人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義(全冊(cè))

八年級(jí)數(shù)學(xué)講義

第11章三角形

一、三角形的概念

1.三角形的定義由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形

要點(diǎn)：①三條線段；②不在同一直線上；③首尾順次相接.

△ABC中，邊：AB,BC,AC或c,a,b,

頂點(diǎn)：A,B,C.

內(nèi)角：4A,乙B,ZC..

二、三角形的邊

1.三角形的三邊關(guān)系：（證明所有幾何不等式的唯一方法）

⑴三角形任意兩邊之和大于第三邊:b+c>a

⑵三角形任意兩邊之差小于第三邊:b-c<a

1.1判斷三條已知線段a、b、c能否組成三角形.

當(dāng)a最長(zhǎng)，且有b+c>a時(shí)，就可構(gòu)成三角形.

L2確定三角形第三邊的取值范圍:兩邊之差（第三邊〈兩邊之和.

2.三角形的主要線段

2.1三角形的高線

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線.

A

①銳角三角形三條高線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；

②直角三角形三條高線交于直角頂點(diǎn)；

③鈍角三角形三條高線所在直線交于三角形外部一點(diǎn)

2.2三角形的角平分線

三角形一個(gè)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

A

2.3三角形的中線

連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).

三、三角形的角

1三角形內(nèi)角和定理

結(jié)論1：AABC中：4A+2B+乙C=180。*三角形中至少有2個(gè)銳角

A

結(jié)論2:在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余.※三角形

中至多有1個(gè)鈍角

注意：①在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角

如：在AABC中，ZC=180°-(ZA+ZB)

②在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角.

如：4ABC中，已知4A：ZB：乙C=2：3：4,求乙A、ZB.ZC的度數(shù)

2三角形外角和定理

2.1外角：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三

2.2性質(zhì)：

①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

②三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

③三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)

2.3外角個(gè)數(shù)：

過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)有兩個(gè)外角，這兩個(gè)角為對(duì)頂角(相等)，可見(jiàn)一個(gè)三角形共有6個(gè)外角

四、三角形的分類

(1)按角分：①銳角三角形②直角三角形③鈍角三角形

⑵按邊分：①不等邊三角形②底與腰不等的等腰三角形③等邊三角形

五多邊形及其內(nèi)角

1、多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

2、正多邊形:各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

3、多邊形的對(duì)角線

(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n-2)個(gè)三角形。

(2)n邊形共有2條對(duì)角線。

4、n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)18(T(nN3,n是正整數(shù))。任意凸形多邊形的外角和等于360。

*多邊形外角和恒等于360。，與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).

*多邊形最多有3個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角(如矩形)；

*多邊形的外角中最多有3個(gè)鈍角，最少?zèng)]有鈍角.

5、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360。；相鄰的多邊形有公共邊。

【考點(diǎn)三】判斷三角形的形狀

8、若AABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(b-c)(c-a)=0,試判斷AABC的形狀。

9、已知a,b,c是aABC的三邊，且滿足a+b+c=ab+bc+ca,試判斷AABC的形狀。

10、若4ABC的三邊為a、b、c(a與b不相等)，且滿足a-ab+ab-ac+bc-b=O,試判斷AABC的形

狀。

二、三角形角有關(guān)計(jì)算

1.如圖4ABC中AD是高,AE、BF是角平分線,它們相交于點(diǎn)0,如A=50°,CC=70°求4DAC/AOB

c

解：AD是4ABC的高/C=70。

ZDAC=180°-90o-70o=20°

?/ABAC=50°

ZABC=180o-50°-70o=60°

AE和BF是角平分線

/.乙BA。=25°,4ABO=30°

ZAOB=180o-25°-30o=125°

2.如圖，AABC中，D是BC邊上一點(diǎn),Zl=Z2,Z3=Z.4,ZBAC=63°,求乙DAC的度數(shù)

B

解設(shè)Nl=x'

???/I=Z2,.\Z2=x0

.?./3=/l+/2=2x°

又???/3=/4

Z4=2x°

又?:/2+/4+/BAC=180"

Ajr+2x+630=180°

Ax=39°

/.ZD/4C=63°-39°=24°

解:更長(zhǎng)BP史AC于,AD

?；/BPCEZiPDC的外角

；.ZBPC>ZPOC

同及彳#NPDO/A

是ACi!上的高

；./BPC>ZA

3.已知：P是AABC內(nèi)任意一點(diǎn).求證：NBPC>4A

4.如圖，乙1=42,23=44,ZA=100°,求x的值

A

M:VZ1=Z2Z3=Z4

AZABC=2Z2ZACB=2Z4

?△ABC中ZA+ZABC+ZACB=180*

AZA+2(Z2+Z4)=180o

VZA=100°

AZ2+Z4=40°

VZ2+Z4+x=180°

:,x=140°

汪明：：BO、CO是NB、/C的平分慢

ZI-Z2Z5-Z4

&△BOC中/BOC+/2+/37X。*

AZ2*Z3-ilf-ZB<M

在△\HC中/A+/ZM'?/ACR-IXO

:./人+2(/2+/3尸1潮了

/.ZA+2(1XO,-ZBOC>>1W*

ZIMX-90*?ZA

5.已知aABC的乙B、乙C的平分線交于點(diǎn)0。求證：NB0C=9（T+乙A（角平分線模型）

6.已知：BP、CP是aABC的外角的平分線，交于點(diǎn)P。求證：NP=90。-4A（角平分線模型）

A

證明：；BP、CP是外角平分錢(qián)

:.ZI=Z2Z3=Z4

7/EBC是△ABC的外H△PBC中/P+N1+/A180。

，/EBC=NA+NACB.,.Zi+Z3=l?0*?NP

=/A+(18(r-Z3-Z4).'.ZA+180*-2(180*-ZP)

；?ZEBC=Z1+Z2

2Z1=ZA+<180o-2Z3)；?NP=90°-ZA

2Z1+2Z3=ZA+18O°

7.AABC中，4ABC的平分線BD和AABC的外角平分線CD交于D,求證：NA=24D（角平分線模

型）

證明：YBD、CD是角平分線

:.Z1=Z2Z3=Z4

在△BDC中Z4=Z2+ZD

，N3=N2+ND

在△ABC中NACE=NA+NABC

A2Z3=ZA4-2Z2

2(Z2+ZD)=NA+2N2

AZA=2ZD

8ZA0B中，NAOB=90o/OAB的平分線和AABC的外角aOBD平分線交于P,求乙P的度數(shù)

X：；AP、BP是向平分線

二N1=N2Z3=Z4

在Z\ABP中N4=/2+/P

在AABO中ZOBD=ZO+ZOAB

.*.2Z3=ZCX2Z2

；?2(/2+/P尸ZO+2Z2

，/O=2ZP

/.ZP=45*

0

9.如圖：求證：Z_A+4B+4C=4ADC（飛鏢模型）

證明:連接BD并延長(zhǎng)到E

VZADE=ZABD+ZA

ZCDE=ZCBD+ZC

VZAD€=Z/\BD+ZCBD

ZABC=ZABD+ZA

:.ZA+ZABC+ZC=ZAD€

第12章全等三角形

一、全等三角形的概念與性質(zhì)

1、概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。

(1)表示方法：兩個(gè)三角形全等用符號(hào)來(lái)表示，記作<8<40/402、性質(zhì)：(1)

對(duì)應(yīng)邊相等(2)對(duì)應(yīng)角相等(3)周長(zhǎng)相等(4)面積相等

二、全等三角形的判定

1全等三角形的判定方法：(SAS),(SSS),(ASA),(AAS),(HL

邊邊邊(SSS)邊角邊(SAS)角邊角(ASA)角角邊AAS直角邊和

斜邊

(HL)

A

AA△

B

△\

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩三角形有兩邊和它們的夾角對(duì)有兩角和它兩角和及其有一條斜

全等應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全們的夾邊對(duì)中一個(gè)角所邊和一條

等應(yīng)相等的兩對(duì)的邊對(duì)應(yīng)直角邊對(duì)

個(gè)三角形全相等的兩個(gè)應(yīng)相等的

等.三角形全等.兩個(gè)直角

三角形全

等(HL)

2.全等三角形證題的思路:

找?jiàn)A角（S4S）

①已知兩邊＜找直角（〃〃）

找第三邊（S55）

’若邊為角的對(duì)邊，則找任意角（/MS）

找己知角的另一邊（S4S）

②已知一邊一角，

邊為角的鄰邊?找已知邊的對(duì)角（/MS）

找?jiàn)A已知邊的另一角04s4）

［找兩角的夾邊（AS4）

③已知兩角〈

找任意一邊G4AS）

3全等三角形的隱含條件：①公共邊（或公共角）相等②對(duì)頂角相等

③利用等邊（等角）加（或減）等邊（等角），其和（或差）仍相等

④利用平行線的性質(zhì)得出同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等

人等三龜形（SAS）

【知識(shí)要點(diǎn)】

兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”，幾何表示