑴，位于流體質(zhì)點(diǎn)的跡線；⑵，位于流體質(zhì)點(diǎn)的跡線；⑶，過點(diǎn)的流線；⑷，過點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)加速度。舉例：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

解：⑴跡線微分方程：此非齊次常系數(shù)線性微分方程組的通解為：將已知條件代入上式得：第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

所以待求跡線方程為：消去t得：過點(diǎn)(-1,-1)的直線第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)§2-4流體連續(xù)性方程

⑵將代入所以待求跡線方程為：得：

⑶流線微分方程為：積分，得：整理為：將已知條件代入上式得：則待求流線方程