集合間的基本關(guān)系 高一數(shù)學(xué)

1.2集合間的基本關(guān)系自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、子集和真子集的含義1.給出下面兩個集合:A={0,1,2},B={0,1,2,3}.(1)集合A中的元素都是集合B中的元素嗎?(2)集合B中的元素都是集合A中的元素嗎?(3)集合A,B的關(guān)系能不能用圖直觀形象地表示出來呢?提示:(1)是的.(2)不全是.(3)能,如圖.2.(1)在數(shù)學(xué)中,我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.(2)子集與真子集3.已知集合M={x|x2-1=0},N={-1,0,1},則M與N的關(guān)系是(

)A.M?N B.M<N

C.N<M D.M?N解析:∵集合M={-1,1},∴M?N,故選A.答案:A二、集合相等【問題思考】1.觀察下面幾個例子:①設(shè)C={x|x是長方形},D={x|x是有一個角是直角的平行四邊形};②C={1,5,6},D={6,5,1}.(1)你能發(fā)現(xiàn)兩個集合之間的關(guān)系嗎?(2)與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若a≥b,且b≥a,則a=b”相類比,在集合中,你能得出什么結(jié)論?提示:(1)①,②中集合C,D的元素相同,即集合C的任何一個元素都是集合D的元素,同時集合D的任何一個元素都是集合C的元素.(2)若集合C?D,且D?C,則集合C與集合D相等,記作C=D.2.(1)一般地,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等,記作

A=B.也就是說,若A?B,且B?A,則

A=B.(2)Venn圖表示為:3.已知集合A={x,2},集合B={2,1},若A=B,則x=

.解析:∵A=B,∴集合A,B中的元素相同,∴x=1.答案:1三、空集1.集合A={x|x2-x+1=0}中有多少個元素?提示:0個.2.一般地,我們把不含任何元素的集合,叫做空集,記為?,并規(guī)定:空集是任何集合的子集.3.已知{x|x2-2x+a=0}=?,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.解析:∵{x|x2-2x+a=0}=?,∴方程x2-2x+a=0無解,∴Δ=(-2)2-4a<0,解得a>1.答案:a>1【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)集合{0}是空集.(×)(2)A?B是指集合A是由集合B的部分元素組成的.(×)(3)空集沒有子集.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

集合間關(guān)系的判斷【例1】

判斷下列各題中兩個集合的關(guān)系:(1)A={-1,1},B={(-1,1),(1,-1)};(2)A={x|-3≤x<5},B={x|-1<x<2};(3)A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=2(n+1),n∈Z}.解:(1)集合A的代表元素是數(shù),集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對,故集合A與B無包含關(guān)系.(2)將集合A,B在數(shù)軸上表示出來,如圖所示,由圖可知B?A.

(3)∵n∈Z,∴n+1∈Z,∴B表示偶數(shù)集.∵A也表示偶數(shù)集,∴A=B.反思感悟判斷集合間關(guān)系的常用方法(1)列舉觀察法:當(dāng)集合中的元素較少時,可列舉出集合中的全部元素,通過定義得出集合之間的關(guān)系.(2)元素特征法:先確定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用元素的特征判斷得出集合之間的關(guān)系.(3)數(shù)形結(jié)合法:利用數(shù)軸或Venn圖,其中不等式的解集之間的關(guān)系適合用數(shù)軸法.【變式訓(xùn)練1】

(1)已知集合A={x|(x-3)(x+2)=0},

,則A與B的關(guān)系是(

)A.A?B B.A=B

C.A?B D.B?A(2)已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|x<-2,或x>0},則(

)A.B?A B.A=B

C.A?B D.B?A解析:(1)∵集合A={-2,3},B={3},∴B?A.故選D.(2)將集合A,B在數(shù)軸上表示出來,如圖所示,由圖可知A?B.故選C.答案:(1)D

(2)C探究二

子集的列舉與個數(shù)的計(jì)算【例2】

已知集合M={x∈N|x<2},N={x∈Z|-2<x<2}.(1)寫出集合M的子集、真子集;(2)求集合N的子集數(shù)、真子集數(shù)和非空真子集數(shù);(3)猜想:含n個元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個數(shù)是多少?真子集的個數(shù)及非空真子集的個數(shù)呢?分析:把用描述法表示的集合用列舉法表示出來,從而寫出子集與真子集.解:M={x∈N|x<2}={0,1},N={x∈Z|-2<x<2}={-1,0,1}.(1)M的子集為?,{0},{1},{0,1};其中真子集為?,{0},{1}.(2)N的子集為?,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}.故N的子集數(shù)為8,真子集數(shù)為7,非空真子集數(shù)為6.(3)猜想:含n個元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個數(shù)是2n,真子集的個數(shù)是2n-1,非空真子集的個數(shù)是2n-2.反思感悟求給定集合的子集的三個關(guān)注點(diǎn)(1)注意兩個特殊的集合,即空集和它本身;(2)要依次按照含有一個元素的子集、含有兩個元素的子集、含有三個元素的子集……寫出所有子集;(3)按照如下的結(jié)論驗(yàn)證,集合A={a1,a2,…,an}的子集有2n個,真子集有(2n-1)個,非空子集有(2n-1)個,非空真子集有(2n-2)個.【變式訓(xùn)練2】

若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},則符合條件的集合A的個數(shù)為(

)A.2 B.3

C.4

D.5解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同時集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.答案:B探究三

由集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍【例3】

已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:當(dāng)B=?時,只需2a>a+3,即a>3;當(dāng)B≠?時,將集合A,B在數(shù)軸上表示出來,如圖所示,綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a<-4,或a>2}.1.把集合A換成“A={x|-1<x<4}”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:當(dāng)B=?時,只需2a>a+3,即a>3;當(dāng)B≠?時,根據(jù)題意,在數(shù)軸上表示出集合A,B,如圖所示,可得2.把集合A換成“A={x|-1<x<2}”,集合B不變,當(dāng)A?B時,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:A={x|-1<x<2},B={x|2a≤x≤a+3}.若A?B,在數(shù)軸上表示出集合A,B,如圖,反思感悟1.求解此類問題通常借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法,將各個集合在數(shù)軸上表示出來,以形定數(shù),積累直觀想象的經(jīng)驗(yàn),同時還要注意驗(yàn)證集合的端點(diǎn)值,做到準(zhǔn)確無誤,一般含“=”用實(shí)心圓點(diǎn)表示,不含“=”用空心圓圈表示.2.涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的問題,一定要分A=?和A≠?兩種情況進(jìn)行討論,其中A=?的情況易被忽略,應(yīng)引起足夠的重視.易

錯

辨

析因忽視空集是任何集合的子集致錯【典例】

已知集合M={x|2x2-5x-3=0},N={x|mx=1},若N?M,則實(shí)數(shù)m的取值集合為

.

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