大學(xué)物理圓周運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng)

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由于質(zhì)點(diǎn)速度的方向一定沿著軌跡的切向，因此，自然坐標(biāo)系中可將速度表示為：由加速度的定義有切向加速度和法向加速度1.2自然坐標(biāo)系下的加速度第2頁,共22頁，2024年2月25日，星期天d

dsPPd

切向加速度和法向加速度以圓周運(yùn)動(dòng)為例討論上式中兩個(gè)分項(xiàng)的物理意義：

如圖，質(zhì)點(diǎn)在dt時(shí)間內(nèi)經(jīng)歷弧長(zhǎng)ds，對(duì)應(yīng)于角位移d

，切線的方向改變d

角度。作出dt始末時(shí)刻的切向單位矢量，由矢量三角形法則可求出極限情況下切向單位矢量的增量為即與P點(diǎn)的切向正交。因此第3頁,共22頁，2024年2月25日，星期天P

于是前面的加速度表達(dá)式可寫為：即圓周運(yùn)動(dòng)的加速度可分解為兩個(gè)正交分量：at稱切向加速度，其大小表示質(zhì)點(diǎn)速率變化的快慢；an稱法向加速度，其大小反映質(zhì)點(diǎn)速度方向變化的快慢。切向加速度和法向加速度

上述加速度表達(dá)式對(duì)任何平面曲線運(yùn)動(dòng)都適用，但式中半徑R要用曲率半徑

代替。第4頁,共22頁，2024年2月25日，星期天切向加速度和法向加速度由的大小為圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的方向第5頁,共22頁，2024年2月25日，星期天at

等于0,an等于0,質(zhì)點(diǎn)做什么運(yùn)動(dòng)？at

等于0,an不等于0,質(zhì)點(diǎn)做什么運(yùn)動(dòng)？at

不等于0,an等于0,質(zhì)點(diǎn)做什么運(yùn)動(dòng)？at

不等于0,an不等于0,質(zhì)點(diǎn)做什么運(yùn)動(dòng)？例題討論下列情況時(shí)，質(zhì)點(diǎn)各作什么運(yùn)動(dòng)：

勻速直線運(yùn)動(dòng)

勻速曲線運(yùn)動(dòng)

變速直線運(yùn)動(dòng)

變速曲線運(yùn)動(dòng)第6頁,共22頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共22頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共22頁，2024年2月25日，星期天2.圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述oxy

前述用位矢、速度、加速度描寫圓周運(yùn)動(dòng)的方法，稱線量描述法；由于做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)與圓心的距離不變，因此可用一個(gè)角度來確定其位置，稱為角量描述法。

A：tB：t+t

設(shè)質(zhì)點(diǎn)在oxy平面內(nèi)繞o點(diǎn)、沿半徑為R的軌道作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖。以ox軸為參考方向，則質(zhì)點(diǎn)的角位置為

角位移為

規(guī)定反時(shí)針為正平均角速度為圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述第9頁,共22頁，2024年2月25日，星期天(瞬時(shí))角速度為角加速度為角速度的單位：弧度/秒(rad

s-1)；角加速度的單位：弧度/平方秒(rad

s-2)。討論：

(1)角加速度對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響：

等于零，質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)；

不等于零但為常數(shù)，質(zhì)點(diǎn)作勻變速圓周運(yùn)動(dòng)；隨時(shí)間變化，質(zhì)點(diǎn)作一般的圓周運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述第10頁,共22頁，2024年2月25日，星期天(2)質(zhì)點(diǎn)作勻變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度、角位移與角加速度的關(guān)系式為（若為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則a＝0）與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)關(guān)系式比較知：兩者數(shù)學(xué)形式完全相同,說明用角量描述,可把平面圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為一維運(yùn)動(dòng)形式，從而簡(jiǎn)化問題。圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述第11頁,共22頁，2024年2月25日，星期天ROx3.線量與角量之間的關(guān)系

圓周運(yùn)動(dòng)既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者應(yīng)有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

+

0

0+

t+

tBtA

圖示一質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)：在t時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的角位移為

，則A、B間的有向線段與弧將滿足下面的關(guān)系兩邊同除以

t，得到速度與角速度之間的關(guān)系：線量與角量之間的關(guān)系第12頁,共22頁，2024年2月25日，星期天將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到切向加速度與角加速度之間的關(guān)系：將速度與角速度的關(guān)系代入法向加速度的定義式，得到法向加速度與角速度之間的關(guān)系：例1例2思考題線量與角量之間的關(guān)系法向加速度也叫向心加速度。第13頁,共22頁，2024年2月25日，星期天例題1計(jì)算地球自轉(zhuǎn)時(shí)地面上各點(diǎn)的速度和加速度。解：地球自轉(zhuǎn)周期T=246060s，角速度大小為：

如圖，地面上緯度為的P點(diǎn)，在與赤道平行的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),線量與角量之間的關(guān)系R

赤道rp

其軌道的半徑為第14頁,共22頁，2024年2月25日，星期天P點(diǎn)速度的大小為P點(diǎn)只有運(yùn)動(dòng)平面上的向心加速度，其大小為P點(diǎn)速度的方向與過P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)平面上半徑為R的圓相切。線量與角量之間的關(guān)系P點(diǎn)加速度的方向在運(yùn)動(dòng)平面上由P指向地軸。第15頁,共22頁，2024年2月25日，星期天

例如:已知北京、上海和廣州三地的緯度分別是北緯3957

、3112

和

2300

，則三地的v和an分別為：北京：上海：廣州：線量與角量之間的關(guān)系第16頁,共22頁，2024年2月25日，星期天線量與角量之間的關(guān)系

例如:上海的緯度3112

，則其v和an分別為：上海：第17頁,共22頁，2024年2月25日，星期天Ro

在t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置s處。ss解：先作圖如右，t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于s=0的p點(diǎn)處。線量與角量之間的關(guān)系P

（1）t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度的大??；（2）t為何值時(shí)，總加速度的大小為b；（3）當(dāng)總加速度大小為b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)行了多少圈。例題2

一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按規(guī)律

運(yùn)動(dòng)，v0、b都是正的常量。求：第18頁,共22頁，2024年2月25日，星期天

（2）令a=b，即Ros

（1）t時(shí)刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:線量與角量之間的關(guān)系第19頁,共22頁，2024年2月25日，星期天（3）當(dāng)a=b時(shí)，t=v0/b，由此可求得質(zhì)點(diǎn)歷經(jīng)的弧長(zhǎng)為它與圓周長(zhǎng)之比即為圈數(shù)：Ros線量與角量之間的關(guān)系得第20頁,共22頁，2024年2月25日，星期天判斷下列說法的正、誤：a.加速度恒定不變時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)方向必定不變。b.平均速率等于平均速度的大小。d.運(yùn)動(dòng)物體的速率不變時(shí)，速度可以變化。

例如：物體做拋體運(yùn)動(dòng)，加