2021-2022學(xué)年吉林省四平市鐵西區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021-2022學(xué)年吉林省四平市鐵西區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

卷

一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）

1.V3tan600的值等于（）

A.—B.返C.3D.?

22

2.下列事件為必然事件的是（）

A.購買二張彩票，一定中獎(jiǎng)

B.打開電視，正在播放極限挑戰(zhàn)

C.拋擲一枚硬幣，正面向上

D.一個(gè)盒子中只裝有7個(gè)紅球，從中摸出一個(gè)球是紅球

3.如圖，△ABC與△OEF是位似圖形，點(diǎn)。為位似中心，已知B。：0￡=2：1,貝IZVIBC

4.如圖，A3是。。的直徑，點(diǎn)C,D為。。上的點(diǎn).若乙0=120。，則/CAB的度數(shù)為

5.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)3在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，NAOB=/B=

30°,OA=2.將AAOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)⑶的坐標(biāo)是（）

y

A.（-3）B.（-3,C.（-2+J§）D.（-1,2+J§）

6.如圖，A是反比例函數(shù)>=上■的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作A5J_y軸于點(diǎn)5,點(diǎn)。在工軸上,

x

且1ABC=2,則％的值為（）

B.-4C.-2

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.點(diǎn)尸（-3,-4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

8.如圖，已知AC〃石尸〃8D.如果AE：EB=2：3,CF=6.那么C。的長(zhǎng)等于

9.關(guān)于X的一元二次方程尤2+2X-（777-2）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為.

10.在一個(gè)不透明的袋子中裝有白色和紅色的球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同.每次攪

拌均勻后，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下球的顏色再放回袋中，通過多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)

現(xiàn)摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則估計(jì)袋子中的紅球的個(gè)數(shù)為.

11.如圖，若反比例函數(shù)V]§與一次函數(shù)交于A、8兩點(diǎn),當(dāng)yi<y2時(shí)，則無

的取值范圍是

BA

12.如圖，小紅把梯子AB斜靠在墻壁上，梯腳8距墻2米，小紅上了兩節(jié)梯子到。點(diǎn),

此時(shí)D點(diǎn)距墻1.8米，BD長(zhǎng)0.6米，則梯子的長(zhǎng)為米.

BC

13.如圖,^.AABC中,是邊上的高,cosC=；4B=10MC=6,則BC的長(zhǎng)為

一12

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-5（x-3）2+m與>=不（］+2）的一個(gè)

乙o

交點(diǎn)為A.已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)8、

AR

C（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)），則要的值為.

三、解答題（每小題5分，共20分）

15.解方程：x2+10x+16=0.

16.已知反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限.

x

（1）求左的取值范圍;

（2）當(dāng)反比例函數(shù)過點(diǎn)A（2,4）,求人的值.

17.已知在△ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=E

(1)求8C；

(2)求sinZA.

18.醫(yī)院準(zhǔn)備從甲、乙、丙三位醫(yī)生和A、B兩名護(hù)士中選取一位醫(yī)生和一名護(hù)士支援某地

的防汛救災(zāi)工作.求：恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的概率.

四、解答題（每小題7分，共28分）

19.如圖，在△ABC中，AB=10,AC=8,點(diǎn)O,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，且AO=4,

ZBDE+ZC=180°,求AE的長(zhǎng).

20.釣魚島是我國固有領(lǐng)土，2021年4月26日，中華人民共和國自然資源部在其官網(wǎng)上公

布《釣魚島及其附屬島嶼地形地貌調(diào)查報(bào)告》，報(bào)告公布了釣魚島及其附屬島嶼的高分

辨率海島地形數(shù)據(jù).如圖所示，點(diǎn)A是島上最西端“西釣角”，點(diǎn)3是島上最東端”東

釣角”，AB長(zhǎng)約3641米，點(diǎn)。是島上的小黃魚島，且A、B、。三點(diǎn)共線.某日中國海

監(jiān)一艘執(zhí)法船巡航到點(diǎn)C處時(shí)，恰好看到正北方的小黃魚島并測(cè)得NACD=70°,

/8CD=45°.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請(qǐng)求出此時(shí)執(zhí)法船距離小黃魚島。的距離CQ的值.（參

考數(shù)據(jù)：tan70°^2.75,sin70°20.94,cos70°—0.34,結(jié)果精確到1米.）

DP7B

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OA8C為矩形，點(diǎn)C、A分別在x軸和y軸的正半

軸上，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn).一次函數(shù)丫=-3x+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)C、D,反比例函數(shù)y=K(x

x

>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)8,求人的值.

22.圖①、圖②、圖③均是3X3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段A2

的端點(diǎn)和點(diǎn)P均在格點(diǎn)上.請(qǐng)按要求完成作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中畫一條以P為端點(diǎn)的射線PC,使其平分線段A2,點(diǎn)C在線段AB上；

(2)在圖②中畫一條以P為端點(diǎn)的射線PD,使其分線段A3為1：3兩部分，點(diǎn)。在線

段AB上；

(3)在圖③中畫一條以P為端點(diǎn)的射線PE,使tan/PEB=l,點(diǎn)E在線段A8上.

五、解答題(每小題8分，共16分)

23.如圖，48為O。的直徑，COJ_A8于點(diǎn)E,交于點(diǎn)。，OPLAC于點(diǎn)RMOF=1.

(1)求的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)/。=30°時(shí)，求圓中介的長(zhǎng)和陰影部分的面積.

24.已知△ABC是等腰三角形，AB^AC,將△ABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,點(diǎn)4、

點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)M、點(diǎn)C，.

感知：如圖①，當(dāng)2C落在邊上時(shí)，NA'AB與NC'CB之間的數(shù)量關(guān)系是(不

需要證明)；

探究：如圖②，當(dāng)BC不落在AB邊上時(shí)，NA'AB與CB是否相等？如果相等,

請(qǐng)證明；如果不相等，請(qǐng)說明理由；

應(yīng)用：如圖③，若NB4C=90°,AA\CC交于點(diǎn)E,則NA'EC=度.

六、解答題(每小題10分，共20分)

25.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=。/+區(qū)+2與無軸分別交于點(diǎn)A(-1,0)、8(3,

0),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC?點(diǎn)P是BC上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作y軸的平行

線，交8C于點(diǎn)N,分別過P、N兩點(diǎn)作無軸的平行線，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)。、M,

設(shè)尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為機(jī).

(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，求四邊形PQMN周長(zhǎng)的最大值.

(3)當(dāng)四邊形尸QWN為正方形時(shí)，求小的值.

26.如圖，在△ABC中，AB=1Q,AC=8,8c=6,點(diǎn)〃是A8中點(diǎn)，連接CO,動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)C出發(fā)沿折線CD-DB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作PE

±AC,垂足為點(diǎn)E,以PE,PD為鄰邊作平行四邊形PDFE.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒).

(1)CD=；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在8。上時(shí)，求PE的長(zhǎng)度；(用含，的代數(shù)式表示)

(3)當(dāng)平行四邊形POPE與△ACD重合部分圖形的面積為S時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)

系式；

(4)當(dāng)點(diǎn)尸落在△ABC的某個(gè)內(nèi)角平分線上時(shí)請(qǐng)直接寫出f的值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）

1.V3tan60°的值等于（）

A.—B.返C.3D.?

22

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)而計(jì)算得出答案.

解：V3tan60°=愿義?

=3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

2.下列事件為必然事件的是（）

A.購買二張彩票，一定中獎(jiǎng)

B.打開電視，正在播放極限挑戰(zhàn)

C.拋擲一枚硬幣，正面向上

D.一個(gè)盒子中只裝有7個(gè)紅球，從中摸出一個(gè)球是紅球

【分析】根據(jù)必然事件、隨機(jī)事件，不可能事件的意義結(jié)合具體的問題情境進(jìn)行判斷即

可.

解：A.購買二張彩票，不一定中獎(jiǎng)，是隨機(jī)事件，因此選項(xiàng)A不符合題意；

8.打開電視，可能播放極限挑戰(zhàn)，也可能播放其它節(jié)目，是隨機(jī)事件，因此選項(xiàng)3不符

合題意；

C.拋擲一枚硬幣，可能正面向上，也可能反面向上，是隨機(jī)事件，因此選項(xiàng)C不符合

題意；

D.一個(gè)盒子中只裝有7個(gè)紅球，沒有其它顏色的球，從中摸出一個(gè)球一定是紅球，是必

然事件，因此選項(xiàng)。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)事件，理解隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的意義是正確判斷

的前提.

3.如圖，△ABC與△■0斯是位似圖形，點(diǎn)。為位似中心，已知2。：0E=2：1,貝必ABC

與△￡)￡/的面積比是()

A.2：B.3：C.4：D.5：

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB//DE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)

算，得到答案.

解：:△ABC與△/)￡1〃位似，

:.△ABCSAFED,AB//ED,

:.△OABs^ODE,

.AB=OB=2

,"DE_OE-，

■也些=(膽)2=4

FDEFDE)

即△ABC與△。跖的面積比是：4：1.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形

的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C,。為OO上的點(diǎn).若/。=120。，則NCAB的度數(shù)為

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出/2=60°,再求出/CA8即可.

解：VZD+ZB=180°,ZD=120°,

.?.ZB=60°,

：A2是直徑，

/.ZACB=90°,

/.CAB=90°-ZB=30°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基

本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

5.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，ZAOB=ZB=

30°,04=2.將△AOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)3的坐標(biāo)是（）

A.（-代，3）B.（-3,?。〤.（-?,2+?）D.（-1,2+日）

【分析】如圖，過點(diǎn)2'作"反上》軸于解直角三角形求出。H,B'H即可.

解：如圖，過點(diǎn)夕作夕軸于H.

小-…山

在RtZvl'B'X中，VA,B'=2,ZB'A'H=60°,

.*.A'H=A'B'cos60°=1,B'H=A'B'sin60°=?,

.?.08=2+1=3,

：.B'（-遮，3）,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添

加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

_.k

6.如圖，A是反比例函數(shù)y=—的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)8,點(diǎn)。在x軸上,

x

且S^ABC=2,則k的值為（)

y

A.4B.-4C.-2D.2

【分析】先設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A在第二象限，則x<0,y>0,然后由三角形面積公

式求出孫即可.

解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x,y），

?.?點(diǎn)A在第二象限，

.*.x<0,y>0,

**?SAABC—OB=-^\x\?\y\=--^xy=2,

??xy--4,

'-'A是反比例函數(shù)y=K的圖象上一點(diǎn)，

x

.'.k—xy--4,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)系k的幾何意義，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積求出孫的值.

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.點(diǎn)尸（-3,-4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,4）.

【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，可以直接得到答案.

解：點(diǎn)尸（-3,-4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,4）,

故答案為：（3,4）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們

的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x,y）關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)是P'（-無，-y）.

8.如圖，己知AC〃￡1/〃80.如果AE：￡8=2：3,CF=6.那么CD的長(zhǎng)等于15.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得A到F黑C=F黑=】?，這樣可求出FD的長(zhǎng)，然后

tbrDo

計(jì)算CF+FD即可.

解：\'AC//EF//BD,

.AE=CF=2_

??瓦―而一百，

33

：.FD==CF=W乂6=9,

22

：.CD=CF+FD=6+9=15.

故答案為15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成

比例.

9.關(guān)于x的一元二次方程X2+2X-(m-2)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為1.

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，方程無2+2X-(機(jī)-2)=0有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根，則有A=0,得到關(guān)于相的方程，解方程即可.

解：???關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)+女-(777-2)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

/.A=0,BP22-4X1X[-(/TV-2)]=0,

解得m=l.

故答案為：L

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根的判別式△=按-4ac：當(dāng)

A>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0,方

程沒有實(shí)數(shù)根.

10.在一個(gè)不透明的袋子中裝有白色和紅色的球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同.每次攪

拌均勻后，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下球的顏色再放回袋中，通過多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)

現(xiàn)摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則估計(jì)袋子中的紅球的個(gè)數(shù)為12.

【分析】根據(jù)口袋中兩種顏色的球20個(gè)，利用白球在總數(shù)中所占比例得出與試驗(yàn)比例應(yīng)

該相等求出即可.

解：?..通過多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，

???從袋子中任意摸出1個(gè)球，是白球的概率約為04,

設(shè)袋子中的紅球有x個(gè)，

根據(jù)題意，得：券;=04，

解得x=12,

估計(jì)袋子中的紅球有12個(gè)，

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率，根據(jù)已知得出白球在總數(shù)中所

占比例與試驗(yàn)比例應(yīng)該相等是解決問題的關(guān)鍵.

11.如圖，若反比例函數(shù)y1上與一次函數(shù)yi^ax+b交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)yiV”時(shí)，則尤

1x

的取值范圍是或無＞2.

【分析】寫出反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象下方的自變量的取值范圍即可.

解：觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍是-1＜尤＜0或x＞2.

故答案為：-1＜尤＜0或天＞2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象法解

決問題，屬于中考常考題型.

12.如圖，小紅把梯子斜靠在墻壁上，梯腳2距墻2米，小紅上了兩節(jié)梯子到。點(diǎn)，

此時(shí)。點(diǎn)距墻1.8米，8。長(zhǎng)0.6米，則梯子的長(zhǎng)為6米.

BC

【分析】根據(jù)梯子、墻、地面三者構(gòu)成的直角三角形與梯子、墻、梯上點(diǎn)。三者構(gòu)成的

直角三角相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可.

解：因?yàn)樘葑用恳粭l踏板均和地面平行，所以構(gòu)成一組相似三角形，

即則理=黑

BCAB

設(shè)梯子長(zhǎng)為x米，則王生旦Wg,

x2

解得，x=6.

即梯子的長(zhǎng)為6米，

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形在測(cè)量高度時(shí)的應(yīng)用，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形,

然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

13.如圖，在△ABC中，是邊上的高，cosC=/,AB=10,AC=6,則BC的長(zhǎng)為

密京—?

【分析】在Rt^ACZ)中，利用cosC=，可求。，利用勾股定理求得AD,在

中，利用勾股定理求得8。，貝U8C=CO+5D,結(jié)論可得.

解：是8C邊上的高，

/.ZADC=90°.

cosC=-1",

2

,CD1

,.而T

.?.CD=-1-AC=-X6=3.

22

?■-A￡>=VAB2-AD2=V62-32=373-

在RtZXAOB中，

BD^AB2-AD2=V100-27=V73-

BC=CZ)+B￡>=3+773.

故答案為：3+,773-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形.選擇合適的直角三角形利用邊角關(guān)系和勾股定

理求出線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

一12

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-不(x-3)2+機(jī)與丁=石(x+2)的一個(gè)

/o

交點(diǎn)為A.已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)A作無軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)8、

C(點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè))，則黑的值為提.

AC~2-

【分析】由兩拋物線的解析式確定出兩拋物線對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性確定出8與C的橫坐

標(biāo)，進(jìn)而求出A8與AC的長(zhǎng)，代入原式計(jì)算即可求出值.

19

解：拋物線y=~—(x-3)2+m與y=—(x+2)2+n的對(duì)稱軸分別為直線1=3與直線x

=_2,

??,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為5,點(diǎn)8橫坐標(biāo)為-5,

：.AC=4,AB=6,

則延=包=3,

AC42

故答案為：!

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題

的關(guān)鍵.

三、解答題(每小題5分，共20分)

15.解方程：N+IOX+16=O.

【分析】先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.

解：x2+10x+16=0,

(x+2)(x+8)=0,

x+2=0,x+8=0,

xi=-2,X2=-8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題

的關(guān)鍵.

k-4

16.已知反比例函數(shù)y的圖象位于第一、三象限.

x

(1)求人的取值范圍；

(2)當(dāng)反比例函數(shù)過點(diǎn)A(2,4),求左的值.

【分析】(1)反比例函數(shù)圖象在一、三象限，可得上-4>0,解得即可.

(2)把點(diǎn)A代入y上查得關(guān)于左的方程，解方程即可.

X

解：(1)由題意，得％-4>0,

解得％>4；

(2)把點(diǎn)A(2,4)代入y汽魚得，42sl生，

解得左=12.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)％>0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支在一，三象限,

在每一分支上y隨x的增大而減小；當(dāng)％<0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支在二，四象限，在每

一分支上y隨x的增大而增大；也考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

17.已知在△ABC中，NC=90°,AB=4,AC=E

(1)求BC；

(2)求sinZA.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理，可以計(jì)算出的長(zhǎng)；

(2)根據(jù)NA=90°,48=4和(1)中求得的BC的長(zhǎng)，即可計(jì)算出sinA的值.

解：⑴VZC=90°,AB=4,AC=J7，

：.BC=yjAB2-AC2=742-(V7)2=3,

即BC=3；

(2)由(1)知：BC=3,

VZA=90°,A2=4,

AB4

3

即sinA=一

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出的值.

18.醫(yī)院準(zhǔn)備從甲、乙、丙三位醫(yī)生和43兩名護(hù)士中選取一位醫(yī)生和一名護(hù)士支援某地

的防汛救災(zāi)工作.求：恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的概率.

【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的結(jié)果有1種,

再由概率公式求解即可.

解：畫樹狀圖如圖:

開始

醫(yī)生甲乙丙

八八八

護(hù)士ABABAB

共有6種等可能的結(jié)果，恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的結(jié)果有1種,

...恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的概率為3.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果”,

再從中選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概

率.

四、解答題（每小題7分，共28分）

19.如圖，在△ABC中，48=10,AC=8,點(diǎn)。，E分別是邊48,AC上的點(diǎn)，且A￡>=4,

ZBDE+ZC=180°,求AE的長(zhǎng).

【分析】先由NBOE+NC=180°得到/ADE=NC,然后得證進(jìn)而利

用相似三角形的性質(zhì)得到AE的長(zhǎng).

解：VZBDE+ZC=180°,ZBDE+ZADE^1SO0,

：.ZC=ZADE,

?；/DAE=/CAB,

：.AADEsAACB,

.AE二AD

'*AB'AC"

VAB=10,AC=8,AD=4,

.AE

.\AE=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過已知條件/8OE+/C

=180°得證△ADEs/viCB.

20.釣魚島是我國固有領(lǐng)土，2021年4月26日，中華人民共和國自然資源部在其官網(wǎng)上公

布《釣魚島及其附屬島嶼地形地貌調(diào)查報(bào)告》，報(bào)告公布了釣魚島及其附屬島嶼的高分

辨率海島地形數(shù)據(jù).如圖所示，點(diǎn)A是島上最西端“西釣角”，點(diǎn)8是島上最東端“東

釣角”，長(zhǎng)約3641米，點(diǎn)。是島上的小黃魚島，且A、B、。三點(diǎn)共線.某日中國海

監(jiān)一艘執(zhí)法船巡航到點(diǎn)C處時(shí)，恰好看到正北方的小黃魚島。，并測(cè)得/ACD=70°,

NBCD=45；根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請(qǐng)求出此時(shí)執(zhí)法船距離小黃魚島D的距離CD的值.（參

考數(shù)據(jù)：tan70°~2.75,sin70°—0.94,cos70°七0.34,結(jié)果精確到1米.）

【分析】設(shè)8=尤米，根據(jù)正切的定義分別求出A。、BD,再根據(jù)A8的長(zhǎng)列出方程，

解方程可得答案.

解：設(shè)C￡>=尤米，

i.n

RtZiACD中，tan/AC￡）=黑，

CD

.*.AO=2.75x米，

RtZvBCD中，ZBCD=45°,

：.BD=CD=x^z,

；.2.75x+x=3641,

解得x-971,

答：執(zhí)法船距離小黃魚島D的距離CD約為971米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記銳

角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OA8C為矩形，點(diǎn)C、A分別在x軸和y軸的正半

軸上，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn).一次函數(shù)y=-3x+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)C、D,反比例函數(shù)y=K(x

x

>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)8,求人的值.

【分析】先求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出

B(2,爭(zhēng)，進(jìn)而表示出。的坐標(biāo)，代入尸-3無+6即可求得左的值.

解：在y=-3x+6中，令y=0,貝!J-3x+6=0,

解得x=2,

：.C(2,0),

k

：.B(2,年)，

k

?,'A(0,—),

2

:點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，

點(diǎn)。(1,.),

二?點(diǎn)D在直線y=-3x+6上，

吟=-3X1+6,

:?k=6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，

矩形的性質(zhì)，表示出。的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

22.圖①、圖②、圖③均是3X3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段48

的端點(diǎn)和點(diǎn)尸均在格點(diǎn)上.請(qǐng)按要求完成作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中畫一條以P為端點(diǎn)的射線PC,使其平分線段AB,點(diǎn)C在線段A8上；

(2)在圖②中畫一條以P為端點(diǎn)的射線PZ),使其分線段AB為1：3兩部分，點(diǎn)D在線

段AB上；

(3)在圖③中畫一條以P為端點(diǎn)的射線PE,使tan/PEB=l,點(diǎn)E在線段A8上.

【分析】（1）取格點(diǎn)T,連接PT交線段于點(diǎn)C,射線尸C即為所求；

（2）取格點(diǎn)。，連接尸。，交線段A2于點(diǎn)。，射線尸。即為所求；

（3）取格點(diǎn)W,R,連接BW,AW,PR,PR交A8于點(diǎn)E,射線PE即為所求.

解：（1）如圖①中，射線PC即為所求；

（2）如圖②中，射線尸。即為所求；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

五、解答題（每小題8分，共16分）

23.如圖，A8為的直徑，于點(diǎn)E,交O。于點(diǎn)。，OFLAC于點(diǎn)E且。尸=1.

（1）求8。的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)/。=30°時(shí)，求圓中能的長(zhǎng)和陰影部分的面積.

【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理可得BC=20尸=2,再利用垂徑定理可得前=就,

推出BZ）=BC,即可解決問題.

（2）連接。C,利用弧長(zhǎng)公式求出弧AC,再求出弓形的面積即可.

解:（1）-：OF±AC,

：.AF=FC,*：OA=OB,

:?BC=2OF=2,

,CABLCD,

-'-BC=BD>

：.BD=BC=2.

(2)連接OC.

'：ZCAB=ZD=30°,OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

AZAOC=120°,

在RtZXABC中，VZACB=90°,BC=2,ZCAB=30°,

.,.AB=2BC=4,AC=4^PC=20

陰影部分的面積=120?兀"2_2x2j§x1=萼-V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理、直角三角形30度角性質(zhì)、

扇形的面積公式、弓形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用

輔助線，學(xué)會(huì)用分割法求陰影部分面積，屬于中考?？碱}型.

24.已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,將△ABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,點(diǎn)A、

點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)M、點(diǎn)C，.

感知:如圖①，當(dāng)落在AB邊上時(shí)，N4A8與/C'CB之間的數(shù)量關(guān)系是相等（不

需要證明）；

探究：如圖②，當(dāng)BC不落在AB邊上時(shí)，NA'AB與NOCB是否相等？如果相等，

請(qǐng)證明；如果不相等，請(qǐng)說明理由；

應(yīng)用：如圖③，若NBAC=90°,CC交于點(diǎn)E,則NA'EC=135度.

【分析】感知：由旋轉(zhuǎn)知，△BCC,54A是頂角相等的等腰三角形，從而得出答案；

探究：由旋轉(zhuǎn)知黑品一，可證明從而結(jié)論不變；

BABA

應(yīng)用：設(shè)與AE相交于點(diǎn)。，由CB=C8,得NCCB=/CCB,則/衣4幺=/。。2,

再利用三角形內(nèi)角和解決問題.

解：感知：?.,將△ABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A8C,

，ZA'BC+ZCBA=ZABC+ZCBA,

即NA8A=NCBC,

又；A，B=AB,CB=BC,

.1800-NA'BA180°-ZCyBC

??~——,

22

即/AAB=NCC8,

故答案為：相等；

探究：ZA'AB^ZCCB,證明如下：

:將AABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,

:.BC=BC,BA^BA',ZCBC^ZABA',

.BC_BCy

,?笳

/.AABA'^ACBC,

：.ZA,AB^ZCCB；

應(yīng)用：:C'B=CB,

；./C'CB=/CCB,

：.ZBA'A=ZCC'B,

設(shè)UB與AE相交于點(diǎn)O,

ZA'OB=ZCOE,

：.NCEO=NOBA=ZACB,

'：AB=AC,ZBAC=90°,

AZACB=45°=NCEO,

：.ZA'EC=180°-ZC'￡O=135°.

【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三

角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△ABA's△CBC是解題的關(guān)鍵.

六、解答題(每小題10分，共20分)

25.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=城+/?+2與x軸分別交于點(diǎn)A(-1,0)、2(3,

0),與y軸交于點(diǎn)C,連接8c.點(diǎn)P是8C上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作y軸的平行

線，交BC于點(diǎn)M分別過尸、N兩點(diǎn)作無軸的平行線，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q、M,

設(shè)尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為根.

(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，求四邊形尸周長(zhǎng)的最大值.

(3)當(dāng)四邊形尸0MN為正方形時(shí)，求機(jī)的值.

【分析】(1)設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+1)(x-3),然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋

物線的解析式；

(2)先利用對(duì)稱軸確定拋物線的對(duì)稱軸方程，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,

接著利用〃2表示出PN和尸。，從而得到四邊形PQMN周長(zhǎng)與機(jī)的二次函數(shù)關(guān)系，然后

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求四邊形PQWN周長(zhǎng)的最大值；

2

(3)分類討論：當(dāng)OVMVI時(shí)，利用尸。=PN得到-可M2+2加=1-徵；當(dāng)1＜相＜3時(shí)，

o

9

利用PQ=PN得至!J-多層+2機(jī)=機(jī)-1,然后分別解一元二次方程得到滿足條件的m的值.

O

解：(1)當(dāng)％=0時(shí)，y=ax2+bx+2=2,貝!jC(0,2),

設(shè)拋物線解析式為(x+1)(x-3),

9

把C(0,2)代入得a*l9(-3)=2,解得a=-―,

O

所以拋物線的解析式為尸-母(x+l)(X-3),即尸-尹母+2；

(2)?.?拋物線與x軸分別交于點(diǎn)A(-1,0)、8(3,0),

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,

設(shè)直線BC的解析式為y=px+q,

把C(0,2),B(3,0)代入得I?！?，解得，P-萬，

13p+q=0|q=2

所以直線BC的解析式為尸-fx+2,

O

242

設(shè)尸(zn,m2+—m+2),則N(zn,--m+2),

ooo

2422

PN=m2+-m+2-(m+2)=-----m2+2m,

3333

而PQ=1-m,

244311

四邊形PQMN周長(zhǎng)=2(-—m2+2m+l-m)=--m2+2m+2=-—(m--)2+--(0

oo53a

211

當(dāng)初=3■時(shí)，四邊形PQMN周長(zhǎng)有最大值，最大值為己;；

44

(3)當(dāng)0＜相＜1時(shí)，PQ=1-m,

2

若PQ=PN時(shí)，四邊形PQMN為正方形，即-與療+2〃1=1-m,

O

整理得2M2-9m+3=0,解得如=9s而(舍去),m2=2_在乙

44

當(dāng)1VntV3時(shí)，PQ=m-1,

9

若尸。=PN時(shí)，四邊形尸QMN為正方形，即-個(gè)層+2根=m-1,

O

整理得2加2