18.2 平行四邊形的判定（解析版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》18.2平行四邊形的判定知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一平行四邊形的判定◆1、平行四邊形的判定方法類(lèi)別判定方法圖形幾何語(yǔ)言邊兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.∴AB∥CD，AD∥BC，∵四邊形ABCD是平行四邊形.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.∵AB=CD，AD=CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.角兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形.對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形.∵AO=CO，DO=BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形.◆2、平行四邊形有5種判定方法，在判定一個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇哪一種方法需要根據(jù)具體情況而定，當(dāng)幾種方法都能判定時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.◆3、平行四邊形的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：由平行四邊形這一條件得到邊、角、對(duì)角線(xiàn)的關(guān)系是性質(zhì).由邊、角、對(duì)角線(xiàn)的關(guān)系得到平行四邊形是判定.聯(lián)系：平行四邊形的性質(zhì)題設(shè)和結(jié)論正好與判定的題設(shè)和結(jié)論相反，它們構(gòu)成互逆的關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)二三角形的中位線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)二三角形的中位線(xiàn)◆1、定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn).幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線(xiàn).◆2、性質(zhì)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.幾何語(yǔ)言：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，且DE=12BC◆3、一個(gè)三角形有三條中位線(xiàn)，如圖DE,DF,EF都是△ABC的中位線(xiàn)，中位線(xiàn)是一條線(xiàn)段.◆4、三角形的三條中位線(xiàn)把原三角形分成四個(gè)全等的小三角形，三個(gè)面積相等的平行四邊形；四個(gè)全等小三角形的周長(zhǎng)都是原三角形周長(zhǎng)的一半.◆5、三角形的中線(xiàn)與中位線(xiàn)相同點(diǎn)：都是與中點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段.不同點(diǎn)：中位線(xiàn)是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段.中線(xiàn)是連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段.題型一題型一利用定義進(jìn)行平行四邊形的判定【例題1】如圖，E是四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且AB∥CD，則下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D【分析】利用平行線(xiàn)的判定方法及平行四邊形的判定可得出答案．【解答】解：A．∵∠D＝∠5，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A選項(xiàng)不符合題意；B．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故B選項(xiàng)不符合題意；C．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故C選項(xiàng)符合題意；D．∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線(xiàn)的判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線(xiàn)的判定方法是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉當(dāng)已知條件中涉及或易得出四邊形的對(duì)邊分別平行時(shí)，應(yīng)考慮使用平行四邊形的定義這種判定方法.【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，則應(yīng)增加的條件是（）A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°【分析】先證AB∥CD，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【解答】解：應(yīng)增加的條件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下：∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、平行線(xiàn)的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF與GH交于點(diǎn)O，則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴圖中平行四邊形有：?ABCD，?ABHG，?CDGH，?BCFE，?ADFE，?AGOE，?BEOH，?OFCH，?OGDF共9個(gè)．即共有9個(gè)平行四邊形．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是邊BC上一點(diǎn)，且DE＝DC．求證：四邊形ABED是平行四邊形．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得∠DEC＝∠C，再證∠B＝∠DEC，則AB∥DE，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】已知：如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，連結(jié)BE．求證：四邊形BEFC為平行四邊形．【分析】證△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再證∠EBC+∠BCA＝180°，則BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠EBA＝∠DCA＝60°，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，∴∠EBC+∠BCA＝180°，∴BE∥CF，又∵EF∥BC，∴四邊形BEFC為平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定，證明△ABE≌△ACD是解題的關(guān)鍵．題型二利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定題型二利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定【例題2】（2022?鞍山）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】結(jié)合已知條件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS證得△ABE≌△CDF，則其對(duì)應(yīng)邊相等：AB＝CD；最后根據(jù)“對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．【解答】證明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE與△CDF中，∠BAE=∠DCF∠AEB=∠CFD=90°∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．解題技巧提煉已知一組對(duì)邊平行，可通過(guò)證明這組對(duì)邊相等來(lái)證明平行四邊形，“一組對(duì)邊平行且相等”與“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”不同，前者指的是同一組對(duì)邊，后者指的不是同一組對(duì)邊，不能用來(lái)判定平行四邊形.【變式2-1】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，已知AB＝CD，添加列其中一個(gè)條件，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD【分析】由平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】解：添加一個(gè)條件，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是∠ABD＝∠BDC，理由如下：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD，又∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題且相等的四邊形為平行四邊形”是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022?海淀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=12BC，連接DE、CD、EF【分析】證明DE是△ABC的中位線(xiàn)，得DE∥BC，DE=12BC，再證明DE＝【解答】證明：∵點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE∥BC，DE=12∵CF=12∴DE＝CF，又∵DE∥CF，∴四邊形DCFE是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定以及三角形中位線(xiàn)定理，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022春?舒城縣校級(jí)月考）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，以O(shè)D，CD為鄰邊作平行四邊形DOEC，OE交BC于點(diǎn)F，連接BE．求證：四邊形ABEO是平行四邊形．【分析】與證明四邊形ABEO是平行四邊形，只需推知AB＝OE且AB∥OE即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD和四邊形DOEC都是平行四邊形，∴AB∥CD且AB＝CD，OE∥CE且OE＝DC，∴AB∥OE且AB＝OE．∴四邊形ABEO是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行四邊形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)角線(xiàn)互相平分及它的判定，是我們證明直線(xiàn)的平行、線(xiàn)段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線(xiàn)平行和兩線(xiàn)段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線(xiàn)、線(xiàn)段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．【變式2-4】（2021?射陽(yáng)縣二模）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線(xiàn)上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）連接AD，求證：四邊形ACFD是平行四邊形．【分析】（1）由SAS證明△ABC≌△DEF即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AC＝DF，∠ACB＝∠F，則AC∥DF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，∠ACB＝∠F，∴AC∥DF，∴四邊形ACFD是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定，證明△ABC≌△DEF是解題的關(guān)鍵．題型三利用兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定題型三利用兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定定【例題3】（2022春?南召縣期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，與線(xiàn)段EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，連接CE、BD．求證：四邊形DBEC是平行四邊形．【分析】先證明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可證四邊形BECD是平行四邊形【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴BF＝CF，在△DCF和△EBF中，∠CDF=∠FEB∠DCF=∠EBF∴△EBF≌△DCF（AAS），∴DC＝BE，∴四邊形BECD是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì).解題技巧提煉當(dāng)出現(xiàn)的已知要證明的四邊形有一組對(duì)邊相等，可選擇證另一組對(duì)邊相等，利用“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)判定.【變式3-1】下面給出的是四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的長(zhǎng)度之比，其中能滿(mǎn)足四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3【分析】?jī)山M對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故只有選項(xiàng)D能判定是平行四邊形．其它三個(gè)選項(xiàng)不能滿(mǎn)足兩組對(duì)邊相等，故不能判定．【解答】解：根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定，運(yùn)用了兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形這一判定方法．【變式3-2】如圖，已知四邊形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分別為C、A，AD＝BC．（1）求證：Rt△ACD≌Rt△CAB．（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)HL可證明Rt△ACD≌Rt△CAB．（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝DC，AD＝BC，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）在Rt△ACD和Rt△CAB中，AD=BCAC=CA∴Rt△ACD≌Rt△CAB（HL）；（2）∵△ACD≌△CAB，∴AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和鍵．【變式3-3】如圖，以平行四邊形ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，由等邊三角形的性質(zhì)得出BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，證明△ADE≌△CBF（SAS），得出DE＝BF，則可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，∵△ABE和△CDF是等邊三角形，∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，∴∠DCB﹣∠DCF＝∠DAB﹣∠BAE，即∠DAE＝∠FCB，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠DAE=∠BCF∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF，又∵BE＝DF，∴四邊形BFDE為平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行四邊形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．題型四利用兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定題型四利用兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定定【例題4】一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)依次為88°，92°，88°，92°，我們判定其為平行四邊形的依據(jù)是（）A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B．兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形 C．對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形 D．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形【分析】根據(jù)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形即可得出結(jié)論．【解答】解：∵一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)依次為88°，92°，88°，92°，∴度數(shù)為88°的兩個(gè)內(nèi)角是一組相等的對(duì)角，度數(shù)為92°的兩個(gè)內(nèi)角是另一組相等的對(duì)角，∴這個(gè)四邊形是平行四邊形（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定．熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉當(dāng)已知條件出現(xiàn)在要證明的四邊形的角上時(shí)，可選擇“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”的判定方法來(lái)證明.【變式4-1】下面給出的四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（）A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3【分析】由于平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等，故只有A能判定是平行四邊形．其它三個(gè)選項(xiàng)不能滿(mǎn)足兩組對(duì)角相等，故不能判定．【解答】解：根據(jù)平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等，可知A正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了形這一判定方法．【變式4-2】如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】證出AB∥CD，AD∥BC，根據(jù)平行四邊形的判定可得出結(jié)論．【解答】證明：∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴∠B+∠DCB＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠D+∠DCB＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，平行線(xiàn)的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∠DEF＝∠CFG．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的判定得出AD∥BC，進(jìn)而利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和平行四邊形的判定解答即可．【解答】證明：∵∠DEF＝∠CFG，∴AD∥BC，∴∠D＝∠DCF，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCF，∴AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行四邊形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形解答．題型五利用對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定題型五利用對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定定【例題5】（2022?天河區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，（1）求證；四邊形ABCD為平行四邊形；（2）求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）由勾股定理可求AO＝13，可得AO＝CO＝13，即可得出四邊形ABCD是平行四邊形；（2）由平行四邊形面積公式即可求解．【解答】（1）證明：∵∠ADB＝90°，∴AO=AO∵AC＝26，∴CO＝AO＝13，∵OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，BD＝2OD＝10，∴四邊形ABCD的面積＝AD×BD＝12×10＝120．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理；證明四邊形ABCD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉當(dāng)要證明的四邊形的對(duì)角線(xiàn)交于一點(diǎn)，且易得出其對(duì)角線(xiàn)互相平分時(shí)，應(yīng)選擇用“對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形”的判定方法來(lái)證明.【變式5-1】（2022春?巴中期末）已知：如圖，四邊形ABCD中，AO＝OC，要使四邊形ABCD為平行四邊形，需添加一個(gè)條件是：．（只需填一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）【分析】根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形的四邊形可知：添加BO＝DO可以使四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】解：添加BO＝DO，∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：BO＝DO．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定：1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義判定法）；2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5、對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形．【變式5-2】（2021春?柳南區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】利用邊角邊定理證得△DEC≌△FEB，從而得到DC＝BF，∠C＝∠EBF，進(jìn)一步得到AB∥DC，然后得到DC＝AB，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形ABCD為平行四邊形即可．【解答】證明：在△DEC與△FEB中，∠CDE=∠F∠DEC=∠BEF∴△DEC≌△FEB（AAS），∴DC＝BF，∠C＝∠EBF，∴AB∥DC，∵AB＝BF，∴DC＝AB，∴四邊形ABCD為平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，直線(xiàn)AE交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．試判斷四邊形ABFC的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠BAE＝∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出對(duì)應(yīng)邊相等AE＝EF，再利用平行四邊形的判定得出即可．【解答】解：四邊形ABFC是平行四邊形；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，∠BAE=∠CFE∠AEB=∠FEC∴△ABE≌△FCE（AAS）；∴AE＝EF，又∵BE＝CE∴四邊形ABFC是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2021春?黑山縣期末）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分別是OC，OD中點(diǎn)．（1）求證：OD＝OC．（2）求證：四邊形AFBE平行四邊形．【分析】（1）利用已知條件和全等三角形的判定方法即可證明△AOC≌△BOD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．（2）此題已知OA＝OB，要證四邊形AFBE是平行四邊形，根據(jù)全等三角形，只需證OE＝OF就可以了．【解答】證明：（1）∵AC∥BD，∴∠C＝∠D，在△AOC和△BOD中，∠C=∠D∠COA=∠DOB∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OD＝OC；（2）∵OD＝OC，∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，∴OF=12OD，OE=∴EO＝FO，又∵OA＝OB，∴四邊形AFBE是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀(guān)察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法．題型六應(yīng)用中位線(xiàn)定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)度題型六應(yīng)用中位線(xiàn)定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)度定【例題6】如圖，在?ABCD中，AD＝10，點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，則EF等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，可得BC＝AD＝10，又由點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝10，∵點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，∴EF=12BC=12故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解題技巧提煉運(yùn)用中位線(xiàn)定理求線(xiàn)段長(zhǎng)的方法：當(dāng)題目有中點(diǎn)，特別是一個(gè)三角形中出現(xiàn)兩邊中點(diǎn)時(shí)，?？紤]用三角形的中位線(xiàn)來(lái)解決，先證出它是三角形的中位線(xiàn)，在利用中位線(xiàn)構(gòu)造線(xiàn)段之間的關(guān)系，并由此建立待求線(xiàn)段與已知線(xiàn)段的聯(lián)系，從而求出線(xiàn)段長(zhǎng).【變式6-1】（2022秋?任城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC＝16，F(xiàn)是線(xiàn)段DE上一點(diǎn)，連接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，則AC的長(zhǎng)度是．【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到DE=12BC＝8，根據(jù)題意求出EF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出【解答】解：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE=12BC＝∵DE＝4DF，∴DF=14DE＝∴EF＝DE﹣DF＝6，∵∠AFC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2EF＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線(xiàn)定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分別是其角平分線(xiàn)和中線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為（）A．12 B．1 C．72 D【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F為GC中點(diǎn)，再由已知條件可得EF為△CBG的中位線(xiàn)，利用中位線(xiàn)的性質(zhì)即可求出線(xiàn)段EF的長(zhǎng)．【解答】解：∵AD是△ABC角平分線(xiàn)，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG＝AC＝3，GF＝CF，∵AB＝4，AC＝3，∴BG＝1，∵AE是△ABC中線(xiàn)，∴BE＝CE，∴EF為△CBG的中位線(xiàn)，∴EF=12BG故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．【變式6-3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位線(xiàn)，延長(zhǎng)DE交△ABC的外角∠ACM的平分線(xiàn)于點(diǎn)F，則線(xiàn)段DF的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理求出DE，得到DF∥BM，再證明EC＝EF=12【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC=AB∵DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DF∥BM，DE=12BC＝∴∠EFC＝∠FCM，∵∠FCE＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，∴EC＝EF=12AC＝∴DF＝DE+EF＝3+5＝8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線(xiàn)定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考常考題型．【變式6-4】如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（）A．12 B．14 C．24 D．21【分析】利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH＝FG=12BC，EF＝GH=【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC=BD∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，∴EH＝FG=12BC，EF＝GH=∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝7，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)＝7+5＝12．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式6-5】（2022春?順德區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度數(shù)．【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝12，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠ADB，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，計(jì)算即可．【解答】解：連接BD，∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，EF＝6，∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，∴∠ADB＝∠AFE＝50°，在△BDC中，BD2+CD2＝122+92＝225，BC2＝225，則BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°+50°＝140°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線(xiàn)定理、勾股定理的逆定理，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．題型七應(yīng)用中位線(xiàn)定理推理證明題型七應(yīng)用中位線(xiàn)定理推理證明定【例題7】如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.【分析】連接AC，由三角形的中位線(xiàn)定理可得EF=12AC，EF∥AC；GH=12AC，GH∥AC；于是可得EF=GH，EF∥GH【解答】證明：連接AC,∵E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD的中點(diǎn),∴EF，HG分別是△BCA和△DCA的中位線(xiàn),∴EF∥AC，HG∥AC，且EF=12AC=HG∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中點(diǎn)四邊形、平行四邊形的判定，根據(jù)三角形中線(xiàn)定義找出EF∥HG、EF=HG是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉當(dāng)題中出現(xiàn)有三角形的中點(diǎn)時(shí)，聯(lián)想到三角形中位線(xiàn)定理，應(yīng)用定理證明兩直線(xiàn)的位置關(guān)系或線(xiàn)段之間的關(guān)系.有時(shí)需要添加輔助線(xiàn)構(gòu)造.【變式7-1】（2022?濉溪縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知，如圖△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E為AD的中點(diǎn)，CE延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)F．求證：AF=12【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥CF，交AB于點(diǎn)G，易證EF是△AGD的中位線(xiàn)，DG是△BCF的中位線(xiàn)，得AF＝GF＝BG，即可得出結(jié)論．【解答】證明：過(guò)點(diǎn)D作DG∥CF，交AB于點(diǎn)G，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD＝CD，∴DG是△BCF的中位線(xiàn)，∴BG＝GF，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，EF∥GD，∴EF是△ADG的中位線(xiàn)，∴AF＝GF，∴AF＝GF＝BG，∴AF=12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的添加輔助線(xiàn)得到AF＝GF＝BG．【變式7-2】（2022春?寧都縣期末）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別為BD、AC的中點(diǎn)．請(qǐng)你判斷EF與GH的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】連接EG、GF、FH、EH，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到EG=12AB，EG∥AB，F(xiàn)H=12AB，F(xiàn)H∥AB，進(jìn)而得到EG＝FH，EG∥【解答】解：EF與GH互相平分，理由如下：連接EG、GF、FH、EH，∵E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別為BD、AC的中點(diǎn)，∴EG是△ADB的中位線(xiàn)，F(xiàn)H是△ACB的中位線(xiàn)，∴EG=12AB，EG∥AB，F(xiàn)H=12AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四邊形EGFH為平行四邊形，∴EF與GH互相平分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線(xiàn)定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握三角形中位線(xiàn)等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022春?城固縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，連接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E．（1）求證：AE垂直平分CD；（2）若AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）首先根據(jù)題干信息證明出△ACD為等腰三角形，然后即可證明出AE垂直平分CD；（2）在△ABC中利用勾股定理求出AB，進(jìn)而得到BD，再根據(jù)E為CD中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，即可求出EF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：因?yàn)椤螦CB＝90°，所以∠ACD+∠DCB＝90°，因?yàn)椤螦DC+∠DCB＝90°，所以∠ACD＝∠ADC，所以AC＝AD，即△ACD為等腰三角形，因?yàn)锳E平分∠CAB，所以AE⊥CD，CE＝DE，所以AE垂直平分CD；（2）解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB=AC2+BC2=6所以BD＝AB﹣AD＝4，因?yàn)辄c(diǎn)E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，所以EF為△CBD的中位線(xiàn)，所以EF=12BD＝【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式7-4】如圖，已知AO是△ABC的∠A的平分線(xiàn)，BD⊥AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，E是BC的中點(diǎn)．求證：DE=12（AB﹣【分析】延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)F，可以證得△ABF是等腰三角形，則DE是△BCF的中位線(xiàn)，依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理即可證得．【解答】證明：延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)F，∵在△ABD和△AFD中，∠BAD=∠FADAD=AD∴△ABD≌△AFD（ASA），∴AB＝AF，BD＝DF，又∵E是BC的中點(diǎn)，即ED是△BCF中位線(xiàn)，∴DE=12CF=12（【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，正確證得DE是△BCF中位線(xiàn)是關(guān)鍵．【變式7-5】在△ABC中，D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)，作∠B的角平分線(xiàn)（1）如圖1，若∠B的平分線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，猜想△ABC是怎樣的特殊三角形，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，若∠B的平分線(xiàn)交線(xiàn)段DE于點(diǎn)F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的長(zhǎng)度．（3）若∠B的平分線(xiàn)交直線(xiàn)DE于點(diǎn)F，直接寫(xiě)出AB、BC、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理、角平分線(xiàn)的定義、平行線(xiàn)的性質(zhì)證明AB＝BC，得到答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論計(jì)算即可；（3）分點(diǎn)F在線(xiàn)段DE上、點(diǎn)F在線(xiàn)段DE的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE=12BC，DE∥∴∠DEB＝∠EBC，∵BE是∠B的角平分線(xiàn)，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠DEB＝∠DBE，∴DE＝DB=12∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形；（2）由（1）得，DE=12BC＝5，DF=12∴EF＝DE﹣DF＝1；（3）當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段DE上時(shí)，由（2）得，EF=12（BC﹣當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段DE的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，EF=12（AB﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線(xiàn)定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．題型八平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用題型八平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用【例題8】（2022春?張家港市校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線(xiàn)BD上不同的兩點(diǎn)，連接AE，CE，AF，CF．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定是平行四邊形的為（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF【分析】由平行四邊形的性質(zhì)或全等三角形的判定與性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、連接AC，交BD于O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、由AE＝CF不能判定四邊形AECF一定是平行四邊形，故選項(xiàng)B符合題意；C、∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，∴∠AFD＝∠CEB，在△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEB∴△ADF≌△CBE（AAS），∴BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDFAB=CD∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉平行四邊形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)角線(xiàn)互相平分及它的判定，是我們證明直線(xiàn)的平行、線(xiàn)段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線(xiàn)平行和兩線(xiàn)段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線(xiàn)、線(xiàn)段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙希ㄟ^(guò)證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的；凡是可以用平行四邊形知識(shí)證明的問(wèn)題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問(wèn)題．【變式8-1】如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，線(xiàn)段EF與對(duì)角線(xiàn)AC交于點(diǎn)O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)是（）A．26 B．32 C．34 D．36【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出∠EAO＝∠FCO，再根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得出周長(zhǎng)即可．【解答】解：線(xiàn)段EF與AC交于點(diǎn)O且互相平分，得OA＝OC，OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴∠EAO＝∠FCO，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝6，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AB+CD+BC+AD＝10+6+6+10＝32；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定性質(zhì)和全等三角形的與判定以及全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022?豐順縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE⊥AC；②四邊形BEFG是平行四邊形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正確的有個(gè)．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①，由中位線(xiàn)定理和直角三角形的性質(zhì)可判斷②④，由平行四邊形的性質(zhì)可判斷【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥∵BD＝2AD，∴BO＝DO＝AD＝BC，且點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，∴BE⊥AC，∴①正確；∵E、F、分別是OC、OD中點(diǎn)，∴EF∥DC，CD＝2EF，∵G是AB中點(diǎn)，BE⊥AC，∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB，∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB，∴四邊形BGFE是平行四邊形，∴②④正確；∵四邊形BGFE是平行四邊形，∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE，∴△BGE≌△FEG（SSS），∴③正確；故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022秋?萊陽(yáng)市期末）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F．求證：BE＝CF．【分析】要證明BE＝CF，先證四邊形EFDC是平行四邊形，再利用BE＝ED轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可求出結(jié)論．【解答】證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD=12∠∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝DE，∵DE∥BC，EF∥AC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DE＝CF∴BE＝CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-4】（2022秋?煙臺(tái)期末）如圖，在?ABCD中，∠C＝60°，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形的在得AD＝BC，AD∥BC，再證MD＝NC，即可得出結(jié)論；（2）連接ND，由平行四邊形的性質(zhì)得DC＝MN＝1，再證△NCD是等邊三角形，得ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°，然后證∠BDC＝90°，即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC．∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴MD＝NC．∵M(jìn)D∥NC，∴四邊形MNCD是平行四邊形；（2）解：如圖，連接ND，∵四邊形MNCD是平行四邊形，∴DC＝MN＝1．∵N是BC的中點(diǎn)，∴BN＝CN=12∵BC＝2CD，∴CD＝CN．∵∠C＝60°，∴△NCD是等邊三角形，∴ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°．∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC，∵DN＝CN＝BN，∴∠DBN＝∠BDN=12∠DNC＝∴∠BDC＝∠CDN+∠BDN＝90°，∴BC＝2DC＝2，∴BD=B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-5】（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，且AO＝OC．（1）求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；（2）過(guò)點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數(shù)．【分析】（1）①由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠OAD＝∠OCB，可證明△AOE≌△COF（ASA）；②證得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出OE＝OF，證出BE＝BF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBF＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，則可得出答案．【解答】（1）①證明：∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCFAO=OC∴△AOE≌△COF（ASA）；②同理可證△AOD≌△COB，∴AD＝CB，又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形；（2）解：∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∵EF⊥BD，∴BE＝BF，∴∠OBF＝∠OBE＝32°，∴∠EBF＝64°，∵AD∥BC，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，證明△AOE≌△COF是解題的關(guān)鍵．題型九平行四邊形的判定與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題題型九平行四邊形的判定與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題定【例題9】（2022春?蓮池區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝18cm，BC＝15cm，點(diǎn)P在A(yíng)D邊上以每秒2cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒1cm的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，直線(xiàn)PQ在四邊形ABCD內(nèi)部截出一個(gè)平行四邊形．【分析】由題意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD兩種情況討論，再列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm，①當(dāng)BQ＝AP時(shí)，且AD∥BC，則四邊形APQB是平行四邊形，即15﹣t＝2t，∴t＝5；②當(dāng)CQ＝PD時(shí)，且AD∥BC，則四邊形CQPD是平行四邊形，即t＝18﹣2t，∴t＝6，綜上所述：當(dāng)直線(xiàn)PQ在四邊形ABCD內(nèi)部截出一個(gè)平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了5秒或6秒，故答案為：5或6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．解題技巧提煉運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，化動(dòng)為靜，根據(jù)題意結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)、判定列出方程，進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或證明，解決有關(guān)平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.【變式9-1】（2021春?魏縣期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點(diǎn)P在A(yíng)D邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒3cm的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC，CB向B運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm，當(dāng)Q在BC上，且PD＝BQ時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形，則12﹣t＝12+8﹣3t，求解即可．【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t妙，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm，當(dāng)Q在BC上，且PD＝BQ時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形，則12﹣t＝12+8﹣3t，解得：t＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變