《高等數學》(Ⅱ)期末考試試卷(A)

如03級《高等數學》（II）期末考試試卷（A）

（工科類）

專業(yè)：姓名：學號：考試日期：2004.6.11.

六

題號—■二三四五七八九十十一總分

得分

說明：1.本試卷共6頁；

2.答案必須寫在該題后的橫線上或括號中或寫在該題下方空白處，不得寫在

草稿紙中，否則該題答案無效.

一、填空題（本題15分，每小題3分）

X22

1.設/為橢圓a+=L其周長記為。，則|（2沖+31+4/川5=.

2.光滑曲面z=/（x,y）在坐標平面x。），上的投影域為。，那么該曲面的面積可用二重積分表

示為.

3.設L為圓周=9取正向，則曲線積分，J2xy-2y）dx+（x2一4x）dy=.

4.在微分方程y"-3y'+2y="（/+1）中，可設其特解形式（不用求出待定系數）為

*

y=?

5.函數〃=x2+y3+z3-3xyz的梯度在曲面上垂直于z軸.

二、選擇題（本題15分，每小題3分）

1.設二元函數/（x,y）在點（xo，y（））可微，則/（%,?）在點（兀0，》0）處卜列結論不一定成立的是

（）

（A）連續(xù)（B）偏導數存在（C）偏導數連續(xù)（D）有定義

2.由拋物線〉=『及直線y=1所圍成的均勻薄片（面密度為0）對于直線/:y=-1的轉

動慣量為/產()

(A)Jj(x-i)2dxdy（B）p^[x+\fdxdy

DD

(C)p^y+\)2dxdy（D）pJJ（y-l）2dx力

DD

（1

3.設a為常數,則級數￡(-1)'

n=l

(A)發(fā)散(B)絕對收斂

(C)條件收斂(D)收斂性與"的取值有關

4.設。是由Z=/+y2與z=l所圍成的在第一卦限的部分，則JJJ7(x,y,z)dvH()

Q

(?1e4zplz-x2flrJ\-x2^x2+y2

(A)￡dz￡f(x,y,z)dy(B)￡dx￡dyj()/(x,y,z)dz

(C)\drf,/(rcos0,rsin0,z)rdz(D)f'c/x,J(x,y,z)dz

8

5.^/(x)=x2,0<x<l,而正弦級數S(x)=Z"sin/trx,其中

n=I

flj

bn=2^f(x)sinn/ixdx(〃=1,2,3,…)，則S(一］)=()

(A)--(B)--(C)-(D)-

2442

三、(本題8分)設z=/3,x,y),〃=xe"其中，具有二階連續(xù)導數，求

dxoy

四、(本題8分)設函數/(x,y,z)=xy+zx+yz-x-y-z+6f問在點P(3,4,0)處沿怎樣的

方向/,/的變化率最大？并求其最大的變化率.

五、(本題8分)計算二重積分jj(x+y)dxdy,其中O={(x,y)|x2+/W2x}.

六、(本題8分)計算曲面積分有/辦收+dzdx+其中

Z

/(〃)具有連續(xù)的導數，Z為由曲面Z=Jx2+y2,z="l—x2—y2,z=j4—x2—y2,所圍立

體表面外側.

七、(本題8分)將函數/(x)=ln(4x-5)展開為(x-2)的募級數，并指出其收斂域.

82.1

八、(本題8分)求幕級數的收斂域與和函數.

M?

九、(本題8分)已知曲線積分J/e'+2/(x)]Mx-/(x)dy與積分路徑無關，且/(0)=0,

求/(%),并計算f>[e*+2f(x)]ydx-f(x)dy的值.

J(o,o)

十、(本題8分)一容器在開始時盛有鹽水溶液100升，其中含凈鹽10公斤，然后以每分鐘

3升的速率注入清水，同時又以每分鐘2升的速率將沖淡的溶液放出，容器中裝有攪拌器，使

容器中的溶液保持均勻，求過程開始后1小時溶液的含鹽量.

產/_1\H-I22產/_

^一、(本題6分)證明￡~~--cosnx=-------,XE[-71,7C],并求級數￡——7—的和.

占〃2124￡“2

2003級《高等數學》(II)期末考試試卷(B)

(工科類)

專業(yè)：姓名：學號：考試日期：2004.6.11.

六

題號—■二三四五七八九十十一總分

得分

說明：1.本試卷共6頁；

2.答案必須寫在該題后的橫線上或括號中或寫在該題下方空白處，不得寫在

草稿紙中，否則該題答案無效.

一、填空題(本題15分，每小題3分)

1.設L為圓周，+V=9取正向，則曲線積分,J2xy-2y)dx+(x2-4x)dy=.

2.在微分方程+2y=/(_?+1)中，可設其特解形式(不用求出待定系數)為

*

y=?

22.

3.設Z,為橢圓亍+]~=1,其周長記為貝IIj(2沖+3x?+4)』)ds=.

4.光滑曲面z=/(x,y)在坐標平面xOy上的投影域為。，那么該曲面的面積可用二重積分表

示為.

5.函數“=1—3x”的梯度在曲面上垂直于z軸.

二、選擇題(本題15分，每小題3分)

1.設。為常數，則級數Z(-D"rcos7j()

〃=1

(B)發(fā)散(B)絕對收斂

(C)條件收斂(D)收斂性與a的取值有關

2.設。是由％=X2+>2與[=1所圍成的在第一卦限的部分，貝U1|7(x,y,Z)dvW()

Q

/,Irlz-x2flfjl-x2

(A)Jo^JAo/7q(B)d)‘I)'/(x'y'z)dz

(C)『J。［/jj(rcosarsine,z)rdz(D)1公/dy'^2+2f(x,y,z)dz

3.若二元函數/(x,y)在點(見，打)可微，則f(x,y)在點(%,)/)處下列結論不一定成立的是

()

(A)連續(xù)(B)偏導數存在(C)偏導數連續(xù)(D)有定義

4.設/(X)=X2,04X<1,而正弦級數5(》)=￡。"$布"%%,其中

n=l

=21/(x)sinnmdx(“=1,2,3,…)，則S(-g)=()

(A)(B)—(C)-y(O)2

2442

5.由拋物線y=》2及直線>=1所圍成的均勻薄片(面密度為0)對于直線/：y=—l的轉

動慣量為/尸()

(A)p^(x-V)2dxdy(B)夕Jj(x+l/dxdy

DD

(C)X?JJ(y+1)2dxdy(D)p^y-\^dxdy

DD

三、(本題8分)設函數/0,%2)=孫+^+”-犬-了-2+6,問在點/>(3,4,())處沿怎樣的

方向/,/的變化率最大？并求其最大的變化率.

527

四、(本題8分)設Z=/(〃,X,)，),〃=xe>',其中/具有二階連續(xù)導數，求三

dxdy

y\

五、(本題8分)計算曲面積分名.'xidydz+-/I+/dzdx+f—J+z3dxdy,其中

Z

/(〃)具有連續(xù)的導數，Z為由曲Ifilz=jx2+y2,z=jl-x2-y2,z=j4-x2-y2,所圍立

體表面外側.

六、(本題8分)計算二重積分JJ(x+y)dxdy,其中￡)={(x,y)|/42x}.

D

oo2,i

七、(本題8分)求幕級數￡上4"的收斂域與和函數.

M?

八、(本題8分)將函數/(x)=ln(4x-5)展開為(x-2)的塞級數，并指出其收斂域.

九、(本題8分)?容器在開始時盛有鹽水溶液100升，其中含凈鹽10公斤，然后以每分鐘

3升的速率注入清水，同時又以每分鐘2升的速率將沖淡的溶液放出，容器中裝有攪拌器，使

容器中的溶液保持均勻，求過程開始后1小時溶液的含鹽量.

十、(本題8分)已知曲線積分Jje,+2/(x)]*/x-f(xM)，與積分路徑無關，且/(0)=0,求

小)，并計算幾產+2/(刈MT⑶力的值.

0c_22g

H-----、(本題6分)證明y------COS72X=----------------,XG[-K,71],并求級數，------的和.

M?-124M〃

2003級《高等數學》（II）期末試卷A卷答案

專業(yè)年級：姓名：學號：成績：

一、填空題（本題15分，每小題3分）

1.函數，，=x?+V+名3-3盯z的梯度在（曲面z2=xy）上垂直于z軸

22.

2.設/為橢圓亍+3=1,其周長記為a,則，（2xv+3—+4V2）A=12a.

3.光滑曲面z=/（x,y）在坐標平面xOy上的投影域為。，那么該曲面的面積可用二重積分表

示為.

加+聞+圖%＞

4.設L為圓周/+y?=9取正向，則曲線積分，（2盯-2y）dx+（x2-4x）dy=18n

5.在微分方程y"-3y,+2y=excos2x中，可設其一個特解形式為

xx

（y*=Axecos2x+B]esin2x）.

二、選擇題（本題15分，每小題3分）

1.若二元函數/（x,＞）在點（X。,打）可微，則/（x,＞）在點（尤。,凡）處下列結論不一定成立的是

（D）

（A）連續(xù)（B）偏導數存在（C）偏導數連續(xù)（D）有定義

2.由拋物線y=/及直線y=i所圍成的均勻薄片（密度為0）對于直線/:y=-l的轉動

慣量為/產（C）

（A）p—Y）2dxdy（B）/?|J（x+V）'dxdy

DD

(C)PJJ(y+l)2dMV(D)p^(y-Yfdxdy

DD

3.設。為常數，則級數￡(-1)(1

B)

n=lI

(C)發(fā)散(B)絕對收斂

(C)條件收斂(D)收斂性與。的取值有關

4.設。是由z=/+)°與z=1所圍成的在第一卦限的部分，則y,z)dn*

(B)

IVz4z-P1%/l-x2x2+y"

(A)JdzJdx^f(x,y,z)dy(B)Jdxjdyj/(x,y,z)dz

000000

*

2

2111Vl-X1

(C)Jc/6^drj/(rcosO.rsin仇z)rdz(D)JdxjdyJ/(x,y,z)dz

oo,-200x2+y2

oo

5.設/(%)=12,0,而正弦函數S(x)=sin〃萬x,其中

M=1

bn=2^f(x)sinnxdx(〃=1,2,…)，貝"(-，)=()C

o2

(A)(5)一；(C)j(D)g

2442

三、解下列各題(本題28分，每小題7分)

2

dZ

1.設z=/(w,x,y),〃=xe'，其中/具有二階連續(xù)導數，求---.

oxdy

包=小y

dx1+fz

二=">'y

+力―+f2\xe+￡3+力'''

dxdy

2.設函數/(x,y,z)=xy+zx+yz-x-y-z+6,問在點P(3,4,0)處沿怎樣的方向/,/的

變化率最大？并求其最大的變化率.

解gradf(3,4,0)=(y+z-1,x+z-1,x+y-1)|=(3,2,6)

能1=(3,2,6)的方向變化率最大.

其最大的變化率為m=|gra"(3,4,0)|=7.

Olp

3.計算二重積分jj(x+y)dxdy,其中。={(x,y)]/+)/W4,x?+)/一2x20}.

D

解JJ(x+y)dxdy=^xdxdy=^xdxdy-^xdxdy

DD3D2

pfJ/2cosG161A163171

二一2"xdxd'u—fJ0[rcos0rdr=--Fcos40J0=---------=一兀.

JJA33422

°2上

2222

其中￡>1={(x,y)|x+y<4,},D2={(x,y)|x+y-2x<0}.

4..計算曲面積分牛3)收+|/|

+y3dzdx+dxdy,其中/(〃)具有連續(xù)的

z

導數，Z為由曲面Z=z=ji—x2—y2,z=j4—J—y2,所圍立體表面外側.

解原式=30/(/+/+22)公=3口05附＞jr4sin^dr

c

=6Kj^sin(pj(p--/-5=—(2-A/2)7T..

四、計算或證明下列各題(本題21分，每小題7分)

1.將函數〃x)=ln(4x-5)展開為x-2的幕級數，并指出其收斂域.

4

解/(x)=ln[4(x—2)+3]=In3+ln[l+-(x-2)]

：(x-2)

=ln3+y(-1)"-1-------

Jn

oo2,i

2.求事級數ZUlx"的收斂域與和函數.

"=1n

解：因為：1加1也1=1,8=±1時級數發(fā)散,.??收斂域為(-1,1)

f

=\1Xj+j]l公=]-2-EQ-幻'1)

3.證明—cosnx=-———,XG[-TU,K],并求級數—的和.

3〃-124念〃

22

證因為[-亍為偶函數,故將f在[-兀,兀]內展為余弦級數.

x2.2x1.4(-1)"

——smnx+—cosnx-—smnx

兀山兀nn'n2

0

COSnx,(-7t<x<7t)

oo匯8s〃“仁-《，.-…].

zn~124

”=1

犬二0得

/(-1)"-'兀2

五、計算下列各題(本題21分，每小題7分)

1.已知曲線積分力與積分路徑無關，且f(0)=0,求八x),并計算

>(1.1)

[ex+2f(x)]ydx-f(x)dy的值.

1(0,0)

解嵯嚕得

f\x)+2f(x)=-ex,

/(x)=e卜e'e"dx+C=Ce~2x

因為/(0)=0,所以c=g,

于是f[x}=^(e-2x-ex).

故]:；[e*+2/(x)]ydx-/(x)dy=?公一)dy

2.-容器在開始時盛有水100升，其中含凈鹽10公斤，然后以每分鐘3升的速率注入清水，

同時又以每分鐘2升的速率將沖淡的溶液放出，容器中裝有攪拌器，使容器中的溶液保持

均勻，求過程開始后1小時溶液的含鹽量。

解：設在過程開始后t分鐘容器中含鹽x公斤，在時刻t的容器內含液體

100+3t-2t=100+t(升)，此時溶液的濃度為x/(100+t)(公斤/升)，經過dt時間,容器內含

X

鹽改變dx(dx<0),從而由微元法知：dx=--------2dt

100+z

分離變量解此微分方程得：X=——■~,當t=0時x=10,由此初始條件解得特解

(100+02

105in5

當，=60時，X----x3.9公斤

(100+1)21602

363n

xxdx

3.(1)驗證y(x)=1H----1----1----F…H------F,?■(-oo<x<+oo)滿足微分方程

3!6!9!(3〃)！

y"+y'+y=ex

(2)利用(1)的結果求基級數￡一一的和函數

士(3〃)！

解：即求)，"+y'+y=/的滿足初始條件y\x=0=1,y'1.0=0的特解?

2003級《高等數學》(II)期末試卷B卷答案

專業(yè)年級：姓名：學號：成績：

一、填空題(本題15分，每小題3分)

22.

1.設￡為橢圓]■+]-=1,其周長記為則，(2xy+3x-+4y2)ds=12。.

2.函數〃=爐+/+z，-3町z的梯度在曲面=xy上垂直于z軸

3.光滑曲面z=/(x,y)在坐標平面X?！瞪系耐队坝驗?。，那么該曲面的面積可用二重積分表

示為川1+便卜閨題

4.在微分方程y"-3y'+2y=e*cos2x中，可設其一個特解形式為

xx

y*=Atecos2x+B}esin2x.

5.設L為圓周/+y?=9取正向，則曲線積分j(2xy-2yMx+(x?-4x)力=18%.

二、選擇題(本題15分，每小題3分)

1.由拋物線y=/及直線y=l所圍成的均勻薄片(密度為P)對于直線/:y=-1的轉動

慣量為//=(C)

(A)p^x-X)2dxdy(B)jj(x+V)2dxdy

DD

(C)pjj(y+l)2Jx(/y(D)-X)2dxdy

DD

00

2.設/(x)=x2,0Wx<l,而正弦函數S(x)=Z〃sin〃萬x,其中

〃=1

Ip]

bn=2^f(x)sinnxdx(〃=1,2,…)，則S(--)=()C

o2

(4)—(B)—(C)—(D)—

2442

3.若二元函數，（x,y）在點（々,）0）可微,則f（x,y）在點（Xo，y（））處卜一列結論不一定成立的是

(D)

（A）連續(xù)（B）偏導數存在(C)偏導數連續(xù)(D)有定義

4.設。為常數，則級數2（-1）"[1一cos?）

(B)

（D）發(fā)散（B）絕對收斂

（C）條件收斂（D）收斂性與。的取值有關

5.設。是由z=/+y2與z=i所圍成的在第一卦限的部分，貝J

n

(B)

IVz'Jz-X21Vl-x2x2+y~

(A)JdzJdx^f(x,y,z)dy(B)\dxjdy^f(x,y,z)dz

000000

1Vl-.r2I

2?1

(C)jjrj/(rcosrsin0,z)rdz(D)\dxjdyJ/(x,y,z)dz

00M00x2+y2

三、解下列各題(本題28分，每小題7分)

d2z

1.設z=/（M,x,y）,M=xe'，其中/具有二階連續(xù)導數，求上

dxdy

T-T-=fuxe2y+fiey+f'xey+f+fey

dxdy3n23t

2.設函數/0,>,%)=肛+#+玫-'-)，-[+6,問在點/>(3,4,0)處沿怎樣的方向/,/的

變化率最大？并求其最大的變化率.

解gra或(3,4,0)=(y+z-l,x+z—l,x+y-l)|p=(3,2,6)

:/沿/=(3,2,6)的方向變化率最大.

其最大的變化率為曰|=|gw4f(3,4,0)|=7.

叫P

3.計算二重積分JJ(x+y)dxdy,其中/一？％、。｝

解JJ(x+y)dxdy=^xdxdy=^xdxdy-^xdxdy

DD\A

=-2^xdxdy=-2d町cosG]6產416317i

rcos0rdr=----2cos0J0=--------=-71.

色上.'3J)3422

2222

其中￡>1={(x,y)|x+y<4,},D2={(x,y)|x+y-2x<0}.

4..計算曲面積分勺/由收+|/|

+y3dzdx+dxdy,其中/(〃)具有連續(xù)的

導數，Z為由曲面Z=Jx2+y2,z=Ji—x2—y2,z=j4———y2,所圍立體表面外側.

解原式=3+y2+22)Jv=3Jt/0Jf4sin(pJr

c

，1293r-

=6K4sin(pJ(p—r5=—(2-v2)7t..

四、計算或證明下列各題(本題21分，每小題7分)

2.將函數/Q)=ln(4x-5)展開為工-2的密級數，并指出其收斂域.

4

解f(x)=ln[4(x—2)+3]=In3+ln[l+—(x-2)]

3-2)

=ln3+y(-1嚴-------;

Jn

oo2.1

2.求事級數之Zx"的收斂域與和函數.

J石2工"4"

M〃n=0乙〃?

解：因為：liml皿l=l,x=±l時級數發(fā)散,.?.收斂域為(-1,1)

an

002,10000400

任“Tdx+EX〃Tclx

nn=I1n=l

O’-ln(l-x),(-1<X<1)

T222

3.證明之(-Dn7r(-1)1

—COSnx=--------,JG[-7U,7t]，并求級數>的和.

2124—2

n=ln一n=\n

72

證因為"-?為偶函數，故將f在［_兀,兀］內展為余弦級數.

.2「-3=2x2.2x1.'4(-1)"

——sinnx+—cosnx一—smnx

7171nrrn2