2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（南京卷）全解全析

年中考第一次模擬考試(南京卷)數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列運(yùn)算正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪相除法則，冪的乘方法則，完全平方公式計(jì)算即可．【詳解】解：A．與不是同類項(xiàng)，不可以合并，故錯(cuò)誤；B．，故原計(jì)算錯(cuò)誤；C．，原計(jì)算正確；D．，故原計(jì)算錯(cuò)誤；故選：C．2．下列各式中計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根及立方根．根據(jù)算術(shù)平方根及立方根進(jìn)行求解即可．【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)不符合題意；B、，故該選項(xiàng)不符合題意；C、，故該選項(xiàng)不符合題意；D、，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．若關(guān)于x的一元一次不等式的解為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查不等式的解集，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，兩邊同時(shí)除以，不等式的符號(hào)發(fā)生改變，可知，求解即可．【詳解】解：關(guān)于x的一元一次不等式的解為，，．故選：A．4．若，這兩個(gè)不同點(diǎn)在y關(guān)于x的一次函數(shù)圖象上，當(dāng)（）時(shí)，．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，判斷出y隨x的增大而減?。祟}考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要根據(jù)函數(shù)的增減性進(jìn)行推理是關(guān)鍵．【詳解】解：∵，是一次函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且，∴與是異號(hào)，∴該函數(shù)y隨x的增大而減小，∴，解得．故選：C．5．手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的．圖中小狗手影就是我們小時(shí)候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米．在小明不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應(yīng)（

）A．減少米 B．增加米 C．減少米 D．增加米【答案】A【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)為光源，表示小明的手，表示小狗手影，則，過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于，則，

∵，∴，則，∵米，米，則米，∴，設(shè)，∵在小明不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，如圖，

即，，米，∴，則，∴米，∴光源與小明的距離變化為：米，故選：A．6．如圖，在中，．分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，E，作直線分別交于點(diǎn)．以G為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)H，連結(jié)．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本作圖得到垂直平分，，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，，于是可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷；通過(guò)證明為的中位線得到，所以，則可計(jì)算出，則，于是可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷；通過(guò)證明，利用相似比得到，然后利用，設(shè)，，得，解之得，再計(jì)算出，可對(duì)C、D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】由作法得垂直平分，，，，，所以選項(xiàng)正確，不符合題意；，，為的中位線，，，，，，，，，所以選項(xiàng)正確，不符合題意；∵，∴，∴，∴，∴，∴．，，，，，設(shè)，，得，解之得（負(fù)舍），∴∴，，故C選項(xiàng)不正確，符合題意；，∴．所以D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．）7．分式有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式分母不為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵分式有意義，∴，解得：，故答案為：．8．年月日時(shí)分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射第五十六顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，北斗系統(tǒng)作為國(guó)家重要基礎(chǔ)設(shè)施，深刻改變著人們的生產(chǎn)生活方式．目前，某地圖軟件調(diào)用的北斗衛(wèi)星日定位量超次，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，解題的關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：，故答案為：．9．因式分解：．【答案】【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．【詳解】解：，故答案為：．10．已知，代數(shù)式．【答案】【分析】本題考查配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握，把變形為：，再代入代數(shù)式，即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．11．如圖，在中，平分，交于點(diǎn)F，平分，交于點(diǎn)E，，，則長(zhǎng)為.【答案】3【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得，，；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得；根據(jù)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線可得；推得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，，即可列出等式，求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，則，∴，同理可證：，∵，即，解得：；故答案為：3．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．若，的面積是2，則的值為．【答案】4【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)B作于E，設(shè)，先求出，證明，得到，即，由此可得；由的面積是2，，得到，求出，則，即可得到．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于E，設(shè)，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴；∵的面積是2，，∴，∵，∴，∴，故答案為：4．13．如圖，四邊形是正方形，頂點(diǎn)B在拋物線的圖象上，若正方形的邊長(zhǎng)為，且邊與y軸的負(fù)半軸的夾角為，則a的值是．【答案】【分析】本題主要考查二次函數(shù)、特殊三角函數(shù)、正方形的性質(zhì)，正確做出輔助線，利用特殊角，應(yīng)用特殊三角函數(shù)值進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．連接，過(guò)B作軸于D，則，可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)B作軸于D，則，由題意得：，∵，∴，∵正方形的邊長(zhǎng)為，∴，∴在中，∴，∴，∴點(diǎn)，代入中，得：，∴故答案為：．14．如圖，在中，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，其中點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)．如果圖中陰影部分的面積為4.5，那么的正切值是．【答案】【分析】本題考查了正切函數(shù)的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理．作于點(diǎn)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及面積法和勾股定理求得，，解得，再利用由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：作于點(diǎn)，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，由題意得，解得，∴，∵，解得，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則，∴的正切值，故答案為：．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與y軸相切于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B、C，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【答案】【分析】作于點(diǎn)G，連接，，利用切線性質(zhì)推出，推出得出為的中位線，進(jìn)而推出，得到，，根據(jù)D的坐標(biāo)得到，，利用圓周角定理的推論，推出，得到，即可求出B坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)G，連接，，與y軸相切于點(diǎn)A，，，，，，，即，為的中位線，，，，，，，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，，，，是直徑，，，，，，，，，的坐標(biāo)為，故答案為：．16．如圖，把置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心．將沿軸的正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與軸重合，第一次滾動(dòng)后圓心為，第二次滾動(dòng)后圓心為，…，依此規(guī)律，第2023次滾動(dòng)后，內(nèi)切圓的圓心的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】作交于，交于，交于，連接、、，由、的坐標(biāo)得出，，由勾股定理可得，再由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，設(shè)，根據(jù)三角形的面積計(jì)算出，從而得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得出的坐標(biāo)為：，即，設(shè)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：，即可得到的坐標(biāo)，從而得到每滾動(dòng)3次為一個(gè)循環(huán)，最后根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，作交于，交于，交于，連接、、，

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，，，，，設(shè)，，，，解得：，，將沿軸的正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與軸重合，第一次滾動(dòng)后圓心為，第二次滾動(dòng)后圓心為，由圖可得的坐標(biāo)為：，即，設(shè)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：，解得：，，的坐標(biāo)為，即，每滾動(dòng)3次為一個(gè)循環(huán)，，第2023次滾動(dòng)后內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)是：，即的橫坐標(biāo)是8093，，故答案為：．三、解答題（本大題共11小題，共88分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（7分）已知，求代數(shù)式的值．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．18．（7分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求的值．【詳解】解：，①②得：，解得，將代入①式，解得，．19．（8分）2023春節(jié)檔電影《滿江紅》熱映，進(jìn)一步激發(fā)觀眾愛(ài)國(guó)之情．帝都南陽(yáng)與名將岳飛有著一段傳頌至今的歷史——公元1138年，岳飛統(tǒng)軍過(guò)南陽(yáng)到武侯祠敬拜諸葛亮，雨夜含淚手書前后《出師表》，為南陽(yáng)留下了千古絕唱“三絕碑”．某超市采購(gòu)了兩批同樣的《出師表》紀(jì)念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)是第二批的倍，且第二批比第一批多購(gòu)進(jìn)25個(gè)．(1)求第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)；(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)又采購(gòu)一批同樣的掛件，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每個(gè)60元時(shí)，每周能賣出40個(gè)，若每降價(jià)1元，每周多賣10個(gè)，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個(gè)，求每個(gè)掛件售價(jià)定為多少元時(shí)，每周可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【詳解】（1）解答：解：(1）設(shè)第二批每個(gè)掛件進(jìn)價(jià)是每個(gè)x元，根據(jù)題意得解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，也符合題意，∴，答：第二批每個(gè)掛件進(jìn)價(jià)是每個(gè)40元；（2）設(shè)每個(gè)掛件售價(jià)定為m元，每周可獲得利潤(rùn)W元，∵每周最多能賣90個(gè)，∴，解得，根據(jù)題意得，∵，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∵，∴當(dāng)時(shí)，W取最大，此時(shí)．∴當(dāng)每個(gè)掛件售價(jià)定為55元時(shí)，每周可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是1350元．20．（8分）北京時(shí)間年月3日，瑞典皇家科學(xué)院宣布，將諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予皮埃爾·阿戈斯蒂尼、費(fèi)倫茨·克勞什、安妮·盧利耶．這3位獲得者所做的實(shí)驗(yàn)，為人類探索原子和分子內(nèi)部的電子世界提供了新的工具．在諾貝爾獎(jiǎng)歷史上，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)是華人獲獎(jiǎng)最多的領(lǐng)域，共有6位華人科學(xué)家獲獎(jiǎng)，分別是楊振寧、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高錕．小軒家剛好有《楊振寧傳》《李政道傳》《丁肇中傳》《高錕傳》四本傳記書，小軒閱讀完后任選一本寫讀后感．(1)小軒選到《朱棣文傳》是________事件．（填“隨機(jī)”“必然”或“不可能”）(2)小軒的妹妹也從這四本傳記書中任選一本寫讀后感，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求他們恰好選到同一本書寫讀后感的概率．【詳解】（1）解：∵小軒家有《楊振寧傳》《李政道傳》《丁肇中傳》《高錕傳》四本傳記書，∴小軒選到《朱棣文傳》是不可能事件，故答案為：不可能；（2）解：由題意可得，樹(shù)狀圖如圖所示，總共有種情況，他們恰好選到同一本書的有4種，∴．21．（8分）2023年，教育部等八部門聯(lián)合印發(fā)了《全國(guó)青少年學(xué)生讀書先去實(shí)施方案》，某校為落實(shí)該方案，成立了四個(gè)主題閱讀社團(tuán)：A．民俗文化，B．節(jié)日文化，C．古曲詩(shī)詞，D．紅色經(jīng)典．學(xué)校規(guī)定：每名學(xué)生必須參加且只能一個(gè)社團(tuán)．學(xué)校隨機(jī)對(duì)部分學(xué)生選擇社團(tuán)的情況進(jìn)了調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生有名，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“A”部分圓心角的度數(shù)為；(2)通過(guò)計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)若該校共有1800名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，估計(jì)全校參加“D”社團(tuán)的人數(shù)．【詳解】（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)（名），扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是，故答案為：60，；（2）（人）；補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如答案圖所示．

（3）（名）．答：全校1800名學(xué)生中，參加“D”活動(dòng)小組的學(xué)生約有540名．22．（8分）如圖，在矩形中，E是的中點(diǎn)，，垂足為F．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵四邊形四邊形是矩形，，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴．23．（8分）隨著人民生活水平的日益提高，許多農(nóng)村的房屋普遍進(jìn)行了改造，小明家改造時(shí)在門前安裝了一個(gè)遮陽(yáng)棚，如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷長(zhǎng)為4米，與墻面的夾角，靠墻端A離地高為3米，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴，在中，，∴，，∴，在中，，∴，∴陰影的長(zhǎng)為．24．（8分）如圖，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)作弦，連接，．

(1)求證：是等邊三角形；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，若的半徑為2，求線段的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接、,

∵是的直徑，，∴,∴,∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴是的中垂線，∴，∵,∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形；（2）解：如圖，連接，

∵的半徑為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵是等邊三角形，，∴，在中，，由勾股定理得：，即，則，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴.25．（8分）某龍舟隊(duì)進(jìn)行500米直道訓(xùn)練，全程分為啟航，途中和沖刺三個(gè)階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程與時(shí)間的近似函數(shù)圖象．啟航階段的函數(shù)表達(dá)式為；途中階段勻速劃行，函數(shù)圖象為線段；在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為．(1)求出啟航階段關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式（寫出自變量的取值范圍），(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s．①當(dāng)時(shí)，求出此時(shí)龍舟劃行的總路程，②在距離終點(diǎn)125米處設(shè)置計(jì)時(shí)點(diǎn)，龍舟到達(dá)時(shí)，視為達(dá)標(biāo)，請(qǐng)說(shuō)明該龍舟隊(duì)能否達(dá)標(biāo)；(3)沖刺階段，加速期龍舟用時(shí)1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點(diǎn).求該龍舟隊(duì)完成訓(xùn)練所需時(shí)間（精確到0.01s）．【詳解】（1）把代入得，解得，啟航階段總路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）①設(shè)，把代入，得，解得，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，龍舟劃行的總路程為．②，把代入，得．，該龍舟隊(duì)能達(dá)標(biāo)．（3）加速期：由（1）可知，把代入，得．函數(shù)表達(dá)式為，把代入，解得．，．答：該龍舟隊(duì)完成訓(xùn)練所需時(shí)間為．26．（9分）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)長(zhǎng)為．(1)的長(zhǎng)為．(2)求長(zhǎng)度（用含x的代數(shù)式表示）．(3)當(dāng)點(diǎn)F落在直線上時(shí)，求x的值．(4)當(dāng)直線與的