定積分思想在物理學(xué)中的應(yīng)用

定積分思想在物理學(xué)中的應(yīng)用面積元素?cái)?shù)學(xué)是一門高等學(xué)科，更是解決其他學(xué)科問題的有效工具，定積分作為高等數(shù)學(xué)重要的組成部分，在物理學(xué)中不僅是數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用，還是一種思維方法的應(yīng)用。微分和積分是定積分的精髓，正是其告訴我們之所以可以解決很多非線性問題，本質(zhì)的原因在于化曲為直了。面積元素定積分A=i=1nf(δi重要思想：分割近似，極限求和方法：微元法如果依據(jù)以前的常規(guī)函數(shù)，只能解決一些線性問題，但在實(shí)際問題中，物體的狀態(tài)常常是變化的，，這時(shí)利用定積分的無限分割思想就能解決困難的物理問題。定積分在物理應(yīng)用關(guān)鍵在于：首先對各種常用坐標(biāo)系有整體概念，其次理解各種常用坐標(biāo)系下的“數(shù)學(xué)微元”意義，如：微功，微壓力，微引力等，進(jìn)而求出變力做功、水壓力、引力和轉(zhuǎn)動慣量等物理問題。定積分為物理學(xué)提供的思想工具：解決速度和加速度的問題勻速直線運(yùn)動，位移和速度之間的關(guān)系x=vt，但變速直線運(yùn)動，物體的唯一如何求解呢？例：汽車以10m/s的速度行駛，設(shè)汽車以2m/a2<解析>現(xiàn)在我們知道，根據(jù)勻減速直線運(yùn)動速度位移公式，就可以求得汽車走了0.025公里。但是，所謂的勻減速直線運(yùn)動速度位移公式怎么來的，其實(shí)就是應(yīng)用了定積分思想：把物體運(yùn)動的時(shí)間無限細(xì)分。在每一份時(shí)間微元內(nèi)，速度的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認(rèn)為物體在做勻速直線運(yùn)動，接下來把所有時(shí)間內(nèi)的位移相加，即“無限求和”，則總的位移就可以知道?，F(xiàn)在我們明白物體在變速直線運(yùn)動時(shí)的位移等于速度時(shí)間圖像與時(shí)間軸所圍圖形的“面積”，即：<定積分求解>從開始剎車到停車的時(shí)間t=5s，所以汽車由剎車到停車行駛的位移X=0510-解決變力做功問題分析：設(shè)質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A移動到點(diǎn)B（A的坐標(biāo)為a，點(diǎn)B的坐標(biāo)為b），作用于質(zhì)點(diǎn)上的力F是坐標(biāo)x的連續(xù)函數(shù)F=F(x)則在［a,b］上任取子區(qū)間［x,x+dx］,質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)x移動到x+dx時(shí)，力所作的功為dW=F(x)dx將微元dW從a到b求定積分，的F（x）在整個區(qū)間上所做的功為：W=a例1：一彈簧原長是10cm，把它由原長拉長6cm，計(jì)算力F克服彈力所作的功。根據(jù)胡可定律克制，力F與彈簧的伸長量x成正比，即F=kx.其中k為彈簧的彈性系數(shù)，顯然力F隨x的變化而變化，它是一個變力.去彈簧伸長量x為積分變量，x［0,6］，在［0,6］上任取子區(qū)間［x，x+dx］，功元素為dW=kxdx，所以功W=06kxdx=kx2(注意)如果選取伸長量為x-10，x的變化區(qū)間為［10,16］，力F為F＝k（x-10）.dF=γ﹒xsinα﹒?F=x0x0+bγasinα﹒xdx=γasinα［(x0=γab(2h+bsinα)得出液體側(cè)壓力函數(shù)為P=ab引力問題有萬有引力定律，兩質(zhì)點(diǎn)之間的萬有引力為F=G，若要計(jì)算一細(xì)長桿對一質(zhì)點(diǎn)的引力，此時(shí)由于細(xì)桿上各點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，不能直接用萬有引力定律公式計(jì)算，必須用到定積分的思想來解決。例：設(shè)有質(zhì)量為M，長度為l的均勻細(xì)桿，另有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于同一直線上，且到桿的近段距離為a，求桿對質(zhì)點(diǎn)的引力。解：取x為積分變量，變化區(qū)間為［0，l］，任意小段［x，x+dx］近似于質(zhì)點(diǎn)，且質(zhì)量為dx，則引力微元為dF=G=G則引力為F=011==在剛體轉(zhuǎn)動上的應(yīng)用在剛體力學(xué)中轉(zhuǎn)動慣量是一個很重要的物理量，若質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，到軸距離為r，則該質(zhì)點(diǎn)繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為I=mr現(xiàn)在考慮質(zhì)量連續(xù)分布的物體繞軸的轉(zhuǎn)動慣量問題，一般地，如果物體的形狀對稱，并且質(zhì)量均勻分布時(shí)，則可以用定積分來解決。轉(zhuǎn)動慣量微元轉(zhuǎn)動慣量微元dJ=(μdx)x2=μxJ=01μx2dx=μl3=例：一均勻細(xì)桿長為l，質(zhì)量為m，試計(jì)算細(xì)桿繞過它的重點(diǎn)且垂直于桿的轉(zhuǎn)動慣量。解：先求轉(zhuǎn)動慣量微元dI，為此考慮細(xì)桿上［x,x+dx］y一段，它的質(zhì)量為dx，把這一小段桿設(shè)想為位于x處的一質(zhì)點(diǎn)，它到轉(zhuǎn)動軸距離為|x|，于是得微元為dI=dx沿細(xì)桿從-到積分，得整個細(xì)桿轉(zhuǎn)動慣量為I=-l2l2lmdx=|=多重積分計(jì)算不規(guī)則物體二重積分求體積V=f（ξ，η）Δσ體積元素體積元素=dσ三重積分求質(zhì)量質(zhì)量元素A．M=ρ(ξ,n,?)ΔV質(zhì)量元素=f(x,y)dσB．求平面非均勻薄片的質(zhì)量；dm=f(x,y)dσ質(zhì)量微元質(zhì)量微元m=f(x,y)dxdy總結(jié)：在用定積分應(yīng)用到物理問題中涉及到積分元，積分變量，積分上下限如何確定等問題，恰當(dāng)?shù)剡x擇積分元或積分變量，能讓物理問題的求解變得十分方便和簡單。定積分思想在物理學(xué)中，要保證在所選取的微元內(nèi)能近似處理成簡單基本的物理模型，以便于分析物理問題；其次，盡量把微分元