19.5一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（解析版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十九章一次函數(shù)》19.5一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用◆1、利用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是分析題中的數(shù)量關(guān)系，聯(lián)系實(shí)際生活及以前學(xué)過(guò)的內(nèi)容，將實(shí)際問(wèn)題抽象、升華為一次函數(shù)模型，即建模，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.◆2、在研究有關(guān)一次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)的解題步驟：審題：認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系；設(shè)自變量：根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系設(shè)滿足題意的自變量；列函數(shù)解析式：根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系列出函數(shù)解析式；解決問(wèn)：利用函數(shù)解析式或圖象的性質(zhì)解決問(wèn)題；得出結(jié)果.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二分段函數(shù)◆1、分段函數(shù)：在函數(shù)自變量不同的取值范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系也不同，我們這樣的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).◆2、學(xué)習(xí)一次函數(shù)中的分段函數(shù)，通常應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍。（2）分段函數(shù)的圖象是由幾條線段（或射線）組成的折線.（3）分析分段函數(shù)的圖象要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題背景對(duì)圖象的意義進(jìn)行認(rèn)識(shí)和理解,尤其要理解折線中橫、縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義.題型一利用一次函數(shù)解決銷(xiāo)售問(wèn)題題型一利用一次函數(shù)解決銷(xiāo)售問(wèn)題【例題1】（2022秋?阿城區(qū)期末）樂(lè)樂(lè)超市購(gòu)進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)15元，在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，日銷(xiāo)售量y（個(gè)）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，若該玩具某天的銷(xiāo)售單價(jià)是20元時(shí)，則當(dāng)日的銷(xiāo)售利潤(rùn)為（）A．200元 B．300元 C．350元 D．500元【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以求得日銷(xiāo)售量y（個(gè)）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，然后將x＝20代入求出相應(yīng)的y的值，從而可以計(jì)算出該玩具某天的銷(xiāo)售單價(jià)是20元時(shí)，當(dāng)日的銷(xiāo)售利潤(rùn)．【解答】解：設(shè)日銷(xiāo)售量y（個(gè)）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，∵點(diǎn)（25，50），（35，30）在該函數(shù)圖象上，∴25k+b=5035k+b=30解得k=-2b=100即日銷(xiāo)售量y（個(gè)）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+100，當(dāng)x＝20時(shí)，y＝﹣2×20+100＝60，則該玩具某天的銷(xiāo)售單價(jià)是20元時(shí)，當(dāng)日的銷(xiāo)售利潤(rùn)為：（20﹣15）×60＝300（元），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式．解題技巧提煉本題考查了銷(xiāo)售問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式1-1】（2022秋?郫都區(qū)期末）某一蔬菜經(jīng)營(yíng)商從蔬菜批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)了黃瓜和茄子共50千克到菜市場(chǎng)去賣(mài)，黃瓜和茄子當(dāng)天的批發(fā)價(jià)與零售價(jià)如表所示：品名黃瓜茄子批發(fā)價(jià)（元/千克）4.84零售價(jià)（元/千克）7.25.6（1）若批發(fā)黃瓜和茄子共花220元，則黃瓜和茄子各多少千克？（2）設(shè)批發(fā)了黃瓜x(chóng)千克，賣(mài)完這批黃瓜和茄子的利潤(rùn)是W元，求W與x的函數(shù)關(guān)系式．【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以寫(xiě)出W與x的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）設(shè)批發(fā)黃瓜a千克，則批發(fā)茄子（50﹣a）千克，由題意可得：4.8a+4（50﹣a）＝220，解得a＝25，∴50﹣a＝25，答：批發(fā)黃瓜25千克，批發(fā)茄子25千克；（2）由題意可得，W＝（7.2﹣4.8）x+（5.6﹣4）×（50﹣x）＝0.8x+80，即W與x的函數(shù)關(guān)系式是W＝0.8x+80．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)解析式．【變式1-2】（2022秋?秦都區(qū)期末）為創(chuàng)建“綠色校園”，綠化校園環(huán)境，某校計(jì)劃分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草，第一次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草30棵和15棵，共花費(fèi)675元，單價(jià)不變，第二次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草12棵和5棵，共花費(fèi)265元．求：（1）A、B兩種花草每棵的價(jià)格分別是多少元？（2）若計(jì)劃再購(gòu)買(mǎi)A、B兩種花草共30棵，設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種花草m棵，購(gòu)買(mǎi)花草的總費(fèi)用為W元，求出W關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并計(jì)算當(dāng)m＝9時(shí)，購(gòu)買(mǎi)花草的總費(fèi)用為多少元？【分析】（1）設(shè)A種花草每棵的價(jià)格x元，B種花草每棵的價(jià)格y元，根據(jù)題意可列出相應(yīng)的二元一次方程組，解方程組即可得到答案；（2）購(gòu)買(mǎi)A種花草的數(shù)量為m株，則購(gòu)買(mǎi)B種花草的數(shù)量為（30﹣m）株，根據(jù)題意列出W關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)m＝9時(shí)，求出W的值即可．【解答】解：（1）設(shè)A種花草每棵的價(jià)格x元，B種花草每棵的價(jià)格y元，根據(jù)題意得，30x+15y=67512x+5y=265解得x=20y=5答：A種花草每棵的價(jià)格是20元，B種花草每棵的價(jià)格是5元；（2）∵購(gòu)買(mǎi)A種花草的數(shù)量為m株，則購(gòu)買(mǎi)B種花草的數(shù)量為（30﹣m）株，根據(jù)題意得：W＝20m+5（30﹣m）＝15m+150，當(dāng)m＝9時(shí)，W＝15×9+150＝285（元），∴當(dāng)m＝9時(shí)，購(gòu)買(mǎi)化草的總費(fèi)用為285元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出二元一次方程組和求出一次函數(shù)的表達(dá)式．【變式1-3】（2022秋?海曙區(qū)期末）隨著春節(jié)臨近，某兒童游樂(lè)場(chǎng)推出了甲、乙兩種消費(fèi)卡，其中，甲為按照次數(shù)收費(fèi)，乙為收取辦卡費(fèi)用以后每次打折收費(fèi)．設(shè)消費(fèi)次數(shù)為x時(shí)，所需費(fèi)用為y元，且y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題．（1）分別求出選擇這兩種卡消費(fèi)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）求出入園多少次時(shí)，兩者花費(fèi)一樣？費(fèi)用是多少？（3）洋洋爸準(zhǔn)備了240元，請(qǐng)問(wèn)選擇哪種劃算？【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，即可求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論聯(lián)立方程組解答即可；（3）分別令（1）中的y＝240，求出對(duì)應(yīng)的x的值，再比較即可．【解答】解：（1）設(shè)y甲＝k1x，根據(jù)題意得4k1＝80，解得k1＝20，∴y甲＝20x；設(shè)y乙＝k2x+80，根據(jù)題意得：12k2+80＝200，解得k2＝10，∴y乙＝10x+80；（2）解方程組y=20x解得：x=8y=160∴出入園8次時(shí)，兩者花費(fèi)一樣，費(fèi)用是160元；（3）當(dāng)y＝240時(shí)，y甲＝20x＝240，∴x＝12；當(dāng)y＝240時(shí)，y乙＝10x+80＝240，解得x＝16；∵12＜16，∴選擇乙種更合算．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象的解得坐標(biāo)，正確由圖象得出正確信息是解題關(guān)鍵．【變式1-4】（2022秋?市南區(qū)期末）某水果店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)分別為8元/kg、12元/kg，這兩種蘋(píng)果的銷(xiāo)售額y（元）與銷(xiāo)售量x（kg）之間的關(guān)系如圖所示．（1）求出甲種蘋(píng)果銷(xiāo)售額y甲與銷(xiāo)售量x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并寫(xiě)出點(diǎn)B表示的實(shí)際意義；（3）若不計(jì)損耗等因素，當(dāng)甲、乙兩種蘋(píng)果的銷(xiāo)售量均為akg（a＞30）時(shí)，它們的利潤(rùn)和為1695元，求a的值．【分析】（1）根據(jù)圖象可知：甲種蘋(píng)果銷(xiāo)售額y甲與銷(xiāo)售量x符合正比例函數(shù)，然后根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，即可計(jì)算出甲種蘋(píng)果銷(xiāo)售額y甲與銷(xiāo)售量x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出AB段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，然后與（1）中的函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立方程組，然后即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再寫(xiě)出點(diǎn)B表示的實(shí)際意義即可；（3）根據(jù)利潤(rùn)＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售量，然后列出相應(yīng)的方程，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)甲種蘋(píng)果銷(xiāo)售額y甲與銷(xiāo)售量x之間的函數(shù)關(guān)系式是y甲＝kx，∵點(diǎn)（120，2400）在該函數(shù)圖象上，∴2400＝120k，解得k＝20，即甲種蘋(píng)果銷(xiāo)售額y甲與銷(xiāo)售量x之間的函數(shù)關(guān)系式是y甲＝20x；（2）當(dāng)30≤x≤120時(shí)，設(shè)乙對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝mx+n，∵點(diǎn)（30，750），（120，2100）在該函數(shù)圖象上，∴30m+n=750120m+n=2100解得m=15n=300即當(dāng)30≤x≤120時(shí)，乙對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝15x+300，由y=20xy=15x+300可得x=60即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（60，1200），點(diǎn)B表示的實(shí)際意義是當(dāng)銷(xiāo)售量為60kg時(shí)，甲和乙的銷(xiāo)售額相同，都是1200元；（3）由圖象可得，甲種蘋(píng)果的銷(xiāo)售單價(jià)為：2400÷120＝20（元），當(dāng)x＞30時(shí)，乙種蘋(píng)果的銷(xiāo)售單價(jià)為：（2100﹣750）÷（120﹣30）＝15（元），由題意可得：（20﹣8）a+（15﹣12）a＝1695，解得a＝113，即a的值為113．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式1-5】（2021春?侯馬市期中）某工廠，甲負(fù)責(zé)加工A型零件，乙負(fù)責(zé)加工B型零件，已知甲加工120個(gè)A型零件所用時(shí)間和乙加工160個(gè)B型零件所用時(shí)間相同，每天甲、乙兩人共加工兩種零件70個(gè)，設(shè)甲每天加工x個(gè)A型零件．（1）求甲、乙每天各加工多少個(gè)零件；（2）根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)估計(jì)，加工A型零件所獲得的利潤(rùn)為a元/件（5≤a≤8），加工B型零件所獲得的利潤(rùn)每件比A型少2元．求每天甲、乙加工兩種零件所獲得的總利潤(rùn)y（元）與a（元/件）的函數(shù)關(guān)系式，并求總利潤(rùn)y的最大值和最小值．【分析】（1）根據(jù)題意得：120x（2）由題意得y＝70a﹣80，再根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可得答案．【解答】解：（1）設(shè)甲每天加工x個(gè)A型零件，則乙每天加工（70﹣x）個(gè)B型零件，根據(jù)題意得：120x解得x＝30，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原方程的解，且符合題意，∴70﹣x＝70﹣30＝40（個(gè)），答：甲每天加工30個(gè)A型零件，乙每天加工40個(gè)B型零件；（2）根據(jù)題意得：y＝30a+40（a﹣2）＝70a﹣80，∵y是a的一次函數(shù)，k＝70＞0，∴y隨a的增大而增大，又5≤a≤8，∴當(dāng)a＝8時(shí)，y最大值＝480，當(dāng)a＝5時(shí)，y最小值＝270．答：總利潤(rùn)y（元）與a（元/件）的函數(shù)關(guān)系式為y＝70a﹣80，總利潤(rùn)y的最大值是480元，最小值是270元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)關(guān)系式．題型二利用一次函數(shù)解決有關(guān)行程問(wèn)題題型二利用一次函數(shù)解決有關(guān)行程問(wèn)題【例題2】（2022秋?寧波期末）小銳一家去離家200千米的某地自駕游，如圖是他們離家的距離y（千米）與汽車(chē)行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象．（1）求他們出發(fā)半小時(shí)時(shí)，離家多少千米？（2）出發(fā)1小時(shí)后，在服務(wù)區(qū)等候另一家人一同前往，然后，以每小時(shí)80千米的速度直達(dá)目的地，求等候的時(shí)間及線段BC的解析式．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像可得，出發(fā)半小時(shí)時(shí)所在的函數(shù)圖像為正比例函數(shù)，因此通過(guò)待定系數(shù)法把點(diǎn)A代入正比例函數(shù)的一般式y(tǒng)＝kx，求出解析式后把x＝0.5代入求值即可．（2）BC所在的圖像為一次函數(shù)，因此需要先求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過(guò)待定系數(shù)法把B，C的坐標(biāo)值代入y＝kx+b，解方程組即可求解．【解答】解：（1）設(shè)線段OA的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝60．所以k＝60，即y＝60x（0≤x≤1）．當(dāng)x＝0.5時(shí)，y＝60×0.5＝30（千米）即他們出發(fā)半小時(shí)時(shí)，離家30千米．（2）∵（100﹣60）÷80＝0.5（小時(shí)）∴在服務(wù)區(qū)等了半個(gè)小時(shí)．設(shè)線段BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝k1x+b，∴B（1.5，60），（2，100）在BC上，代入得1.5k解得k1∴y＝80x﹣60（1.5≤x≤3.25）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像應(yīng)用和一次函數(shù)解析式的確定，解題的關(guān)鍵是通過(guò)觀察圖像整理出解題時(shí)所需的相關(guān)信息，通過(guò)待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查了行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式2-1】（2022秋?寧陽(yáng)縣期末）甲、乙兩人參加從A地到B地的長(zhǎng)跑比賽，兩人在比賽時(shí)所跑的路程y（米）與時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)你根據(jù)圖象，回答下列問(wèn)題：（1）（填“甲”或“乙”）先到達(dá)終點(diǎn)；甲的速度是米/分鐘；（2）求：甲與乙相遇時(shí)，他們離A地多少米？【分析】（1）依據(jù)函數(shù)圖象可得到兩人跑完全程所用的時(shí)間，從而可知道誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)，依據(jù)速度＝路程÷時(shí)間可求得甲的速度；（2）先求得甲的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，然后求得10＜x＜16時(shí)，乙的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，最后，再求得兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）由函數(shù)圖象可知甲跑完全程需要20分鐘，乙跑完全程需要16分鐘，所以乙先到達(dá)終點(diǎn)；甲的速度=500020=250故答案為：乙；250．（2）設(shè)甲跑的路程y（米）與時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx，根據(jù)圖象，可得y=500020x＝250設(shè)甲乙相遇后（即10＜x＜16），乙跑的路程y（米）與時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b．根據(jù)圖象，可得10k+b=200016k+b=5000解得所以，y＝500x﹣3000．由y=500x-3000y=250x，解得x=12答：甲與乙相遇時(shí)，他們離A地3000米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，求得甲、乙兩人路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023?寧波模擬）小李、小王分別從甲地出發(fā)，騎自行車(chē)沿同一條路到乙地參加公益活動(dòng)．如圖，折線OAB和線段CD分別表示小李、小王離甲地的距離y（單位：千米）與時(shí)間x（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）求小王的騎車(chē)速度，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；（2）求線段AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)小王到達(dá)乙地時(shí)，小李距乙地還有多遠(yuǎn)？【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)先求出小王的騎車(chē)速度，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）用待定系數(shù)法可以求得線段AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）將x＝2代入（2）中的函數(shù)解析式求出相應(yīng)的y的值，再用27減去此時(shí)的y值即可求得當(dāng)小王到達(dá)乙地時(shí)，小李距乙地的距離．【解答】解：（1）由圖可得，小王的騎車(chē)速度是：（27﹣9）÷（2﹣1）＝18（千米/小時(shí)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：1﹣9÷18＝0.5；（2）設(shè)線段AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），∵A（0.5，9），B（2.5，27），∴0.5k+b=92.5k+b=27解得：k=9b=4.5∴線段AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝9x+4.5（0.5≤x≤2.5）；（3）當(dāng)x＝2時(shí)，y＝18+4.5＝22.5，∴此時(shí)小李距離乙地的距離為：27﹣22.5＝4.5（千米），答：當(dāng)小王到達(dá)乙地時(shí)，小李距乙地還有4.5千米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式2-3】（2023?碑林區(qū)校級(jí)三模）小林同學(xué)從家出發(fā)，步行到離家a米的公園散步，速度為50米/分鐘；6分鐘后哥哥也從家出發(fā)沿著同一路線騎自行車(chē)到公園，哥哥到達(dá)公園后立即以原速返回家中，兩人離家的距離y（米）與小林出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）a＝；（2）求CD所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（3）小林出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與哥哥第二次相遇？【分析】（1）根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)和小林的速度，可以求得小林家與公園之間的路程；（2）根據(jù)圖象可知：點(diǎn)（9，600），（12，0）在哥哥返回家的過(guò)程中y與x之間的函數(shù)圖象上，然后即可求得該函數(shù)的解析式；（3）可以分別計(jì)算出兩次時(shí)間，然后作差即可得到小林與哥哥先后兩次相遇的時(shí)間間隔．【解答】解：（1）由圖象可得，小林家與公園之間的路程為：12×50＝600（米），故答案為：600；（2）設(shè)哥哥返回家的過(guò)程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx+b，∵點(diǎn)（9，600），（12，0）在該函數(shù)圖象上，∴9k+b=60012k+b=0解得k=-200b=2400即哥哥返回家的過(guò)程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣200x+2400（9≤x≤12）；（3）哥哥的速度為：600÷（9﹣6）＝200（米/分鐘），設(shè)小林出發(fā)a分鐘時(shí)，兩人相遇，第一次相遇時(shí)，200（a﹣6）＝50a，解得a＝8；第二次相遇時(shí)，200（a﹣9）+50a＝600，解得a＝9.6；即小林出發(fā)9.6分鐘與哥哥第二次相遇．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式2-4】（2022秋?招遠(yuǎn)市期末）小明和小亮分別從家和圖書(shū)館同時(shí)出發(fā)，沿同一條路相向而行，小明開(kāi)始時(shí)跑步，中途改為步行，到達(dá)圖書(shū)館恰好用了45分鐘．小亮騎自行車(chē)以300米/分的速度從圖書(shū)館直接回家，兩人離家的路程y（米）與各自離開(kāi)出發(fā)地的時(shí)間x（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息解答下列問(wèn)題：（1）小明跑步速度為米/分，步行的速度米/分；（2）圖中點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3）求小亮離家的路程y（米）與x（分）的函數(shù)關(guān)系式；（4）兩人出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間相遇？（5）請(qǐng)求出兩人出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間相距2500米．【分析】（1）根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出小明跑步的速度和步行的速度；（2）根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以先計(jì)算出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后即可寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出小亮離家的路程y（米）與x（分）的函數(shù)關(guān)系式；（4）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解，即可得到兩人出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間相遇；（5）根據(jù)題意，可知存在兩種情況，相遇前和相遇后，然后分別求解即可．【解答】解：（1）由圖象可得，小明跑步的速度為：3000÷15＝200（米/分），步行的速度為：（6000﹣3000）÷（45﹣15）＝100（米/分），故答案為：200，100；（2）點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為：6000÷300＝20，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（20，0），故答案為：（20，0）；（3）設(shè)小亮離家的路程y（米）與x（分）的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，∵點(diǎn)（0，6000），（20，0）在該函數(shù)圖象上，∴6000=b0=20k+b解得b=6000k=-300即小亮離家的路程y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y＝﹣300x+6000（0≤x≤20）；（4）由圖象得：6000÷（200+300）＝12（分鐘），答：兩人出發(fā)12分鐘相遇；（5）設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘后，兩人相距2500米，相遇前，（300+200）x＝6000﹣2500，解得：x＝7，相遇后，3000+100（x﹣15）﹣（6000﹣300x）＝2500，解得：x=35答：經(jīng)過(guò)7分鐘或352分鐘后，兩人相距2500【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式2-5】（2022秋?蘭考縣期末）快、慢兩車(chē)分別從相距180千米的甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一路線勻速行駛，相向而行，快車(chē)到達(dá)乙地停留一段時(shí)間后，按原路原速返回甲地．慢車(chē)到達(dá)甲地比快車(chē)到達(dá)甲地早12小時(shí)，慢車(chē)速度是快車(chē)速度的一半，快、慢兩車(chē)到達(dá)甲地后停止行駛，兩車(chē)距各自出發(fā)地的路程y（千米）與所用時(shí)間x（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出快、慢兩車(chē)的速度；（2）求快車(chē)返回過(guò)程中y（千米）與x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；（3）兩車(chē)出發(fā)后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間相距90千米的路程？【分析】（1）根據(jù)路程與相應(yīng)的時(shí)間，求得慢車(chē)的速度，再根據(jù)慢車(chē)速度是快車(chē)速度的一半，求得快車(chē)速度；（2）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求得CD的解析式；（3）分三種情況：在兩車(chē)相遇之前；在兩車(chē)相遇之后；在快車(chē)返回之后，分別求得時(shí)間即可．【解答】解：（1）慢車(chē)的速度＝180÷（72-12）＝快車(chē)的速度＝60×2＝120千米/時(shí)；（2）快車(chē)停留的時(shí)間：72-18012+180120=2（小時(shí)），即C設(shè)CD的解析式為：y＝kx+b，則將C（2，180），D（72，0180=2k+b0=解得k=-120b=420∴快車(chē)返回過(guò)程中y（千米）與x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣120x+420（2≤x≤7（3）相遇之前：120x+60x+90＝180，解得x=1相遇之后：120x+60x﹣90＝180，解得x=3快車(chē)從甲地到乙地需要180÷120=3快車(chē)返回之后：60x＝90+120（x-1解得x=52，綜上所述，兩車(chē)出發(fā)后經(jīng)過(guò)12或32或【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．求一次函數(shù)y＝kx+b，需要兩組x，y的值或圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．在解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．題型三利用一次函數(shù)解決工程問(wèn)題題型三利用一次函數(shù)解決工程問(wèn)題【例題3】為讓更多的學(xué)生學(xué)會(huì)游泳，少年宮新建一個(gè)游泳池，其容積為480m3，該游泳池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水口，注水時(shí)每個(gè)進(jìn)水口各自的注水速度保持不變．同時(shí)打開(kāi)甲、乙兩個(gè)進(jìn)水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）與注水時(shí)間t（h）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）根據(jù)圖象求游泳池的蓄水量y（m3）與注水時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出同時(shí)打開(kāi)甲、乙兩個(gè)進(jìn)水口的注水速度；（2）現(xiàn)將游泳池的水全部排空，對(duì)池內(nèi)消毒后再重新注水．已知單獨(dú)打開(kāi)甲進(jìn)水口注滿游泳池所用時(shí)間是單獨(dú)打開(kāi)乙進(jìn)水口注滿游泳池所用時(shí)間的43【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以求得游泳池的蓄水量y（m3）與注水時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出同時(shí)打開(kāi)甲、乙兩個(gè)進(jìn)水口的注水速度；（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以得到甲進(jìn)水管的進(jìn)水速度，從而可以求得單獨(dú)打開(kāi)甲進(jìn)水口注滿游泳池需多少小時(shí)．【解答】解：（1）設(shè)y與t的函數(shù)解析式為y＝kt+b，b=1002k+b=380解得，k=140b=100即y與t的函數(shù)關(guān)系式是y＝140t+100，同時(shí)打開(kāi)甲、乙兩個(gè)進(jìn)水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；（2）∵單獨(dú)打開(kāi)甲進(jìn)水口注滿游泳池所用時(shí)間是單獨(dú)打開(kāi)乙進(jìn)水口注滿游泳池所用時(shí)間的43∴甲進(jìn)水口進(jìn)水的速度是乙進(jìn)水口進(jìn)水速度的34∵同時(shí)打開(kāi)甲、乙兩個(gè)進(jìn)水口的注水速度是140m3/h，∴甲進(jìn)水口的進(jìn)水速度為：140÷（34+1）×34=60（480÷60＝8（h），即單獨(dú)打開(kāi)甲進(jìn)水口注滿游泳池需8h．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．解題技巧提煉本題考查了工程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式3-1】（2023?龍川縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）一個(gè)蓄水池的剩水量Q和水泵抽水時(shí)間t的關(guān)系圖象如圖．（1）水泵抽水前，該蓄水池內(nèi)有多少水？抽完這些水需要多長(zhǎng)時(shí)間？（2）水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是多少？（3）當(dāng)蓄水池的剩水量是100m3時(shí)，求水泵的抽水時(shí)間．【分析】（1）根據(jù)圖象中數(shù)據(jù)，可以寫(xiě)出水泵抽水前，該蓄水池內(nèi)有多少水，抽完這些水需要多長(zhǎng)時(shí)間；（2）根據(jù)圖象中數(shù)據(jù)，可以寫(xiě)出水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量；（3）根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，先計(jì)算出抽水速度，然后即可計(jì)算出當(dāng)蓄水池的剩水量是100m3時(shí)，水泵的抽水時(shí)間．【解答】解：（1）由圖象可得，水泵抽水前，該蓄水池內(nèi)有600m3的水；抽完這些水需要12h；（2）由圖象可得，水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是200m3；（3）由圖象可得，抽水的速度為：（600﹣200）÷8＝50（m3/h），當(dāng)蓄水池的剩水量是100m3時(shí)，水泵的抽水時(shí)間為：（600﹣100）÷50＝10（h），即當(dāng)蓄水池的剩水量是100m3時(shí)，水泵的抽水時(shí)間為10h．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-2】（2022?吉林三模）工廠中甲，乙兩組工人同時(shí)加工某種零件，乙組在工作中有一段時(shí)間停產(chǎn)更換設(shè)備，更換設(shè)備后，乙組的工作效率是原來(lái)的2.5倍．兩組各自加工零件的數(shù)量y（件）與時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）甲組的工作效率是件/時(shí)；（2）求出圖中a的值及乙組更換設(shè)備后加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)解析式．（3）當(dāng)x為何值時(shí)，兩組一共生產(chǎn)570件．【分析】（1）利用圖象中的數(shù)據(jù)即可求解；（2）利用乙的原來(lái)加工速度得出更換設(shè)備后，乙組的工作速度即可計(jì)算出a的值并列出乙組更換設(shè)備后加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)解析式；（3）由題意得出甲組加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)兩組一共生產(chǎn)570件列方程，求出x的值，即可得出答案．【解答】解：（1）∵甲組加工零件的數(shù)量y（件）與時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，420），∴420÷6＝70（件/時(shí)），故答案為：70；（2）乙3小時(shí)加工120件，∴乙的加工速度是：每小時(shí)40件，∵乙組更換設(shè)備后，乙組的工作效率是原來(lái)的2.5倍．∴更換設(shè)備后，乙組的工作速度是：每小時(shí)加工40×2.5＝100（件），a＝120+100×（6﹣4）＝320；乙組更換設(shè)備后加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為：y＝120+100（x﹣4）＝100x﹣280；（3）乙組更換設(shè)備后加工的零件的個(gè)數(shù)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝100x﹣280，∵甲組的工作效率是70件/時(shí)，∴甲組加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝70x，由題意得：70x+100x﹣280＝570，解得x＝5，答：當(dāng)x＝5時(shí)，兩組一共生產(chǎn)570件．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系式以及數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3-3】某工廠甲、乙兩車(chē)間接到加工一批零件的任務(wù)，從開(kāi)始加工到完成這項(xiàng)任務(wù)共用了9天，乙車(chē)間在加工2天后停止加工，引入新設(shè)備后繼續(xù)加工，直到與甲車(chē)間同時(shí)完成這項(xiàng)任務(wù)為止，設(shè)甲、乙車(chē)間各自加工零件總數(shù)為y（件），與甲車(chē)間加工時(shí)間x（天），y與x之間的關(guān)系如圖（1）所示．由工廠統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，甲車(chē)間與乙車(chē)間加工零件總數(shù)之差z（件）與甲車(chē)間加工時(shí)間x（天）的關(guān)系如圖（2）所示．（1）甲車(chē)間每天加工零件為件，圖中d值為．（2）求出乙車(chē)間在引入新設(shè)備后加工零件的數(shù)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）甲車(chē)間加工多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，兩車(chē)間加工零件總數(shù)為1000件？【分析】（1）由圖象的信息解答即可；（2）利用待定系數(shù)法確定解析式即可；（3）根據(jù)題意列出方程解答即可．【解答】解：（1）由圖象甲車(chē)間每天加工零件個(gè)數(shù)為720÷9＝80個(gè)，d＝770，故答案為：80，770（2）b＝80×2﹣40＝120，a＝（200﹣40）÷80+2＝4，∴B（4，120），C（9，770）設(shè)yBC＝kx+b，過(guò)B、C，∴120=4k+b770=9k+b，解得k=130∴y＝130x﹣400（4≤x≤9）（3）由題意得：80x+130x﹣400＝1000，解得：x=答：甲車(chē)間加工203天時(shí)，兩車(chē)間加工零件總數(shù)為1000【點(diǎn)評(píng)】本題為一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)圖象的實(shí)際意義和根據(jù)圖象確定一次函數(shù)關(guān)系式解答．【變式3-4】（2021春?甘井子區(qū)校級(jí)期末）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)修整兩段公路，所修公路的長(zhǎng)度y（米）與修路時(shí)間x（時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）甲隊(duì)每小時(shí)修路米；乙隊(duì)修路2小時(shí)后，每小時(shí)修路米；（2）修路6小時(shí)，甲比乙多修了米；（3）當(dāng)修路時(shí)間是多少時(shí)，甲、乙兩隊(duì)所修公路的長(zhǎng)度相同？【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以解答本題；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以得到修路6小時(shí)，甲比乙多修了多少米；（3）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)和（1）中的結(jié)果，可以解答本題．【解答】解：（1）由圖可得，甲隊(duì)每小時(shí)修路：60÷6＝10（米），乙隊(duì)修路2小時(shí)后，每小時(shí)修路：（50﹣30）÷（6﹣2）＝5（米），故答案為：10，5；（2）由圖可得，修路6小時(shí)，甲比乙多修了：60﹣50＝10（米），故答案為：10；（3）設(shè)修路a小時(shí)時(shí)，甲、乙兩隊(duì)所修公路的長(zhǎng)度相同，10a＝30+5（a﹣2），解得，a＝4，答：當(dāng)修路4小時(shí)時(shí)，甲、乙兩隊(duì)所修公路的長(zhǎng)度相同．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-5】甲、乙兩組同時(shí)加工某種零件，乙組工作中有一次停產(chǎn)更換設(shè)備，更換設(shè)備后，乙組的工作效率是原來(lái)的2倍．兩組各自加工零件的數(shù)量y（件）與時(shí)間x（時(shí)）的函數(shù)圖象如圖所示．（1）直接寫(xiě)出甲組加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求乙組加工零件總量a的值；（3）甲、乙兩組加工出的零件合在一起裝箱，每滿300件裝一箱，零件裝箱的時(shí)間忽略不計(jì)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間恰好裝滿第1箱？【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）利用乙的原來(lái)加工速度得出更換設(shè)備后，乙組的工作速度即可；（3）首先利用當(dāng)0≤x≤2時(shí)，當(dāng)2＜x≤2.8時(shí)，以及當(dāng)2.8＜x≤4.8時(shí)，當(dāng)4.8＜x≤6時(shí)，求出x的值，進(jìn)而得出答案即可，再假設(shè)出再經(jīng)過(guò)x小時(shí)恰好裝滿第1箱，列出方程即可．【解答】解：（1）∵圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及（6，360），∴設(shè)解析式為：y＝kx，∴6k＝360，解得：k＝60，∴y＝60x（0＜x≤6）；故答案為：y＝60x（0＜x≤6）；（2）乙2小時(shí)加工100件，∴乙的加工速度是：每小時(shí)50件，∴乙組在工作中有一次停產(chǎn)更換設(shè)備，更換設(shè)備后，乙組的工作效率是原來(lái)的2倍．∴更換設(shè)備后，乙組的工作速度是：每小時(shí)加工50×2＝100件，a＝100+100×（4.8﹣2.8）＝300；（3）乙組更換設(shè)備后，乙組加工的零件的個(gè)數(shù)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝100+100（x﹣2.8）＝100x﹣180，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，60x+50x＝300，解得：x=30當(dāng)2＜x≤2.8時(shí)，100+60x＝300，解得：x=10∵當(dāng)2.8＜x≤4.8時(shí)，60x+100x﹣180＝300，解得x＝3，∴經(jīng)過(guò)3小時(shí)恰好裝滿第1箱．答：經(jīng)過(guò)3小時(shí)恰好裝滿第一箱．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系式以及數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型四利用圖表信息解決實(shí)際問(wèn)題題型四利用圖表信息解決實(shí)際問(wèn)題【例題4】（2022秋?曹縣期末）某公司準(zhǔn)備把30噸貨物全部運(yùn)往甲、乙兩地，運(yùn)往甲，乙兩地的費(fèi)用如表：目的地甲地乙地每噸費(fèi)用（元）150240設(shè)運(yùn)往甲地為x噸，全部運(yùn)出的總費(fèi)用為y元．（1）求y與x間的函數(shù)表達(dá)式；（2）若該公司運(yùn)出貨物的總費(fèi)用為5400元，求該公司運(yùn)往乙地多少?lài)嵷浳?？【分析】?）根據(jù)總費(fèi)用＝運(yùn)往甲地和乙地的費(fèi)用之和列出函數(shù)解析式；（2）令y＝5400，解方程即可．【解答】解：（1）設(shè)運(yùn)往甲地為x噸，則運(yùn)往乙地（30﹣x）噸，根據(jù)題意得：y＝150x+240（30﹣x）＝﹣90x+7200，∴y與x間的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣90x+7200；（2）當(dāng)y＝5400時(shí)，﹣90x+7200＝5400，解得x＝20，此時(shí)30﹣x＝10，答：若該公司運(yùn)出貨物的總費(fèi)用為5400元，則該公司運(yùn)往乙地10噸貨物．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式．解題技巧提煉利用表格給出的信息，采用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進(jìn)而解答實(shí)際問(wèn)題.【變式4-1】（2022秋?興化市期末）客運(yùn)公司規(guī)定旅客可免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，當(dāng)行李質(zhì)量超過(guò)規(guī)定時(shí)，需付的行李費(fèi)y（元）是行李質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)，且部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示．x（kg）…304050…y（元）…468…（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）求旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量；（3）當(dāng)行李費(fèi)2≤y≤7（元）時(shí)，可攜帶行李的質(zhì)量x（kg）的取值范圍是．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；（2）令y＝0時(shí)求出x的值即可；（3）分別求出2≤y≤7時(shí)的x的取值范圍，然后解答即可．【解答】解：（1）∵y是x的一次函數(shù)，∴設(shè)y＝kx+b（k≠0）將x＝30，y＝4；x＝40，y＝6分別代入y＝kx+b，得4=30k+b6=40k+b解得：k=0.2∴函數(shù)表達(dá)式為y＝0.2x﹣2，（2）將y＝0代入y＝0.2x﹣2，得0＝0.2x﹣2，∴x＝10，（3）把y＝2代入解析式，可得：x＝20，把y＝7代入解析式，可得：x＝45，所以可攜帶行李的質(zhì)量x（kg）的取值范圍是20≤x≤45，故答案為：20≤x≤45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量．【變式4-2】（2021春?邵陽(yáng)期末）為保護(hù)學(xué)生視力，課桌椅的高度都是按一定的關(guān)系配套設(shè)計(jì)的，研究表明：假設(shè)課桌的高度為ycm，椅子的高度為xcm，則y應(yīng)是x的一次函數(shù)，下表列出兩套符合條件的課桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm．第一套第二套椅子高度xcm4037桌子高度ycm7570（1）請(qǐng)確定y與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）現(xiàn)有一把高39cm的椅子和一張高為78.2cm的課桌，它們是否配套？為什么？【分析】（1）由于y應(yīng)是x的一次函數(shù)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用（1）的函數(shù)關(guān)系式代入計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）依題意設(shè)y＝kx+b，則75=40k+b70=37k+b解之得：k=53，b∴y=53x（2）當(dāng)x＝39時(shí)，y=53×39∴一把高39cm的椅子和一張高為78.2cm的課桌不配套．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)扇形正確理解題意，然后根據(jù)題意求出函數(shù)關(guān)系式即可解決問(wèn)題．【變式4-3】已知水銀體溫計(jì)的讀數(shù)y（℃）與水銀柱的長(zhǎng)度x（cm）之間是一次函數(shù)關(guān)系．現(xiàn)有一支水銀體溫計(jì)，其部分刻度線不清晰（如圖），表中記錄的是該體溫計(jì)部分清晰刻度線及其對(duì)應(yīng)水銀柱的長(zhǎng)度．水銀柱的長(zhǎng)度x（cm）4.2…8.29.8體溫計(jì)的讀數(shù)y（℃）35.0…40.042.0（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫(xiě)出函數(shù)的定義域）；（2）用該體溫計(jì)測(cè)體溫時(shí)，水銀柱的長(zhǎng)度為6.2cm，求此時(shí)體溫計(jì)的讀數(shù)．【分析】（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)建立方程組求出其解即可；（2）當(dāng)x＝6.2時(shí)，代入（1）的解析式就可以求出y的值．【解答】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由題意，得35=4.2k+b40=8.2k+b解得：k=5∴y=54x∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=54（2）當(dāng)x＝6.2時(shí)，y=54×6.2+29.75答：此時(shí)體溫計(jì)的讀數(shù)為37.5℃．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由解析式根據(jù)自變量的值求函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式4-4】（2021?利通區(qū)校級(jí)一模）如圖，是一種斜挎包，其挎帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．小敏用后發(fā)現(xiàn)，通過(guò)調(diào)節(jié)扣加長(zhǎng)或縮短單層部分的長(zhǎng)度，可以使挎帶的長(zhǎng)度（單層部分與雙層部分長(zhǎng)度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占的長(zhǎng)度忽略不計(jì)）加長(zhǎng)或縮短．設(shè)單層部分的長(zhǎng)度為xcm，雙層部分的長(zhǎng)度為ycm，經(jīng)測(cè)量，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)螌硬糠值拈L(zhǎng)度x（cm）…46810…雙層部分的長(zhǎng)度y（cm）…73727170…（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求當(dāng)x＝150時(shí)y的值；（2）根據(jù)小敏的身高和習(xí)慣，挎帶的長(zhǎng)度為120cm時(shí)，背起來(lái)正合適，請(qǐng)求出此時(shí)單層部分的長(zhǎng)度；（3）設(shè)挎帶的長(zhǎng)度為lcm，求l的取值范圍．【分析】（1）觀察表格可知，y是x的一次函數(shù)，設(shè)y＝kx+b，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；（2）列出方程組x+y=120y=-（3）由題意當(dāng)y＝0，x＝150，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝75，可得75≤l≤150．【解答】解：（1）觀察表格可知，y是x的一次函數(shù)，設(shè)y＝kx+b，則有4k+b=736k+b=72解得k=-1∴y=-12x當(dāng)x＝150時(shí)，y＝0，答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-12x+75，當(dāng)x＝150時(shí)y的值為（2）由題意x+y=120y=-解得x=90y=30所以單層部分的長(zhǎng)度為90cm；（3）由題意得l＝x+y＝x-12x+75=1因?yàn)?≤x≤150，所以75≤12x+75≤即75≤l≤150．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無(wú)論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程．【變式4-5】某商店代理銷(xiāo)售一種水果，六月份的銷(xiāo)售利潤(rùn)y（元）與銷(xiāo)售量x（kg）之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖中折線所示．請(qǐng)你根據(jù)圖象及這種水果的相關(guān)銷(xiāo)售記錄提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）截止到6月9日，該商店銷(xiāo)售這種水果一共獲利多少元？（2）求圖象中線段BC所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．日期銷(xiāo)售記錄6月1日庫(kù)存600kg，成本價(jià)8元/kg，售價(jià)10元/kg（除了促銷(xiāo)降價(jià)，其他時(shí)間售價(jià)保持不變）．6月9日從6月1日至今，一共售出200kg．6月10、11日這兩天以成本價(jià)促銷(xiāo)，之后售價(jià)恢復(fù)到10元/kg．6月12日補(bǔ)充進(jìn)貨200kg，成本價(jià)8.5元/kg．6月30日800kg水果全部售完，一共獲利1200元．【分析】（1）由表格信息可知，從6月1日到6月9日，成本價(jià)8元/kg，售價(jià)10元/kg，一共售出200kg，根據(jù)利潤(rùn)＝每千克的利潤(rùn)×銷(xiāo)售量列式計(jì)算即可；（2）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，400），根據(jù)題意列方程求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)線段BC所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，利用待定系數(shù)法解答即可．【解答】解：（1）200×（10﹣8）＝400（元）答：截止到6月9日，該商店銷(xiāo)售這種水果一共獲利400元；（2）設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，400），根據(jù)題意得：（10﹣8）×[600﹣（a﹣200）]+（10﹣8.5）×200＝1200，解這個(gè)方程，得a＝350，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（350，400），設(shè)線段BC所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），則：350k+b=400800k+b=1200，解得k=∴線段BC所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=16【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．題型五實(shí)際問(wèn)題中的分段函數(shù)題型五實(shí)際問(wèn)題中的分段函數(shù)【例題5】一旅游團(tuán)來(lái)到某旅游景點(diǎn)，看到售票處旁邊的公告欄上寫(xiě)著：①一次購(gòu)買(mǎi)10張以下（含10張），每張門(mén)票180元．②一次購(gòu)買(mǎi)10張以上，超過(guò)10張的部分，每張門(mén)票6折優(yōu)惠．（1）若旅游團(tuán)人數(shù)為9人，門(mén)票費(fèi)用是多少？若旅游團(tuán)人數(shù)為30人，門(mén)票費(fèi)用又是多少？（2）設(shè)旅游團(tuán)人數(shù)為x人，寫(xiě)出該旅游團(tuán)門(mén)票費(fèi)用y（元）與人數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式．【分析】（1）依題意計(jì)算求解即可；（2）依題意可知y與x的函數(shù)關(guān)系式為分段函數(shù)，列出一次函數(shù)即可．【解答】解：（1）180×9＝1620（元），180×10+180×60%×（30﹣10）＝3960（元）答：若旅游團(tuán)人數(shù)為9人，門(mén)票費(fèi)用是1620元；若人數(shù)為30人，門(mén)票費(fèi)用是3960元；（2）設(shè)旅游團(tuán)人數(shù)為x人，該旅游團(tuán)門(mén)票費(fèi)用y元，則y=180x(x≤10)即函數(shù)關(guān)系式為：y=180x(x≤10)【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉學(xué)習(xí)一次函數(shù)中的分段函數(shù)，通常應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：⑴在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍。⑵分段函數(shù)的圖象是由幾條線段（或射線）組成的折線.⑶分析分段函數(shù)的圖象要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題背景對(duì)圖象的意義進(jìn)行認(rèn)識(shí)和理解,尤其要理解折線中橫、縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義.【變式5-1】（2022春?南召縣期中）“黃金1號(hào)”玉米種子的價(jià)格為5元/千克，如果一次購(gòu)買(mǎi)2千克以上的種子，超過(guò)2千克部分的種子價(jià)格打8折：（1）觀察下表：購(gòu)買(mǎi)量/千克0.511.522.533.54…付款金額/元2.557.510a14b18…完成填空：a＝，b＝；（2）寫(xiě)出付款金額y（元）關(guān)于購(gòu)買(mǎi)量x（千克）的函數(shù)關(guān)系，并畫(huà)出函數(shù)圖象．【分析】（1）根據(jù)“黃金1號(hào)”玉米種子的價(jià)格為5元/千克，如果一次購(gòu)買(mǎi)2千克以上的種子，超過(guò)部分的種子的價(jià)格打8折，可以計(jì)算出表格相應(yīng)的數(shù)據(jù)，從而可以將表格補(bǔ)充完整；（2）根據(jù)“玉米種子的價(jià)格為5元/千克，如果一次購(gòu)買(mǎi)2千克以上的種子，超過(guò)2千克部分的種子價(jià)格打8折”可以得到函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出圖象．【解答】解：（1）由題意可得，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)種子2.5千克時(shí)，需要付款：2×5+（2.5﹣2）×5×0.8＝12（元），當(dāng)購(gòu)買(mǎi)種子3.5千克時(shí)，需要付款：2×5+（3.5﹣2）×5×0.8＝16（元），故答案為：12，16．（2）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y＝5x，當(dāng)x＞2時(shí)，y＝5×2+（x﹣2）×5×0.8＝4x+2，即y=5x(0≤x≤2)函數(shù)圖象如右圖所示，【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式5-2】（2022秋?淮北月考）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一．為了增強(qiáng)居民的節(jié)水意識(shí)，某市自來(lái)水公司對(duì)居民用水采用以戶為單位分段計(jì)費(fèi)的辦法收費(fèi)，即一個(gè)月用水10t以內(nèi)（包括10t）的用戶，每噸收水費(fèi)a元；一個(gè)月用水超過(guò)10t的用戶，10t水仍按每噸a元收費(fèi)，超過(guò)10t的部分，按每噸b元（b＞a）收費(fèi)．設(shè)一戶居民月用水xt，應(yīng)交水費(fèi)y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求a的值；若某戶居民上月用水8t，應(yīng)交水費(fèi)多少元？（2）求b的值，并寫(xiě)出當(dāng)x＞10時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）若某戶居民八月份應(yīng)繳水費(fèi)29元，則該戶居民八月份用水量是多少？【分析】（1）由用水10t時(shí)，水費(fèi)是15元，得10a＝15，則a＝1.5，即用水不超過(guò)10t時(shí)，每噸水費(fèi)1.5元，可求得用水8t時(shí)的水費(fèi)是12元；（2）當(dāng)x＞10時(shí)，可列方程（20﹣10）b＝35﹣15，則b＝2，所以y＝15+2（x﹣10）＝2x﹣5；（3）先由y＝29＞15，確定x＞10，把y＝29代入y＝2x﹣5，再求出x的值，即為該戶居民八月份的用水量．【解答】解：（1）根據(jù)函數(shù)圖象，用水10t時(shí)，水費(fèi)是15元，∴10a＝15，解得a＝1.5，∵8t＜10t，∴1.5×8＝12（元），答：a的值是1.5，該戶居民應(yīng)交水費(fèi)12元．（2）當(dāng)x＞10時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象得，（20﹣10）b＝35﹣15，解得b＝2，∴y＝15+2（x﹣10）＝2x﹣5，答：b的值是2，y＝2x﹣5（x＞10）．（3）∵y＝29＞15，∴x＞10，把y＝29代入y＝2x﹣5，得29＝2x﹣5，解得x＝17，答：該戶居民八月份的用水量是17t．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義求函數(shù)表達(dá)式、一次函數(shù)的應(yīng)用、由函數(shù)圖象求自變量的取值范圍以及求函數(shù)值和自變量的值等知識(shí)與方法，正確地用代數(shù)式表示該戶居民應(yīng)交的水費(fèi)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023?灞橋區(qū)校級(jí)四模）五一期間，灞橋水果經(jīng)銷(xiāo)商老王每天從雨潤(rùn)水果批發(fā)市場(chǎng)分別以10元/斤、11元/斤的價(jià)格購(gòu)進(jìn)奶油味草莓和巧克力味草莓進(jìn)行銷(xiāo)售．奶油味草莓的銷(xiāo)售單價(jià)為13元/斤，巧克力味草莓的銷(xiāo)售方式為：當(dāng)銷(xiāo)售不超過(guò)50斤時(shí)，銷(xiāo)售單價(jià)為15元/斤；當(dāng)銷(xiāo)售超過(guò)50斤時(shí)，超出的部分銷(xiāo)售單價(jià)為14.5元/斤．老王每天購(gòu)進(jìn)這兩種味道的草莓共100斤，并在當(dāng)天全部銷(xiāo)售完，設(shè)每天銷(xiāo)售巧克力味草莓x斤（銷(xiāo)售過(guò)程中損耗不計(jì)）．（1）求出每天銷(xiāo)售獲利y（元）與x（斤）的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）若5月1日這一天，老王購(gòu)進(jìn)35斤奶油味草莓，求老王這一天將所有草莓都銷(xiāo)售完可以獲利多少錢(qián)？【分析】（1）分段函數(shù)，分0＜x≤50和50＜x＜100兩種情況解答即可；（2）把x＝65代入（1）的結(jié)論解答即可．【解答】解：（1）當(dāng)0＜x≤50時(shí)，y＝（13﹣10）×（100﹣x）+（15﹣11）x，即y＝2x+200；當(dāng)50＜x＜100時(shí)，y＝（13﹣10）×（100﹣x）+（15﹣11）×50+（14.5﹣11）（x﹣50），即y＝1.5x+225，綜上所述，每天銷(xiāo)售獲利y（元）與x（斤）的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+200（2）老王購(gòu)進(jìn)35斤奶油味草莓，則x＝100﹣35＝65，當(dāng)x＝65時(shí)，y＝1.5×65+225＝322.5（元）．答：老王這一天將所有草莓都銷(xiāo)售完可以獲利322.5元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意求得函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2022春?臨沭縣期末）受新冠肺炎疫情影響，一水果種植專(zhuān)業(yè)戶有大量成熟水果無(wú)法出售．“一方有難，八方支援．”某水果經(jīng)銷(xiāo)商主動(dòng)從該種植專(zhuān)業(yè)戶購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種水果進(jìn)行銷(xiāo)售．專(zhuān)業(yè)戶為了感謝經(jīng)銷(xiāo)商的援助，對(duì)甲種水果的出售價(jià)格根據(jù)購(gòu)買(mǎi)量給予優(yōu)惠，對(duì)乙種水果按25元/千克的價(jià)格出售．設(shè)經(jīng)銷(xiāo)商購(gòu)進(jìn)甲種水果x千克，付款y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求出當(dāng)0≤x≤50和x＞50時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃一次性購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種水果共100千克，且甲種水果不少于50千克，但又不超過(guò)60千克．如何分配甲，乙兩種水果的購(gòu)進(jìn)量，才能使經(jīng)銷(xiāo)商付款總金額w（元）最少？最少是多少元？【分析】（1）由圖可知y與x的函數(shù)關(guān)系式是分段函數(shù)，待定系數(shù)法求解析式即可．（2）購(gòu)進(jìn)甲種水果為x千克，則購(gòu)進(jìn)乙種水果（100﹣x）千克，根據(jù)實(shí)際意義可以確定x的范圍，結(jié)合付款總金額（元）與種水果的購(gòu)進(jìn)量之間的函數(shù)關(guān)系可以分類(lèi)討論最少費(fèi)用為多少．【解答】解：（1）當(dāng)0≤x≤50時(shí)，設(shè)y＝k1x（k1≠0），根據(jù)題意得50k1＝1500，解得k1＝30；∴y＝30x；當(dāng)x＞50時(shí)，設(shè)y＝k2x+b（k2≠0），根據(jù)題意得，50k解得：k2∴y＝24x+300．∴y=30x(0≤x≤50)（2）購(gòu)進(jìn)甲種水果為x千克，則購(gòu)進(jìn)乙種水果（100﹣x）千克，∴50≤x≤60，w＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800．∵﹣1＜0∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝60時(shí)，wmin＝2740元，此時(shí)乙種水果100﹣60＝40（千克）．答：購(gòu)進(jìn)甲種水果為60千克，購(gòu)進(jìn)乙種水果40千克，才能使經(jīng)銷(xiāo)商付款總金額w（元）最少，最少是2740元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象以及一元一次不等式組的應(yīng)用．借助函數(shù)圖象表達(dá)題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵．【變式5-5】（2022春?潼南區(qū)期末）某校組隊(duì)參加慶祝中國(guó)共青團(tuán)成立100周年經(jīng)典誦讀比賽，需要為參賽選手每人配備一個(gè)朗誦文件夾．已知甲、乙兩家店鋪銷(xiāo)售同款文件夾，原價(jià)相同，但銷(xiāo)售方式不同，在甲店鋪，無(wú)論一次性購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)文件夾，一律打8.5折；在乙店鋪，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)數(shù)量不超過(guò)30個(gè)時(shí)，按原價(jià)出售，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)數(shù)量超過(guò)30個(gè)時(shí)，超過(guò)的部分打7折．設(shè)該校需購(gòu)買(mǎi)x個(gè)朗誦文件夾，在甲店鋪購(gòu)買(mǎi)所需的費(fèi)用為y1元，在乙店鋪購(gòu)買(mǎi)所需的費(fèi)用為y2元，y1，y2關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示．（1）分別求出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）求圖中m的值，并說(shuō)明m的實(shí)際意義；（3）若該學(xué)校一次性購(gòu)買(mǎi)朗誦文件夾的數(shù)最超過(guò)40個(gè)，但不超過(guò)90個(gè)，到哪家店鋪購(gòu)買(mǎi)更優(yōu)惠？【分析】（1）根據(jù)甲、乙商店的不同銷(xiāo)售方案，可得關(guān)系式，注意乙商店的；（2）根據(jù)等量關(guān)系：甲商店所需費(fèi)用＝乙商店所需費(fèi)用，列出方程并求解即可；（3）注意分情況討論，當(dāng)172m＝7m+90時(shí)，當(dāng)172m＜7m+90時(shí)，當(dāng)172m＞7【解答】解：（1）文件夾的原價(jià)：300÷30＝10（元），30個(gè)文件夾的價(jià)格：30×10×0.85＝255（元），由題意得，設(shè)y1＝kx，把（30，255）代入得，k=17∴y1=172當(dāng)0≤x≤30時(shí)，設(shè)y2＝kx，把（30，300）代入得，k＝10，∴y2＝10x；當(dāng)x＞30時(shí)，y2＝10×30+10×0.7×（x﹣30）＝7x+90，∴y2=10x(0≤x≤30)答：y1關(guān)于x的函數(shù)解析式是y1=172x，y2關(guān)于x的函數(shù)解析式是y2（2）當(dāng)172m＝7m+90時(shí)，m＝60m的實(shí)際意義是當(dāng)購(gòu)買(mǎi)60個(gè)朗誦文件夾時(shí)，甲乙兩家商店花費(fèi)相同．（3）當(dāng)172x＝7x+90時(shí)，即x＝60當(dāng)172x＜7x+90時(shí)，即40＜x＜60當(dāng)172x＞7x+90時(shí)，即60＜x≤90【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和一元一次方程的應(yīng)用．題目難度不大．理解兩個(gè)店鋪不同的銷(xiāo)售方案是解決本題的關(guān)鍵．題型六利用一次函數(shù)解決最值問(wèn)題題型六利用一次函數(shù)解決最值問(wèn)題【例題6】（2022秋?濟(jì)南期末）某企業(yè)生產(chǎn)并銷(xiāo)售某種產(chǎn)品，整理出該商品在第x（1≤x≤90）天的售價(jià)y與x函數(shù)關(guān)系如圖所示，已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，第x天的銷(xiāo)售量為（100﹣x）件．（1）試求出售價(jià)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)求出該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中的最大利潤(rùn)．【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合圖象解答即可；（2）設(shè)該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中的利潤(rùn)為w，根據(jù)題意得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）當(dāng)0≤x≤50時(shí)，設(shè)y與x的解析式為：y＝kx+40，則50k+40＝90，解得k＝1，∴當(dāng)0≤x≤50時(shí)，y與x的解析式為：y＝x+40，∴售價(jià)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=x+40(0≤x≤50)（2）設(shè)該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中的利潤(rùn)為w，當(dāng)0≤x≤50時(shí)，w＝（x+40﹣30）（100﹣x）＝﹣x2+90x+1000＝﹣（x﹣45）2+3025，∵a＝﹣1＜0且0≤x≤50，∴當(dāng)x＝45時(shí)，w取最大值，最大值為3025元；當(dāng)50≤x≤90時(shí)，w＝（90﹣30）（100﹣x）＝﹣60x+6000，∵﹣60＜0，∴w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝50時(shí)，該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中的利潤(rùn)最大，最大值為：（90﹣30）×（100﹣50）＝3000（元）．∵3025＞3000，∴x＝45時(shí)，w增大，最大值為3025元．答：第45天時(shí)，該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3025元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，利用單價(jià)乘以數(shù)量求函數(shù)解析式，利用了函數(shù)的性質(zhì)求最值．解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．解題技巧提煉根據(jù)題意求出函數(shù)解析式，再利用一次函數(shù)增減性得出函數(shù)最值是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2022春?撫順期末）某公司經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種特產(chǎn)，其中甲特產(chǎn)每噸成本價(jià)為10萬(wàn)元，銷(xiāo)售價(jià)為10.5萬(wàn)元；乙特產(chǎn)每噸成本價(jià)為1萬(wàn)元，銷(xiāo)售價(jià)為1.2萬(wàn)元．由于受有關(guān)條件限制，該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷(xiāo)售量之和都是100噸，且甲特產(chǎn)每月的銷(xiāo)售量都不超過(guò)20噸．設(shè)每月銷(xiāo)售甲特產(chǎn)x噸，一個(gè)月銷(xiāo)售這兩種特產(chǎn)所獲得的總利潤(rùn)為W萬(wàn)元．（1）若該公司某月銷(xiāo)售甲、乙兩種特產(chǎn)的總成本為235萬(wàn)元，問(wèn)這個(gè)月該公司分別銷(xiāo)售甲、乙兩種特產(chǎn)各多少?lài)?？?）求W與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）求該公司一個(gè)月銷(xiāo)售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤(rùn)．【分析】（1）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的一元一次方程，從而可以求得這個(gè)月該公司銷(xiāo)售甲、乙兩種特產(chǎn)分別為多少?lài)?；?）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合“總利潤(rùn)＝甲種特產(chǎn)的利潤(rùn)+乙種特產(chǎn)的利潤(rùn)”解答即可；（3）根據(jù)題意，可以得到利潤(rùn)與甲種特產(chǎn)數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)甲種特產(chǎn)的取值范圍和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到利潤(rùn)的最大值．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知銷(xiāo)售甲種特產(chǎn)x噸，則銷(xiāo)售乙種特產(chǎn)（100﹣x）噸，10x+（100﹣x）×1＝235，解得，x＝15，∴100﹣x＝85，答：這個(gè)月該公司銷(xiāo)售甲、乙兩種特產(chǎn)分別為15噸，85噸；（2）W＝（10.5﹣10）x+（1.2﹣1）×（100﹣x）＝0.3x+20；（3）由（2）可知W＝0.3x+20，∵0.3＞0，∴W隨x的增大而增大，∵0≤x≤20，∴當(dāng)x＝20時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W＝26，答：該公司一個(gè)月銷(xiāo)售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤(rùn)是26萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和方程的知識(shí)解答．【變式6-2】（2022秋?章貢區(qū)校級(jí)期末）某地允許市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)主體在規(guī)范有序的條件下，采取“店鋪外擺”“露天市場(chǎng)”方式進(jìn)行銷(xiāo)售．個(gè)體業(yè)主小王響應(yīng)號(hào)召，采取“店鋪外擺”方式銷(xiāo)售甲、乙兩種特價(jià)商品，兩種商品的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如表所示：甲商品乙商品進(jìn)價(jià)（元/件）355售價(jià)（元/件）458小王計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件進(jìn)行銷(xiāo)售，設(shè)小王購(gòu)進(jìn)甲商品x件，甲、乙兩種商品全部銷(xiāo)售完后獲得的利潤(rùn)為y元．（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若購(gòu)進(jìn)乙商品的件數(shù)不少于甲商品件數(shù)的3倍，當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件時(shí)，可使得甲、乙兩種商品全部銷(xiāo)售完后獲得的利潤(rùn)最大？【分析】（1）由y＝甲商品利潤(rùn)+乙商品利潤(rùn)，可得解析式；（2）根據(jù)購(gòu)進(jìn)乙商品的件數(shù)不少于甲商品件數(shù)的3倍列出不等式，求出x的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性解決最大值問(wèn)題．【解答】解：（1）由題意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝7x+300；（2）由題意，得100﹣x≥3x，解得x≤25．∵y＝7x+300，∴k＝7＞0，∴y隨x增大而增大，∴x＝25時(shí)，y的值最大，100﹣25＝75，答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲種商品25件，乙種商品75件時(shí)，可使得甲、乙商品全部銷(xiāo)售完后獲得的利潤(rùn)最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題．【變式6-3】（2022秋?市中區(qū)期末）為增加校園綠化面積，某校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗100棵．已知購(gòu)買(mǎi)20棵甲種樹(shù)苗和16棵乙種樹(shù)苗共花費(fèi)1280元，購(gòu)買(mǎi)1棵甲種樹(shù)苗比1棵乙種樹(shù)苗多花費(fèi)10元．（1）求甲、乙兩種樹(shù)苗每棵的價(jià)格分別是多少元？（2）若購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗不少于25棵，則購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗各多少棵時(shí)花費(fèi)最少？最少費(fèi)用是多少元？【分析】（1）根據(jù)購(gòu)買(mǎi)20棵甲種樹(shù)苗和16棵乙種樹(shù)苗共花費(fèi)1280元，購(gòu)買(mǎi)1棵甲種樹(shù)苗比1棵乙種樹(shù)苗多花費(fèi)10元，可以列出相應(yīng)的方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意可以寫(xiě)出花費(fèi)與購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗數(shù)量之間的函數(shù)解析式，再根據(jù)購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗不少于25棵和一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最低費(fèi)用．【解答】解：（1）設(shè)甲種樹(shù)苗每棵x元，乙種樹(shù)苗每棵y元，由題意可得：20x+16y=1280x-y=10解得x=40y=30答：甲種樹(shù)苗每棵40元，乙種樹(shù)苗每棵30元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗a棵，則購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗（100﹣a）棵，所需費(fèi)用為w元，由題意可得：w＝40a+30（100﹣a）＝10a+3000，∴w隨a的增大而增大，∵購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗不少于25棵，∴a≥25，∴當(dāng)a＝25時(shí)，w取得最小值，此時(shí)w＝3250，100﹣a＝75，答：購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗25棵，乙種樹(shù)苗75棵時(shí)花費(fèi)最少，最少費(fèi)用是3250元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．【變式6-4】（2021秋?長(zhǎng)安區(qū)期末）某中學(xué)計(jì)劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，并對(duì)獲獎(jiǎng)的同學(xué)給予獎(jiǎng)勵(lì)．現(xiàn)要購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種獎(jiǎng)品，已知1件甲種獎(jiǎng)品和2件乙種獎(jiǎng)品共需40元，2件甲種獎(jiǎng)品和3件乙種獎(jiǎng)品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)；（2）根據(jù)頒獎(jiǎng)計(jì)劃，該中學(xué)需甲、乙兩種獎(jiǎng)品共60件，且甲種獎(jiǎng)品不少于20件，應(yīng)如何購(gòu)買(mǎi)才能使總費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用．【分析】（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元/件，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元/件，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)1件甲種獎(jiǎng)品和2件乙種獎(jiǎng)品共需40元，購(gòu)買(mǎi)2件甲種獎(jiǎng)品和3件乙種獎(jiǎng)品共需70元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品m件，則購(gòu)買(mǎi)乙種獎(jiǎng)品（60﹣m）件，設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為w，由甲種獎(jiǎng)品不少于20件，可得出關(guān)于m的取值范圍，再由總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．【解答】解：（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元/件，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元/件，依題意，得：x+2y=402x+3y=70解得x=20y=10答：甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元/件，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為10元/件．（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品m件，則購(gòu)買(mǎi)乙種獎(jiǎng)品（60﹣m）件，設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為w元，∵甲種獎(jiǎng)品不少于20件，∴m≥20．依題意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，∵10＞0，∴w隨m值的增大而增大，∴當(dāng)學(xué)校購(gòu)買(mǎi)20件甲種獎(jiǎng)品、40件乙種獎(jiǎng)品時(shí)，總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是800元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式．【變式6-5】今年植樹(shù)節(jié)期間，某景觀園林公司購(gòu)進(jìn)一批成捆的A，B兩種樹(shù)苗，每捆A種樹(shù)苗比每捆B種樹(shù)苗多10棵，每捆A種樹(shù)苗和每捆B種樹(shù)苗的價(jià)格分別是630元和600元，而每棵A種樹(shù)苗和每棵B種樹(shù)苗的價(jià)格分別是這一批樹(shù)苗平均每棵價(jià)格的0.9倍和1.2倍．（1）求這一批樹(shù)苗平均每棵的價(jià)格是多少元？（2）如果購(gòu)進(jìn)的這批樹(shù)苗共5500棵，A種樹(shù)苗至多購(gòu)進(jìn)3500棵，為了使購(gòu)進(jìn)的這批樹(shù)苗的費(fèi)用最低，應(yīng)購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗和B種樹(shù)苗各多少棵？并求出最低費(fèi)用．【分析】（1）設(shè)這一批樹(shù)苗平均每棵的價(jià)格是x元，根據(jù)題意列方程解答即可；（2）分別求出A種樹(shù)苗每棵的價(jià)格與B種樹(shù)苗每棵的價(jià)格，設(shè)購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗t棵，這批樹(shù)苗的費(fèi)用為w元，根據(jù)題意求出w與t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）設(shè)這一批樹(shù)苗平均每棵的價(jià)格是x元，根據(jù)題意列方程，得：6300.9x解這個(gè)方程，得x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原分式方程的解，并符合題意，答：這一批樹(shù)苗平均每棵的價(jià)格是20元；（2）由（1）可知A種樹(shù)苗每棵的價(jià)格為：20×0.9＝18（元），B種樹(shù)苗每棵的價(jià)格為：20×1.2＝24（元），設(shè)購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗t棵，這批樹(shù)苗的費(fèi)用為w元，則：w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，∵w是t的一次函數(shù)，k＝﹣6＜0，∴w隨t的增大而減小，又∵t≤3500，∴當(dāng)t＝3500棵時(shí)，w最小，此時(shí)，B種樹(shù)苗有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，答：購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗3500棵，B種樹(shù)苗2000棵時(shí)，能使得購(gòu)進(jìn)這批樹(shù)苗的費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為111000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系．題型七題型七利用一次函數(shù)解決幾何問(wèn)題【例題7】（2021春?武江區(qū)校級(jí)期末）在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始按A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D．如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路程為x，△APD的面積為y．（當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或D重合時(shí)，y＝0）（1）寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)解析式；（2）直接寫(xiě)出△APD的面積的最大值．【分析】（1）分三種情況：點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，分別求出y與x之間的函數(shù)解析式即可；（2）畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察圖象可得答案．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤x＜3時(shí)，y=12×AD×AP=12×4當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3≤x＜7時(shí)，y=12×AD×AB=12×當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即7≤x≤10時(shí)，y=12×AD×PD=12×4×（10﹣綜上所述，y=2x（2）函數(shù)圖象如下：由圖象可得，y最大為6，∴△APD的面積的最大值是6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象、三角形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想方法．解題技巧提煉本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象,三角形的面積公式等知識(shí)．解題關(guān)鍵是深刻理解動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，理解動(dòng)點(diǎn)的完整運(yùn)動(dòng)過(guò)程,學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想方法．【變式7-1】如圖①所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在正方形的邊上沿A→B→C→D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），三角形APD的面積為S（cm2），S與t的函數(shù)圖象如圖②所示，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為s，在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為cm/s，三角形APD的面積S的最大值為cm2；（2）求出點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)S與t之間的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，三角形APD的面積為10cm2【分析】（1）直接根據(jù)函數(shù)圖象上坐標(biāo)可求出點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為6s，在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為6÷3＝2cm/s；（2）用t表示PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，代入面積公式可求S＝90﹣6t；（3）通過(guò)圖象可知，△APD的面積為10cm2．即S＝10，分別在S＝3t和S＝90﹣6t，上代入即可求得t=103，t【解答】解：（1）點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為6s，在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為6÷3＝2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，△APD的面積S最大，最大值是12×6×6＝18cm故答案為：6，2，18；（2）PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，S=12AD?PD=12×6×（30﹣2t）＝（3）當(dāng)0≤t≤6時(shí)，S＝3t，△APD的面積為10cm2，即S＝10時(shí)，∴3t＝10，∴t=10當(dāng)12≤t≤15時(shí)，90﹣6t＝10，∴t=40所以當(dāng)t為103（s）、403（s）時(shí)，△APD的面積為10cm【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了三角形面積，正方形的性質(zhì)，函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是要分析題意根據(jù)實(shí)際意義求解．注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．【變式7-2】（2021春?景德鎮(zhèn)期末）如圖①所示，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A→B→C→D的路線運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)停止；點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，沿D→C→B→A運(yùn)動(dòng)，到A點(diǎn)停止．若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P的速度為1cm/秒，點(diǎn)Q的速度為2cm/秒，a秒時(shí)點(diǎn)P，Q同時(shí)改變速度，點(diǎn)P的速度變?yōu)閎cm/秒，點(diǎn)Q的速度變?yōu)閏cm/秒，如圖②所示的是△APD的面積S1（cm2）與點(diǎn)P出發(fā)時(shí)間x（秒）之間的關(guān)系．圖③是△AQD的面積S2（cm2）與點(diǎn)Q出發(fā)時(shí)間x（秒）之間的關(guān)系．根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：（1）a＝，b＝，c＝；（2）設(shè)點(diǎn)P，Q出發(fā)x（x＞a）秒后離開(kāi)點(diǎn)A的路程分別為y1，cm，y2，cm，請(qǐng)分別寫(xiě)出y1，y2與x之間的關(guān)系