2022年山西省中考數(shù)學(xué)模擬考試題(含答案)

山西省中考數(shù)學(xué)模擬考試題

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）某地一天的最高氣溫是12°C,最低氣溫是-2°C,則該地這天的溫差是（）

A.-10°CB.IO°CC.14°CD.-14"C

2.（3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

?D.得

選C

3.（3分）下列運(yùn)算中正確的是（）

A.>/2xV3=V6B.及+6=行C.R+&=2D.-I2=-2

4.（3分）已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體可能是（）

△△

主視圖左視圖

O

俯視圖

A.B,4^c.gD.@

5.（3分）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在陽(yáng)的延長(zhǎng)線上，AB//CF,ZF=ZACB=90°,則NDBC

的度數(shù)為（）

FDC

3x>2x'-]~4的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

6.（3分）不等式組)

.1<

-2-1012'

c.-2-102D.-2-102

7.（3分）如圖，在四邊形A8CD中，對(duì)角線AC、相交于點(diǎn)O,下列條件不能判定四邊形ABC。為

平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AD//BCB.AD//BC,AB=CDC.OA=OC,OB=ODD.AB=CD,AD=BC

8.（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸：屈

繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條繩子還剩余4.5尺：將繩子對(duì)折再量

木條，木條剩余1尺，問(wèn)木條長(zhǎng)多少尺？如果設(shè)有木條長(zhǎng)x尺，那么可列方程為（）

X

A.x-4.5=——1B.jr+4.5=-C.x+4.5=2(x+l)D.x+4.5=2(x—1)

22

9.（3分）如圖，已知E為矩形紙片AfiCD的邊ZX7上一點(diǎn)，將矩形紙片沿8E折疊，使點(diǎn)。恰好

落在邊AD上的點(diǎn)尸處，若AB=6,AD=10,則DE的長(zhǎng)為（）

DE

10.（3分）如圖，在正方形中，點(diǎn)￡是邊上的一點(diǎn)，連接。E,AE,BD,且AE,BD交于

點(diǎn)尸，AB=6,BE=3,則陰影部分的面積是（）

A.12B.13C.14D.15

二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11.（3分）不等式上（x-2）＜3的解集是

12.（3分）一個(gè)正多邊形，它的一個(gè)內(nèi)角等于一個(gè)外角的2倍，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是—.

13.（3分）如圖是一組有規(guī)律排列的圖案，它們是由邊長(zhǎng)為1的正方形組成，第（1）個(gè)圖案有邊長(zhǎng)為1

的小正方形3個(gè)，第（2）個(gè)圖案有邊長(zhǎng)為1的小正方形6個(gè)，第（3）個(gè)圖案有邊長(zhǎng)為1的小正方形9

14.（3分）有三把鑰匙（編號(hào)分別是1,2,3）與三把鎖（編號(hào)分別是A,B,C）,每把鑰匙只能打開

其中一把鎖，每把鎖只有一把鑰匙能打開.如果從三把鑰匙中隨機(jī)抽取兩把，那么能一次性（即不能試）

打開A鎖與8鎖的概率是.

15.（3分）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)6的坐標(biāo)為（0,2收,0A與y軸相切，點(diǎn)C是QA上的動(dòng)點(diǎn)，

射線3c與x軸交于點(diǎn)。，則皮＞長(zhǎng)的最大值等于.

三.解答題（共8小題，滿分75分）

16.（1）計(jì)算：（一3—2）x（—（―；廠2+23

42

（2）下面是小祺同學(xué)化簡(jiǎn)分式-----------的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

Cl~\。+1

2(。-1)

解：原式=(a_l)(a+l)_(q_l)(a+l)第一步

=4（。+1）-2（。-1）……第二步

=4a+4-勿+2...第三步

=2a+6……第四步

任務(wù)一：①以上求解過(guò)程中，第一步的依據(jù)是；

②小祺同學(xué)的求解過(guò)程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是

任務(wù)二：請(qǐng)你寫出正確的化簡(jiǎn)過(guò)程.

17.如圖，四邊形A8C0為矩形，AC為對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)。作OE_LAC于點(diǎn)E.

(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)3作DE的平行線，交AC于點(diǎn)F,要求：標(biāo)明相應(yīng)字母，保留作圖痕跡不寫作法。

(2)在(1)的條件下，求證：DE=BF.

18.春節(jié)前夕，習(xí)近平總書記赴山西慰問(wèn)基層干部群眾，1月26日下午，習(xí)近平總書記在霍州市師莊鄉(xiāng)馮

南垣村同村民一起揉花饃，花饃將銷往全國(guó)各地，臨近年關(guān)，某商店決定購(gòu)進(jìn)一批花饃，已知甲種花饃

每件的進(jìn)價(jià)比乙種花饃每件的進(jìn)價(jià)少6元，花180元購(gòu)買甲種花饃的件數(shù)與花240元購(gòu)買乙種花饃的件數(shù)

相等.(1)求甲、乙兩種花饃每件的進(jìn)價(jià)；(2)由于暢銷，第一批購(gòu)進(jìn)的花饃已經(jīng)售馨，現(xiàn)該商店決定

用40()()元再購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種花饃共20()件，結(jié)果恰逢批發(fā)商進(jìn)行調(diào)價(jià)，甲種花饃在第一批進(jìn)價(jià)的基

礎(chǔ)上9折銷售，而乙種花饃比第一批進(jìn)價(jià)提高了5%,則最多可購(gòu)買乙種花饃多少件？

19.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡(jiǎn)稱“冬奧會(huì)”）于2022年2月4日在北京開幕，本屆冬奧會(huì)設(shè)7個(gè)

大項(xiàng)、15個(gè)分項(xiàng)、109個(gè)小項(xiàng)，在全國(guó)掀起了冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮，某校組織了關(guān)于冬奧知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，隨

機(jī)抽取了七年級(jí)若干名同學(xué)的成績(jī)，并整理成如下不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖:

若干名同學(xué)的成績(jī)頻數(shù)分布表

分組頻數(shù)

60<x<704

70<x<8012

80<x<9()16

90<x<l(X)

請(qǐng)根據(jù)圖表信息，解答下列問(wèn)題：（1）本2成

績(jī)?cè)凇?0<xW100”這一組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為一。；（2）請(qǐng)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；（3）

將此次競(jìng)答活動(dòng)成績(jī)?cè)凇?0<xW90”的記為良好，在“90<xW100”的記為優(yōu)秀，已知該校初、高

中共有學(xué)生240（）名，小敏根據(jù)七年級(jí)此次競(jìng)答活動(dòng)的結(jié)果，估計(jì)該校初、高中學(xué)生中對(duì)冬奧知識(shí)掌握情

況達(dá)到良好或優(yōu)秀的人數(shù)約為：24（X）x（40%+20%）=1440,請(qǐng)你分析她的估計(jì)是否合理，并說(shuō)明理由；

（4）該校計(jì)劃對(duì)此次競(jìng)答活動(dòng)成績(jī)最高的小穎同學(xué)：獎(jiǎng)勵(lì)兩枚“2022北京冬夢(mèng)之約”的郵票，現(xiàn)有如

圖所示“2022?北京冬夢(mèng)之約”的四枚郵票供小穎選擇，依次記為A,B,C,D,背面完全相同，將

這四枚郵票背面朝上，洗勻放好，小穎從中隨機(jī)抽取一枚不放回，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一枚.請(qǐng)用列表或畫

樹狀圖的方法，求小穎同學(xué)抽到的兩枚郵票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率.

..................>>■■■>|

三，

快甲心丸3

\

CWXA.".

中間*故po*[**

ABCD

20.閱讀與思考：請(qǐng)仔細(xì)閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

利用數(shù)學(xué)知識(shí)求電阻的阻值

數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系十分密切，數(shù)學(xué)是表達(dá)物理概念、定律簡(jiǎn)明而準(zhǔn)確的語(yǔ)言，同時(shí)，數(shù)學(xué)為物理提供了

計(jì)量、計(jì)算的工具和方法.

例如：已知兩個(gè)電阻R1和此串聯(lián)后的總電阻為7Q,并聯(lián)后的總電阻為g。，求這兩個(gè)電阻的阻值各是

多少.

根據(jù)串聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得A+與=7,①

11人+凡7

根據(jù)并聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得胃+丁=玉六=2②

K,R?&R?6

把①代入②，得鳥&=6③

以上問(wèn)題也可以通過(guò)以下兩種數(shù)學(xué)方法求解.

方法1：設(shè)飛阻值為％,則R2的阻值為7-x.根據(jù)③可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x（7-x）=6是否有正數(shù)解的問(wèn)題.

方法2：設(shè)兩個(gè)電阻阻值分別為％和則根據(jù)③，得x+y=7,根據(jù)③，得孫=6.所以同時(shí)滿足要求

的正數(shù)x和＞的值可以看成反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=-x+7的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)

X

坐標(biāo)（x,y）.

12

任務(wù)：（1）已知兩個(gè)電陽(yáng)R1和R2串聯(lián)后的總電阻為io。，并聯(lián)后的總電阻為三。，請(qǐng)你借助“方法1”,

求這兩個(gè)電阻的阻值各是多少.

（2）是否存在兩個(gè)電阻R1和與，使串聯(lián)后的總電阻為4C，并聯(lián)后的總電阻為？

小明借助“方法2”解答如下：

假設(shè)存在，設(shè)這兩個(gè)電阻的阻值分別為％和y,

根據(jù)①，得x+y=.根據(jù)③，得回=.

在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，小明分別畫出了滿足條件的反比例函數(shù)y=9和一次函數(shù)y=-x+4的圖象.

X

觀察圖象可知，（填“存在”或“不存在”）滿足條件的兩個(gè)電阻.

21.2021年是中北大學(xué)建校80周年，某校“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)來(lái)到中北大學(xué)參觀學(xué)習(xí)，他們?cè)诘聭?/p>

樓前的廣場(chǎng)上參觀了彭德懷元帥的雕像（如圖1）,并計(jì)劃測(cè)量“彭德懷元帥雕像”的高度.他們制定了測(cè)量

方案并完成了實(shí)地測(cè)量.如圖2,該小組同學(xué)在點(diǎn)C處用測(cè)角儀（高度不計(jì)）測(cè)得該雕像頂端A的仰角

ZAEM=61°,向雕像的另一側(cè)前進(jìn)9.5m到達(dá)點(diǎn)。處，再次測(cè)得該雕像頂端A的仰角NAGN=45。，

已知該同學(xué)的眼晴到地面的距離為1.5加，請(qǐng)根據(jù)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，求彭德懷元帥雕像的高度.（結(jié)果精確

到0.1根；參考數(shù)據(jù)：sin61°?0.87,cos61°?0.48,tan61°?1.80）

圖1

22.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：四邊形A8CO是正方形，對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)。，尸是正方形內(nèi)一點(diǎn)，ZBFC=90°.

將△BEC繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到ADEC,點(diǎn)3,P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)。，E,直線EF

經(jīng)過(guò)點(diǎn)。.

特例分析：（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，判斷四邊形CEOF的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫出所

與?！甑臄?shù)量關(guān)系.

深入探究：（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。不重合時(shí)，試判斷OE，E0,尸。之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

類比遷移：（3）如圖3,將正方形ABCO改為菱形，對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，廠是菱形內(nèi)一點(diǎn),

N3fC=90°,將△班C繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△OEC，點(diǎn)B,尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)。，E.

請(qǐng)直接寫出。E，EO,尸。之間的數(shù)量關(guān)系.

1,

23.綜合與探究：如圖，拋物線＞=一5/+區(qū)+。與％軸交于人，3兩點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)3,C

的坐標(biāo)分別為（2,0）,（0,3）,點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱，P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接P。、

交AC于點(diǎn)Q.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求PQ：OQ的最大值；（3）在

y軸上是不存在點(diǎn)〃，使NAA仍=45°?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案與解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）某地一天的最高氣溫是12°C,最低氣溫是-2°C,則該地這天的溫差是（）

A,-10℃B.10'CC.14℃D.-14℃

【答案】C

【詳解】12-(-2)=14(°C).故選:C.

既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【詳解】A.既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

B.不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意.故選：A.

3.（3分）下列運(yùn)算中正確的是（）

A.V2x>/3=V6B.V2+>/3=V5C.后+6=2D.-l2=-2

【答案】A

【詳解】A、原式=7^=",所以A選項(xiàng)正確；B、虛與石不能合并，所以8選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、原式=而萬(wàn)=3,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、原式=-1,所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.

4.（3分）己知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（）

【答案】A

【詳解】?.?主視圖和左視圖是三角形，.,?幾何體是錐體，

?.?俯視圖的大致輪廓是圓，該兒何體是圓錐.故選：A.

5.（3分）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在尸D的延長(zhǎng)線上，ABHCF,NF=NAC8=90。，則ND8C

的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.18°D.30°

【答案】B

【詳解】由題意可得：NEDF=45°,ZABC=30°,

-,-AB//CF,:.ZABD=ZEDF=45°,.-.ZZ)SC=45o-30o=15o.故選：B.

6.（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

3x>2x-1

111!’1I—1

A.-2-1012'B.-2-102

1]I1

c.-2-io2，D.-2-102

【答案】C

【詳解】｛；!：2?二臺(tái)4①，由①得若，］；由②得天>一1；故不等式組的解集為T<X,1，

-I心」------------->

在數(shù)軸上表示出來(lái)為：-2-102.故選：c.

7.（3分）如圖，在四邊形MCD中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,下列條件不能判定四邊形AfiCD為

A.AB//CD,AD//BCB.AD//BC,AB=CDC.OA=OC,OB=ODD.AB=CD,AD=BC

【答案】B

【詳解】A、根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判定；

3、無(wú)法判定，四邊形可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形；

C、根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以判定；

。、根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以判定；故選：B.

8.（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈

繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量

木條，木條剩余1尺，問(wèn)木條長(zhǎng)多少尺？如果設(shè)有木條長(zhǎng)x尺，那么可列方程為（）

YY

A.x-4.5=--lB.x+4.5=--lC.x+4.5=2（x+l）D.x+4.5=2（x-l）

22

【答案】D

【詳解】依題意，得：x+4.5=2（x-l）.故選：D.

9.（3分）如圖，已知￡為矩形紙片ABCD的邊DC上一點(diǎn)，將矩形紙片ABCD沿BE折疊，使點(diǎn)C恰好

落在邊4）上的點(diǎn)尸處，若A8=6,AE>=10,則OE的長(zhǎng)為（）

O1A

A.2B.-C.3D.—

33

【答案】B

【詳解】設(shè)止=x,則CE=6—x,由翻折的性質(zhì)得，

BC=BF=\0,AB=6AF=8DF=AD-DF=\0-8=2,

在RtADEF中，?.-EF=CE=6-x,DEr+DF2-EF2,x2+22=(6-x)2,

解得：x=-.BPDE--.故選：B.

33

10.（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊3c上的一點(diǎn)，連接￡>￡,AE,BD,且AE,BD交于

點(diǎn)尸，AB=6,BE=3,則陰影部分的面積是（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【詳解】???四邊形/WOO是正方形，.?.AD//8C,AD=AB=6,

Ansp

:./SADFsgBF,—=—=2,:.AF=2EF,

BEEF

'''=6>BE=3,5A=SABEO=5xBExAB=9>

7

.?.陰影部分的面積=6+9=5故選：D.

二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11.（3分）不等式g（x—2）<3的解集是—.

【答案】x<8

【詳解】x-2<6.x<6+2,x<8,故答案為x<8.

12.（3分）一個(gè)正多邊形，它的一個(gè)內(nèi)角等于一個(gè)外角的2倍，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是—.

【答案】6

【詳解】設(shè)正多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為x。，由題意得2x+x=180。，

解得x=60,360。+60。=6，所以這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是6.故答案為6.

13.（3分）如圖是一組有規(guī)律排列的圖案，它們是由邊長(zhǎng)為1的正方形組成，第（1）個(gè)圖案有邊長(zhǎng)為1

的小正方形3個(gè)，第（2）個(gè)圖案有邊長(zhǎng)為1的小正方形6個(gè)，第（3）個(gè)圖案有邊長(zhǎng)為1的小正方形9

個(gè)，…依此規(guī)律，則第（“）個(gè)圖案中，邊長(zhǎng)為1的小正方形有一個(gè).

第（2）個(gè)圖案有邊長(zhǎng)為1的小正方形的個(gè)數(shù)為：6=3x2,

第（3）個(gè)圖案有邊長(zhǎng)為1的小正方形的個(gè)數(shù)為：9=3x3,

第（4）個(gè)圖案有邊長(zhǎng)為1的小正方形的個(gè)數(shù)為：12=3x4,...

第（〃）個(gè)圖案有邊長(zhǎng)為1的小正方形的個(gè)數(shù)為：3n.故答案為：3〃.

14.（3分）有三把鑰匙（編號(hào)分別是1,2,3）與三把鎖（編號(hào)分別是A,B,C）,每把鑰匙只能打開

其中一把鎖，每把鎖只有一把鑰匙能打開.如果從三把鑰匙中隨機(jī)抽取兩把，那么能一次性（即不能試）

打開A鎖與3鎖的概率是.

【答案】-

6

【詳解】隨機(jī)抽取兩把分別打開A,5鎖，所有可能的結(jié)果為：12,13,21,23,31,32,

共有6種等可能的情況數(shù)，其中能一次性（即不能試）打開A鎖與5鎖的有1種，

所以一次打開A鎖與3鎖的概率=」.故答案為：

66

15.（3分）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,26）,與y軸相切，點(diǎn)C是0A上的動(dòng)點(diǎn)，

射線3c與x軸交于點(diǎn)。，則如長(zhǎng)的最大值等于—.

【答案】4G

【詳解】當(dāng)射線與OA相切時(shí)，BD最大,

如圖，過(guò)8作OA的切線3C'交x軸于8。即為所求，再連接AC',AB.

?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,26),;.。4=2,OB=2拒,

％2

tan2^480==—產(chǎn)=—,:.ZABO=30°,ZOAB=60°,

OB2G3

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，BO=BC,ZABO=ZABC'=30°,/.ZADV=30°,:.AB=Aiy,

-.■ACYBiy,:.BC=CD',:.BD'=4y/3.故答案為46.

三.解答題(共8小題，滿分75分)

21

16.（1）計(jì)算：（―3—2）x（—~+2,

42

(2)下面是小祺同學(xué)化簡(jiǎn)分式------的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

a-1。+1

解.原式=型二

L第一步

=4（a+l）-2（a-1）...第二步

=4a+4-2。+2...第三步

=2a+6...第四步

任務(wù)一：①以上求解過(guò)程中，第一步的依據(jù)是

②小祺同學(xué)的求解過(guò)程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是

任務(wù)二：請(qǐng)你寫出正確的化簡(jiǎn)過(guò)程.

【答案】(1)；(2)分式的基本性質(zhì)，二，丟掉分母，化簡(jiǎn)過(guò)程見解析

10

【分析】(1)先算乘方，再算乘除，最后算減法即可；(2)任務(wù)一：根據(jù)分式的基本性質(zhì)求解即可；任

務(wù)二：根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則求解即可.

44113

【詳解】解：(1)原式=(—5)x——4+8=------=―；

v7255210

(2)任務(wù)一：①以上求解過(guò)程中，第一步的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；

②小祺同學(xué)的求解過(guò)程從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是丟掉分母；

在父一.而十二4(a+l)______2(a-l)=4a+4-2。+2；2a+6_2a+6

J2

(a+l)(cz-l)(cz+l)(a-l)(a+l)(a-l)+a-1

故答案為：①分式的基本性質(zhì)；②二、丟掉分母.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算、分式的加減等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握分式的加減

運(yùn)算法則及依據(jù).

17.如圖，四邊形A8CO為矩形，AC為對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)。作O￡_LAC于點(diǎn)E.

（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)3作DE的平行線，交AC于點(diǎn)F,要求：標(biāo)明相應(yīng)字母，保留作圖痕跡不寫作法。

（2）在（1）的條件下，求證：DE=BF.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧交AC于點(diǎn)M,N,分別以歷，N為圓心，大于

2

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧將于點(diǎn)P,連接8P并延長(zhǎng)交4c于點(diǎn)F,則BFLAC,從而BF//DE

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)即可證明。E=8F.

【小問(wèn)1詳解】如圖，防即為所求；

【小問(wèn)2詳解】證明：?.?四邊形ABCO是矩形，.二△ABC和AA。。的面積相等，

DE1AC,BFA.AC,:.DE=BF.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖，矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂線的作法.

18.春節(jié)前夕，習(xí)近平總書記赴山西慰問(wèn)基層干部群眾，1月26日下午，習(xí)近平總書記在霍州市師莊鄉(xiāng)馮

南垣村同村民一起揉花饃，花饃將銷往全國(guó)各地，臨近年關(guān)，某商店決定購(gòu)進(jìn)一批花饃，已知甲種花饃

每件的進(jìn)價(jià)比乙種花饃每件的進(jìn)價(jià)少6元，花18（）元購(gòu)買甲種花饃的件數(shù)與花24（）元購(gòu)買乙種花饃的件數(shù)

相等.（1）求甲、乙兩種花饃每件的進(jìn)價(jià)；（2）由于暢銷，第一批購(gòu)進(jìn)的花饃己經(jīng)售馨，現(xiàn)該商店決定

用4000元再購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種花饃共200件，結(jié)果恰逢批發(fā)商進(jìn)行調(diào)價(jià)，甲種花饃在第一批進(jìn)價(jià)的基

礎(chǔ)上9折銷售，而乙種花饃比第一批進(jìn)價(jià)提高了5%,則最多可購(gòu)買乙種花饃多少件？

【答案】（1）甲種花饃每件的進(jìn)價(jià)為18元，則乙種花饃每件的進(jìn)價(jià)為24元；（2）84件

【分析】（1）設(shè)甲種花饃每件的進(jìn)價(jià)為4元，則乙種花饃每件的進(jìn)價(jià)為（x+6）元，由題意：花180元購(gòu)

買甲種花饃的件數(shù)與花240元購(gòu)買乙種花饃的件數(shù)相等.列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)購(gòu)買乙種花饃。件，由題意：現(xiàn)該商店決定用4000元再購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種花饃共200件，結(jié)

果恰逢批發(fā)商進(jìn)行調(diào)價(jià)，甲種花饃在第一批進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上9折銷售，而乙種花饃比第一批進(jìn)價(jià)提高了5%,

列出一元一次不等式，解不等式即可.

【小問(wèn)1詳解】設(shè)甲種花饃每件的進(jìn)價(jià)為x元，則乙種花饃每件的進(jìn)價(jià)為（x+6）元，

由題意得：出=生,,解得：x=]8，

xx+6

經(jīng)檢驗(yàn)，x=18是原方程的解，且符合題意，則x+6=24，

答：甲種花饃每件的進(jìn)價(jià)為18元，則乙種花饃每件的進(jìn)價(jià)為24元；

【小問(wèn)2詳解】設(shè)購(gòu)買乙種花饃。件，則購(gòu)買甲種花饃（200—。）件，

由題意得：24a（l+5%）+18x90%x（200—a）44（XX）.解得：a<84^.

「a為正整數(shù)，a的最大值為84,答：最多可購(gòu)買乙種花饃84件.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

19.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡(jiǎn)稱“冬奧會(huì)”）于2022年2月4日在北京開幕，本屆冬奧會(huì)設(shè)7個(gè)

大項(xiàng)、15個(gè)分項(xiàng)、109個(gè)小項(xiàng)，在全國(guó)掀起了冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮，某校組織了關(guān)于冬奧知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，隨

機(jī)抽取了七年級(jí)若干名同學(xué)的成績(jī)，并整理成如下不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：

若干名同學(xué)的成績(jī)頻數(shù)分布表

分組頻數(shù)

6()<x<7()4

70<x<8012

80<x<9016

90<x<100

請(qǐng)根據(jù)圖表信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次知識(shí)競(jìng)答共抽取七年級(jí)同學(xué)名；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，成

績(jī)?cè)?90<x<100”這一組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為一。；（2）請(qǐng)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；（3）

將此次競(jìng)答活動(dòng)成績(jī)?cè)凇?0<xW90”的記為良好，在“90<xW100”的記為優(yōu)秀，已知該校初、高

中共有學(xué)生2400名，小敏根據(jù)七年級(jí)此次競(jìng)答活動(dòng)的結(jié)果，估計(jì)該校初、高中學(xué)生中對(duì)冬奧知識(shí)掌握情

況達(dá)到良好或優(yōu)秀的人數(shù)約為：2400x（40%+20%）=1440,請(qǐng)你分析她的估計(jì)是否合理，并說(shuō)明理由；

（4）該校計(jì)劃對(duì)此次競(jìng)答活動(dòng)成績(jī)最高的小穎同學(xué)：獎(jiǎng)勵(lì)兩枚“2022北京冬夢(mèng)之約”的郵票，現(xiàn)有如

圖所示“2022?北京冬夢(mèng)之約”的四枚郵票供小穎選擇，依次記為A,B,C,D,背面完全相同，將

這四枚郵票背面朝上，洗勻放好，小穎從中隨機(jī)抽取一枚不放回，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一枚.請(qǐng)用列表或畫

樹狀圖的方法，求小穎同學(xué)抽到的兩枚郵票恰好是3（冰墩墩）和C（雪容融）的概率.

(4)-

6

【分析】（1）由成績(jī)?cè)凇?0<%,80”的人數(shù)除以所占百分比得出本次知識(shí)競(jìng)答共抽取七年級(jí)同學(xué)的人

數(shù)，即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)成績(jī)?cè)凇?0<%,100”這一組的人數(shù)，即可解決問(wèn)題；

（3）從學(xué)生的學(xué)段進(jìn)行說(shuō)明即可；（4）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中小穎同學(xué)抽到的兩枚郵

票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容融）的結(jié)果有2種，再山概率公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】解：本次知識(shí)競(jìng)答共抽取七年級(jí)同學(xué)為：12+30%=40（名），

則在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，成績(jī)?cè)凇?0<%，100”這一組的人數(shù)為：40—4—12—16=8（名）,

Q

在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，成績(jī)?cè)凇?0<%,100”這一組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：360°x——=72。,

40

故答案為：40,72；

【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，成績(jī)?cè)凇?0<%,100”這一組的人數(shù)為8名，

【小問(wèn)3詳解】不合理，理由如下：因?yàn)槌酢⒏咧袑W(xué)生對(duì)奧運(yùn)知識(shí)的掌握程度不同，該校七年級(jí)學(xué)生對(duì)

奧運(yùn)知識(shí)掌握的程度不能代表全校學(xué)生，所以根據(jù)七年級(jí)競(jìng)答活動(dòng)的結(jié)果，估計(jì)全校學(xué)生中奧運(yùn)知識(shí)掌

握情況達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)不合理.

【小問(wèn)4詳解】畫樹狀圖如下:

開始

ABCD

/4\/N/1\/1\

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中小穎同學(xué)抽到的兩枚郵票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容融）的結(jié)果有2種,

21

故小穎同學(xué)抽到的兩枚郵票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容副1）的概率為一=

126

【點(diǎn)睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖等知識(shí).樹狀圖法可以不重

復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是

不放回試驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20.閱讀與思考：請(qǐng)仔細(xì)閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

利用數(shù)學(xué)知識(shí)求電阻的阻值

數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系十分密切，數(shù)學(xué)是表達(dá)物理概念、定律簡(jiǎn)明而準(zhǔn)確的語(yǔ)言，同時(shí)，數(shù)學(xué)為物理提供了

計(jì)量、計(jì)算的工具和方法.

例如：已知兩個(gè)電阻R1和&串聯(lián)后的總電阻為7Q,并聯(lián)后的總電阻為3。，求這兩個(gè)電阻的阻值各是

多少.

根據(jù)串聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得4+4=7,①

根據(jù)并聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得=+丁=~^『=7②

R2叫&6

把①代入②，得與尺2=6③

以上問(wèn)題也可以通過(guò)以下兩種數(shù)學(xué)方法求解.

方法1：設(shè)R1阻值為X,則此的阻值為7-x.根據(jù)③可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為X(7-X)=6是否有正數(shù)解的問(wèn)題.

方法2：設(shè)兩個(gè)電阻阻值分別為％和丁，則根據(jù)③，得x+y=7,根據(jù)③，得孫=6.所以同時(shí)滿足要求

的正數(shù)x和y的值可以看成反比例函數(shù)y=勺的圖象與一次函數(shù)y=-x+7的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)

X

坐標(biāo)(x,y).

12

任務(wù)：(1)已知兩個(gè)電陽(yáng)凡和&串聯(lián)后的總電阻為10Q，并聯(lián)后的總電阻為一。，請(qǐng)你借助“方法1”,

求這兩個(gè)電阻的阻值各是多少.

(2)是否存在兩個(gè)電阻R|和&,使串聯(lián)后的總電阻為4C，并聯(lián)后的總電阻為？

小明借助“方法2”解答如下：

假設(shè)存在，設(shè)這兩個(gè)電阻的阻值分別為x和y,

根據(jù)①，得x+y=.根據(jù)③，得沖=.

在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，小明分別畫出了滿足條件的反比例函數(shù)y=9和一次函數(shù)y=-x+4的圖象.

X

觀察圖象可知，（填“存在”或“不存在”）滿足條件的兩個(gè)電阻.

【答案】（1）4。和60；（2）4.6,不存在.

【分析】（1）根據(jù)題意，得方程x（10—x）=24解方程即可；

（2）根據(jù)題意可得x+y=4,xy=6,求x與y的值即求一次函數(shù)y=-x+4與反比例函數(shù)y=9有無(wú)交

點(diǎn)，根據(jù)圖象判斷即可.

,x+y=10

【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)兄=》，則耳=00一%），根據(jù)題意得＜x+y=5,

xy-12

得肛=24,將x+y=10代入，得x(10—x)=24,解方程得x=4或％=6,

???這兩個(gè)電阻的阻值分別為：4Q和6Q.

y=4

【小問(wèn)2詳解】設(shè)4=1，則凡=y,根據(jù)題意得《/，

xy=6

A

求解x和y的過(guò)程即為求一次函數(shù)y=-X+4與反比例函數(shù)y=—的交點(diǎn)問(wèn)題，

x

根據(jù)圖象可知，兩函數(shù)沒有交點(diǎn)，，不存在滿足條件的兩個(gè)電阻.故答案為：4，6,不存在.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型是解決本題的關(guān)鍵.

21.2021年是中北大學(xué)建校80周年，某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)來(lái)到中北大學(xué)參觀學(xué)習(xí)，他們?cè)诘聭?/p>

樓前的廣場(chǎng)上參觀了彭德懷元帥的雕像（如圖D,并計(jì)劃測(cè)量“彭德懷元帥雕像”的高度.他們制定了測(cè)量

方案并完成了實(shí)地測(cè)量.如圖2，該小組同學(xué)在點(diǎn)C處用測(cè)角儀（高度不計(jì)）測(cè)得該雕像頂端A的仰角

ZA￡M=61°,向雕像的另一側(cè)前進(jìn)9.5m到達(dá)點(diǎn)。處，再次測(cè)得該雕像頂端A的仰角NAGN=45°,

己知該同學(xué)的眼晴到地面的距離為1.5加，請(qǐng)根據(jù)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，求彭德懷元帥雕像的高度.（結(jié)果精確

到O.bw；參考數(shù)據(jù)：sin610*0.87,cos61°?0.48,tan610*1.80）

【答案】7.6m

【分析】連接,過(guò)點(diǎn)A作AB_LEG,垂足為5,可得四邊形ECDG是矩形,從而得EG=CD=9.5m,

然后設(shè)A3=xm，在和用△ABE中，分別表示出￡B，BG的長(zhǎng)，列出關(guān)于％的方程，進(jìn)行

計(jì)算即可解答.

【詳解】解：連接MN,過(guò)點(diǎn)A作ABLEG，垂足為B，

A

ARx

設(shè)=在中，ZAGB=45°：.BG=------=-=xm,

tan4501

ASx5

在RfAABE中，ZAEB=61°:.EB=-------=—=-xm

tan6101.89

?;EB+BG=EG:.-x+x=9.5解得xa6.ll..AB=6.11

9

，AB+EC=6.11+1.5a7.6m：.彭德懷元帥雕像的高度為7.6加.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o

助線是解題的關(guān)鍵.

22.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：四邊形A8C0是正方形，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，F(xiàn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，/BFC=90。.

將4BFC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到ADEC,點(diǎn)B，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E,直線所

經(jīng)過(guò)點(diǎn)。.

特例分析：（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)。重合時(shí)，判斷四邊形CEO/的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫出跖

與。石的數(shù)量關(guān)系.

深入探究：（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。不重合時(shí)，試判斷DE，EO,F0之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

類比遷移：（3）如圖3,將正方形A8CD改為菱形，對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，廠是菱形內(nèi)一點(diǎn),

NBEC=90°,將△3FC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△OEC，點(diǎn)B,尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)O,E.

請(qǐng)直接寫出。E，E0,尸。之間的數(shù)量關(guān)系.

E

【答案】(1)四邊形CEO/是正方形，理由見解析，EF=^DE；

(2)E0-F0=6DE,理由見解析；(3)OE+OF=gDE，理由見解析

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可得BO=CO=DO,BC=CD，ZBC￡>=90°.由旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)可得CO=￡)O=CE=OE，可得結(jié)論；

(2)由“S4S”可證△0OE絲ABOH,可得DE=BH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得FC=CE，

NECF=90°=NBCD,BH=BF=DE，可求N”M=90°,由等腰直角三角形的性質(zhì)可求

HF=41BH?即可求解；

(3)山“S4S”可證AAD歸段△□>￡,可得NAWD=NZ)EC=90°,由四邊形內(nèi)角和定理可求

Z.G=ZFCE=60°,由“AS4”可證AAOHgACOF，可得OH=OF,可得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】四邊形CEDF是正方形，理由如下，

???四邊形ABC。是正方形，.?.ACJ_8D,BO=CO=DO,BC=CD，/BCD=90。，

???將ZXBFC繞點(diǎn)、C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到ADEC,

.-.CO=CE,BO=DE,：.CO=DO=CE=DE,；.四邊形CODE是菱形,

又?.?AC人BO,...四邊形CODE是正方形，即四邊形CEDE是正方形，.?.￡：/=QOE；

【小問(wèn)2詳解】EO-FO=6DE，理由如下：

如圖2，延長(zhǎng)所至“，使EO=HO,連接8H，

:EO=HO,/DOE=/BOH，DO=BO,

:.ADOE經(jīng)ROH(SAS),：.DE=BH,:.ZBHF=ZBFH，

???將4BFC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到ADEC,

:.FC=CE,NECF=90°=NBCD，BF=DE-..NCEE=45。，BH=BF=DE，

ZBFC=90°.ZBFH=1800-ZCFE-ZBFC=45°=ZBHF，

:./HBF=9QP,HF=y/2BH.:.HF=OH—OF=OE—OF=^DE，

即：OE-OF=6DE；

圖2

【小問(wèn)3詳解】OE+OF=6DE，理由如卜，

如圖3,過(guò)點(diǎn)。作NEDH=120°,交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，連接AH，并延長(zhǎng)交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

G，DPA.EH于點(diǎn)P，???將ABFC繞,點(diǎn)、C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得至UADEC,

:.CE=CF,ED=BF，NECF=/BCD=60°,/BFC=QEC=9伊,

.-.△BCD,MEF都是等邊三.角形，：.NCFE=NCEF=60°，NDCH=/DEC-NCEF=30°，

-.?ZHZ)E=120°.：.ZDHE=3Q°=ZDEH,：.DE=DH,

義?.DPLEH，4DEP=3V,:.HP=PE=SDP，DE=2DP，:.HE=6DE，

???四邊形ABC。是菱形，ZBCD=60。，：.AD=CD，ZADC=120°=ZEDH,AO=CO,

:.ZADH=NCDE,.?.△AD"ACDE(SAS),