第2課時(shí)　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) 高一數(shù)學(xué)

2.1

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第2課時(shí)

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)1.你能說(shuō)出等式有哪些基本性質(zhì)嗎?提示:性質(zhì)1.如果a=b,那么b=a;性質(zhì)2.如果a=b,b=c,那么a=c;性質(zhì)3.如果a=b,那么a±c=b±c;性質(zhì)4.如果a=b,那么ac=bc;2.類比等式的基本性質(zhì),你能猜想到不等式的哪些基本性質(zhì)?提示:性質(zhì)1

如果a>b,那么b<a;性質(zhì)2

如果a>b,b>c,那么a>c;性質(zhì)3

如果a>b,那么a±c>b±c;性質(zhì)4

如果a>b,c>0,那么ac>bc;

如果a>b,c<0,那么ac<bc.3.

4.(1)設(shè)b<a,d<c,則下列不等式一定成立的是(

)A.a-c>b-d

B.ac>bdC.a+c>b+d

D.a+d>b+c(2)如果a>b,那么下列不等式一定成立的是(

)A.c-a>c-b

B.-2a>-2bC.a+c>b+c

D.a2>b2解析:(1)由b<a,d<c,利用性質(zhì)5,得b+d<a+c.(2)由a>b,利用性質(zhì)3,得a+c>b+c.答案:(1)C

(2)C【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.

合作探究·釋疑解惑探究一

利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假【例1】

判斷下列四個(gè)命題的真假:(1)若a<b<0,則(2)若a>b>c,則有a|c|>b|c|;(3)若a>b,c<d,則有a-c>b-d;(4)若b<a<0,n∈N,n>1,且n為奇數(shù),則有an>bn.∴該命題是假命題.(2)∵a>b,|c|≥0,當(dāng)c≠0時(shí),|c|>0,∴a|c|>b|c|;當(dāng)c=0時(shí),|c|=0,∴a|c|=b|c|=0.∴該命題是假命題.(3)∵c<d,∴-c>-d.又a>b,∴a+(-c)>b+(-d).即a-c>b-d.∴該命題是真命題.(4)∵b<a<0,∴-b>-a>0.∴(-b)n>(-a)n(n∈N,n>1).∵n為奇數(shù),∴-bn>-an,∴an>bn.∴該命題是真命題.反思感悟1.運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假時(shí),要注意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能想當(dāng)然地隨意捏造性質(zhì).2.解有關(guān)不等式的選擇題時(shí),也可采用特殊值法進(jìn)行排除,注意取值一定要遵循如下原則:一是滿足題設(shè)條件;二是取值要簡(jiǎn)單,便于驗(yàn)證計(jì)算.【變式訓(xùn)練1】

(多選題)已知a,b,c滿足c<b<a,且ac<0,則下列不等式一定成立的是(

)答案:ABD探究二

利用不等式的性質(zhì)證明不等式【例2】

(1)已知a>b,e>f,c>0,求證:f-ac<e-bc;分析:根據(jù)條件選擇合適的不等式的基本性質(zhì)證明有關(guān)不等式.反思感悟用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明時(shí)要善于尋找欲證不等式與已知條件的關(guān)系,利用相應(yīng)的不等式性質(zhì)證明;要注意觀察一個(gè)不等式是不是在某個(gè)已知條件的兩邊同乘(除以)一個(gè)不為0的常數(shù);一個(gè)不等式是不是某兩個(gè)同向不等式相加得到的;一個(gè)不等式是不是將一個(gè)不等式的兩邊取了倒數(shù)而得到的等等.探究三

利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【例3】

已知-1<x<4,2<y<3.(1)求x-y的取值范圍;(2)求3x+2y的取值范圍.解:(1)因?yàn)?1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.(2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.將本例條件改為“-1<x<y<3”,求x-y的取值范圍.解:因?yàn)?1<x<3,-1<y<3,所以-3<-y<1,所以-4<x-y<4.又x<y,所以x-y<0,所以-4<x-y<0.反思感悟1.利用幾個(gè)不等式的取值范圍來(lái)確定某代數(shù)式的取值范圍是一類常見(jiàn)的綜合問(wèn)題,解題時(shí)要緊扣不等式的基本性質(zhì),不能直接將幾個(gè)已知不等式相加減或相乘除.2.注意提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【變式訓(xùn)練3】

若x>1,y>2,則:(1)2x+y>

;

(2)xy>

.

答案:(1)4

(2)2易

錯(cuò)

辨

析錯(cuò)用不等式的性質(zhì)致錯(cuò)【典例】

已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍.錯(cuò)解:1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4,②以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但實(shí)際上答案是錯(cuò)誤的.那到底是為什么呢?我們先看不等式4a-2b≥3什么時(shí)候取等號(hào),由上述解題過(guò)程可知,當(dāng)

,才取等號(hào),而此時(shí)a-b=0,不滿足①式,因此4a-2b是不能等于3的.同理可驗(yàn)證4a-2b也不能等于12.出現(xiàn)上述錯(cuò)誤的原因是“同向不等式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向”這一性質(zhì)是單向的,用它來(lái)做變形,是非同解變形,因此結(jié)論是錯(cuò)誤的.防范措施1.建立待求取值范圍的整體與已知取值范圍的整體的關(guān)系,利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算,求得待求的取值范圍.2.同向(異向)不等式的兩邊可以相加(減