二重積分定義和性質(zhì)

關(guān)于二重積分定義和性質(zhì)回憶定積分.設(shè)一元函數(shù)y=f(x)在[a,b]可積.則有如圖0xyabxixi+1

iy=f(x)f(

i)其中

xi=xi+1

xi,表示小區(qū)間[xi,xi+1]的長,f(

i)xi表示小矩形的面積.第2頁,共25頁，2024年2月25日，星期天有一空間幾何體.其底面是xoy

面上的區(qū)域D,其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面,其頂是曲面z=f(x,y),我們稱為曲頂柱體.我們知道，頂是平面的平頂柱體的體積V=底面積×高，那么曲頂柱體的體積V怎么計算呢？0yzxz=f(x,y)D一、引例第3頁,共25頁，2024年2月25日，星期天(1)用曲線將D分成n個小區(qū)域D1,D2,…,Dn,每個小區(qū)域Di都對應(yīng)著一個小曲頂柱體.如圖z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi計算步驟第4頁,共25頁，2024年2月25日，星期天(2)由于Di很小,小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體.(

i,

i)Di.小平頂柱體的高=f(

i,

i).若記

i=Di的面積.則小平頂柱體的體積=f(

i,

i)

i

小曲頂柱體體積

f(

i,

i)

(

i,

i)Diz=f(x,y)第5頁,共25頁，2024年2月25日，星期天(3)因此,大曲頂柱體的體積分割得越細,則右端的近似值越接近于精確值V,若分割得"無限細",則右端近似值會無限接近于精確值V.也就是第6頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

1.定義設(shè)z=f(x,y)是定義在有界閉區(qū)域D

R2上的有界函數(shù).將D任意分割成n個無公共內(nèi)點的小區(qū)域Di(I=1,2,…,n),其面積記為

i.

(

i,

i)Di,作積f(

i,

i)

i,二、二重積分的概念與性質(zhì)第7頁,共25頁，2024年2月25日，星期天若對任意的分法和任意的取法,當(dāng)

0時,和式的極限存在且極限值都為I,則稱f(x,y)在D上可積,記為f(x,y)

R(D),并稱此極限值I為f(x,y)在D上的二重積分.記作即其中“

”稱為二重積分符號,D稱為積分區(qū)域,f(x,y)稱為被積函數(shù),d

稱為面積元素,x,y稱為積分變量.和式第8頁,共25頁，2024年2月25日，星期天注1.

定積分二重積分區(qū)別在將小區(qū)間的長度

xi換成小區(qū)域的面積

i,將一元函數(shù)f(x)在數(shù)軸上點

i

處的函數(shù)值f(

i)換成二元函數(shù)f(x,y)在平面上點(

i,

i)處的函數(shù)值f(

i,

i).可見,二重積分是定積分的推廣.第9頁,共25頁，2024年2月25日，星期天注2.

若將D用兩族平行于x軸和y軸的直線分割.(如圖)則除邊界上區(qū)域外,Di都是矩形，它的面積為：故也將二重積分寫成此時面積元素記為：d=dxdy

i=xi

yi第10頁,共25頁，2024年2月25日，星期天2.二重積分的幾何意義：設(shè)x,y在D上可積,則(1)當(dāng)z=f(x,y)0時,(2)當(dāng)z=f(x,y)<0時,(3)=(D1上曲頂柱體體積)(D2上曲頂柱體體積)第11頁,共25頁，2024年2月25日，星期天3.二重積分的性質(zhì).設(shè)D為有界閉區(qū)域,以下涉及的積分均存在.性質(zhì)1.性質(zhì)2.性質(zhì)3.性質(zhì)4.第12頁,共25頁，2024年2月25日，星期天直角坐標系下二重積分的計算.由二重積分的幾何意義知,當(dāng)f(x,y)0時,如圖若點x處截面面積為A(x),則體積三、二重積分的計算xy0axA(x)b第13頁,共25頁，2024年2月25日，星期天如果積分區(qū)域D表示為：利用直角坐標系計算二重積分我們稱為［X－型］（特殊情況）第14頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共25頁，2024年2月25日，星期天積分區(qū)域D為：［X－型］一般地，---先對y積分，后對x積分的二次積分第16頁,共25頁，2024年2月25日，星期天如果積分區(qū)域D為：［Y－型］---先對x積分，后對y積分的二次積分第17頁,共25頁，2024年2月25日，星期天若區(qū)域如圖，比不是X型也不是Y型，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式得：則必須分割.第18頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例1

將化為二次積分。其中

D

由直線圍成。解1：先畫出積分區(qū)域D

，可知D

是Y－型。將D

向y

軸投影。于是，第19頁,共25頁，2024年2月25日，星期天解2：D

也是X－型。將D

向x

軸投影。于是，第20頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例2

計算其中

D

由直線圍成。解先畫出積分區(qū)域D

，D

是X－型。將D

向x

軸投影。于是，第21頁,共25頁，2024年2月25日，星期天于是，第22頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共2