人教版專 題 8.2空間中的平行和垂直關系

專題8.2空間中的平行和垂直關系

【題型目錄】

題型一線面平行、面面平行的判定定理

題型二補全平行的條件

題型三線面平行、面面平行的性質(zhì)定理

題型四線面垂直、面面垂直的判定定理

題型五補全垂直的條件

題型六線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理

題型七判斷平行，垂直的有關命題

題型八平行，垂直的綜合應用

【典型例題】

題型一線面平行、面面平行的判定定理

例1.（2023春?福建泉州?高一校聯(lián)考階段練習）如圖,已知四棱錐P-ABCD中,

ABHCD,。、M分別是C。、PC的中點，P。/底面ABC。，且

PO=OD=DA=AB=BC

⑴證明：PA//平面O8M；

（2）若PO=1,求三棱錐的體積.

例2.（2023春?江蘇鹽城?高三江蘇省響水中學?？计谥校┤鐖D，正三棱柱

ABC-A￡G的所有棱長都等于2,E,F,G分別為4G,,A3的中點.

（1）求證：平面AGG〃平面BEP；

舉一反三

練習1.（2022春.甘肅蘭州.高一蘭州市第二中學?？计谀┤鐖D，中，

AC=BC=與AB,ABED是正方形，平面ABED_L平面A8C,若G、尸分別是EC、BD

的中點.

⑴求證：GF//平面ABC；

練習2.（2023?安徽安慶?安慶一中?？既＃┤鐖D,四棱錐P-43CD中,PAL底面

ABCD,A?！?C,N為依的中點.

3

⑴若點M在A￡>上,24〃=用￡?,49=48。,證明：加/7平面PC￡>;

練習3.(2023春?黑龍江牡丹江?高一校考階段練習)如圖，已知矩形A8CD所在

平面垂直于直角梯形河/力所在平面，EP=g,

BP=2,AO=4E=1,J.EP,AEHBP、F，G分別是BC,BP的中點.

P

(1)設過三點P，E，C的平面為a,求證：平面AFG〃平面a；

(2)求四棱錐與三棱錐P-8CQ的體積之比.

練習4.(2023?四川?校聯(lián)考模擬預測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL平面

ABCD,四邊形ABCD為矩形，￡為棱A8的中點，OE與AC交于點￡G為.PBC的

重心.

A

(1)求證：FG,平面

練習5.(2023?全國?高三專題練習)已知點E,尸分別是正方形A8CO的邊AD,

8c的中點.現(xiàn)將四邊形所8沿EF折起，如圖所示.若點G,H分別是AC,BF的

中點，求證：G4//平面EPS.

題型二補全平行的條件

例3.(2023?全國?高三專題練習)如圖，四棱錐的底面A8CD為平行四

邊形，EG分別為的中點.

(1)證明：AF平面PCG；

(2)在線段BD上是否存在一點N,使得FN平面PCG,并給出必要的證明.

例4.(2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預測)三棱柱ABC-”6中，四邊形"百B是菱

形，N4AS=60。，平面"平面ABC，45c是等腰三角形，ZACB=120°,

AB=2C,B。與BC1交于點M,AA,A1耳的中點分別為N,O,如圖所示.

G

(1)在平面AA4B內(nèi)找一點。，使M3//平面GN。，并加以證明;

舉一反三

練習6.(2023?浙江?校聯(lián)考三模)如圖，三棱臺ABC-A4G中，AG=4,AC=6,

。為線段AC上靠近C的三等分點.

(1)線段BC上是否存在點E,使得48〃平面CQE,若不存在，請說明理由；若存

在，請求出笠的值;

練習7.(2023春.黑龍江牡丹江.高三牡丹江市第三高級中學?？计谥?如圖所示,

三棱柱ABC-A￡G，底面是邊長為2的正三角形，側棱底面A8C,點E,F分

別是棱CG，網(wǎng)上的點，點例是線段AC上的動點，EC=2FB=2.

(1)當點M在何位置時，創(chuàng)1//平面4￡尸？

練習8.(2022秋.安徽合肥.高二?？紝W業(yè)考試)如圖，四棱錐中，PA±

平面A8CD,AS1AD,點E在線段4)上，CE//AB.

⑴求證：CE_L平面PAD；

(2)若E為AO的中點，試在上確定一點尸，使得平面CE尸〃平面并說明

理由.

練習9.（2023春.福建廈門.高三廈門一中校考期中）如圖，已知P是平行四邊

形A8CD所在平面外一點，M.N分別是A6、PC的三等分點（M靠近8,N靠近

C）；

（1）求證：MV//平面PAD.

⑵在P8上確定一點。，使平面MN。//平面PAD.

練習10.（2021秋?河南?高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在三棱錐尸-A3C中，PA1

底面ABC,ZBAC=90.點DE,N分別為棱PA,PC,8c的中點，M是線段A3的中點,

PA=AC=4,AB=2.

⑴證明：平面平面BDE；

（2）已知點尸在AB上，且平面MNF//平面BOE,求線段""的長.

題型三線面平行、面面平行的性質(zhì)定理

例5.（2023春?高二課時練習）如圖，矩形ADPE和梯形ABC。所在平面互相垂

直，AB//CD,ZABC=ZADB=90°,CD=1,BC=2,DF=1.

(1)求證：BE//nDCF；

例6.（2023春?福建泉州?高三校聯(lián)考階段練習）（多選）如圖，在四面體ABQ3中,

截面MNP。是正方形，則下列判斷正確的是（）

A.AC=BDB.AC//平面MNPQ

C.AC±BDD.點3,。到平面MNPQ的距離不相等.

舉一反三

練習11.（2023.北京海淀?校考三模）如圖I,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCO是

邊長為2的正方形，側面PAO為等腰直角三角形，且=點F為棱PC上

的點，平面AOF與棱尸8交于點E.

⑴求證：EF//AD；

練習12.（2023.重慶萬州.統(tǒng)考模擬預測）如圖1所示，在四邊形ABCD中,

BCLCD,E為8c上一點，AE=BE=AD=2CD=2,CE=&，將四邊形A￡C￡＞沿AE

折起，使得8c=百，得到如圖2所示的四棱錐.

⑴若平面BCD平面A8E=/,證明：CD//1；

練習13.（2023.全國.高三專題練習）如圖，四棱錐的底面為平行四邊

形.設平面PAD與平面PBC的交線為I,M、N、Q分別為PC.CD、AB的中點.

（1）求證：平面MNQ〃平面應0；

（2）求證：BC//1.

練習14.（2023?全國?高三專題練習）如圖，矩形ACFE,A￡=1,A￡，平面

ABCD,AB//CD,ZBAD=90°,AB=l,AD=CD=2,平面相＞P與棱BE交于點G.求證:

AG//DF；

E

練習15.（2023?全國?高三專題練習）如圖，四棱錐E-ABC。，AB=AD=6,

CD=CB=\,AC=2,平面E4CL平面ABC。，平面ABEc平面CDE=/.若點M為

線段AE中點，求證：BM//1；

題型四線面垂直、面面垂直的判定定理

例7.（2023春?浙江杭州?高三杭師大附中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐S-ABCD中,

底面A8CO是平行四邊形，AC.LBC,^ABC=60°,SA=SB=SC=4,ZASB=90°.

（1）求證：平面SAB_L平面ABC；

例8.（2023春?山東臨沂?高三校考階段練習）如圖，是。的直徑，C是圓周

上異于A,8的點，P是平面A8C外一點，且PA=PB=PC=&

p

(1)求證：平面P45,平面ABC；

舉一反三

練習16.(浙江省北斗星盟2023屆高三下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題)已知四棱錐

P—ABCD中，底面A5C。為平行四邊形，平面PCDJ?平面A8C2尸。=A￡>.

(1)若H為AP的中點，證明：AP/平面”8；

練習17.(2023春?廣西柳州?高三柳州地區(qū)高中?？计谥?如圖,在四棱錐

P-ABCD^,PA_L平面A8C￡>,AD!IBC,ABIBC,PA=AD^4,BC=\,AB=43,

CD=25

(1)證明：DC_!■平面PAC；

練習18.（2023.江蘇鹽城.鹽城中學校考三模）如圖，該幾何體是由等高的半個

圓柱和:個圓柱拼接而成，點G為弧8的中點，且C,E,D,G四點共面.

（1）證明：平面平面BCG；

練習19.（2023?全國?高三對口高考）如圖1所示，E,f分別是矩形A8CO的邊

48,。。的中點,6是石月上的一點,將4648,，8分別沿45,8翻折成4^48,

△G2CD,并連接G,G2,使得平面GA8，平面ABCD,G,G2//AD，且G,G2<AO.連

接驅(qū),如圖2.

圖1圖2

⑴證明：平面GAB,平面G|AOGz；

練習20.（2023?江西?江西師大附中?？既＃┮阎睦忮FP-A3C。的底面是正

方形，ACCBD=O,PA=PD=6PO=6A。=2,E是棱PC上任一點.

⑴求證：平面8/）E_L平面PAC；

題型五補全垂直的條件

例9.(2023春?山東青島?高三青島二中?？计谥?如圖，在四棱錐中,

PAL^ABCD,AB=BC=2,AD=CD=^,PA=拒,ZABC=120,G為線段PC

(1)證明：801面APC；

PG

(2)若G滿足PCL面BG￡>,求名的值.

GC

例10.(2021秋.陜西渭南?高二?？茧A段練習)如圖，在四棱錐P-458中，底

面A8CD是菱形，ZDAB=60,PA=PD,G為AO的中點.

(1)求證：AD1.PB；

(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F,使DF1AD?請證明你的結

論.

舉一反三

練習21.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在直三棱柱ABC-A/C中，ABAC^90°,

AB=AC=\.

(1)試在平面ABC內(nèi)確定一點凡使得AH_L平面A8C,并寫出證明過程；

練習22.(2022秋?青海海東.高二?？计谥?如圖，四棱柱ABCD-AAGR中，底

面A8CQ是菱形，ZABC=6O°,A4t，平面ABC。，E為4A中點，AAt=AB=2.

⑴求證：AG〃平面8QE；

(2)在AG上是否存在點M,滿足AC1平面MAR?若存在，求出AM長，若不存在,

說明理由.

練習23.(2022春.遼寧葫蘆島.高三統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底

面ABCD是矩形，AB=3,BC=4,已知AE=：E。，且PEL平面ABC。，BF=FC,

CG=2GD.

(1)在線段FG上確定一點M使得平面PEM_L平面PFG,并說明理由;

練習24.（2020秋.黑龍江哈爾濱.高二哈爾濱市第六中學校?？计谥校┤鐖D，在

四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZDAB=60°,側面皿＞為正三角形，且

平面PAD_L平面ABCD.

⑴求證：ADA.PB.

（2）若E為BC中點，試在PC上找一點尸，使平面DEF,平面ABCO.

練習25.（2023?全國?高三專題練習）已知四棱錐P—ABCO中，△PBC為正三

角形，底面ABC。為直角梯形，AD//BC,ZADC=90,AD=CD=3,8c=4.

（1）設F為BC中點，問：在線段AO上是否存在這樣的點E,使得平面山。，平

面PEE成立.若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由；

題型六線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理

例11.（2022春.福建.高二統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，在三棱錐P-MC中，側面PA8L

底面ABC,且PAJ.48,PA=5后,A8C的面積為&

p

c

(1)求三棱錐P-A8C的體積;

(2)若AB=5,AC=4,且-BAC為銳角，求證：BC人平面P4C.

例12.(2023?四川?校聯(lián)考模擬預測)如圖,直角梯形A8CD中,AD//BC,

44)=90。，A8=AE>=0,BC=2C，將ZVlB。沿比)翻折至_4雙)的位置，使

得A'3±AC.

(1)求證：平面A8D_L平面BCO；

(2)若尸，H分別為BC,AC的中點，求三棱錐A-D/77的體積.

舉一反三

練習26.(2023,河南安陽?統(tǒng)考三模)如圖所示,在直角三角形48。中，/48。=90,

DEHBC,BD=2AD=4,DE=1,將VADE沿DE折起至U4PDE的位置，使平面PDE±

平面BCED,點/滿足CM=2MP.

⑴證明：BCLME-

練習27.（2023?廣西?校聯(lián)考模擬預測）如圖，在多面體ABCDE中，平面48,

平面ABC,BE_L平面ABC,.ABC和ACD均為正三角形，AC=2,BE=6點

M為線段8上一點.

⑴求證：DEYAM；

練習28.（2023?全國?校聯(lián)考二模）如圖，在四棱錐P-MCD中，ABCO且

2AB<CD,其中PAD為等腰直角三角形，AP=4/PD4=I，/PAB=：,且平面

24

PAB±nPAD,DB±BA.

⑴求A8的長;

練習29.（2023春.吉林長春.高三長春市第二中學?？计谥校┤鐖D，在直三棱柱

A8C-AB￡中，AB=BC=CJ=g,AB^BC.

B

(1)求證：AC.1B.C；

練習30.（2023?江蘇常州?江蘇省前黃高級中學?？寄M預測）如圖，在三棱臺

ABC—ABG中，BBi=B?=CC=；BC=2,ABLBC,平面懼48，平面BgC。.

（1）證明：平面B8CC；

題型七判斷平行，垂直的有關命題

例13.（2023?江蘇揚州?揚州中學?？寄M預測）已知/、加、〃為空間中三條不

同的直線，夕、7為空間中三個不同的平面，則下列說法中正確的是（）

A.若尸=〃，aJ■尸，B］丫，則

B.若a0=1,Pr=m,y\a=n,若〃/利，則〃〃6

C.若a%,/、，"分別與。、4所成的角相等，則

D.若掰〃x,m///3,ally,則卬/y

例14.（2023?全國?校聯(lián)考二模）（多選）已知a也/為不同的直線，為不同

的平面，則下列說法正確的是（）

A.若?！??,aua,6u分，則“//B

B.若a，a,bu仇a/中,則。J

C.若￡，/?℃尸=/,“<=。,。<2：/?,4_1人，則分至少有一條與直線/垂直

D.若aA.0,aLy，0cy=l,則/_Lc

舉一反三

練習31.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預測）已知/,m,〃表示不同的直線，。，夕，7

表示不同的平面，則下列四個命題正確的是（）

A.若〃/夕，且,則/_1_機B.若aJ■尸，mlla,秣工。，則相〃〃

C.若“?〃/,且m_La,則/_LaD.若，"_L〃，mVa,nlip,則aJ■廣

練習32.（2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預測）兩個平面a與夕相交但

不垂直，直線，”在平面a內(nèi)，則在平面夕內(nèi)（）

A.一定存在直線與機平行，也一定存在直線與加垂直；

B.一定存在直線與機平行，不一定存在直線與“垂直；

C.不一定存在直線與加平行，一定存在直線與加垂直；

D.不一定存在直線與加平行，也不一定存在直線與“垂直

練習33.（2023?北京?首都師范大學附屬中學?？寄M預測）設〃?，〃為兩條不同

的直線，a,4為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）

A.若mlln,nila,則〃M/a

B.若加//〃，ml/a,nll/3,則a//￡

C.若根J_”，mA.a,〃-L￡,則。

D.若a_L￡,"iua,n<^/3,則m_L〃

練習34.（2023.四川??？寄M預測）已知a,b是不同的兩條直線，夕是不

同的兩個平面，現(xiàn)有以下四個命題：

①…a_皿La]卜②/"a_“La]卜0%；③…皿卜"④〃_〃La]/=??

其中，正確的個數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

練習35.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學校校考三模）（多選）已知I,m,

〃為空間中三條不同的直線，7為空間中三個不同的平面，則下列說法

中正確的有（）

A.若m_La,mV13,ally,則////

B.若c//，/,加分別與%夕所成的角相等，則〃/加

C.若aB=l,py=m,y\a=n,若〃/加，則〃//m

D.若aP=n,a,力，7,則〃，7

題型八平行，垂直的綜合應用

例15.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ABC。中，已知底面ABCD

是菱形，且對角線AC與8。相交于點。.

⑴若依=。，求證：平面P8C_L平面PAC;

⑵設點E為BC的中點，在棱PC上是否存在點尸，使得依平面AEF?請說明理

由.

例16.（2023春?陜西榆林?高二綏德中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐S-AB8

中，底面ABCD是矩形，SA，底面ABCD,SA=A￡>,點M是SD的中點，AN1SC

且交SC于點M

s

N

(1)求證：SB〃平面ACM；

(2)求證：平面SAC_L平面AMN.

舉一反三

練習36.(2023?山東濰坊?三模)如圖，P為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心,

AC為底面直徑，為底面圓。的內(nèi)接正三角形，且邊長為石，點E在母線PC

上，且AE=6,CE=1.

(1)求證：直線尸O//平面由犯；

(2)求證：平面平面A8D；

練習37.(2023春?河南?高三洛陽市第三中學校聯(lián)考階段練習)在如圖所示的幾

何體中，平面平面ABC。，PALAD,E,尸分別為棱出，PC的中點.

C

D

p

（1）求證：EF/mABCD-,

⑵若P4J.P3,求證：平面P4）J_平面P3C.

練習38.（2023?全國?模擬預測）（多選）在正四面體P-ABC中，D,E,F分別

是48,BC,CA的中點，則（）

A.BC//平面PD尸

B.PA1.DE

C.平面PAEL平面ABC

D.平面平面A3C

練習39.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CO

為矩形，5。工平面弘8,ZAPB=90°,PB=BC,N為PC的中點.

（1）若M為A8的中點，求證：MV〃平面ADP.

（2）求證：平面BDN_L平面AC尸.

練習40.（2022.高三課時練習）（多選）如圖AB為圓。的直徑，點C在圓周上

（異于A,B點），直線以垂直于圓所在的平面，點M為線段的中點，則以

下四個命題正確的是（）

A.PB1.ACB.OC，平面

C.MO〃平面以CD.平面%C，平面PBC

參考答案與試題解析

專題8.2空間中的平行和垂直關系

【題型目錄】

題型一線面平行、面面平行的判定定理

題型二補全平行的條件

題型三線面平行、面面平行的性質(zhì)定理

題型四線面垂直、面面垂直的判定定理

題型五補全垂直的條件

題型六線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理

題型七判斷平行，垂直的有關命題

題型八平行，垂直的綜合應用

【典型例題】

題型一線面平行、面面平行的判定定理

例1.（2023春?福建泉州?高一校聯(lián)考階段練習）如圖，已知四棱錐P-AB8中,

AB//CD,。、M分別是8、PC的中點，POl^ABCD,且

PO=OD=DA=AB=BC

⑴證明：PA〃平面08M；

（2）若PO=1,求三棱錐鉆的體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵且

24

【分析】（1）可以通過作輔助線結合中位線得到線線平行證明線面平行或者通過

證明面面平行得到線面平行；

（2）先求三棱錐P-ABC的體積，得到三棱錐的體積，利用幾何體的分

割可得答案.

【詳解】（1）證法一：連接AC交8。于點N,連接MMOA.

AB//CD,OC=OD=AB,

二四邊形A3C。為平行四邊形,I.N是C4的中點；

：,C4P中，用是CP的中點,.

,?弘0平面。8加，的Vu平面OBM,

二P4〃平面OBM.

證法二：.二COP中，。，知分別是CQ,C尸的中點，.?.OM//DP,

又W平面以。，PDu平面〃平面PAD,

AB!/DCSLAB=DO,

.?.四邊形?。。是平行四邊形，:.BO//AD,

又3。0平面PAD,AOu平面PAD,.〔BO//平面PAD；

OMcOB=O,08,OMu平面OBM，，平面OBM〃平面PAD,

PAu平面PAD,:.PAU平面OBM.

（2）連結M4,AC,

p

由△08C中，OB=AD=BC=CO=\,

得NBCO=60",ZABC=120",

,回

：../BC的面積S“於=-8A-BC-sinNABC=Y-；

24

又P。/平面ABC。，PO=\,

三棱錐P-A8C的體積為也花=*21=9￥'1=奈

??.M是PC的中點，.?.%TBc=g/_MC=^，

例2.（2023春?江蘇鹽城?高三江蘇省響水中學?？计谥校┤鐖D，正三棱柱

ABC-A￡G的所有棱長都等于2,E,F,G分別為4G,Ag,AB的中點.

（1）求證：平面AGG〃平面BEF；

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）利用面面平行判定定理即可證得平面ACG〃平面3EF；

【詳解】（1）E,F分別為4G,的中點，

AGu平面4GG,EF（z平面AGG,E尸〃平面A。。，

又F,G分別為分另,A3的中點，尸=BG,

又A尸〃8G,.?.四邊形AGBF為平行四邊形，則BF〃4G,

AGu平面ACQ,研0平面4GG,

BFH平面AGG,

又EFBF=F,EF,3Fu平面3ER

二.平面AGG〃平面BEF.

舉一反三

練習1.（2022春.甘肅蘭州.高一蘭州市第二中學?？计谀┤鐖D，/BC中，

AC=BC咚AB,是正方形，平面AB￡D_L平面A8C,若G、尸分別是EC、BD

⑴求證：GF//平面A8C；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）作出輔助線，得到面面平行，從而得到線面平行;

【詳解】（1）證明：如圖，取物的中點“，連接“尸，GH.

G,尸分別是EC和8。的中點,

:.HG//BC,HF//DE.

又四邊形4）朋為正方形，

:.DE//AB,從而HF//AB.

BCu平面ABC,"Go平面ABC,

.?.HG〃平面ABC,

同理HF〃平面A8C,又HGHF=H,

平面5〃平面A5C,

?:GFu平面HGf，

則GF〃平面ABC；

練習2.（2023?安徽安慶?安慶一中校考三模）如圖,四棱錐P-A8CD中,PAL底面

ABCD,A￡>〃BC,N為陽的中點.

3

⑴若點加在人。上,2人加=用￡>,4￡）==8（7,證明：歷％『平面產(chǎn)。；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）取PC中點/，連接NF,DF，根據(jù)已知條件證明四邊形NFDM是平行四

邊形，即可證明；

【詳解】（1）如圖所示：

取PC中點F,連接N￡￡>F,

2

因為所以加。=§4）,

又4￡>=；8C,所以

因為AO〃8C,所以〃O〃8C,

又因為N為尸8的中點，所以NF〃8c且NF=《BC,

即有NF〃M。且NF=,

所以四邊形MDM是平行四邊形，

所以MN〃。尸，

又因為MNC平面PCD,DFu平面PCD,

所以MN平面PCD.

練習3.（2023春.黑龍江牡丹江.高一?？茧A段練習）如圖，已知矩形ABCD所在

平面垂直于直角梯形WE所在平面，EP=0

BP=2,AD^AE^\,AE1.EP,AE//BP,F,G分別是BC,8P的中點.

（1）設過三點P，E，C的平面為a,求證：平面AFG〃平面a；

（2）求四棱錐。與三棱錐P-BC￡>的體積之比.

【答案】（1）證明見解析

（2）1

【分析】（1）先分別證明PG〃平面a,AG〃平面a,再根據(jù)面面平行的判定定理

即可得證；

（2）過P作垂足為“，先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)分別證明A￡>J■平面

ABCD,平面ABCO,再根據(jù)錐體的體積公式即可得解.

【詳解】（1）..七是8尸的中點，PG=3BP=1,

XVAE=\,：.AE=PG,

又AE//PG,AEA.EP,：.四邊形AEPG是矩形，,AG//EP,

,.,AG<z平面a,PEu平面a,二AG〃平面a,

?.?￡G分別是BC,BP的中點，AFG//PC,

FGa平面a,PCu平面a,FG〃平面a,

VAG^FG=G,且4G,FGu平面AFG,

二平面AFG〃平面a；

(2)過P作垂足為H,

因為平面ABCD1平面ABPE,平面MCZ)c平面ABPE=AB,

ADJ.AB,ADu平面A8CO,

所以4)J_平面ABCD,

VD-ABPE=^X-^-X^X1=)

,因為平面ABCD1平面ABPE,平面ABCDC平面ABPE=AB,

PHVAB,P”u平面ABPE,

PH_L平面ABCD,即PH是三棱錐P-BCD的高，

AG=EP=6,PG=AE=BG=I,

由勾股定理得AB=JAG2+BG2=>/571=2,

CD=AB=2,sinZABG=—=—,

AB2

PH=BPsinNABG=也,

VP-BCO=|X|x2xlx>/3=-y-,

73

四棱錐D-ABPE與三棱錐P-BCD的體積之比%=|.

T

P

練習4.（2023.四川?校聯(lián)考模擬預測）如圖，在四棱錐P-MCO中，PAJL平面

ABCD,四邊形ABC。為矩形，E為棱AB的中點，￡>￡與AC交于點EG為PBC的

重心.

⑴求證：FG平面??；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線線平行和線面平行的證法和線面平行的判定即可求解;

【詳解】（1）證明：延長CG交P8于點“，連接

則H為尸8的中點，

因為E為AB的中點，

所以43=C￡>=2AE,

又A￡〃C。,

所以告=矍=2,

FAAE

因為6為一肥。的重心,

所以等=2,

Un

所以於CG

~GH

所以FG〃47,

又47u平面PAB,FG<2平面PAB,

所以FG,平面

練習5.（2023?全國?高三專題練習）已知點E,尸分別是正方形A3CD的邊AO,

BC的中點.現(xiàn)將四邊形EFCD沿防折起，如圖所示.若點G,H分別是AC,BF的

中點，求證：GH〃平面EFCD.

【答案】證明見解析.

【分析】連接AF,設點。為好的中點，連接G。，OH,則可證OG//C尸和OH//EF,

從而證得0G〃平面EFC￡＞和OH〃平面EFCD,則平面GO“〃平面EFC￡),即可證

GH〃平面EFCD.

【詳解】證明：如圖，連接設點。為〃■的中點，連接GO,OH,

在△ACF中，因為點。為AF的中點，點G為AC的中點，

所以OG//CE

因為OGu平面EFC3,CFu平面EFCZ),所以OG〃平面瓦'CO.

同理可證得

又因為E,尸分別為正方形A8CO的邊AO,BC的中點，

故.EF/IAB,所以OH//EE

因為OHa平面EFCD,砂(=平面￡/。＞,所以。，〃平面EFCD.

又因為O〃cOG=O,O”u平面GO",OGu平面GOH,

所以平面GOHH平面EFCD.

又因為G"i平面GO”,所以GH〃平面EFCD.

題型二補全平行的條件

例3.(2023?全國?高三專題練習)如圖，四棱錐P-ABCD的底面A5C。為平行四

邊形，EG分別為的中點.

(1)證明：AF平面PCG；

(2)在線段BD上是否存在一點N,使得FN平面PCG,并給出必要的證明.

【答案】(1)證明見解析

⑵存在，證明見解析

【分析】(1)取PC中點”，證明四邊形為平行四邊形即可；

(2)設BDcCG=O,取OB中點K,先證明FK//平面PCG,即可證明點N在線

段BD靠近B端的三等分點時符合題意.

【詳解】(1)證明：取PC中點“，連接在_PBC中，產(chǎn)為總的中點，

；.FH//-BC.

=2

G為A。的中點，AAGAGFH,AG=FH,

即四邊形AG”口為平行四邊形，A尸〃G〃.

QGHu平面PCG,A/(z平面PCG,,AF,平面PCG.

(2)設8￡>cCG=O,取。B中點K,連接FK,則在‘PO3中,

F,K分別是O5PB的中點,

：.FK//OP

QPu平面PCG,FK<z平面PCG,

:.FK平面PCG.

二。OG與30c相似，且相似比為1:2,

:.BO=2DO=2KB

.?.K為友)的三等分點.

??.N在K點位置時滿足FN平面PCG.

即點N在線段8?？拷?端的三等分點時符合題意.

例4.（2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預測）三棱柱ABC-A￡G中，四邊形獨田8是菱

形，NAA5=60。，平面AAgBL平面ABC，是等腰三角形，ZACB=120°,

AB=2&BC與8G交于點M,A4,A蜴的中點分別為N,O,如圖所示.

C

（1）在平面4148內(nèi)找一點。，使M。//平面GN。，并加以證明;

【答案】（1）。為BN的中點，證明見解析；

【分析】（1）取BN的中點。，利用線面平行的判定推理作答.

【詳解】（1）連接8N,取BN的中點為。，連接M￡>,則MD〃平面GNO.

在三棱柱ABC-4向G中，四邊形BCC向是平行四邊形，即M為BG的中點,

而。為BN的中點，于是MD/gN,平面GNOCNu平面GN。，

所以MD〃平面GNO.

舉一反三

練習6.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）如圖，三棱臺ABC-3與G中,AG=4,AC=6,

D為線段AC上靠近C的三等分點.

⑴線段BC上是否存在點E,使得4田〃平面GDE,若不存在，請說明理由；若存

在，請求出黃的值；

【答案】⑴存在，歌RF=92

【分析】（1）取8C的靠近點C的三等分點E,連接GE、DE、DC},證明出平

面44蜴8〃平面CQE,利用面面平行的性質(zhì)可得出AB〃平面G〃E,由此可得出

結論；

【詳解】（1）取BC的靠近點C的三等分點E,連接GE、DE、DC.,

B

22

則A￡>=,AC=§x6=4=A6,

又因為AW/4C,所以，四邊形"CQ為平行四邊形，則AV/OG,

因為。G<z平面AA48,441<=平面4448,所以，0G〃平面A4,g8,

因為*=等4,所以,DEMB,

ACoCJ

因為。E<Z平面43u平面朋53,所以，方石〃平面秋田田，

因為。GDE=。，DC-Z）Eu平面G。*所以，平面A44B〃平面GDE,

因為ABu平面AA4B,故AB〃平面CQE,

因此，線段8c上是否存在點E,且當B蕓E=彳2時，A?/平面CQE.

oC3

練習7.（2023春?黑龍江牡丹江?高三牡丹江市第三高級中學校考期中）如圖所示,

三棱柱ABC-A/Ci，底面是邊長為2的正三角形，側棱AA—底面A8C,點E,F分

別是棱CG，網(wǎng)上的點，點"是線段AC上的動點，EC=2FB=2.

⑴當點M在何位置時，8M//平面AE尸？

【答案】（1）點M為AC的中點

【分析】（1）分別取AE,AC的中點為O,M,連接O￡OM.可推得四邊形0W8F為

平行四邊形，BM//OF.進而根據(jù)線面平行的判定定理，得出線面平行;

如圖1所示，分別取AE,AC的中點為0,",連接OF,OM.

因為0,M分別是4E,AC的中點，

所以OW//EC,且0M=gEC.

又因為BBJ/AA-

所以FB〃EC,所以FB//OM.

又EC=2FB=2,所以FB=0M.

所以四邊形OM8F為平行四邊形，

所以3M〃。F.

因為OFu平面A￡F,3二平面叱尸，

所以BM//平面AEF.

所以，當點M為AC的中點時，有BM//平面AE。

練習8.（2022秋.安徽合肥.高二?？紝W業(yè)考試）如圖，四棱錐中，PAL

平面ABC。，AB±AD,點E在線段"）上，CE//AB.

⑴求證：CE_L平面P4）；

（2）若E為AO的中點，試在尸。上確定一點尸，使得平面CM〃平面匕出，并說明

理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）當F為PD的中點時平面CEFH平面PAB,證明見解析

【分析】（1）由線面垂直得到PAJLCE,再說明即可得證；

（2）當尸為PO的中點時平面CEF〃平面可B,由CE//AB可得CE//平面RW,根

據(jù)中位線的性質(zhì)得到EF//PA,即可得到/平面PAB,從而得證.

【詳解】（1）證明：PAL平面ABCO,CEu平面ABCD,.?.PA，CE,

ABLAD,CE//AB,：.CELAD,

又iPA\\AD=A,PAu平面PA。，A￡）u平面PAO,r.CEJ_平面PAO；

(2)解：當尸為尸。的中點時平面CEF〃平面

證明：因為CE//45,CEO平面PAB,ABu平面E4B,所以CE〃平面2B,

又E為AQ的中點，/為PO的中點，所以所〃出，

日飛平面以B,PAu平面以B,所以￡77/平面以8,

又EFcCE=E,EFu平面CEF,CEu平面CEF,

所以平面CEFH平面PAB.

練習9.(2023春.福建廈門.高三廈門一中校考期中)如圖，已知P是平行四邊

形A8CD所在平面外一點，M.N分別是A6、PC的三等分點(M靠近8,N靠近

(1)求證：MV//平面PAD.

⑵在P8上確定一點。，使平面MNQ〃平面PAD.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)過點N作NE〃CD,交.PD于點E,連接AE,證得證得四邊形AMNE

為平行四邊形，得到結合線面平行的判定定理，即可求解；

(2)取總取一點Q,使得BQ=；8P,證得MQ//P4,得到MQ〃平面以￡),結合

(1)中肱V〃平面PAD,利用面面平行的判定定理，證得平面MNQ//平面PA)

【詳解】(1)證明：過點、N作NE//CD,交PD于點E,連接AE,

2

因為N為PC的三等分點，可得NE='CD,

7

又因為M為AB的三等分點，可得

因為A8//CD且A8=CD,所以AM//NE且AM=7VE,

所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN//AE,

又由MN<Z平面PA￡>,AEu平面叫￡）,所以MV//平面PAO.

（2）證明：取PB取一點Q,使得=即點Q為尸8上靠近點8的三等點,

在_PAB中，因為M,Q分別為A8,PB的三等分點，可得當=黑,所以狼〃巴

ABBP

因為MQ（Z平面aw,PAU平面PAD,所以MQ〃平面PA。；

又由（1）知MN〃平面PAO,且MNcM2=M,MN,MQu平面MNQ,

所以平面MNQ〃平面尸4）,

即當點。為心上靠近點B的三等點時，能使得平面MNQ〃平面PAD.

練習10.（2021秋?河南?高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在三棱錐P-A8C中，PAA.

底面ABC,ZBAC=90.點D,E,N分別為棱PA,PC,8c的中點，M是線段A。的中點,

PA=AC=4,AB=2.

BN

⑴證明：平面平面

(2)已知點尸在A8上，且平面MN///平面8￡＞E,求線段"?的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)1

【分析】(1)由三角形中位線性質(zhì)可證得DE//4C,結合線面垂直的性質(zhì)和

N8AC=90可證得OE，a,DEJLAB,由線面垂直的判定可得DEL平面P/S,

根據(jù)面面垂直的判定可得結論；

(2)由面面平行和線面平行的性質(zhì)可證得MF//BO,由此可知產(chǎn)為AB中點，由

此可得結果.

(1)

2E分別為P4,PC中點，.?.0E//AC,又NBAC=90,..DEA.AB；

%_L平面ABC,ACu平面ABC,:.PALAC,又DEUAC,:.DELPA；

PA\AB=A,PAABu平面ftAB,.?.DE_L平面/MB,

又DEu平面30E,?.平面平面

(2)

平面MVF〃平面BDE,MFu平面"NR,MF//TffiBDE,

怖＜=平面43，平面平面比匹=比＞,MF//BD,

又M為AD中點，,產(chǎn)為AB中點，.?.AF=；A8=1.

題型三線面平行、面面平行的性質(zhì)定理

例5.(2023春?高二課時練習)如圖，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂

直，AB//CD,ZABC=ZADB=90°,CD=\,BC=2,DF=\.

(1)求證：BE〃平面。CF；

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)通過證明平面A8E〃平面。FC即可得解；

【詳解】(1)證明：：得4B〃CD,平面。CECDu平面。b,

平面DCF；

'：AE//DF,AEe平面。CT；DFu平面OCE〃平面。b,

?.?AEcA8=4,A￡u平面ABE,ABu平面ABE,

，平面ABE〃平面DFC,

BEu平面ABE,：.BE//平面DCF.

例6.（2023春?福建泉州?高三校聯(lián)考階段練習）（多選）如圖，在四面體ABC。中,

截面MNP。是正方形，則下列判斷正確的是（）

A.AC=BDB.AC//平面MNP。

C.AC1BDD.點B,。到平面"NPQ的距離不般等.

【答案】BC

【分析】由平行線分線段成比例可判斷A；由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可

判斷B；由線線平行和垂直的性質(zhì)可判斷C；由線面平行性質(zhì)可判斷D.

［詳解］在四面體ABCD中,若截面PQMN是正方形，可得PQ//MN,MN9平面

ACD,尸Qu平面AC。,可得MNH平面A8,

又AWu平面4CB,而平面AC2平面AC￡>=AC,可得AC7/MN,

又AC仁平面PQMN,MNu面PQMN,則AC//平面PQMN，故B正確；

同樣可得出）〃平面PQWV,所以點以。到平面MNPQ的距離相等，故D錯誤；

由BD//PN,AC//PQ,PN，PQ,可得AC1,故C正確；

由黑=或，隼=黑，且*阻但W不一定與6相等，故ACQ不一定相等，故

BDCDACCD

A錯誤.

故選：BC

舉一反三

練習11.（2023?北京海淀??？既＃┤鐖DI,在四棱錐P-AfiC。中，底面4BCD是

邊長為2的正方形，側面PAO為等腰直角三角形，且NPAD=m，點F為棱PC上

的點，平面ADF與棱尸B交于點E.

⑴求證：EFHAD-,

【答案】（1）證明見解析

【分析】⑴由底面ABC。是正方形得AD〃8C,用線面平行的判定定理證得4）〃平

面PBC,再用線面平行的性質(zhì)定理證得M//A。；

【詳解】（1）證明：因為底面A8CD是正方形，所以AD//BC,

BCu平面PBC,4）仁平面PBC,所以仞//平面PBC,

又因為平面4）尸與PB交于點E,/Wu平面AOFE,平面PBCc平面A。在=EF,

所以EF〃AD.

練習12.（2023.重慶萬州?統(tǒng)考模擬預測）如圖1所示，在四邊形ABCD中，

BC1CD,E為BC上一點,AE=BE=AD=2CD=2,CE=V3,

折起，使得BC=g,得到如圖2所示的四棱錐.

⑴若平面BCD。平面=證明：CD//1；

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）先證明8〃AE,根據(jù)線線平行判定定理C。//平面48E,再由線面平

行性質(zhì)定理證明線線平行；

【詳解】（1）在圖1中，因為3CJ_CD,CE=+，8=1,

所以DE=2,sinZC￡>E=y-,又

所以NC￡>E=],

因為￡>E=2,AE=AD=2,

所以/DEA=g,故CD//AE,

在圖2中，因為CD//4E,A￡u平面ABE,CD(Z平面ABE,

所以8〃平面A8E,

因為CQu平面BCD,平面BC。。平面年=/,所以CD/〃；

練習13.(2023?全國?高三專題練習)如圖，四棱錐P-ABC。的底面為平行四邊

形.設平面應。與平面P3C的交線為/,M、N、。分別為PC、CD、AB的中點.

(1)求證：平面MNQ〃平面必。；

(2)求證:BC//1.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)由三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)，結合線面平行和面面

平行的判定，可得證明；

(2)由線面平行的判定和性質(zhì)，可得證明.

【詳解】(1)證明：因為M、N、。分別為PC、CD、A8的中點，底面ABC。

為平行四邊形，

所以MN〃尸O,NQ//AD,

又MNQ平面勿。，PDu平面物。，

則MN〃平面PAD,

同理可得NQ〃平面PAD,

又MNNQ=MMN,NQu平面MNQ

所以平面MNQ〃平面PAD.

(2)證明：因為8C〃AO,BCQ平面物。，AOu平面RLD,

所以3c〃平面也。，

又BCu平面PBC,平面PBCn平面PAD=l,

所以BC〃/.

練習14.(2023?全國?高三專題練習)如圖，矩形人?尸乙4￡=1,/^_1平面

ABCD,AB//CD,ABAD=90°,AB=\,AD=CD=2,平面AO/與棱BE交于點G.求證:

AG//DF-

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)題意，利用面面平行的判定定理證明平面A￡B與平面CH>平行，再

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得到線線平行；

【詳解】證明：矩形AC/芯，

:.AE//CF,

又A￡u平面。尸匚平面。尸￡),

.?.AE〃平面CTO,

AB//CD,

又ABu平面AEB,C￡>u平面CFD,

〃平面CFO,

又McAS=A,

所以平面〃平面C/力，

平面相>F與棱8E交于點G,且BEu平面A￡B,

平面ADFc平面A￡B=AG,平面AQFc平面CF￡>=OF,平面AEB〃平面CEO,

故AG〃OF,得證；

練習15.（2023?全國?高三專題練習）如圖，四棱錐￡-438,AB=AD=B

CD=CB=\,AC=2,平面E4CL平面ABCD,平面平面8E=/.若點M為

線段4E中點，求證：BMHI；

【答案】證明見解析

【分析】取AC中點尸，根據(jù)AABUA40c得到NAC8=ACD=60,由△BFC為正

三角形得到BF//CD,根據(jù)線面平行的判定得到BF//平面CDE和〃尸〃平面CDE,

進而得到平面BMFH平面CDE,結合面面平行和線面平行性質(zhì)可證得結論.

【詳解】證明：取AC中點F，連接MR8F,

也AB=AD=邪）,CD=CB=1,AC=2,

可得AA5C當A4DC且AC2=AB2+BC2=AD2+DC2,

所以43人BC,ADIDC,所以ZACS=ZACD=60,

因為F為AC中點，所以△BFC為正三角形，即/BFC=NA8=60,所以BF〃CD,

又因為BFa平面CDE,CDu平面CQE,所以BF〃平面COE,

在ZMCE中，因為M,F的中點，所以MF〃EC,

又因為用平面CDE,ECu平面CDE,所以用尸〃平面CDE,

又由班'"尸=尸，8尸,M尸u平面&;尸，所以平面四打〃平面CDE,

又因為BMu平面所以3M//平面CDE,

又由平面ABEC平面C￡>E=/,且8A/U平面ABE,所以8M/〃.

E

題型四線面垂直、面面垂直的判定定理

例7.（2023春?浙江杭州?高三杭師大附中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐S-ABC。中,

底面ABCD是平行四邊形，AC1BC