2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.在等差數(shù)列40，37，34，……中，第6項是（）A.28 B.25 C.24 D.22〖答案〗B〖解析〗由題意知為等差數(shù)列，且，則，所以，故選：B.2.已知數(shù)列的通項公式為，則其前n項和（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗數(shù)列的通項公式為，則，即數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以.故選：A3.函數(shù)在上的平均變化率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得平均變化率為，故選：C4.用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增加的因式是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當時，左邊，當時，左邊，所以左邊應(yīng)添加因式為故選：B.5.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極大值〖答案〗A〖解析〗在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯誤；當時，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點，故C錯誤；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故D錯誤，故選：A.6.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，因為，故，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，故選：D.7.給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記．若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，，，，當時，，，恒成立，故A為凸函數(shù)；對于B，對于，，，當時，恒成立，故B為凸函數(shù)；對于C，由，得，所以，因為，所以恒成立，故C為凸函數(shù)；對于D，對于，，，當時，恒成立，故D不是凸函數(shù).故選：D.8.設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則當時（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于AB，不妨設(shè)，，則，，滿足題意，若，則，故A錯誤，若，則，故B錯誤；對于CD，因為，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，即，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D錯誤.故選：C.9.設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為q，且，則“為遞減數(shù)列”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)且，則，若為遞減數(shù)列，故，則，充分性成立；若，則，易知為遞減數(shù)列，必要性也成立；所以“為遞減數(shù)列”是“”的充分必要條件.故選：C10.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板（）A.1125塊 B.1134塊 C.1143塊 D.1152塊〖答案〗B〖解析〗記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，是等差數(shù)列，且公差為，，設(shè)每層有環(huán)，則，，是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，所以，所以，，故選：B．第二部分（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．11.已知數(shù)列為，，，，，則該數(shù)列的一個通項公式可以是________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗依題意，，所以前4項都滿足的一個通項公式為.故〖答案〗為：12.已知函數(shù)，則________．〖答案〗2〖解析〗因為，所以，則，所以，故〖答案〗為：2.13.函數(shù)，若，則________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得，而，即，解得，所以.故〖答案〗為：14.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則________．〖答案〗〖解析〗由可得：，則，因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，則.故〖答案〗：15.如圖，將一張的長方形紙片剪下四個全等的小正方形，使得剩余部分經(jīng)過折疊能糊成一個無蓋的長方體紙盒，則小正方形的邊長為________時，這個紙盒的容積最大，且最大容積是________．〖答案〗①2②144〖解析〗設(shè)剪下的四個小正方形的邊長為xcm，則經(jīng)過折疊以后，糊成的長方體紙盒的底面矩形長為cm，寬為cm，則長方體紙盒的底面積為，而長方體紙盒的高為xcm，于是長方體紙盒的體積（），，求導(dǎo)得，當時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，所以當時，()．故〖答案〗為：2；14416.若數(shù)列滿足，，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列．如圖所示的“黃金螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的曲線．圖中的長方形由以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”．記以為邊長的正方形中的扇形面積為，數(shù)列的前n項和為．給出下列結(jié)論：①；②是奇數(shù)；③；④．則所有正確結(jié)論的序號是________．〖答案〗①②④〖解析〗對于①，由，且，可得斐波那契數(shù)列：，，，，，，，，故故①正確；對于②：由斐波那契數(shù)列：，，，，，，，，，，，，可得每三個數(shù)中前兩個為奇數(shù)，后一個偶數(shù)，且，所以是奇數(shù)，故②正確；對于③：因為，相加可得：，故③錯誤；對于④：因為斐波那契數(shù)列總滿足，且，所以，，，類似的有，，其中累加得，，故：，故④正確.故〖答案〗為：①②④.三、解答題：本大題共5小題，每題14分，共70分．17.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記其前n項和為．從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．條件①：，；條件②：，．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）選條件①，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，因此，所以數(shù)列的通項公式是.選條件②，由，得等差數(shù)列的公差，由，得，所以數(shù)列的通項公式是.（2）選條件①，由（1）知，，則，顯然數(shù)列等比數(shù)列，首項、公比均為4，所以數(shù)列的前n項和.選條件②，由（1）知，，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，首項為4，公比為2，所以數(shù)列的前n項和.18.已知函數(shù).（1）設(shè)，求曲線在點處的切線方程.（2）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋1.∵f(0)＝1，f′(0)＝1，∴曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝x＋1.（2）當a＝b＝4時，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝.當x變化時，f(x)與f′(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的情況如下：x(－∞，－2)－2f′(x)＋0－0＋f(x)c∴當c>0且<0時，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的單調(diào)性知，當且僅當c∈時，函數(shù)f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三個不同零點.19.設(shè)函數(shù)在時取得極值．（1）求a的值；（2）若對于任意的，都有成立，求b的取值范圍．解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得，此時，當或時，，當時，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)在時取得極值，所以.（2）當時，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，依題意，，即，解得或，所以b的取值范圍是或.20.已知數(shù)列的通項公式為，記該數(shù)列的前n項和為．（1）計算，，，的值；（2）根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達式，并進行證明．解：（1）因為，所以，，，.（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明：當時，，猜想正確，假設(shè)當時，猜想也正確，則有，當時，，所以時，猜想也正確，綜上所述，.21.已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.解：（1）［方法一］：【最優(yōu)解】指數(shù)找朋友當時，等價于．設(shè)函數(shù)，則．，所以在單調(diào)遞減．而，故當時，，即．［方法二］：【通性通法】直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最小值當時，．令，令，得．則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，從而，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，有．［方法三］：【最優(yōu)解】指對等價轉(zhuǎn)化當時，．令，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，有，故當時，．（2）［方法一］：指數(shù)找朋友設(shè)函數(shù)，在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．［方法二］：等價轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點個數(shù)令，得．令．則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．當時，，當時，，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點時，．［方法三］：等價轉(zhuǎn)化為二次曲線與指數(shù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)只有一個公共點．由與的圖象可知它們在區(qū)間內(nèi)必相切于y軸右側(cè)同一點，設(shè)切點為，則，解方程組得，經(jīng)驗證符合題意．［方法四］：等價轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點個數(shù)當時，，原問題轉(zhuǎn)化為動直線與曲線在區(qū)間內(nèi)只有一個公共點．由得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)與的切點為，則，于是函數(shù)在點P處的切線方程為．由切線過原點可得，故．［方法五］：【通性通法】含參討論因為，，當時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，故無零點；當時，．①當時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，有在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，故無零點；②當時，令，得，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．，從而單調(diào)遞增．又，所以無零點．③當時，，又，所以存在，使得，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，則為函數(shù)的唯一零點，且滿足．所以，解得，則．［方法六］：【最優(yōu)解】等價變形＋含參討論當時，，無零點；當時，，記，則；當時，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則有，故無零點；當時，當時，單調(diào)遞誠，當時，單調(diào)遞增，當時，，當時，，故，得．北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.在等差數(shù)列40，37，34，……中，第6項是（）A.28 B.25 C.24 D.22〖答案〗B〖解析〗由題意知為等差數(shù)列，且，則，所以，故選：B.2.已知數(shù)列的通項公式為，則其前n項和（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗數(shù)列的通項公式為，則，即數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以.故選：A3.函數(shù)在上的平均變化率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得平均變化率為，故選：C4.用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增加的因式是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當時，左邊，當時，左邊，所以左邊應(yīng)添加因式為故選：B.5.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極大值〖答案〗A〖解析〗在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯誤；當時，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點，故C錯誤；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故D錯誤，故選：A.6.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，因為，故，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，故選：D.7.給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記．若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，，，，當時，，，恒成立，故A為凸函數(shù)；對于B，對于，，，當時，恒成立，故B為凸函數(shù)；對于C，由，得，所以，因為，所以恒成立，故C為凸函數(shù)；對于D，對于，，，當時，恒成立，故D不是凸函數(shù).故選：D.8.設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則當時（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于AB，不妨設(shè)，，則，，滿足題意，若，則，故A錯誤，若，則，故B錯誤；對于CD，因為，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，即，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D錯誤.故選：C.9.設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為q，且，則“為遞減數(shù)列”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)且，則，若為遞減數(shù)列，故，則，充分性成立；若，則，易知為遞減數(shù)列，必要性也成立；所以“為遞減數(shù)列”是“”的充分必要條件.故選：C10.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板（）A.1125塊 B.1134塊 C.1143塊 D.1152塊〖答案〗B〖解析〗記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，是等差數(shù)列，且公差為，，設(shè)每層有環(huán)，則，，是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，所以，所以，，故選：B．第二部分（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．11.已知數(shù)列為，，，，，則該數(shù)列的一個通項公式可以是________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗依題意，，所以前4項都滿足的一個通項公式為.故〖答案〗為：12.已知函數(shù)，則________．〖答案〗2〖解析〗因為，所以，則，所以，故〖答案〗為：2.13.函數(shù)，若，則________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得，而，即，解得，所以.故〖答案〗為：14.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則________．〖答案〗〖解析〗由可得：，則，因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，則.故〖答案〗：15.如圖，將一張的長方形紙片剪下四個全等的小正方形，使得剩余部分經(jīng)過折疊能糊成一個無蓋的長方體紙盒，則小正方形的邊長為________時，這個紙盒的容積最大，且最大容積是________．〖答案〗①2②144〖解析〗設(shè)剪下的四個小正方形的邊長為xcm，則經(jīng)過折疊以后，糊成的長方體紙盒的底面矩形長為cm，寬為cm，則長方體紙盒的底面積為，而長方體紙盒的高為xcm，于是長方體紙盒的體積（），，求導(dǎo)得，當時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，所以當時，()．故〖答案〗為：2；14416.若數(shù)列滿足，，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列．如圖所示的“黃金螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的曲線．圖中的長方形由以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”．記以為邊長的正方形中的扇形面積為，數(shù)列的前n項和為．給出下列結(jié)論：①；②是奇數(shù)；③；④．則所有正確結(jié)論的序號是________．〖答案〗①②④〖解析〗對于①，由，且，可得斐波那契數(shù)列：，，，，，，，，故故①正確；對于②：由斐波那契數(shù)列：，，，，，，，，，，，，可得每三個數(shù)中前兩個為奇數(shù)，后一個偶數(shù)，且，所以是奇數(shù)，故②正確；對于③：因為，相加可得：，故③錯誤；對于④：因為斐波那契數(shù)列總滿足，且，所以，，，類似的有，，其中累加得，，故：，故④正確.故〖答案〗為：①②④.三、解答題：本大題共5小題，每題14分，共70分．17.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記其前n項和為．從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．條件①：，；條件②：，．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）選條件①，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，因此，所以數(shù)列的通項公式是.選條件②，由，得等差數(shù)列的公差，由，得，所以數(shù)列的通項公式是.（2）選條件①，由（1）知，，則，顯然數(shù)列等比數(shù)列，首項、公比均為4，所以數(shù)列的前n項和.選條件②，由（1）知，，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，首項為4，公比為2，所以數(shù)列的前n項和.18.已知函數(shù).（1）設(shè)，求曲線在點處的切線方程.（2）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋1.∵f(0)＝1，f′(0)＝1，∴曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝x＋1.（2）當a＝b＝4時，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝.當x變化時，f(x)與f′(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的情況如下：x(－∞，－2)－2f′(x)＋0－0＋f(x)c∴當c>0且<0時，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的單調(diào)性知，當且僅當c∈時，函數(shù)f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三個不同零點.19.設(shè)函數(shù)在時取得極值．（1）求a的值；（2）若對于任意的，都有成立，求b的取值范圍．解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得，此時，當或時，，當時，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)在時取得極值，所以.（2）當時，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，依題意，，即，解得或，所以b的取值范圍是或.20.已知數(shù)列的通項公式為，記該數(shù)列的前n項和為．（1）計算，，，的值；（2）根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達式，并進行證明．解：（1）因為，所以，，，.（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明：當時，，猜想正確，假設(shè)當時，猜想也正確，則有，當時，，所以時，猜想也正確，綜上所述，.21.已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.解：（1）［方法一］：【最優(yōu)解】指數(shù)找朋友當時，等價于．設(shè)函數(shù)，則．，所以在單調(diào)遞減．而，故當