2022-2023學年高中數(shù)學模塊綜合測評湘教版選擇性必修第一冊

模塊綜合測評

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（2022湖南長沙開福高二期中）過點（1,T）且方向向量為（-2,3）的直線的方程為（）

A.3x-2y-5=0B.2x~3y-5=0

C.3x+2y-l=0D.2x+3y+l=0

2.（2022天津靜海一中高二期中）若直線1:ax-y+l=0與1:x-ayT=0平行，則1與1之間的距離為

1212

（）

虎

TVsV2

A.B.C.D.2

i

3.已知數(shù)列｛a｝的通項公式a=，則它的前n項和$是（）

nnn

葉1/

V白而了

A.B.C.D.

4.（2022湖北宜昌等四市高二期末）某縣現(xiàn)招錄了5名大學生，其中3名男生,2名女生，計劃全部派

遣到A,B,C三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)參加鄉(xiāng)村振興工作，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少派遣1名大學生，鄉(xiāng)鎮(zhèn)A只派2名男生.則不

同的派遣方法總數(shù)為（）

A.9B.18C.36D.54

5.（2022黑龍江八校高二期中）過點（1,3）作圓出+卵=10的切線，則切線方程為（）

A.x+3y-10=0

B.x=l或3x-y-10=0

C.3x-y-10=0

D.y=3或x+3y-10=0

6.（2022江蘇徐州高二期中）已知圖1是單葉雙曲面（由雙曲線繞虛軸旋轉(zhuǎn)形成立體圖形）型建筑，圖

V1O

2是其中截面最細附近處的部分圖象上、下底面與地面平行.現(xiàn)測得下底面直徑AB=20m,上底

1

面直徑CD=20m,AB與CD間的距離為80m,與上下底面等距離的G處的直徑等于CD,則最細部分

的直徑為(

-------1-------

圖2

A.20mB.10mC.10mD.10m

369

7.(2022河北邯鄲八校高二期中)如圖,把橢圓C:=1的長軸AB分成6等份,過每個分點作x軸

的垂線交橢圓的上半部分于點P,P,P,P,P,F是橢圓C的右焦點，則

12345

|PF|+1PF|+1PF|+1PFI+1PFI=()

A.20B.15C.36D.30

8.設拋物線C:x2=4y的焦點為F,準線為1,過點F的直線交拋物線C于此N兩點,交直線1于點P,

港=石

且，則I則=(

16

r

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全

部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.

2

9.設等差數(shù)列｛a｝的前n項和為S.若S=0,a=8,則()

nn34

A.S=2n2-6nB.S=n2-3n

nn

C.a=4n-8D.a=2n

nn

10.(2022浙江寧波效實中學高二期中)以下說法正確的是()

A.若A(1,2),B⑶4),則以線段AB為直徑的圓的方程是(xT)(x-2)+(y-3)(y-4)=0

B.已知A(1,2),B(3,4),則線段AB的垂直平分線方程為x+y-5=0

5E

C.拋物線yz=2x上任意一點到P,0，'的最小值為

??.

病

D.雙曲線C：=1的焦點到漸近線的距離為

11.(2022浙江A9協(xié)作體高二期中)點P在圓C:X2+y2=l上，點Q在圓C:xz+警-6x+8y”0上,則

12

()

A.兩圓有且僅有兩條公切線

B.|PQ|的最大值為10

q

3

C.兩個圓心所在直線的斜率為-

D.兩個圓相交弦所在直線方程為3x-4y-5=0

手十至

12.已知橢圓C:=l(a>b>0)與圓C:X2+yz=bz,若在橢圓C上存在點P,使得由點P所作的圓C的

1212

兩條切線相互垂直,則橢圓C的離心率可以是()

1

市/14

~25-25

A.B.C.D.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

5

(了)

13.在x-?n的展開式中,所有項的系數(shù)和為64,則n=---------.

3

14.（2022江蘇常州三中等六校高二期中）若方程xz+yz+Xxy+kx畛y+%+入=0表示圓，則k的取值范

圍是?

15.（2022江蘇海安高二期中）已知等比數(shù)列｛a｝的首項為-2,公比為q.試寫出一個實數(shù)q=，使

n

得a<'

n

16.已知雙曲線,'=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為F,F,過F作圓研丫2="的切線，交雙曲線左

122

支于點M,若NFMF=45。，則雙曲線的漸近線方程為

12

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）（2022福建三明三地三校高二期中）在（2XL'I的展開式中，第3項的二項式系數(shù)為28.

（1）求第5項的系數(shù)（要算出具體數(shù)值）.

（2）展開式中是否含有常數(shù)項?若有，請求出來;若沒有，說明理由.

18.（12分）在①已知數(shù)列｛a｝滿足:a-2a=0,a甩②等比數(shù)列｛a｝的公比q=2,數(shù)列｛a｝的前5項和

nn+1n3nn

S為62這兩個條件中任選一個，并解答下列問題.（注:若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計

n

分）

⑴求數(shù)列｛a｝的通項公式;

n

4

⑵設b二?，數(shù)列｛b｝的前n項和為T,若2T>nr2022對n￡N*恒成立，求正整數(shù)m的最大值.

5

19.(12分)已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點到直線Lx-y-2=0的距離為.

⑴求拋物線的標準方程；

⑵設點C是拋物線上的動點,若以點C為圓心的圓在x軸上截得的弦長均為4,求證:圓C恒過定點.

6

7

20.（12分）已知曲線C:x2-yz=l和直線l:y=kxT.

（1）若直線1與曲線C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍；

近

⑵若直線1與曲線c交于A,B兩點,0是坐標原點,且AAOB的面積為，求實數(shù)k的值.

石T花

21.（12分）（2022重慶名校聯(lián)盟高二聯(lián)考）已知雙曲線C與橢圓=1有相同的焦點,PL3,）是

雙曲線C上一點.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵記雙曲線C的右頂點為M,與x軸平行的直線1與C交于A,B兩點求證:以AB為直徑的圓過點

M.

8

22.(12分)已知數(shù)列｛a｝的前n項和為S,a=2,+2,neN.

nn1n+

⑴證明：數(shù)列｛S+1｝為等比數(shù)列；

n

⑵已知曲線c:X2+(19-a)yz=l,若C為橢圓，求n的值；

nnn

a3口.

⑶若b=5xiog(Z)，求數(shù)列｛b｝的前n項和T.

n3nn

9

參考答案

模塊綜合測評

5

2

1.C過點（1,T）且方向向量為（-2,3）的直線方程為y+為-（X-1）,整理得3x+2y-點0.故選C.

2.C當a=0時，直線1:尸1,直線1:x=l,顯然不平行.當aWO時，由直線1:ax-y+l=0與1:x-ay-

1212

a__1

1=0平行，可得WT,解得a=l,

所以直線1:x-y+l=O與1:x-yT=O,所以1與1之間的距離d=,故選C.

1212

1=1_111_1_1__a

?一，.’,刀［/1）a一2231/1JJ+1JTTL

3.B因為數(shù)列｛a｝的通項公式a=，所以S=l-+…+=1-.故選B.

nnn

的C/

4.B依題意分兩步，第一步，鄉(xiāng)鎮(zhèn)A派2名男生有=3種;第二步，剩下3人派給鄉(xiāng)鎮(zhèn)B,C有=6

種，由分步乘法計數(shù)原理可知共有3X6=18種派遣方法,故選B.

5.A因為12+32=10,所以點（1,3）在圓xz+y^lO上.由切線與圓心（0,0）和點（1,3）的連線垂直,可得

11

33

切線的斜率為一，則切線的方程為y-3=-（x-l）,即x+3yT0=0.故選A.

6.A建立如圖的坐標系，

10

設雙曲線方程為/“=1,a>0,b>0,

*200如o一

丁一產(chǎn)，

10005600T

'解得a2=100,b2=400,

|EF|=2a=20.故選A.

7.D由題意可知P與P,P與P分別關(guān)于y軸對稱，設橢圓的左焦點為F,則

15241

|PF|+|PF|=|PF|+|PF|=2a,同理|PF|+1PF|=2a,而|PF|=a,

15111243

所以|PF|+|PF|+|PF|+|PF|+|PF|=5a=30.故選D.

12345

8.D如圖所示，過點M作曲垂直于準線1,由拋物線定義得=

PF=FiV3

因為，所以|PM|=2|MD|,所以/DPM=30°,則直線MN方程為x=(y-1),

pr=

聯(lián)立4"消去X得3y2Toy+3=0,A=(T0)2-4X3X3=64>0,設M(x,y),N(x,y),所以

y+y：

12

1016

3g

所以|MN|二y+y丑=+2=，故選D.

12

11

3可+3占Oj

9.AC設公差為d,依題意1匈=8,'1可+3戶8,解得如=4,所以a=4n-8,S=丁?n=2m-6n.故

nn

選AC.

10.BCD對于A,以線段AB為直徑的圓的圓心為(2,3),半徑r=(AB|="，故圓的方程為(x-2”+(y-

3"=2,故A錯誤.

<1-2

對于B,直線AB的斜率為=1,所以線段AB的垂直平分線的斜率為T.又線段AB中點為(2,3),所以

線段AB的垂直平分線方程為y-3=-(x-2),整理得x+y-5=0,故B正確.

對于C,設拋物線y?=2x上任意一點P

_,/~加爐+1■而_小產(chǎn)24貫+10。_>(9-4尸~4

3/獷-2短+100V21

，所以|PM|=&'，故C正確.

當yz=時，（）=2,

對于D,由雙曲線方程可得a=2,b=,根據(jù)雙曲線的焦點到漸近線的距離為虛半軸的長可知D正確.

故選BCD.

11.BC根據(jù)題意，圓C:X2+y2=l,其圓心C(0,0),半徑R=l,

11

圓C:X2+y2-6x+8y+9=0,即(x-3)z+(y+4)衿16,其圓心C(3,-4),半徑r=4,圓心距

(-4)2+32

ICC|==5=4+1,兩個圓相外切，兩圓有且僅有3條公切線，所以A錯誤；|PQ|的最大值為

1+5+4=10,所以B正確;

7-0

而

對于C,圓心C(0,0),圓心C(3,-4),則兩個圓心所在的直線斜率k==-，所以C正確;對于D,因

12

為兩圓外切，所以不存在公共弦，所以D錯誤.故選BC.

12.AD設兩切點分別為A,B,連接0A,OB,0P,依題意,0,P,A,B四點共圓.

12

VZAPB=90°，，四邊形OAPB為正方形,

V2V2

|OP|=b,.?.b〈|0P|Wa,即b〈bWa,

:鴻

2b2^a2,BP2(32-C2)Wa2,「?a2W2c2,gpe=.

13.6令x=l,可得所有項系數(shù)之和為(-2)傳64,解得n=6.

z

14.(-o°,1)U(9,+°°)由方程X2+yz+Xxy+kxH3y+k+入=0表示圓可知人=0,

5*5159

2(W)(5)I5公

因止匕X2+yz+Xxy+kx*y+k+人=0化為x+2+y+2-k2-k+,

159

42?

所以k2-k+>0,解得k〈l或k>9,即k的取值范圍為(-8,1)u(9,+8).

15.(答案不唯一,滿足0<q<l即可)依題意等比數(shù)列｛a｝的首項為-2,公比為q.Va<，，數(shù)列

2

｛a｝為遞增數(shù)列，；.a〈a,.?「2q〈-2q2,解得0<q<l,則q可以取.答案不唯一,滿足0<q<l即可.

n23

我

16.y=±x如圖所示，設切點為A,連接0A,作FBLMF,垂足為B.

13

由|OA|=a，且0A為4FFB的中位線,可得|FB|=2a,|FA|=^"^=b,即|FB|=2b,

12122

在直角三角形BMF中，因為NFMB=45°,所以|MF|=2堂|MF|=2b+2a,

1112

由雙曲線的定義可得IMF|-|MF|=2b+2a-2%=2a,可得b=^a,即雙曲線的漸近線方程為y=±迎

21

17.解（1）因為（2X2-也）?的展開式第3項的二項式系數(shù)為28.

~2-

可,即二28,

解得n=8或n=-7（舍去）,故n的值為8.

第5項的系數(shù)為?24?(-1)4-1120.

11

⑵沒有.理由如下，因為9X2-人的展開式中，二項展開式的通項T=?（2X2）8-r.U/r=（~

r+1

16--

l)r**28-r?,

1r"

FT

當16-=0時，解得r=N,所以展開式中沒有常數(shù)項.

口aH

18.解⑴選擇條件①：由a-2a=0得、=2,｛a｝為等比數(shù)列，公比q=2,所以a=a-=2n.

n+1nnn3

選擇條件②，數(shù)列｛a｝的前5項和S=-12=62,解得@=2,所以@=251=2'.

n51n1

14

⑵b="2,則T金+2X0)2+…+n?［匚.)

，=(2)2+2*0)3+…+(n-1)?O+n.(?)叫

n

11111引人占11

兩式相減得%J+(z)2+…+(2)n-n?0)n+尸W-n?(2)叫即T=2-(2+n)(2)

因為T-T=(n+1)(')n+i>0,

2

所以數(shù)列｛T｝為遞增數(shù)列，最小值為T=f

n1

2T>m-2022對neN*恒成立，即m<2T+2022對neN*恒成立，所以m<2023,m的最大值是2022.

nn

(。圖

19.(1)解因為xz=2py的焦點坐標為,

卜悶_3或

由點到直線的距離公式可得2,

解得p=2或p=-10(舍去)，

所以拋物線的標準方程是xz=4y.

1T)

⑵證明設圓心C的坐標為，半徑為r,

又圓C在x軸上截得的弦長為4,

SY闖

所以r?=4+，所以圓C的標準方程為(x-x)2+'

0

(令

化簡得-2xx+(X2+y2-4)=0,

15

,上尸6

'-2x=0,

對于任意的XeR,上述方程均成立,故有3+/=4,解得x=o,y=2,所以圓C恒過定點（0,2）.

0

fjp-y2=1

20.解⑴聯(lián)立br'消去y,得（l-k2）xz+2kx-2=0.

?.,直線1與雙曲線C有兩個不同的交點，

[1-#壬0,

(di2+8(1-^)>0,啦啦

/.'解得-〈k〈，且kW±l,

/.實數(shù)k的取值范圍為(-"1)U(-1,1)U(1,)歷

⑵設A(x,y),B(x,y).

1122

_2i_-Z

1-Pl-V

由⑴可知X+x=-',XX二,

1212

口釗）（87產(chǎn)）

Ivudi十承■J(-

|AB|=Ix-x

12

...點o到直線1的距離d=而,sJ?|AB|?d/JiT”-近

△AOB

恒

T

艮132k4—3k2=0,.?.k=0或k=土.

西恒

T~2

實數(shù)k的值為0,.

21.（1）解設雙曲線C的方程為=l（a〉0,b〉0）,

95??

京一審F-7

由已知得a?+b2=12-6=6,且=1,解得球=丘=3,雙曲線C