2018-2020學(xué)年高中理數(shù)新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量含解析

第五章平面向量

第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.平面向量的有關(guān)概念；平面向量的線性運(yùn)算.

突破點(diǎn)(一)平面向量的有關(guān)概念

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識(shí)］

名稱定義備注

既有大小又有方向的量叫做向量:向平面向量是自由向量，平面向量可自

向量

量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)由平移

零向量長(zhǎng)度為貴的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為瑞

方向相同或相反的非零向量，又叫做

平行向量0與任一向量平行或共線

共線向量

兩向量只有相等或不等，不能比較大

相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

小

相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

［基本能力］

1.判斷題

(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量.()

(2)若2〃1),b〃c,則a〃c.()

(3)若向量a與b不相等，則a與b一定不可能都是零向量.()

答案：⑴X⑵X(3)V

2.填空題

(1)給出下列命題：

①若a=b,b=c,貝!|a=c；

②若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則成=比是四邊形ABCD為平行四邊形的充

要條件；

③a=b的充要條件是|a|=|b|且a〃b；

其中正確命題的序號(hào)是.

解析：①正確.Ta=b,，a,b的長(zhǎng)度相等且方向相同,

又b=c,Ab,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，

Aa,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故@=以

②正確.VAB=DC,|AB|=|DC|JLAB//~DC,

又A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，

二四邊形A8CD為平行四邊形；

反之，若四邊形A5CD為平行四邊形，

則焉〃萬(wàn)不且?成|=|萬(wàn)才|,因此，7B=DC.

③不正確.當(dāng)a〃b且方向相反時(shí)，即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a〃b

不是a=b的充要條件，而是必要不充分條件.

綜上所述，正確命題的序號(hào)是①②.

答案：①②

⑵若a、b都為非零向量，則使六+&=0成立的條件是.

答案：a與b反向共線

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

平面向量的有關(guān)概念

［典例］(1)(2018?海淀期末)下列說(shuō)法正確的是()

A.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長(zhǎng)度等于0

D.方就是79所在的直線平行于黃所在的直線

(2)(2018?棗莊期末)下列命題正確的是()

A.若|a|=|b|,貝！Ja=b

B.若|a|>|b|,貝Ua>b

C.若a=b,則a〃b

D.若|a|=0,則a=0

［解析］(1)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；方向相同或相反

的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；顯然C正確；

當(dāng)了百〃7方時(shí)，弁所在的直線與而所在的直線可能重合，故D不正確.

(2)對(duì)于A,當(dāng)|a|=|b|,即向量a,b的模相等時(shí)，方向不一定相同，故a=b不一定成

立；對(duì)于B,向量的模可以比較大小，但向量不可以比較大小，故B不正確；C顯然正確;

對(duì)于D,若|a|=0,則a=0,故D不正確，故選C.

［答案］(1)C(2)C

［易錯(cuò)提醒］

(1)兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的模可以比較大??；

(2)大小與方向是向量的兩個(gè)要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征；

(3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上.

［全練題點(diǎn)］

1.給出下列命題：

①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

a=oq為實(shí)數(shù))，則2必為零；

③"為實(shí)數(shù)，若2a="b,則a與b共線.

其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn).②錯(cuò)誤，當(dāng)a=()時(shí)，

不論2為何值，2a=0.③錯(cuò)誤，當(dāng)2=4=0時(shí)，7a=〃b=0,此時(shí)，a與b可以是任意向量.錯(cuò)

誤的命題有3個(gè)，故選D.

2.關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是()

A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量

B.平面內(nèi)的單位向量是唯一的

C.方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量

D.共線向量就是相等向量

解析：選C對(duì)于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；對(duì)于B,

單位向量的模為1,其方向可以是任意方向，故B不正確；對(duì)于C,方向相反的向量一定是

共線向

量，共線向量不一定是方向相反的向量，故C正確；對(duì)于D,由共線向量和相等向量

的定義可知D不正確，故選C.

3.如圖，△A8C和B'C是在各邊的3處相交的兩個(gè)全等的等邊

三角形，設(shè)aABC的邊長(zhǎng)為a,圖中列出了長(zhǎng)度均為：的若干個(gè)向量，則

(1)與向量不相等的向量有

(2)與向量下了共線，且模相等的向量有；

⑶與向量EA一共線，且模相等的向量有.

解析：向量相等o向量方向相同且模相等.

向量共線o表示有向線段所在的直線平行或重合.

答案：(1)向，He(2)反才，~LE,面,~GB,He

(3)~FB,W,~HK,KBr

突破點(diǎn)(二)平面向量的線性運(yùn)算

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識(shí)1

1.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

a交換律：a+b=b+a；結(jié)合律：

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則

(a+b)+c=a+(b+c)

a

平行四邊形法則

XV

求a與b的相反向量

減法a-b=a+(-b)

-b的和的運(yùn)算a

三角形法則

p.a|=|；||a|,當(dāng)40刈a)=(2〃)a；

時(shí)，2a與a的方向a+4)a

求實(shí)數(shù)7與向量a的

數(shù)乘相同;當(dāng)7<0時(shí)，=2a+〃a；

積的運(yùn)算

然與a的方向相反；x(a+b)

當(dāng)2=0時(shí)，2a=0=2a+2b

2.平面向量共線定理

向量b與a(aWO)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)使得b=2a.

［基本能力］

1.判斷題

(l)a〃b是a=2bqGR)的充要條件.()

(2心43。中，。是的中點(diǎn)，則罰=；(就+3).()

答案：⑴X(2)7

2.填空題

⑴化簡(jiǎn)：

①京+MB+B0+~OM=.

②而+QP+加一和=.

答案：①焉②0

(2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則|就一方+~CD\=.

解析：\AB^CB+CD\=\AB+~BC+CD\=\AD\=2.

答案：2

(3)在QABC。中，~AB=a,~AD=b,~AN=3NC,則就=(用a,b表示).

答案：|a+|b

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

平面向量的線性運(yùn)算

應(yīng)用平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的法則即可.注意加法的三角形法則要求“首

尾相接”，加法的平行四邊形法則要求“起點(diǎn)相同”；減法的三角形法則要求“起點(diǎn)相同”

且差向量指向“被減向量”；數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，運(yùn)算過(guò)程可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算.

［例1］(1)(2018?河南中原名校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABC。中，D.______c

AB=2AD=2DC,E為3c邊上一點(diǎn)，~BC=3EC,尸為AE的中點(diǎn),

則蘇=(

c.—D.一+1/1D

⑵(2018?深圳模擬)如圖所示，正方形A5C。中，”是BC的中點(diǎn),

若就=￡描+"萬(wàn)萬(wàn)，貝！M+"=(

［解析］(1)BF=BA+4F='BA+^AE

=-~AB+|(AD+^AB+~CE)

=—7［方+；錯(cuò)誤！

=~~AB+^AD+1AB+|(CD+DAVAB)

2—>1—>

=—~^AB+§4。.

(2)因?yàn)橐?kAM+fi~BD=A('AB+^M)+fi(~BA+茄)=2錯(cuò)誤！+小一錯(cuò)誤！+

4

3,

~AD)=(A-/i)AB+(b.+i,且就=3+詬，所以'

所以2+〃=；,故選B.

［答案］(1)C(2)B

［方法技巧］

1.平面向量的線性運(yùn)算技巧"

(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.

(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向

量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解.

2.利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路

(1)沒(méi)有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置.

(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.

(3)比較、觀察可知所求.

平面向量共線定理的應(yīng)用

求解向量共線問(wèn)題的注意事項(xiàng)

(1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的

其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.

(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與

聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.

(3)直線的向量式參數(shù)方程：A,P,8三點(diǎn)共線臺(tái)蘇=(1一力示+f蘇(0為平面內(nèi)

任一點(diǎn)，fGR).

［例2］(1)(2017?蕪湖二模)已知向量a,b是兩個(gè)不共線的向量，若向量m=4a+b與n

=a—北共線，則實(shí)數(shù)2的值為()

1

A.-4B.

4

(2)(2018?懷化一模)已知向量a,b不共線，向量79=a+3b,言=5a+3b,~CD=-

3a+3b,貝(］()

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B,。三點(diǎn)共線

C.A,C,。三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

［解析］(1)因?yàn)橄蛄縜,b是兩個(gè)不共線的向量，所以若向量6=4a+b與n=a—北共

線，則4X(一力=1X1,解得a=一：，故選B.

(2)因?yàn)橥?茲+年底=2a+6b=2(a+3b)=2%方，所以下方，女聲共線，又有公共點(diǎn)

B,所以A,B,。三點(diǎn)共線.故選B.

|答案］(1)B(2)B

［方法技巧］平面向量共線定理的三個(gè)應(yīng)用

證明向量共線對(duì)于非零向量a,b,若存在實(shí)數(shù)九使2=北，則a與b共線

若存在實(shí)數(shù)人使前=2就，就■與就有公共點(diǎn)4,則A,B,C三點(diǎn)

證明三點(diǎn)共線

共線

求參數(shù)的值利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值

［提醒］證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).

［全練題點(diǎn)］

1.［考點(diǎn)一］(2018?長(zhǎng)春一桃)在梯形A8CD中，~AB=3DC,則成=()

A.-fAB+~ADB.-|AB+1

C.一;前+|通D.AD

解析：選A因?yàn)樵谔菪蜛8C。中，刀？=3萬(wàn)所以^:=京+茄+友=一,

+AD+^AB=—^AB+AD,故選A.

2.［考點(diǎn)二］已知a,b是不共線的向量，7fl=；.a+b,AC=a+//b,1,4GR,則4,B,

C三點(diǎn)共線的充要條件為()

A.2+〃=2B.2—〃=1

C.加=一1D.；.//=1

解析：選D'：A,B,C三點(diǎn)共線，/.AB//AC,設(shè)A8=/〃AC(機(jī)WO),貝I2a+b=

人=tn,

“(a+"b),A］.?"4=1,故選D.

l=m〃，

3.［考點(diǎn)二］(2018?南寧模擬)已知ei,ez是不共線向量，a=wei+2e2,b=nei—ez,且

若8外，則：=()

A--2*B2

C.一2D.2

解析：選CVa//b,Aa=2b,即機(jī)ei+2e2="nei—e2),貝力故—=—2.

n

4.［考點(diǎn)一］已知點(diǎn)M是△ABC的邊8c的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且衣=2AE,則瑞

1—>,1—>

A.|ACABB.TAC+TAB

Zo

1―>1—>1―?3―?

C.TOAC+^ZABD.oTAC+ZZAB

解析：選C如圖，?.,衣=27至，.,.宙=豆+后方=|就

+1cB=1AC+^(AB—AC)=^AB+*4(?.

5」考點(diǎn)一］如圖，在△0A8中，尸為線段A8上的一點(diǎn)，~OP=

xVA+y~OB,且訴=2右，貝！|()

A2112

A.x=§,y=~Bu-予，產(chǎn)§

C.x=w，y=aD.x=w，y=W

_,■>,,>“A->_>,,>->2-'A.A

解析：選A由題意知0P=08+3尸，又8P=224,所以0P=QB+q8A=03

22121

面

砌

小

+-就--

一

一=

3-33J3

3J

［全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律］

1.（2015?全國(guó)卷I）設(shè)。為△4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，~BC=3CD,則（）

A.AD=—+^AC

B.~AD-^AB-^AC

c.AD=|AB+|AC

D.AD—|AC

解析：選AAD=AC+~CD=7?+1^C=AC+1(AC-Tfi)=^ACAB=-1

—>4—>,

AB+14C,故選A.

2.(2014?全國(guó)絡(luò)I)設(shè)O,E,F分別為△ABC的三邊5C,C4,AB的中點(diǎn)，則后+

FC=()

A.~ADB.|AD

C.BC

解析：選A~EB+FC=1(AB+~CB)+^(AC+-BC)=

1(AB+7c)=AD,故選A.

3.(2015?全國(guó)卷E)設(shè)向量a,b不平行，向量2a+b與a+2b平行，則實(shí)數(shù)2=.

解析：?；2a+b與a+2b平行，.*.2a+b=/(a+2b),

U=t,

即2a+b=ta+2/b,二|解得1

1=2/,

答案：|

I課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)I

［小題對(duì)點(diǎn)練---點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)］

對(duì)點(diǎn)練(一)平面向量的有關(guān)概念

1.若向量a與b不相等，則a與b一定()

A.有不相等的模B.不共線

C.不可能都是零向量D.不可能都是單位向量

解析：選C若a與b都是零向量，則2=上故選項(xiàng)C正確.

2.設(shè)a()為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=|a卜a();②若a

與加平行，則a=|a|a?；③若a與a0平行且|a|=l,則a=a0.假命題的個(gè)數(shù)是()

A.()B.1

C.2D.3

解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與⑶物的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命題；若a與a0平行，則a與a?的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向

時(shí)a=-|a|a?,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.

3.已知a,b是非零向量，命題p：a=b,命題q：|a+b|=|a|+|b|,則p是g的

條件.

解析：若2=1>,則|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p今g.若|a+b|=|a|+|b|,

由加法的運(yùn)算知a與b同向共線，即a=2b,且2>0,故q=lp..\p是g的充分不必要條

件.

答案：充分不必要

對(duì)點(diǎn)練(二)平面向量的線性運(yùn)算

1.如圖，在平行四邊形A3CD中，E為OC邊的中點(diǎn)，且就'=a,>----]彳"

AD=b,則就'=()B乙=二

C.—1a+bD.1b+a

解析：選CBE=BA+AD+TDC=—a+b+Ta=b—la,故選C.

2.已知向量a,b不共線，且c=2a+b,d=a+(22-l)b,若c與d反向共線，則實(shí)數(shù)

2的值為()

A.1B.一；

C.1或-3D.-1或一^

解析：選B由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使c=W<0),于是2a+b=

人k,

〃[a+(22-l)6].整理得2a+b=Aa+(22A-A)b.由于a,b不共線，所以有「'整理

3"—?=1,

得加一2—1=(),解得;1=1或.又因?yàn)锳V0,所以7V0,故

3.(2018?江西八校聯(lián)考)在△ABC中，P,0分別是邊A3,BC上的點(diǎn)，KAP=^AB,

若下=a,AC=b,則用=()

C-3a-3bD--3a-3b

解析：選APQ=PB+BQ=|A/?+1（AC—AB）=|AB+|AC=1

a+；b,故選A.卜

4.（2017?鄭州二樓）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在線段8c上，且J

1BO

滿足BD=^DC,過(guò)點(diǎn)D的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,

N,若翁=機(jī),，~AN=nAC,貝?。荩ǎ?/p>

A.機(jī)+n是定值，定值為2

B.2>n+n是定值，定值為3

是定值，定值為2

D蟒2+假1定值，定值為3

解析：選D法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE平行于MN交A8于點(diǎn)

E.由就f就可得親=：,所以第=懸=尚,由8。=加?？?/p>

得黑=；,所以瑞=Thr=高，因?yàn)榍?〃7不，所以，”=

“+丁

J'1,整理可得2+'=3.

3/f-lmn

法二：因?yàn)镸,D,N三點(diǎn)共線，所以方=4篇+（1—幻?前.又前=機(jī)肉，~AN=

nAC9所以前=幺"16+（1—2）?11就,又罰=；萬(wàn)不，所以罰一前=］就一焉方，所

以A方+：A=.比較系數(shù)知（lT）n=g,所以2+^=3,故選D.

jJS產(chǎn)72

5.（2018-釵川一樓）設(shè)點(diǎn)P是△A5C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且近+BA=2BP，則較+~PA

解析：因?yàn)榫?京=2/，由平行四邊形法則知，點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)，故/行+右

=0.

答案：0

6.（2018?衡陽(yáng)模擬）在如圖所示的方格紙中，向量a,b,c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)（小正

方形頂點(diǎn)）上，若c與xa+yb（x,y為非零實(shí)數(shù)）共線，貝4的值為.

解析：設(shè)ei,e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量c=ei—

2ei,a=2ei+ei,b=_2ei—2ei,由c與xa+yb共線，得c=:(xa+yb),所以ei-2e2=22(x

3

|22(x—j)=l,

則?的值為

—j)ei+2(x—2j)e2,所以.

[A(x-2y)=-29y3

答案：I

7.(2018?金城一樓)在△A5C中，NA=60°,NA的平分線交3c于點(diǎn)。，若48=4,

且茄=：就+；＞.瓦聲QGR),則的長(zhǎng)為.

解析：因?yàn)?,D,C三點(diǎn)共線，所以=+2=1,解得/.=；,如圖，B

過(guò)點(diǎn)O分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點(diǎn)M,N,則一京=；一就，

4N

,經(jīng)計(jì)算得AN=AM=3,40=斑.

答案：35

8.在直角梯形ABC。中，NA=90°,NB=30°,AB=2小,BC=2,點(diǎn)E在線段

C。上，若衣=茄+“"病，則〃的取值范圍是.

解析：由題意可求得4。=1,。。=小，所以3=2虎.

?.?點(diǎn)E在線段CD上，：JDE=XDC(042Wl).

?：~AE=~AD+DE,

又女=~AD+//~AB=~AD+2fiDC=AD+"笳,

A

**?—1,即〃：1,

1]

2J

答案：[o,I]

［大題綜合練——遷移貫通］

1.在△ABC中，D,E分別為BC,AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一

點(diǎn)，fiGB=2GE,設(shè)714=a,AC=b,試用a,b表示茄，AG.

解：AD=1(AB+AC)=1a+1b.

'BA+'BC)

=^AB+j(AC—AB)=^AB+p4C=1a+1b.

2.已知a,b不共線，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設(shè)fWR,如

果3a=c,2b=d,e=f(a+b),是否存在實(shí)數(shù)f使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求

出實(shí)數(shù)，的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：由題設(shè)知，CD=d—c=2b—3a,CE=e—c=(f—3)a+tb,C,D,E三點(diǎn)在一條

直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)A,使得王方，即(t-3)a+zb=-3Aa+2Jtb,

整理得(f-3+3A)a=(2A-f)b.

￡—3+34=0,6

因?yàn)閍,b不共線，所以有解得￡=.

t-2k=0,5

故存在實(shí)數(shù)吏C,D,E三點(diǎn)在一條直線上.

3.如圖所示，在△4BC中，D,尸分別是8C,AC的中點(diǎn)，AE=j

AD,AB=a,AC=b.

(1)用a,b表示向量啟，~AE,~AF,BE,BF；

(2)求證：B,E,f三點(diǎn)共線.

解：(1)延長(zhǎng)AO到G,使/方=；就,

連接BG,CG,得到口ABGC,如圖，

所以就=,+^=a+b,

(2)證明：由(1)可知笳=初五,

又因?yàn)?E,BF有公共點(diǎn)、B,

所以僅E,F三點(diǎn)共線.

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐標(biāo)表示.

突破點(diǎn)(一)平面向量基本定理

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識(shí)］

如果e“e?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)丕共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)右,々，使a=&ei+Be2.

其中，不共線的向量erez叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底:

［基本能力］

1.判斷題

(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.()

(2)在△ABC中，設(shè)笳'=a,~BC=b,則向量a與b的夾角為)

(3)若a,b不共線，且iia+/ib=22a+"2b,則九=七，)

答案：(1)X(2)X(3"

2.填空題

(1)設(shè)e”e2是平面內(nèi)一組基底，若右ei+42e2=0,則右+%=.

答案：0

(2)設(shè)e”e2是平面內(nèi)一組基向量，且2=61+262,b=-ei+ei,貝!］2a—b=.

答案：3ei+3e2

(3)(2018?嘉興測(cè)試)在△ABC中，已知M是中點(diǎn)，設(shè)茍=a,~CA=b,則入法=

答案：—b+：a

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

平面向量基本定理

［典例］(1)(2018?長(zhǎng)春模擬)如圖所示，下列結(jié)論正確的是

33

-

①--十

2a2

3

②-

-a一

2b:

@PS=能一聲

(4)PR=^a+b.

A.①@B.③④

C.(D@D.②④

(2)(2018?岳陽(yáng)質(zhì)檢)在梯形ABC。中，已知A8〃C￡>,AB-2CD,M,N分別為C￡>,

8c的中點(diǎn).若4筋+”就，則：.+〃的值為()

［解析］(1)①根據(jù)向量的加法法則，得-d=；a+：b,故①正確；②根據(jù)向量的減法法

則，得pi=；@一條),故②錯(cuò)誤；③P&=P0+0s=：a+,b—2b=］a—；b,故③正確；

④港=PQ+QR=1a+1b—b=^a+|b,故④錯(cuò)誤，故選C.

(2)法一：連接AC(圖略)，由磊=/法+"京，得京=岐1方+就)+舄("就+

AB),則g—1)A》+］A戶+芯=0,得g—^錯(cuò)誤!=0,得

卷+0.+習(xí)就=0.又下，而不共線，所以由平面向量基本定理得

’13(4

,+#_1=0,x=-j,

解得《G4

所以2+4=不

法二：根據(jù)題意作出圖形如圖所示，連接MN并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)7；由已知

易得Ab=，T,所以］m=7咨=2翁+"京，因?yàn)門(mén),M,N三點(diǎn)共

4

線，所以2+〃=g.

［答案］(1)C(2)C

［方法技巧］

平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路

(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向

量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)

論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.

［全練題點(diǎn)］

1.(2018?泉州調(diào)研)若向量a,b不共線，則下列各組向量中，可以作為一組基底的是

)

A.a—2b與一a+2bB.3a—5b與6a—10b

C.a—2b與5a+7bD.2a—3b與;a—

解析：選C不共線的兩個(gè)向量可以作為一組基底.因?yàn)閍—2b與5a+7b不共線，故

a-2b與5a+7b可以作為一組基底.

2.向量ei,e2,a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則a—b=()

A.—4ei—2eiB.一2ei—4e?

C.ei—3e2D.3ei—ez

解析：選C結(jié)合圖形易得，a=—ei—4ei,b=_2ei—ei,故a-b

=ei-3ez.

3.如圖，正方形ABC。中，E為OC的中點(diǎn)，若衣=/NG+〃就，D____E_c

則7+“的值為()//\

A-2b-~2

C.1D.-1

解析：選A由題意得4。=+g%1=5、+4、-34、=4、—gA：，g，

fi=l,.?:+”=；,故選A.

_?_?c

4.(2018?湖南邵陽(yáng)一模)如圖，在△ABC中，設(shè)A5=a,AC=b,A

AP的中點(diǎn)為0,8。的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)為P,若力=ma+nb,貝!J

，〃+n=?

解析：根據(jù)已知條件得，~BQ=^Q-'AB

=1AP—AB=1(ma+nb)—a=l)a+郢，CR=BR—BC=^BQ—AC+AB

=1?-1>+多卜+2=?+外+修一小，.?/專a+機(jī)超=停一球+乳

$=一停+：>+()一之)「??豆+9=福，二修一§a+苧b=(_￡_：)a+q_?b,

r3/n_l_m

T~2=~~8

：.4解得，/故〃z+n=3.6

3n1n41

I428'Jt=79

答案：f

突破點(diǎn)(二)平面向量的坐標(biāo)表示

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識(shí)1

1.平面向■的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的模

設(shè)a=(xi,ji),b=(x2,yi)>則:

a+b=(xi+x2,力+北)，a-b=(xi-*2,3L32),xa=(zxi,xyQ,|a|=^/xH-j1.

(2)向量坐標(biāo)的求法

若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).一般地，設(shè)4(修，刃)，8(X2,

j2)?則AB=(*2-xi,丫2-yi).

2.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(M,J2).其中bWO,則a〃boxiy2—X2Vi=O.

［基本能力］

(1)已知a=(2,l),b=(—3,4),則3a+4b=.

答案:(-6,19)

(2)已知向量a=(2,l),b=(l,—2),若,〃a+nb=(9,—8)(m,nGR),則機(jī)一n的值為

解析：V/na+nb=(2m+n,zn—2n)=(9,—8),

2m+n=9,m=2,

機(jī)—n=2-5=-3?

2〃=-8,〃=5

答案：一3

(3)若AC為平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線，AB=(2,4),~AC則罰=

答案：(-1,-1)

(4)若三點(diǎn)A(L-5),B(a,-2),C(一2,-1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為.

解析：AB=(a-l,3),AC=(-3,4),據(jù)題意知?！ň停?*.4(a-l)=3X(-3),即

5

4a=-5,.??a=-J

答案：V

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

[例1](1)(2018?紹興模擬)已知點(diǎn)M(5,—6)和向量a=(L—2),若MN=-3a,則點(diǎn)

N的坐標(biāo)為()

A.(2,0)B.(-3,6)

C.(6,2)D.(-2,0)

(2)在△ABC中，點(diǎn)尸在BC上，且訴=2不？，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，若右=(4,3),

~PQ=(1,5),則茲=.

［解析］(1)蘇=-3a=-3(l,—2)=(—3,6),

設(shè)N(x,y),則MN=(x-5,》+6)=(—3,6),

x=2,

所以即1

_y=0.

(2)AQ=~PQ-~PA=(-3,2),

/.AC=2Ag=(-6,4).PC=~PA+AC=(-2,7),

=3PC=(-6,21).

［答案］(1)A(2)(-6,21)

［方法技巧］

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的

坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

(2)解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則.

war平面向量共線的坐標(biāo)表示

［例2］已知a=(l,O),b=(2,l).

(1)當(dāng)A為何值時(shí)，Jta-b與a+2b共線;

(2)若磊=22+31),~BC=a+mb,且A,B,C三點(diǎn)共線，求機(jī)的值.

［解］⑴,=(1,0),b=(2,l),

.,.*a-b=A(l,0)-(2,1)=(t-2,-1),a+2b=(l,0)+2(2,l)=(5,2),

■:ka—b與a+2b共線，

.*.2(*-2)-(-l)X5=0,AA=-1.

(2)成=2(l,0)+3(2,l)=(8,3),-BC=(l,0)4-/n(2,l)=(2/n+l,m).

'：A,B,C三點(diǎn)共線，：J~AB//~BC,

3

:.8m—3(2m+1)=0,=不.

［方法技巧］

向量共線的坐標(biāo)表示中的乘積式和比例式

(1)若a=(xi,ji),b=(X2,J2),則a〃boxi>2—x◎1=0,這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決平面

向量共線問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)，從而減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而且它使問(wèn)題

的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)和程序化的特征.

(2)當(dāng)x也-0時(shí)，a〃bo?=?,即兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例，這種形式不易出現(xiàn)搭

Xiyi

配錯(cuò)誤.

(3)公式xij2—xjyi=0無(wú)條件工皿。0的限制，便于記憶；公式，■=?■有條件應(yīng)及#0的

限制，但不易出錯(cuò).所以我們可以記比例式，但在解題時(shí)改寫(xiě)成乘積的形式.

［全練題點(diǎn)］

1.［考點(diǎn)一］若向量a=(2,l),b=(-1,2),c=(0,0,則c可用向量a,b表示為()

A.1a+bB.—la-b

厚+上

f2x~j=0,

解析：選A設(shè)c=xa+jb,則(0,1)=(2x—j,x+2y)9所以，_5解得

“|x+2y=s，

1

則c/a+b.

2.［考點(diǎn)一］已知平行四邊形45CD中，茄=(3,7),AB=(-23)，對(duì)角