第十六章偏導(dǎo)數(shù)與全微分

第十六章偏導(dǎo)數(shù)與全微分§1偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念這部分要掌握的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微三個概念的定義；連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微三個概念之間的關(guān)系；二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微的概念都是用極限定義的，不同的概念對應(yīng)不同的極限，切勿混淆?？紤]函數(shù)在點(diǎn)的情形，則它們分別為：在點(diǎn)連續(xù)定義為：在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)定義為：或或在點(diǎn)可微定義為：因此，要討論點(diǎn)的可微性，首先要求，。這三個概念之間的關(guān)系可以用下圖表示（在點(diǎn)）連續(xù)3連續(xù)，連續(xù)可微12，連續(xù)可微，存在，存在在上述關(guān)系中，反方向均不成立。下面以點(diǎn)為例，逐一討論。42，43例1：這是教材中的典型例題，均存在，但在點(diǎn)不可微，且不存在，即在點(diǎn)不連續(xù)。34，32例2：，這是上半圓錐，顯然在點(diǎn)連續(xù)，但故不存在。由的對稱性，不存在。從而，在點(diǎn)不可微（否則，，均存在）。21例3：，由的對稱性，。（）故在點(diǎn)可微。且取點(diǎn)列，，，顯然故不存在，從而在點(diǎn)不連續(xù)。由的對稱性，在點(diǎn)也不連續(xù)。對一元函數(shù)，可微與可導(dǎo)是等價的，即：可微可導(dǎo)。但對二元函數(shù)，可微與偏導(dǎo)存在并不等價，即：可微偏導(dǎo)存在，反之未必。應(yīng)特別引起注意?！?復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法求復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚各變量之間的關(guān)系。在求復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)時，尤其要搞清楚偏導(dǎo)函數(shù)各變量之間的關(guān)系。只有明確了變量之間的關(guān)系，才可能正確使用鏈?zhǔn)椒▌t。例1設(shè)為常數(shù)，函數(shù)二階可導(dǎo)，，證明證變量之間的關(guān)系為注意這里是某變量的一元函數(shù)，而。因?yàn)?，由的對稱性得，而，，由的對稱性得，，，。于是又因?yàn)?，故。?在求時，要特別注意的函數(shù)關(guān)系仍然是注2在求時，注意正確使用導(dǎo)數(shù)符號，不要寫成，也不要寫成或。事實(shí)上，。注3上面的證明簡潔清楚，所要求證的微分方程的左邊是，函數(shù)作為自變量的函數(shù)，是由中間變量復(fù)合而成，利用，我們得到了這樣把求對自變量的偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為對中間變量的偏導(dǎo)數(shù)，從而使計(jì)算簡單了。試比較直接求的情形。由的對稱性得則。例2設(shè)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，，，試求，，。證注意，是對求偏導(dǎo)數(shù)之后，令所得的函數(shù)，而不是作為的一元函數(shù)對的導(dǎo)函數(shù)。在兩邊對求導(dǎo)，得將代入，得上式兩邊對求導(dǎo)，得在兩邊對求導(dǎo)，得因?yàn)橛羞B續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則，又已知，將上兩式聯(lián)立解得，。即，。例3若函數(shù)對任意正實(shí)數(shù)滿足關(guān)系，則稱為次奇次函數(shù)。設(shè)可微，試證明為次齊次函數(shù)的充要條件是證令，則，故與無關(guān)，從而，即方程兩邊分別對求導(dǎo)，得，，，，將前面三式代入第四式即得。或在上面四式中令，得，，，即。變換微分方程例4設(shè)，，，變換方程（假設(shè)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)都連續(xù)）。解這里既有自變量的變換，，也有函數(shù)的變換。自變量由原來的變換為，函數(shù)由原來的變換為。為了把原來的函數(shù)變換為函數(shù)，可以把原來的函數(shù)視為如下的復(fù)合，，，即則故即例5設(shè)，求。證方程確定了函數(shù)，在方程兩邊求微分，得兩邊再求微分，得解得故§4方向?qū)?shù)對多元函數(shù)，前面曾討論了它在某點(diǎn)的可微、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系。下面進(jìn)一步討論方向?qū)?shù)與這些概念之間的關(guān)系。如下圖連續(xù)2連續(xù)，存在可微13，存在可微，，存在，，存在，存在，存在14課本定理35由偏導(dǎo)數(shù)定義和方向?qū)?shù)定義即得。43，53例：函數(shù)在點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在，z特別地，沿坐標(biāo)軸正、負(fù)向的方向?qū)?shù)為，。y但不存在。同理，不存在。從上面的討論不難看出，關(guān)于3、5有以下結(jié)論：，存在，存在，且，這時有，。41否則有43，與43矛盾42例：故在點(diǎn)不連續(xù)。但任意方向，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在52否則有42，與42矛盾?；蚍駝t與32矛盾。24例：設(shè)，顯然在點(diǎn)連續(xù)，但沿任意方向的方向?qū)?shù)不存在，事實(shí)上不存在。34例：設(shè)，則，但時，不存在?！?Taylor公式Taylor公式的幾種形式若函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則（1）其中（2）為方便，記，則其中（3）其中這是用微分表示的Taylor公式，它與一元函數(shù)的Taylor公式在形式上更為接近，由此也可以看到一元函數(shù)中在二元函數(shù)的對應(yīng)物是。例1設(shè)函數(shù)有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證的階導(dǎo)數(shù)。證對用數(shù)學(xué)歸納法。時，顯然設(shè)，則例2證明Taylor公式的唯一性：若其中，求證為非負(fù)整數(shù)，），并利用唯一性求帶拉格朗日余項(xiàng)的階Taylor展開式。證對用數(shù)學(xué)歸納法。在中令即得。設(shè)時，則，進(jìn)而。在上式中令，因?yàn)?，，故時，，從而而時，不存在，故必有（）。由數(shù)學(xué)