不等式的性質(zhì)蘇教版教案

不等式的性質(zhì)蘇教版教案第第頁不等式的性質(zhì)蘇教版教案（經(jīng)典版）編制人：__________________審核人：__________________審批人：__________________編制學校：__________________編制時間：____年____月____日序言下載提示：該文檔是本店鋪精心編制而成的，希望大家下載后，能夠幫助大家解決實際問題。文檔下載后可定制修改，請根據(jù)實際需要進行調(diào)整和使用，謝謝!并且，本店鋪為大家提供各種類型的經(jīng)典范文，如幼兒教案、小學教案、中學教案、教學活動、評語、寄語、發(fā)言稿、工作計劃、工作總結(jié)、心得體會、其他范文等等，想了解不同范文格式和寫法，敬請關(guān)注!Downloadtips:Thisdocumentiscarefullycompiledbythiseditor.Ihopethatafteryoudownloadit,itcanhelpyousolvepracticalproblems.Thedocumentcanbecustomizedandmodifiedafterdownloading,pleaseadjustanduseitaccordingtoactualneeds,thankyou!Inaddition,thisshopprovidesyouwithvarioustypesofclassicsampleessays,suchaspreschoollessonplans,elementaryschoollessonplans,middleschoollessonplans,teachingactivities,comments,messages,speechdrafts,workplans,worksummary,experience,andothersampleessays,etc.IwanttoknowPleasepayattentiontothedifferentformatandwritingstylesofsampleessays!不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共1頁，當前為第1頁。不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共1頁，當前為第1頁。不等式的性質(zhì)蘇教版教案不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共2頁，當前為第2頁。

這是不等式的性質(zhì)蘇教版教案，是優(yōu)秀的數(shù)學教案文章，供老師家長們參考學習。

不等式的性質(zhì)蘇教第1篇

一、素質(zhì)教育目標

（一）知識教學點

1．使學生理解掌握不等式的三條基本性質(zhì)，尤其是不等式的基本性質(zhì)3．

2．靈活運用不等式的基本性質(zhì)進行不等式形．

（二）能力訓練點

培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結(jié)概括的能力．

（三）德育滲透點

培養(yǎng)學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神．

（四）美育滲透點

通過不等式基本性質(zhì)的學習，滲透不等式所具有的內(nèi)在同解變形的數(shù)學美，激發(fā)學生探究數(shù)學美的興趣與激情，從而陶治學生的數(shù)學情操，數(shù)學教案－不等式和它的基本性質(zhì)教學設(shè)計方案(二)。

二、學法引導(dǎo)

1．教學方法：觀察法、探究法、嘗試指導(dǎo)法、討論法．

2．學生學法：通過觀察、分析、討論，引導(dǎo)學生歸納小結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì)，從具體下升到理論，再由理論指導(dǎo)具體的練習，從而強化學生對知識的理解與掌握．

三、重點·難點·疑點及解決辦法

（一）重點

掌握不等式的三條基本性質(zhì)，尤其是不等式的基本性質(zhì)3．

（二）難點

正確應(yīng)用不等式的三條基本性質(zhì)進行不等式變形．

（三）疑點

弄不清“不等號方向不變”與“所得結(jié)果仍是不等式”之間的`關(guān)系是學生學習的疑點．

（四）解決辦法

講清“不等式的基本性質(zhì)”與“等式的基本性質(zhì)”之間的區(qū)別與聯(lián)系是教好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵．

四、課時安排

一課時

五、教具學具準備

投影儀或電腦、自制膠片．

六、師生互動活動設(shè)計

1．通過設(shè)計的一組比較大小問題，讓學生觀察并歸納出不等式的三條基本性質(zhì)．

2．通過教師的講解及學生的質(zhì)疑，讓學生在與等式性質(zhì)的對比不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共3頁，當前為第3頁。中更加深入、準確地理解不等式的三條基本性質(zhì)．

3．通過教師的板書及學生的互動練習，體現(xiàn)出以學生為主體，教師為主導(dǎo)的教學模式能更好地對學生實施素質(zhì)教育．

七、教學步驟

（一）明確目標

本節(jié)課主要學習不等式的三條基本性質(zhì)并能熟練地加以應(yīng)用．

（二）整體感知

通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質(zhì)，再反復(fù)比較三條性質(zhì)的異同，從而尋找出在實際應(yīng)用某條性質(zhì)時應(yīng)注意的使用條件，同時注意將不等式的三條基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)1、2進行比較：相同點為不管是對等式還是不等式，都可以在它的兩邊同加（或減）同一個數(shù)或同一個整式．不同點是對于等式來說，在等式的兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)（或同一個負數(shù)）的情況下等式仍然對立．但對于不等式來說，卻不一樣，在用同一個正數(shù)去乘（或除）不等式兩邊時，不等號方向不變；而在用同一個負數(shù)去乘（或除）不等式兩邊時，不等號要改變方向．這是在不等式變形時應(yīng)特別注意的地方．

（三）教學過程

1．創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習引入

什么是等式？等式的基本性質(zhì)是什么？

學生活動：獨立思考，指名回答．

教師活動：注意強調(diào)等式兩邊都乘以或除以（除數(shù)不為0）同一不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共4頁，當前為第4頁。個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式．

請同學們繼續(xù)觀察習題：

（1）用“＞”或“＜”填空．

①7＋3____4＋3②7＋（－3）____4＋（－3）

③7X3____4X3④7X（－3）____4X（－3）

（2）上述不等式中哪題的不等號與7＞4一致？

學生活動：觀察思考，兩個（或幾個）學生回答問題，由其他學生判斷正誤．

【教法說明】設(shè)置上述習題是為了溫故而知新，為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備．

不等式有哪些基本性質(zhì)呢？研究時要與等式的性質(zhì)進行對比，大家知道，等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式（實質(zhì)是移項法則），請同學們觀察①②題，并猜想出不等式的性質(zhì)．

學生活動：觀察思考，猜想出不等式的性質(zhì)．

教師活動：及時糾正學生敘述中出現(xiàn)的問題，特別強調(diào)指出：“仍是不等式”包括兩種情況，說法不確切，一定要改為“不等號的方向不變或者不等號的方向改變．”

師生活動：師生共同敘述不等式的性質(zhì)，同時教師板書．

不等式基本性質(zhì)1不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變．

對比等式兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)的性質(zhì)（強調(diào)所乘的數(shù)可不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共5頁，當前為第5頁。正、可負、也可為0）請大家思考，不等式類似的性質(zhì)會怎樣？

學生活動：觀察③④題，并將題中的3換成5，－3換成一5，按題的要求再做一遍，并猜想討論出結(jié)論．

【教法說明】觀察時，引導(dǎo)學生注意不等號的方向，用彩色粉筆標出來，并設(shè)疑“原因何在？”兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)呢？0呢？為什么？

師生活動：由學生概括總結(jié)不等式的其他性質(zhì)，同時教師板書．

不等式基本性質(zhì)2不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．

不等式基本性質(zhì)3不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．

師生活動：將不等式－2＜6兩邊都加上7，－9，兩邊都乘3，－3試一試，進一步驗證上面得出的三條結(jié)論．

學生活動：看課本第57～58頁有關(guān)不等式性質(zhì)的敘述，理解字句并默記．

強調(diào)：要特別注意不等式基本性質(zhì)3．

實質(zhì)：不等式的三條基本性質(zhì)實質(zhì)上是對不等式兩邊進行“＋”、“－”、“X”、“÷”四則運算，當進行“＋”、“－”法時，不等號方向不變；當乘（或除以）同一個正數(shù)時，不等號方向不變；只有當乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向才改變．

不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)有哪些區(qū)別、聯(lián)系？

學生活動：思考、同桌討論．

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共6頁，當前為第6頁。歸納：只有乘（或除以）負數(shù)時不同，此外都類似．下面嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質(zhì)．

①若，則，；

②若，且，則，；

③若，且，則，．

師生活動：學生思考出答案，教師訂正，并強調(diào)不等式性質(zhì)3的應(yīng)用．

注意：不等式除了上述性質(zhì)外，還有以下性質(zhì)：①若，則．②若，且，則，這些先不要向?qū)W生說明．

2．嘗試反饋，鞏固知識

請學生先根據(jù)自己的理解，解答下面習題．

例1根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化成或的形式．

（1）（2）（3）（4）

學生活動：學生獨立思考完成，然后一個（或幾個）學生回答結(jié)果．

教師板書（1）（2）題解題過程．（3）（4）題由學生在練習本上完成，指定兩個學生板演，然后師生共同判斷板演是否正確．

解：（l）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，不等式的兩邊都加上2，不等號的方向不變．

所以

（2）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，兩邊都減去，得

（3）根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，兩邊都乘以2，得

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共7頁，當前為第7頁。（4）根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，兩邊都除以－4得

【教法說明】解題時要引導(dǎo)學生與解一元一次方程的思路進行對比，并將原題與或?qū)φ?，看用哪條性質(zhì)能達到題目要求，要強調(diào)每步的理論依據(jù)，尤其要注意不等式基本性質(zhì)3與基本性質(zhì)2的區(qū)別，解題時書寫要規(guī)范．

例2設(shè)，用“＜”或“＞”填空．

（1）（2）（3）

學生活動：在練習本上完成例2，由3個學生板演完成后，其他學生判斷板演是否正確，最后與書中正確解題格式對照．

解：（1）因為，兩邊都減去3，由不等式性質(zhì)1，得

（2）因為，且2＞0，由不等式性質(zhì)2，得

（3）因為，且－4＜0，由不等式性質(zhì)3，得

教師活動：巡視輔導(dǎo)，了解學生作題的實際情況，及時給予糾正或鼓勵．

注意問題：例2（3）是根據(jù)不等式性質(zhì)3，不等號方向應(yīng)改變．這是學生做題時易出錯誤之處．

【教法說明】要讓學生明白推理要有依據(jù)，以后作類似的練習時，都寫出根據(jù)，逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力．

3．變式訓練，培養(yǎng)能力

（1）用“＞”或“＜”在橫線上填空，并在題后括號內(nèi)填寫理由．（不等式基本性質(zhì)1，2，3分別用A、B、C表示．）

①∵∴（）②∵∴（）

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共8頁，當前為第8頁。③∵∴（）④∵∴（）

⑤∵∴⑥∵∴（）

學生活動：此練習以學生搶答方式完成，目的是訓練學生思維能力，表達能力，烘托學習氣氛．

答案：

①（A）②（B）

③（C）④（C）

⑤（C）⑥（A）

【教法說明】做此練習題時，應(yīng)啟發(fā)學生將所做習題與題中已知條件進行對比，觀察它們是應(yīng)用不等式的哪條性質(zhì)，是怎樣由已知變形得到的．注意應(yīng)用不等式性質(zhì)3時，不等號要改變方向．

（2）單項選擇：

①由得到的條件是（）

A．B．C．D．

②由由得到的條件是（）

A．B．C．D．

③由得到的條件是（）

A．B．C．D．是任意有理數(shù)

④若，則下列各式中錯誤的是（）

A．B．C．D．

師生活動：教師選出答案，學生判斷正誤并說明理由．

答案：①A②D③C④D

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共9頁，當前為第9頁。（3）判斷正誤，正確的打“√”，錯誤的打“X”

①∵∴()②∵∴()

③∵∴()④若，則∴，()

學生活動：一名學生說出答案，其他學生判斷正誤．

答案：①√②X③√④X

【教法說明】以多種形式處理習題可以激發(fā)學生學習熱情，提高課堂效率；（2）練習第③④題易出錯，教師應(yīng)講清楚．

（四）總結(jié)、擴展

1．本節(jié)重點：

（1）掌握不等式的三條基本性質(zhì)，尤其是性質(zhì)3．

（2）能正確應(yīng)用性質(zhì)對不等式進行變形．

2．注意事項：

（1）要反復(fù)對比不等式性質(zhì)與等式性質(zhì)的異同點．

（2）當不等式兩邊同乘（或除以）同一個數(shù)時，一定要看清是正數(shù)還是負數(shù)，對于未給定范圍的字母，應(yīng)分情況討論．

3．考點剖析：

不等式的基本性質(zhì)是歷屆中考中的重要考點，常見題型是選擇題和填空題．

八、布置作業(yè)

（一）必做題：P61A組4，5．

（二）選做題：P62B組1，2，3．

參考答案

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共10頁，當前為第10頁。（一）4．（1）（2）（3）（4）

5．（1）（2）（3）（4）

（5）（6）

（二）1．（1）（2）（3）

2．（1）（2）（3）（4）

3．（1）（2）（3）

九、板書設(shè)計

6.1不等式和它的基本性質(zhì)（二）

一、不等式的基本性質(zhì)

1．不等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變．

若，則，．

2．不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變，若，，則．

3．不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號方向改變，若，，則．

二、應(yīng)用

例1解（1）（2）

（3）（4）

例2解（1）（2）

（3）

三、小結(jié)

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共11頁，當前為第11頁。注意不等式性質(zhì)3的應(yīng)用．

四、背景知識與課外閱讀

盒子里有紅、白、黑三種球，若白球的個數(shù)不少于黑球的一半，且不多于紅球的，又白球和黑球的和至少是55，問盒中紅球的個數(shù)最少是多少個？

不等式的性質(zhì)蘇教第2篇

第一、問題導(dǎo)入

【知識回顧】同學們，上一節(jié)課我們學習了是學習了實數(shù)的大小，應(yīng)用作差法我們可以比較實數(shù)和代數(shù)式的大小。

1、什么是作差法呢？

a＞ba－b＞0

a＝ba－b＝0

a＜ba－b＜0

2、作差法步驟：

最差--變形--比較--結(jié)論【課件展示情境】

第二、拋磚引玉

教師提問：生活中有沒有比較大小的例子？剛剛期中考試完，想不想知道成績呢？有些同學不僅僅想知道自己的還想知道別人的，四處打探，假設(shè)該同學考試的a分，打聽到某1同學比他高是b分，又打聽到某2同學是c分，比自己低，請問，該同學知不知道某1和某2的成績比較呢？由生活實例則有b>a,a>c,所以b>c

數(shù)學來源于生活而又應(yīng)用于生活，將生活中實例抽象成數(shù)學問題不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共12頁，當前為第12頁。呢？

如何應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題？

第三、實踐體驗

1、考試成績比較

2、掰手腕親身體驗

第四、新課學習

（一）、性質(zhì)1的學習

生活中實力抽象成數(shù)學問題后，如何證明不等式成立呢？

教師分析引導(dǎo)學生思考，學生認真讀課本：一快速讀，讀大概；二認真讀，讀關(guān)鍵；三精準讀，讀問題。學生自行閱讀課本P34-P35頁內(nèi)容，并找出不等式性質(zhì)、以及各性質(zhì)中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵字。

教師PPT演示完整教學內(nèi)容

性質(zhì)1(傳遞性)

如果a＞b，b＞c，則a＞c．

分析：要證a＞c，只要證a－c＞0．

證明因為a－c＝(a－b)＋(b－c)，

又由a＞b，b＞c，即a－b＞0，b－c＞0，

所以(a－b)＋(b－c)＞0．

因此a－c＞0．即a＞c．

（二）、性質(zhì)2的學習

教師播放視頻，學生思考視頻內(nèi)容，分析視頻所反映的數(shù)學事實，請同學用數(shù)學語言描述城數(shù)學式子。引導(dǎo)學生自主探究，組織學生不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共13頁，當前為第13頁?！叭x”課本。

問題導(dǎo)學：

(1)視頻說明什么問題？

(2)數(shù)學語言如何描述？

(3)如何證明不等式成立呢？

教師給學生時間思考3分鐘，學生合作交流后代表上臺講解證明過程

教師補充訂正

教師演示完整教學內(nèi)容

性質(zhì)2(加法法則)

如果a＞b，則a＋c＞b＋c．

證明因為(a＋c)－(b＋c)＝a－b，

又由a＞b，即a－b＞0，

所以a＋c＞b＋c．

思考：如果a＞b，那么a－c＞b－c．是否正確？

不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)，不等號的方向不變．

師：出示題目，請學習通平臺學生搶答

練習1

(1)在－6＜2的兩邊都加上9，得3(2)在4＞－3的兩邊都減去6，得-2>-9；

(3)如果a＜b，那么a－3(4)如果x＞3，那么x＋2>5；

(5)如果x＋7＞9，那么兩邊都減7，得x＞2．

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共14頁，當前為第14頁。推論1如果a＋b＞c，則a＞c－b．

證明因為a＋b＞c，

所以a＋b＋(－b)＞c＋(－b)，

即a＞c－b．

不等式中任何一項，變號后可以從一邊移到另一邊．

（三）、性質(zhì)3的學習

如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．

證明因為ac－bc＝(a－b)c，

所以當c＞0時，(a－b)c＞0，即ac＞bc；

所以當c＜0時，(a－b)c＜0，即ac＜bc．

如果不等式兩邊都乘同一個正數(shù)，則不等號的方向不變，如果都乘同一個負數(shù)，則不等號的方向改變．

思考：如果a＞b，那么－a＞－b一定成立嗎？學生思考并回答。

師：出示PPT出示題目，請學生小組討論并回答

(1)在－3＜－2的兩邊都乘以2，得-6>-4；

(2)在1＞－2的兩邊都乘以－3，得-3>6；

(3)如果a＞b，那么－3a>－3b；

(4)如果a＜0，那么3a(5)如果3x＞－9，那么x(6)如果－3x＞9，那么x>－3．

第五、當堂測試

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共15頁，當前為第15頁。教師學習通平臺發(fā)布當堂測試題，當堂評價，考察學生學習效率，激發(fā)學習動機。

第六、匯總小結(jié)

學習通平臺匯總本節(jié)課內(nèi)容。讓學生暢談本節(jié)課的收獲，并將關(guān)鍵字上傳學習通平臺，老師引導(dǎo)梳理，總結(jié)本節(jié)課的知識點

不等式的性質(zhì)蘇教第3篇

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

梳理等式性質(zhì)及其蘊含的思想方法；不等式的基本性質(zhì)及其研究方法；不等式的其他性質(zhì).

2.內(nèi)容解析

等式性質(zhì)可分為相等關(guān)系自身特性和運算中的不變性兩類.從自身特性看，包括“對稱性”和“傳遞性”.“對稱性”即兩個相等的實數(shù)放在等號兩邊的兩種不同的表現(xiàn)形式；“傳遞性”是實數(shù)相等的內(nèi)在關(guān)系，兩者均是實數(shù)序的特征.從運算角度看，有基本層面的“加法”“乘法”運算中的不變性，即等式兩邊同加或同乘同一個實數(shù)，等式保持不變；也有其派生出來的在“乘方”“開方”等運算中的不變性.

不等式與等式的性質(zhì)蘊含了同樣的數(shù)學思想方法，也包含不等關(guān)系自身的特性和運算中的不變性兩類.不等關(guān)系自身的特性有“自反性”和“傳遞性”兩種.“自反性”是不相等的兩個實數(shù)大小關(guān)系的兩種不同表達形式，是實數(shù)序特性的體現(xiàn).“傳遞性”是三個不相等不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共16頁，當前為第16頁。的實數(shù)之間大小關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，也是實數(shù)序特性的體現(xiàn).運算中的不變性、規(guī)律性是指對不等號兩邊的實數(shù)同時進行“加法”“乘法”等運算，得出新的不等關(guān)系.由于“正數(shù)乘正數(shù)大于0”“負數(shù)乘正數(shù)小于0”，所以不等式對于乘法運算失去了“保號性”，這也是不等式性質(zhì)與等式的性質(zhì)的差異.實際上，在代數(shù)問題中，運算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)，它是發(fā)現(xiàn)代數(shù)性質(zhì)的“引路人”，在代數(shù)領(lǐng)域中具有基礎(chǔ)地位.

利用不等式的基本性質(zhì)可推導(dǎo)出不等式的一些其他性質(zhì)，即以基本性質(zhì)為理論依據(jù)，以運算中的不變性和規(guī)律性為研究方向，通過“猜想—證明—修正—再證明—得出性質(zhì)”的方法探究出其他的性質(zhì).

結(jié)合以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實及其簡單應(yīng)用；梳理出等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法；在等式基本性質(zhì)蘊含的數(shù)學思想方法引導(dǎo)下，類比等式基本性質(zhì)，探究不等式的基本性質(zhì).

二、目標和目標解析

1.目標

（1）梳理等式基本性質(zhì)中蘊含的數(shù)學思想方法，即實數(shù)序關(guān)系的特性和運算中的不變性.

（2）運用等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法，類比等式的基本性質(zhì)研究不等式的基本性質(zhì)，掌握不等式的基本性質(zhì)；體會“運算中的不變性”在研究不等式的基本性質(zhì)中的“引路人”的作用，發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng).

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共17頁，當前為第17頁。（3）運用不等式的基本性質(zhì)發(fā)現(xiàn)并證明一些常用的不等式性質(zhì)；運用不等式的性質(zhì)證明一些簡單的命題，發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng).

2.目標解析

達成上述目標的標志是：

（1）學生能夠梳理出等式的基本性質(zhì)，并探究總結(jié)出等式的基本性質(zhì)包含兩個方面，其一是實數(shù)序關(guān)系的特性，即等式自身的特性，包括“對稱性”和“傳遞性”；其二是在加法、乘法運算中的不變性.

（2）學生能夠運用類比的方法，從“實數(shù)序關(guān)系的特性（等式自身的特性）”和“運算中的不變性”兩個方面，猜想并證明不等式的基本性質(zhì)，并能夠?qū)Ρ炔坏仁脚c等式的基本性質(zhì)說出其共性與差異.

（3）學生能從運算的角度出發(fā)，猜測并進行證明不等式的一些常用性質(zhì)（性質(zhì)5，6，7）；并能說出為什么性質(zhì)1—4稱為“基本性質(zhì)”.

（4）學生能夠分析簡單不等式的證明思路，利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等關(guān)系.

三、教學問題診斷分析

不等式性質(zhì)的探究是以兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實為依據(jù)，以梳理等式性質(zhì)中所蘊含的思想方法為前提，以類比等式的基本性質(zhì)為方法展開的.學生雖然在初中階段接觸過一些內(nèi)容，然而是運用由特殊到一般的歸納方法得到的，沒能從根源上探索其成立的道理.高中階段的等式與不等式的學習強調(diào)邏輯推理和數(shù)學的理性思維，因此學生會有以下幾個方面的困難.

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共18頁，當前為第18頁。1.學生對梳理等式基本性質(zhì)包括相等關(guān)系自身的特性和運算中的不變性兩個方面存在困難.等式的五個基本性質(zhì)是學生熟知的，但對性質(zhì)中所蘊含的思想方法缺乏上位的思考，尤其是體會相等關(guān)系自身的特性較為困難.教學中采用讓學生對性質(zhì)的特點進行歸類的方法，總結(jié)每類性質(zhì)的特點，引導(dǎo)學生從實數(shù)序關(guān)系的特性角度體會相等關(guān)系自身的特性.

2.學生類比等式基本性質(zhì)及其蘊含的思想方法猜想并證明不等式的基本性質(zhì)存在困難.由于初中時學生學習過不等式的基本性質(zhì)3和性質(zhì)4，而性質(zhì)1和性質(zhì)2學生認為是顯然成立的，學生思維達不到從邏輯推理角度證明性質(zhì).教學中在強調(diào)邏輯推理的重要性的同時，還要強調(diào)兩個實數(shù)比較大小的基本事實和實數(shù)的一些其他事實是證明的依據(jù).

3.學生缺少從代數(shù)角度證明不等式的經(jīng)驗，運用兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實和不等式的性質(zhì)證明一些簡單命題存在一定的困難.教學中，要幫助學生運用“分析法”進行分析，適當采用問題串的形式引導(dǎo)學生生成證明思路，引導(dǎo)學生領(lǐng)會“發(fā)展條件、轉(zhuǎn)化結(jié)論、尋求聯(lián)系”的證明較復(fù)雜命題的一般思路.

本節(jié)課的教學難點為：梳理出等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法；類比等式的基本性質(zhì)及其蘊含的思想方法，猜想證明不等式的基本性質(zhì).

四、教學過程設(shè)計

（一）確定研究內(nèi)容，明確研究方法

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共19頁，當前為第19頁。導(dǎo)入語：同學們，通過上節(jié)課的學習，我們知道現(xiàn)實世界的大小關(guān)系包括相等關(guān)系和不等關(guān)系兩類，數(shù)學中用“等式”和“不等式”表達這兩類關(guān)系.上節(jié)課我們提到解不等式要用不等式的性質(zhì)，不等式到底都有哪些性質(zhì)呢？今天我們一起學習不等式性質(zhì).既然不等式和等式一樣，都是對大小關(guān)系的刻畫，我們就可以從等式的性質(zhì)及其蘊含的思想方法中獲得啟發(fā)，來研究不等式的性質(zhì).好！我們一起走進“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”.

設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)以單元教學理念為指導(dǎo)，著眼于學生的最近發(fā)展區(qū)，喚醒學生與所研究內(nèi)容相關(guān)的認知。開門見山，直接引入課題，學生能夠明確學習目標，帶著目標開展學習活動.

（二）復(fù)習等式性質(zhì)，梳理思想方法

問題1：請你回憶一下等式都有哪些性質(zhì)？

預(yù)設(shè)方案：

預(yù)案一性質(zhì)3，4，5學生比較熟悉，能相互補充說出，但說不出性質(zhì)1，2.

追問1：這三條性質(zhì)有什么共性？可以看作是運用了什么相同的方法“得到的”？

師生活動：教師板書這三條性質(zhì).

學生在教師引導(dǎo)下歸納這3條性質(zhì)是從運算角度提出的，即等式兩邊加、減，乘，除同一個數(shù)，等式仍然成立.教師指出，這三條性質(zhì)反映了相等關(guān)系在運算中保持不變性的特點.教師進一步指出，性質(zhì)3中減法可以看成加法，即兩邊同加，性質(zhì)5中的除法可以看成不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共20頁，當前為第20頁。乘法，即兩邊同乘1/c，高中數(shù)學加減乘除的運算更趨于一般性，所以可以將其合并.由于數(shù)學的基本運算有加法和乘法，所以這些性質(zhì)可稱為等式的基本性質(zhì).數(shù)學基本運算可派生出像乘方、開方等運算的結(jié)論，就是一些常用的性質(zhì).

追問2：等式是否還有其他性質(zhì)？

師生活動：教師點出還有些等式的性質(zhì)，我們在無意識地使用，之所以大家說不出來，因為它們太顯然了，是相等關(guān)系本身蘊含的性質(zhì).比如說，一個相等關(guān)系，即兩個相等的實數(shù)，無論哪個寫在等號左邊或右邊，等式均成立，即“如果a=b，則b=a”，此性質(zhì)與a,b的順序無關(guān)，它反映了等式自身的特性.

追問3：從等式自身性質(zhì)的角度是否還有其他性質(zhì)？

師生活動：在教師指導(dǎo)下，學生說出性質(zhì)2，教師板書.教師點出此性質(zhì)也反映了等式自身的特性.

預(yù)案二學生相互補充能說出性質(zhì)1，2，3，4，5，其中性質(zhì)3，4，5是學生比較熟悉的，但對性質(zhì)1，2只有少數(shù)學生能回答出來.

追問：為什么大多數(shù)人答不出性質(zhì)1，2？

師生活動：（這個追問實際上也對學生起到了思想方法上的提示作用）教師點出“等式的這兩條性質(zhì)，我們無意識地在使用，但說不出來，因為它們太顯然了，是相等關(guān)系本身蘊含的”；接著梳理性質(zhì)3，4，5蘊含的思想方法（如預(yù)案一）.

預(yù)案三學生相互補充說出性質(zhì)1，2，3，4，5（如果學生不預(yù)習、也不允許學生在課堂上看教科書，這種情況幾乎不會發(fā)生）.

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共21頁，當前為第21頁。學生回憶、交流并相互補充，口答等式性質(zhì)，教師板書5條性質(zhì).

追問：觀察等式的5條基本性質(zhì)，哪些性質(zhì)具有共性？是什么共性？哪些基本性質(zhì)可以看作是運用了相同的方法（發(fā)現(xiàn)的視角相同）得到的？具體的角度是什么？

師生活動：學生發(fā)現(xiàn)性質(zhì)3，4，5具有共性，它們都是在等式的兩邊進行了運算，然后發(fā)現(xiàn)性質(zhì)1，2蘊含的共性.

問題2：你能歸納一下等式基本性質(zhì)蘊含了哪些思想方法嗎？

師生活動：學生總結(jié)，發(fā)現(xiàn)等式的基本性質(zhì)的方法有“相等關(guān)系自身的特性”和“相等關(guān)系對運算保持不變”兩種.教師強調(diào)這兩個方面是研究等式基本性質(zhì)中體現(xiàn)的思想方法.

設(shè)計意圖：通過問題1和問題2，學生回憶、分析等式的基本性質(zhì)，通過對性質(zhì)分類、歸納和深入分析，梳理等式的基本性質(zhì)中蘊含的思想方法，突破本課時的教學難點，為研究不等式的基本性質(zhì)做好鋪墊.

（三）探究不等式的性質(zhì)，體會類比探究方法

問題3：初中我們通過由特殊到一般的方法，歸納過一些不等式的性質(zhì).現(xiàn)在，你打算如何研究不等式的性質(zhì)？

預(yù)設(shè)方案：學生領(lǐng)悟到研究不等式的性質(zhì)可類比發(fā)現(xiàn)等式性質(zhì)及其蘊含的思想方法.

追問：從什么視角來研究不等式的性質(zhì)？

師生活動：學生表述，從不等式的“自身”和“運算”兩個視角研究不等式的基本性質(zhì).

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共22頁，當前為第22頁。設(shè)計意圖：由學生自主發(fā)現(xiàn)研究問題的方法，提高學生對等式性質(zhì)中蘊含的思想方法的理解和對類比學習方法的認識.

問題4：類比等式的基本性質(zhì)蘊含的“自身特性”的思想方法，你能猜想并證明不等式的基本性質(zhì)嗎？

師生活動：教師組織學生先獨立思考再討論.教師參與小組討論之中，適當指導(dǎo).

預(yù)設(shè)方案：學生猜想不等式自身特性有“如果，那么”.但學生會認為這是顯然成立的事實，不能從邏輯推理角度進行證明.

追問1：你打算怎么進行證明？

師生活動：

學生證明預(yù)設(shè)兩種方案：

方案一：學生運用數(shù)軸說明a,b的大小關(guān)系.教師評價此方法是從幾何角度分析代數(shù)性質(zhì)的，其直觀性較強，能幫助我們感受到此性質(zhì)反映了“不等式自身的特性”.同時教師指出數(shù)學結(jié)論要從邏輯推理角度進行嚴格的證明.教師繼續(xù)提問，能否進行證明？（見方案二）

方案二：教師視情況引導(dǎo)，目前只能用兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，別無他法.學生分析，若要得出b

追問2：此性質(zhì)與等式性質(zhì)1有何異同？

師生活動：學生發(fā)現(xiàn)由于不等號是有方向的，實數(shù)位置對調(diào)后，符號也要對調(diào).

設(shè)計意圖：讓學生自主進行類比研究，體會性質(zhì)1反映的是不等關(guān)系自身的特性.學生在利用兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實證明的過不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共23頁，當前為第23頁。程中，感受到數(shù)學問題的證明均有章可循，有理有據(jù).

追問3：你還有什么結(jié)論？通過性質(zhì)1的證明中的啟示，能否修證你的證明過程？

預(yù)設(shè)方案：學生猜想不等式自身特性有“如果a>b,b>c，那么a>c”.學生的證明預(yù)設(shè)兩種方案.

預(yù)案一：學生利用實數(shù)的幾何意義，即在數(shù)軸上找到三個數(shù)，分析其大小關(guān)系（學生受到性質(zhì)1證明過程的啟發(fā)，一般不會采用此方法）；

預(yù)案二：學生分析證明思路，若要證明a>c，只需證a-c>0.學生容易想到與a-b>0，b-c>0建立聯(lián)系.考慮到a-c=（a-b）+（b-c），只需判斷此代數(shù)式的符號.

追問：如何證明（a-b）+（b-c）大于0？

師生活動：學生聯(lián)想實數(shù)的基本事實，“正數(shù)加正數(shù)是正數(shù)”問題得證.教師指出，實數(shù)的一些基本事實在證明中的有著重要的作用，讓學生體會代數(shù)證明的邏輯性和嚴謹性.

設(shè)計意圖：此性質(zhì)的探究過程，一方面使學生經(jīng)歷類比的探究過程，另一方面使學生體會數(shù)學證明的邏輯性和嚴謹性，感受到“猜想要有證明，證明要有依據(jù)”.

問題5：類比等式性質(zhì)中蘊含的“運算中的不變性”的思想方法，你能猜想并證明不等式的基本性質(zhì)嗎？

師生活動：教師組織學生先獨立思考再討論.教師參與小組討論之中，適當指導(dǎo).

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共24頁，當前為第24頁。預(yù)設(shè)方案：學生猜想“不等式在加法運算中‘保號性’”，即“如果a>b，那么a+c>b+c”.在前兩個性質(zhì)證明的基礎(chǔ)上，學生能夠分析要證a+c>b+c，只需證（a+c）-（b+c）與的大小關(guān)系，也就是a-b與0的大小關(guān)系.得出如下證明：由a>b，得a-b>0，所以（a+c）-（b+c）>0,即a+c>b+c.

追問：用文字語言怎樣表達此性質(zhì)？兩個實數(shù)大小關(guān)系還可以形象地在數(shù)軸上表達出來，你能從幾何意義的角度對這個性質(zhì)進行解釋嗎？

師生活動：1.學生用文字語言表達，即不等式的兩邊都加同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向.教師點明文字語言表達具有“直白”的特點，有助于理解其本質(zhì)，即反映了不等式在加法運算中的“保號性”.教師指出“減法”與“加法”在運算中是一致的，加法是基本運算，進而此性質(zhì)為基本性質(zhì).

2.通過教師課件展示a+c,b+c的變化，學生體會此性質(zhì)的幾何意義，并注意到可用運動方向表達實數(shù)c的正負.教師強調(diào)，幾何語言的表達具有“直觀”的特點，建議學生經(jīng)常從幾何視角發(fā)現(xiàn)或解釋一些代數(shù)問題，能實現(xiàn)更直觀地認識問題，更深刻地理解問題.

設(shè)計意圖：對同一個概念進行多元聯(lián)系表示，有利于揭示概念的本質(zhì).不等式是用不等號連接起來的式子，有的不等式的內(nèi)涵是比較抽象的，為了幫助學生理解和掌握不等式的本質(zhì)，用文字語言、圖形語言等多種形式來表達重點的不等式的性質(zhì)，有助于對問題的深入理解。

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共25頁，當前為第25頁。追問：是否還有其他結(jié)論？

預(yù)設(shè)方案：學生猜想“不等式在乘法運算中的規(guī)律性”，即不等式兩邊同乘同一個實數(shù)的結(jié)論，并用數(shù)學語言表達.

師生活動：學生猜想“如果a>b,c>0，那么ac>bc”，“如果a>b,c追問：不等式的兩邊同乘一個數(shù)，為何要分類討論？

師生活動：教師引導(dǎo)學生分析，此結(jié)論在于比較ac與bc的大小，由兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，即判斷ac-bc與的大小關(guān)系，這顯然與條件中的a-b有關(guān)，自然能考慮通過ac-bc=（a-b）c，從而判斷此式的正負。由于a-b>0，（a-b）c的正負由c的正負決定，從而需要分析討論，這樣學生也自然有了證明的思路.

追問1：用文字語言怎樣表述此性質(zhì)？

師生活動：學生表述，“不等式兩邊同乘一個正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；不等式兩邊同乘一個負數(shù)，所得不等式與原不等式反向”.教師強調(diào)文字語言具有較為“直白”的特點，讓學生感受此性質(zhì)反映了“不等式在乘法運算中的規(guī)律性”.教師還要再次強調(diào)可以把“乘法”“除法”合并為“乘法”，高中數(shù)學對運算的認識更趨于一般性，乘法是基本運算，此性質(zhì)仍為基本性質(zhì).

設(shè)計意圖：此性質(zhì)對學生來說比較熟悉，此環(huán)節(jié)能使學生鞏固類比的學習方法，體會此性質(zhì)反映的是不等式在乘法運算中的不變性、規(guī)律性.

問題6：加法乘法是數(shù)學的基本運算，因此上述四條性質(zhì)是不等式的基本性質(zhì).不等式與等式基本性質(zhì)的共性與差異有哪些？

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共26頁，當前為第26頁。師生活動：學生總結(jié)出兩者都具有“自身特性”和“運算中的不變性、規(guī)律性”。由于不等號具有方向性，“自反性”和“兩邊同乘負數(shù)時，不等號變號”是不等式表現(xiàn)出的特性.

設(shè)計意圖：總結(jié)等式基本性質(zhì)與不等式基本性質(zhì)的差異，并能從本質(zhì)上理解不等號變號的原因.

問題7：利用不等式的基本性質(zhì)，你還可以猜想并證明不等式的其他性質(zhì)嗎？

追問：在基本性質(zhì)3中，不等式的兩邊同加同一個實數(shù)。如果兩邊同加不同的實數(shù)，即不等式的兩邊分別加上不相等的兩個數(shù)，能得到什么不等關(guān)系？

預(yù)設(shè)方案：學生猜想“大數(shù)加大數(shù)，大于小數(shù)加小數(shù)”，即“如果a>b,c>d，那么a+c>b+d”.證明方法有兩種：

方法一：學生分析證明方法，若要證a+c>b+d，只需證（a+c）-（b+d）>0，與已知聯(lián)系，也就是證明（a+c）-（b+d）>0。由已知a-b>0,c-d>0，由“正數(shù)加正數(shù)是正數(shù)”這一基本事實，猜想得證.

教師評價，此證明是基于兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實和實數(shù)的一些基本事實證明的，這是證明不等式的根本大法，在證明不等關(guān)系時占據(jù)“一席之地”.

追問：此方法是利用不等式的基本性質(zhì)“發(fā)現(xiàn)”的。能否利用不等式的基本性質(zhì)，證明你發(fā)現(xiàn)的這個新性質(zhì)？學生探索證法二（如下）.

方法二：學生從性質(zhì)3中得到啟發(fā)，要證a+c>b+d，需要構(gòu)造與a+c和b+d相關(guān)的不等式，聯(lián)想不等式基本性質(zhì)，可有以下證明.

不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共27頁，當前為第27頁。由性質(zhì)3，得a+c>b+c，c+b>d+b；由性質(zhì)2，得a+c>b+d.

教師評價，此方法是基于不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，邏輯性很強.指出此性質(zhì)為性質(zhì)5.

設(shè)計意圖：數(shù)學結(jié)論之間相互關(guān)聯(lián)，挖掘結(jié)論間的關(guān)系，能使學生整體把握知識，形成整體認知.此性質(zhì)的證明為綜合運用不等式的基本性質(zhì)證明不等關(guān)系提供了范例.

追問：在基本性質(zhì)4中，不等式的兩邊同乘同一個實數(shù)。如果同乘不同的實數(shù)，你有何結(jié)論？

預(yù)設(shè)方案：學生猜想“大數(shù)乘大數(shù)，大于小數(shù)乘小數(shù)”，即“如果a>b,c>d，那么ac>bd”.

追問：在不等式的基本性質(zhì)中，乘法運算不具備“保號性”，主要原因是負數(shù)的影響。你認為上述猜想是否正確？如何修正？

師生活動：學生回答，不等式基本性質(zhì)4中強調(diào)，兩邊同乘負數(shù)不等號要變方向，所以此問題中，乘法不一定具備“保號性”.同時，學生與性質(zhì)4進行對比，發(fā)現(xiàn)對于正數(shù)乘法是具有“保號性”的.教師評價，這是縮小范圍修正錯誤的方法，由學生課后進行證明.教師指出此性質(zhì)為不等式性質(zhì)6.

追問2：如果性質(zhì)6中a=c,b=d，你有何新的結(jié)論？

師生活動：學生可以得出“如果a>b>0，那么a2>b2”，并能推廣到“如果a>b>0，那么an>bn（n∈N*,n≥2）”.教師指出這是不等式的性質(zhì)7，它是性質(zhì)6的特例.教師指出以“不等式在運算中的不變性、規(guī)律性”為研究抓手，我們還能推導(dǎo)出很多不等關(guān)系，不等式的性質(zhì)蘇教版教案全文共28頁，當前為第28頁。鼓勵同學們多發(fā)現(xiàn)、提出和證明一些結(jié)論.

設(shè)計意圖：1.讓學生經(jīng)歷“猜想—證明—修正—再證明—得出性質(zhì)—理解”的研究數(shù)學問題的過程，加深學生對類比學習的理解；

2.讓學生充分認識到“運算中的不變性、規(guī)律性”在研究不等式性質(zhì)中的“引路人”作用，加深學生對“代數(shù)性質(zhì)”的認識，從而發(fā)展“四基”，提高“四能”.

（四）不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用

過渡語：上節(jié)課所學的兩個實數(shù)大小的基本事實與本節(jié)課所得到的7條不等式的性質(zhì)是我們今后解決不等式問題的基本依據(jù)，下面我們就來看看如何借助它們來解決不等式的簡單問題.

設(shè)計意圖：本題利用不等式基本性質(zhì)，體現(xiàn)“分析法”的證明思路和“綜合法”的表達方式，提高學生分析解決問題的能力，提升學生的數(shù)學應(yīng)用意識.

（五）課堂小結(jié)，布置作業(yè)

問題8：本節(jié)課我們重點學習了不等式的基本性質(zhì)和不等式的常用性質(zhì)，你是怎樣研究不等式的基本性質(zhì)的？

預(yù)設(shè)方案：學生能回答，先梳理等式的基本性質(zhì)及蘊含的思想方法，從不等式的自身性質(zhì)和運算的角度猜