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名師原創(chuàng)文科數(shù)學(xué)專題卷專題五導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)13:導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算(1,2題)考點(diǎn)14:導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(3-11題,13-15題,17-22題)考點(diǎn)15:定積分的計(jì)算(12題,16題)考試時(shí)間:120分鐘滿分:150分說(shuō)明:請(qǐng)將選擇題正確答案填寫在答題卡上,主觀題寫在答題紙上第I卷(選擇題)一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。)1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是()A.B.C.D.2.已知,為的導(dǎo)函數(shù),則的圖像是()3.若是函數(shù)的極值點(diǎn),則的極小值為()A.B.C.D.14.若曲線的一條切線為,其中為正實(shí)數(shù),則的取值范圍是()A.B.C.D.5.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,若也與函數(shù),的圖象相切,則必滿足()A.B.C.D.6.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,且對(duì)恒成立,則下列函數(shù)在實(shí)數(shù)集內(nèi)一定是增函數(shù)的為()A.B.C.D.7.已知函數(shù)與的圖象如圖所示,則函數(shù)的遞減區(qū)間為()A.B.C.D.8.定義在上的函數(shù)滿足:,,是的導(dǎo)函數(shù),則不等式(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為()A.B.C.D.9.已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則a=()A. B. C. D.110.已知函數(shù)的定義域?yàn)?為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),且,.則下列說(shuō)法一定正確的是()A.B.CD.11.已知函數(shù)在上的最大值為,當(dāng)時(shí),恒成立,則的取值范圍是()A.B.C.D.12.已知,,為的導(dǎo)函數(shù),若,且,則的最小值為()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非選擇題)二.填空題(每題5分,共20分)13.已知函數(shù),求曲線在點(diǎn)處的切線方程____________14.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15.若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)存在極值,則實(shí)數(shù)的取值范圍.16.如圖,陰影部分的面積是_________.三.解答題(共70分)17.(本題滿分10分)已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),….(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;(Ⅱ)若,不等式恒成立,求的取值范圍.18.(本題滿分12分)已知函數(shù),().(Ⅰ)記的極小值為,求的最大值;(Ⅱ)若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有,求的取值范圍.19.(本題滿分12分)已知函數(shù).(1)求的最大值;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值.記的最小值為,求函數(shù)的值域.20.(本題滿分12分)已知函數(shù).(1)若是在定義域內(nèi)的增函數(shù),求的取值范圍;(2)若函數(shù)(其中為的導(dǎo)函數(shù))存在三個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.21.(本題滿分12分)已知函數(shù)是的導(dǎo)數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),.(Ⅰ)求的解析式及極值;(Ⅱ)若,求的最大值.22.(本題滿分12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
參考答案1.D【解析】由題意得,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為.2.A【解析】由題意得,,所以,所以函數(shù)為奇函數(shù),即函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),恒成立,故選A.3.【答案】A【解析】4.C【解析】設(shè)切點(diǎn)為,則有,,,故選C.5.D【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在點(diǎn)處的切線斜率為,切線方程為,設(shè)切線與相交的切點(diǎn)為,(),由的導(dǎo)數(shù)為可得,切線方程為,令,可得,由可得,且,解得由,可得,令在遞增,且,則有的根,故選D.6.D【解析】設(shè),則.對(duì)恒成立,且.在上遞增.7.D【解析】,令即,由圖可得,故函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為,故選D.8.A【解析】設(shè)在定義域上單調(diào)遞增,又∴不等式的解集為.9.【答案】C【解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,設(shè),當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,10.B【解析】令,則.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即,所以,所以在上單調(diào)遞增.又,,所以,所以,,故為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,所以.即,故選B.11.B【解析】,所以在上是增函數(shù),上是減函數(shù)在上恒成立,由知,,所以恒成立等價(jià)于在,時(shí)恒成立,令,有,所以在上是增函數(shù),有,所以.12.C【解析】∵,∴,∵,,∴,∴,∵,,∴,當(dāng)且,即時(shí)等號(hào)成立,故選C.13.【解析】,所以,切線方程為即14.【解析】因?yàn)楹瘮?shù),所以,因?yàn)樵谏洗嬖趩握{(diào)遞增區(qū)間,所以,即有解,令,則,則,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以.15.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?,解得或(不在定義域內(nèi)舍),所以要使函數(shù)在子區(qū)間內(nèi)存在極值等價(jià)于,即,解得,答案為.16.【解析】由題意得,直線與拋物線,解得交點(diǎn)分別為和,拋物線與軸負(fù)半軸交點(diǎn),設(shè)陰影部分的面積為,則.17.(Ⅰ)理由見(jiàn)解析;(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由題可知,,則,(i)當(dāng)時(shí),,函數(shù)為上的減函數(shù),(ii)當(dāng)時(shí),令,得,,則,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù);②若,則,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).………………(4分)(Ⅱ)由題意,問(wèn)題等價(jià)于,不等式恒成立,即,恒成立,令,則問(wèn)題等價(jià)于不小于函數(shù)在上的最大值.………………(6分)由,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,……………(8分)所以函數(shù)在的最大值為,故,不等式恒成立,實(shí)數(shù)的取值范圍為.…………(10分)18.(Ⅰ)(Ⅱ)的取值范圍是.【解析】(Ⅰ)函數(shù)的定義域是,.在定義域上單調(diào)遞增。,得,所以的單調(diào)區(qū)間是,函數(shù)在處取極小值,.,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減.所以是函數(shù)在上唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以.…………………….(6分)(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,恒成立.當(dāng)時(shí),,即,即.令,,,當(dāng)時(shí),,當(dāng),故的最小值為,所以,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.,,,由上面可知恒成立,故在上單調(diào)遞增,所以,即的取值范圍是.………………(12分)19.(1);(2).【解析】(1)f′(x)=eq\f(1-lnx,x2)(x>0),當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=e時(shí),f(x)取得最大值f(e)=eq\f(1,e).………(3分)(2)g′(x)=lnx-ax=x(eq\f(lnx,x)-a),由(1)及x∈(0,e]得:=1\*GB3①當(dāng)a=eq\f(1,e)時(shí),eq\f(lnx,x)-a≤0,g′(x)≤0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x=e時(shí),g(x)取得最小值g(e)=h(a)=-eq\f(e,2)......................(5分)=2\*GB3②當(dāng)a∈[0,eq\f(1,e)),f(1)=0≤a,f(e)=eq\f(1,e)>a,所以存在t∈[1,e),g′(t)=0且lnt=at,當(dāng)x∈(0,t)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(t,e]時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)的最小值為g(t)=h(a)....................................(7分)令h(a)=G(t)=eq\f(tlnt,2)-t,因?yàn)镚′(t)=eq\f(lnt-1,2)<0,所以G(t)在[1,e)單調(diào)遞減,此時(shí)G(t)∈(-eq\f(e,2),-1]....(11分)綜上,h(a)∈[-eq\f(e,2),-1]............................................(12分)20.(1)(2)【解析】(1)因?yàn)?,所以函?shù)的定義域?yàn)椋?,由得即?duì)于一切實(shí)數(shù)都成立.再令,則,令得.而當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí)取得極小值也是最小值,即.所以的取值范圍是.……(6分)(2)由(1)知,所以由得,整理得.令,則,令,解得或.列表得:由表可知當(dāng)時(shí),取得極大值;當(dāng)時(shí),取得極小值.又當(dāng)時(shí),,,所以此時(shí).因此當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;因此滿足條件的取值范圍是.……(12分)21.(Ⅰ);的極大值為,無(wú)極小值;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由已知得,令,得,即
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