高一數(shù)學(xué)人必修課件平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角

高一數(shù)學(xué)人必修課件平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角匯報(bào)人：XX20XX-01-21目錄CONTENTS平面向量基本概念與性質(zhì)數(shù)量積定義及性質(zhì)坐標(biāo)表示法及其應(yīng)用模與夾角計(jì)算技巧典型例題解析與思路拓展課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)與課后作業(yè)布置01平面向量基本概念與性質(zhì)向量的定義向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示。向量的表示方法向量可以用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量也可以用字母表示，如向量a、向量b等。向量定義及表示方法向量的加法向量的減法向量的數(shù)乘向量線性運(yùn)算規(guī)則向量加法滿足平行四邊形法則或三角形法則。即兩個(gè)向量相加，等于以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，從公共起點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線就是這兩個(gè)向量的和。向量減法滿足三角形法則。即兩個(gè)向量相減，等于從第一個(gè)向量的終點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量。實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，它的模等于這個(gè)實(shí)數(shù)與原來(lái)向量的模的乘積，方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)決定。當(dāng)實(shí)數(shù)大于0時(shí)，方向與原來(lái)向量的方向相同；當(dāng)實(shí)數(shù)小于0時(shí)，方向與原來(lái)向量的方向相反；當(dāng)實(shí)數(shù)等于0時(shí)，結(jié)果是零向量。平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2。平面向量基本定理02數(shù)量積定義及性質(zhì)對(duì)于兩個(gè)向量a和b，它們的點(diǎn)乘（數(shù)量積）記作a·b，是一個(gè)標(biāo)量而非向量。向量的點(diǎn)乘（數(shù)量積）定義在物理中，數(shù)量積可以表示兩個(gè)力的合力做功，或者表示兩個(gè)速度矢量的相對(duì)速度大小。數(shù)量積的物理意義數(shù)量積概念引入a·b=b·a，即兩個(gè)向量的點(diǎn)乘滿足交換律。交換律分配律結(jié)合律(a+b)·c=a·c+b·c，即點(diǎn)乘滿足分配律。(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)，其中λ是標(biāo)量，即點(diǎn)乘滿足結(jié)合律。030201數(shù)量積運(yùn)算規(guī)則數(shù)量積與向量長(zhǎng)度的關(guān)系a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分別是向量a和b的模長(zhǎng)，θ是向量a和b之間的夾角。數(shù)量積與夾角的關(guān)系當(dāng)θ=0°時(shí)，cosθ=1，此時(shí)a·b最大，等于|a||b|；當(dāng)θ=90°時(shí)，cosθ=0，此時(shí)a·b=0；當(dāng)θ=180°時(shí)，cosθ=-1，此時(shí)a·b最小，等于-|a||b|。數(shù)量積的性質(zhì)若a·b>0，則向量a和b的夾角為銳角；若a·b=0，則向量a和b的夾角為直角；若a·b<0，則向量a和b的夾角為鈍角。數(shù)量積與向量長(zhǎng)度、夾角關(guān)系03坐標(biāo)表示法及其應(yīng)用123在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)向量可以用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來(lái)表示，該有序數(shù)對(duì)即為向量的坐標(biāo)。向量的坐標(biāo)表示法向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系零向量的坐標(biāo)為(0,0)，單位向量的坐標(biāo)為(1,0)或(0,1)。零向量和單位向量的坐標(biāo)表示平面直角坐標(biāo)系中向量坐標(biāo)表示兩個(gè)向量相加，等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量相加所得到的新向量。向量的加法運(yùn)算兩個(gè)向量相減，等于第一個(gè)向量加上第二個(gè)向量的相反向量。向量的減法運(yùn)算一個(gè)向量與一個(gè)實(shí)數(shù)相乘，等于該向量的坐標(biāo)分量與實(shí)數(shù)相乘所得到的新向量。向量的數(shù)乘運(yùn)算向量加減、數(shù)乘運(yùn)算在坐標(biāo)系中實(shí)現(xiàn)

利用坐標(biāo)法求向量模和夾角向量的模向量的模等于其坐標(biāo)分量的平方和的平方根。向量夾角的余弦值兩個(gè)非零向量的夾角余弦值等于它們的點(diǎn)積除以它們的模的乘積。利用坐標(biāo)法求向量夾角通過(guò)計(jì)算兩個(gè)向量的點(diǎn)積和它們的模，可以求出它們之間的夾角。04模與夾角計(jì)算技巧向量模的計(jì)算公式對(duì)于二維向量a=(x,y)，其模|a|=√(x^2+y^2)；對(duì)于三維向量a=(x,y,z)，其模|a|=√(x^2+y^2+z^2)。示例向量a=(3,4)，則|a|=√(3^2+4^2)=5。向量模的定義向量的大小，即向量的長(zhǎng)度，記作|a|。向量模計(jì)算公式及示例兩個(gè)非零向量之間的角，記作θ，θ∈[0,π]。夾角定義cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a·b為向量a與b的數(shù)量積，|a|和|b|分別為向量a和b的模。夾角計(jì)算公式根據(jù)向量數(shù)量積的定義，a·b=|a||b|cosθ，移項(xiàng)得cosθ=(a·b)/(|a||b|)。推導(dǎo)過(guò)程夾角計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程0102030405當(dāng)兩個(gè)向量的數(shù)量積大于0時(shí)，夾角為銳角；當(dāng)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0時(shí)，夾角為直角；當(dāng)兩個(gè)向量共線且同向時(shí)，夾角為0度；當(dāng)兩個(gè)向量的數(shù)量積小于0時(shí)，夾角為鈍角；當(dāng)兩個(gè)向量共線且反向時(shí)，夾角為180度。夾角取值范圍判斷方法05典型例題解析與思路拓展123解析例題1思路拓展涉及數(shù)量積和模夾角計(jì)算問(wèn)題已知向量$vec{a}=(1,2)$，$vec=(2,1)$，求$vec{a}cdotvec$，$|vec{a}|$，$|vec|$以及$vec{a}$與$vec$的夾角。根據(jù)數(shù)量積的定義，$vec{a}cdotvec=a_1b_1+a_2b_2=1times2+2times1=4$。向量的模長(zhǎng)分別為$|vec{a}|=sqrt{1^2+2^2}=sqrt{5}$，$|vec|=sqrt{2^2+1^2}=sqrt{5}$。根據(jù)夾角公式，$cos<vec{a},vec>=frac{vec{a}cdotvec}{|vec{a}|cdot|vec|}=frac{4}{5}$，所以$vec{a}$與$vec$的夾角為$arccosfrac{4}{5}$。本題主要考察數(shù)量積和模夾角的計(jì)算。在解題過(guò)程中，需要注意向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的定義，以及夾角公式的應(yīng)用。同時(shí)，可以通過(guò)畫(huà)圖來(lái)幫助理解向量之間的關(guān)系。要點(diǎn)三例題2已知三角形ABC中，$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,1)$，求$angleBAC$的平分線與BC邊交點(diǎn)的坐標(biāo)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二解析設(shè)交點(diǎn)為$D(x,y)$，由于D在$angleBAC$的平分線上，根據(jù)平面幾何知識(shí)，有$frac{|BD|}{|DA|}=frac{|BC|}{|CA|}$。將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可以得到一個(gè)關(guān)于$x$和$y$的方程組，解方程組即可得到$D$的坐標(biāo)。思路拓展本題主要考察平面幾何知識(shí)在向量問(wèn)題中的應(yīng)用。在解題過(guò)程中，需要注意向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積的計(jì)算，以及平面幾何中角平分線的性質(zhì)。同時(shí)，可以通過(guò)建立方程組來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。要點(diǎn)三利用平面幾何知識(shí)解決問(wèn)題例題3已知向量$vec{a}$和$vec$的夾角為$60^circ$，且$|vec{a}|=2$，$|vec|=4$。求$(2vec{a}-vec)cdot(vec{a}+3vec)$。解析首先根據(jù)數(shù)量積的定義和夾角公式，可以計(jì)算出$vec{a}cdotvec=|vec{a}|cdot|vec|cdotcos60^circ=4$。然后將$(2vec{a}-vec)cdot(vec{a}+3vec)$展開(kāi)，得到$2vec{a}cdotvec{a}+6vec{a}cdotvec-veccdotvec{a}-3veccdotvec$。代入已知的$vec{a}cdotvec$、$|vec{a}|$和$|vec|$的值，即可得到結(jié)果。思維導(dǎo)圖在解題過(guò)程中，可以使用思維導(dǎo)圖來(lái)梳理思路。首先確定已知條件和未知量，然后列出需要計(jì)算的中間量（如本題中的$vec{a}cdotvec$），最后根據(jù)公式和已知條件進(jìn)行計(jì)算。使用思維導(dǎo)圖可以幫助我們更好地組織思路，避免遺漏重要步驟。思維導(dǎo)圖在解題過(guò)程中應(yīng)用06課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)與課后作業(yè)布置分享交流每組選派一名代表，向全班分享本組的討論成果，包括解題思路、方法和技巧等。分組討論讓學(xué)生自由組隊(duì)，每組4-5人，共同探討向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模和夾角的不同解法思路。教師點(diǎn)評(píng)教師對(duì)學(xué)生的分享進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，指出其中的優(yōu)點(diǎn)和不足，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步拓展思路。小組討論：探討不同解法思路鼓勵(lì)學(xué)生提出在向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模和夾角方面遇到的問(wèn)題和困惑。學(xué)生提問(wèn)教師根據(jù)學(xué)生的提問(wèn)，進(jìn)行針對(duì)性的解答，幫助學(xué)生解決疑難問(wèn)題。教師解答教師和學(xué)生之間、學(xué)生和學(xué)生之間進(jìn)行互動(dòng)交流，共同探討問(wèn)