人教版八年級(jí)二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)課件

人教版八年級(jí)二次根式

全章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)課件一.二次根式的概念及有關(guān)性質(zhì)1.理解二次根式的概念.（重點(diǎn)）2.掌握二次根式有意義的條件.（重點(diǎn)）3.會(huì)利用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問(wèn)題.（難點(diǎn)）

問(wèn)題1

什么叫做平方根?

一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根.問(wèn)題2

什么叫做算術(shù)平方根?

如果x2=a（x≥0），那么x稱為a的算術(shù)平方根.用表示.問(wèn)題3

什么數(shù)有算術(shù)平方根?我們知道,負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開(kāi)平方時(shí)，被開(kāi)方數(shù)只能是正數(shù)或0.問(wèn)題引入思考

用帶根號(hào)的式子填空，這些結(jié)果有什么特點(diǎn)？(1)若面積為3的正方形,則邊長(zhǎng)為_(kāi)____m；若面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)____m．(2)一個(gè)長(zhǎng)方形的圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為_(kāi)____m．新知探究（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t（單位：s）與開(kāi)始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t為_(kāi)____．新知探究問(wèn)題1

這些式子分別表示什么意義？分別表示2，S，3，的算術(shù)平方根．上面問(wèn)題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．

①根指數(shù)都為2;②被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù).問(wèn)題2

這些式子有什么共同特征？二次根式的概念及有意義的條件1新知探究

一般地，我們把形如

的式子叫做二次根式.

“”稱為二次根號(hào).兩個(gè)必備特征①外貌特征：含有“”②內(nèi)在特征：被開(kāi)方數(shù)a

≥0注意：a可以是數(shù)，也可以是式.新知探究

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于“非負(fù)數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號(hào)被開(kāi)方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)二次根式不是二次根式是是否否分析：例1典例解析

當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有

意義?解：由x-2≥0，得x≥2.當(dāng)x≥2時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.例2典例解析【變式題1】

當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：由題意，得x-1＞0，∴x＞1.典例解析解：∵被開(kāi)方數(shù)需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.

歸納：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開(kāi)方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時(shí)，應(yīng)同時(shí)考慮分母不為零.典例解析【變式題2】

當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：(1)∵無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，∴當(dāng)x=1時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.(2)∵無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都無(wú)意義.

歸納：被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，需要對(duì)組成多項(xiàng)式的項(xiàng)進(jìn)行恰當(dāng)分組湊成含完全平方的形式，再進(jìn)行分析討論.典例解析(1)單個(gè)二次根式如有意義的條件：A≥0；(2)多個(gè)二次根式相加如有意義的條件：(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：

A＞0；(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：

A≥0且B≠0.歸納小結(jié)1.下列各式：.

一定是二次根式的有（）A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)B2.(1)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_______;(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

練一練問(wèn)題1

當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？前者x為全體實(shí)數(shù)；后者x為正數(shù)和0.當(dāng)a＞0時(shí)，表示a的算術(shù)平方根，因此＞0；當(dāng)a=0時(shí)，表示0的算術(shù)平方根，因此=0.這就是說(shuō)，當(dāng)a≥0時(shí)，≥0.問(wèn)題2

二次根式的被開(kāi)方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？二次根式的雙重非負(fù)性2新知探究二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對(duì)于任意一個(gè)二次根式，我們知道：（1）a為被開(kāi)方數(shù)，為保證其有意義，可知a≥0；（2）表示一個(gè)數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.

二次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)二次根式的值非負(fù)二次根式的雙重非負(fù)性新知探究若，求a-b+c的值.解：

由題意可知，a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.歸納：多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個(gè)非負(fù)數(shù)均為零.初中階段學(xué)過(guò)的非負(fù)數(shù)主要有絕對(duì)值、偶次冪及二次根式.例3典例解析

已知y=,求3x+2y的算術(shù)平方根.解：由題意，得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算術(shù)平方根為5，∴3x+2y的算術(shù)平方根為5．例4典例解析【變式題】已知a、b為等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)，且a、b滿足，求此三角形的周長(zhǎng)．解：由題意，得∴a=3，∴b=4.當(dāng)a為腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為3+3+4=10；當(dāng)b為腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為4+4+3=11．歸納：若，則根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0，可得a=0.典例解析已知|3x-y-1|和互為相反數(shù)，求x+4y的平方根．解：由題意，得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根為±3.練一練2.式子有意義的條件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.當(dāng)x=____時(shí)，二次根式取最小值，其最小值為_(kāi)_____．1.下列式子中，不屬于二次根式的是（）CA-10當(dāng)堂練習(xí)4.當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：當(dāng)堂練習(xí)5.(1)若二次根式有意義，求m的取值范圍．解：由題意，得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，∴m＞2．(2)無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，求m的取值范圍．解：由題意，得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.當(dāng)堂練習(xí)6.若x、y是實(shí)數(shù)，且y＜,求的值.

解：根據(jù)題意，得∴x=1.∵y＜,∴y＜，∴

.當(dāng)堂練習(xí)7.先閱讀，后回答問(wèn)題：當(dāng)x為何值時(shí)，有意義？解：由題意，得x(x-1)≥0.由乘法法則，得或解得x≥1或x≤0，即當(dāng)x≥1或x≤0時(shí)，有意義.x≥0,x-1≥0,x≤0,x-1≤0,當(dāng)堂練習(xí)體會(huì)解題思想后，試著解答：當(dāng)x為何值時(shí)，有意義？解：由題意,得則解得x≥2或x＜，即當(dāng)x≥2或x＜時(shí)，有意義．當(dāng)堂練習(xí)二次根式定義帶有二次根號(hào)在有意義條件下求字母的取值范圍抓住被開(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，從而建立不等式求出其解集被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)二次根式的雙重非負(fù)性二次根式中,a≥0且

≥0課堂小結(jié)二、

二次根式的乘除運(yùn)算

二次根式的乘法二次根式的除法分母有理化最簡(jiǎn)二次根式知1－導(dǎo)計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?1知識(shí)點(diǎn)二次根式的乘法歸納計(jì)算下列各式：例1解：知1－講總

結(jié)1.兩個(gè)二次根式相乘，被開(kāi)方數(shù)的積中有開(kāi)得盡方的一定要開(kāi)方；2.當(dāng)二次根式根號(hào)外有因數(shù)(式)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算，如(b≥0，d≥0)，即將根號(hào)外的因數(shù)(式)與根號(hào)外的因數(shù)(式)相乘的積作為積的系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)與被開(kāi)方數(shù)相乘的積作為積的被開(kāi)方數(shù)．知1－講1計(jì)算：（來(lái)自《點(diǎn)撥》）導(dǎo)引：(1)(2)兩題直接利用公式

(a≥0，b≥0)計(jì)算；(3)(4)兩題要利用乘法交換律和結(jié)合律，將二次根式根號(hào)外的因數(shù)(式)和兩個(gè)二次根式分別相乘，同時(shí)注意確定積的符解：2

【中考·河池】計(jì)算：

3

【中考·安徽】計(jì)算

的結(jié)果是(

)A.

B．4C. D．23B二次根式的除法2知識(shí)點(diǎn)1.計(jì)算：知2－導(dǎo)2.根據(jù)上題計(jì)算結(jié)果，用“＞”、“＜”或“＝”填空：綜上所述，二次根式的除法法則:_______________.當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，類比單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算：即系數(shù)之商作為商的_______，被開(kāi)方數(shù)之商為_(kāi)______.歸納(a≥0，b＞0).計(jì)算下列各式：例2解：總

結(jié)利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算，被開(kāi)方數(shù)相除時(shí)，可以用“除以一個(gè)不為零的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分、化簡(jiǎn)．1計(jì)算:(a＞1，b＞0).導(dǎo)引：(1)直接利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算；(2)(4)要注意根號(hào)外的因數(shù)與因數(shù)相除，同時(shí)要注意結(jié)果的符號(hào)；(3)進(jìn)行計(jì)算時(shí)需先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)．解：2成立的條件是(

)A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)≥1且a≠3C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)≥3知2－練D3計(jì)算

的結(jié)果是(

)A. B.C. D.知2－練C分母有理化3知識(shí)點(diǎn)請(qǐng)就小明和大剛分別計(jì)算

的做法給予評(píng)價(jià)，并談?wù)勀愕南敕?小明的做法(先運(yùn)算后化簡(jiǎn))解：大剛的做法(先化簡(jiǎn)后運(yùn)算)解：歸納在本例的解答過(guò)程中，將分別化成了

也就是將分母中含二次根式的式子化為分母中不含二次根式的式子.像這樣，把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.去掉下列各式分母中的二次根式：例3導(dǎo)引：要想將分母有理化，其實(shí)質(zhì)是將分子、分母同乘一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)(式)，使分母轉(zhuǎn)化為

的形式．(1)分子、分母同乘

(2)有多種方法：可以先運(yùn)用二次根式的除法法則，再把被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，也可以先分別把分子、分母進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將分子、分母同乘一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)(式)，化去分母中的根式；(3)分子、分母同乘(4)分子、分母同乘解：總

結(jié)

分母有理化的一般步驟：“一移”，即將分子、分母中能開(kāi)得盡方的因數(shù)(式)開(kāi)方后移到根號(hào)外；“二乘”，即將分子、分母同乘分母的有理化因數(shù)(式)；“三化”，即化簡(jiǎn)計(jì)算．1將下列各式分母中的二次根式去掉：(1) (2)(3) (4)解：2

【中考·上?！吭谙铝懈魇街?，二次根式

的有理化因式是(

)A.

B.C. D.C3化簡(jiǎn)的結(jié)果是(

)A. B.C. D.D5.最簡(jiǎn)二次根式滿足兩個(gè)條件：被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)中不能含開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式1.在應(yīng)用二次根式的乘、除法法則時(shí)要注意不要忽略法則成立的條件，尤其在除法法則中，b既是被開(kāi)方數(shù)，又在分母的位置，所以b一定是正數(shù)．2.當(dāng)二次根式根號(hào)外有因數(shù)或因式時(shí)，可以類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式(或單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式)的法則計(jì)算，在二次根式的計(jì)算中，最后的結(jié)果應(yīng)不含開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，同時(shí)分母中不能含有二次根式．3.最簡(jiǎn)二次根式3.法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即：4.與前面學(xué)習(xí)二次根式的乘法法則類似，將式子(a≥0，b＞0)兩邊的式子交換一下，我們又得到了商的算術(shù)平方根的件質(zhì).商的算術(shù)平方根的件質(zhì)：(a≥0，b＞0)，可以敘述為兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根，等于被除數(shù)的算術(shù)平方根除以除數(shù)的算術(shù)平方根.三、二次根式的加減同類二次根式二次根式的加減回顧舊知把下列式子化成最簡(jiǎn)二次根式；

這兩組式子有什么特點(diǎn)？引入新知幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。探究思考1？如何計(jì)算：

探究思考2？如何計(jì)算：

它們兩個(gè)能夠合并嗎？

探究思考3能合并嗎？

它們兩個(gè)能夠合并嗎？

呢？說(shuō)說(shuō)你的想法?知識(shí)梳理二次根式加減時(shí)，先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。課堂練習(xí)例1下列根式中，不能與

合并的是(

)A.

B.