2024年初中升學考試模擬測試湖南省湘潭市中考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的4個選項中，只有一項符合題目要求，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應的位置上）1．（3分）中國的漢字既象形又表意，不但其形美觀，而且寓意深刻．觀察下列漢字，其中是軸對稱圖形的是（）A．愛 B．我 C．中 D．華2．（3分）若式子在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥13．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)8÷a2＝a4 B．a(chǎn)+a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)2?a3＝a54．（3分）某校組織青年教師教學競賽活動，包含教學設計和現(xiàn)場教學展示兩個方面．其中教學設計占20%，現(xiàn)場展示占80%．某參賽教師的教學設計90分，現(xiàn)場展示95分，則她的最后得分為（）A．95分 B．94分 C．92.5分 D．91分5．（3分）如圖，菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．60° C．70° D．80°6．（3分）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上的一點，過點A分別作AM⊥x軸于點M，AN⊥y軸于點N，若四邊形AMON的面積為2．則k的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣17．（3分）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側面展開圖中的長為（）A．4π B．6π C．8π D．16π8．（3分）某校組織九年級學生赴韶山開展研學活動，已知學校離韶山50千米．師生乘大巴車前往，某老師因有事情，推遲了10分鐘出發(fā)，自駕小車以大巴車速度的1.2倍前往，結果同時到達．設大巴車的平均速度為x千米/時，則可列方程為（）A．＝+ B．+10＝ C．＝+10 D．+＝二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分，在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應的位置上)（多選）9．（3分）下列選項中正確的是（）A．80＝1 B．|﹣8|＝8 C．﹣（﹣8）＝8 D．＝±2（多選）10．（3分）2023年湘潭中考體育考查了投擲實心球的項目．為了解某校九年級男生投擲實心球水平，隨機抽取了若干名男生的成績（單位：米），列出了如表所示的頻數(shù)分布表并繪制了扇形圖：類別ABCDE成績6≤x＜77≤x＜88≤x＜99≤x＜1010≤x＜11頻數(shù)2625125則下列說法正確的是（）A．樣本容量為50 B．成績在9≤x＜10米的人數(shù)最多 C．扇形圖中C類對應的圓心角為180° D．成績在7≤x＜8米的頻率為0.1（多選）11．（3分）如圖，AC是⊙O的直徑，CD為弦，過點A的切線與CD延長線相交于點B，若AB＝AC，則下列說法正確的是（）A．AD⊥BC B．∠CAB＝90° C．DB＝AB D．AD＝BC（多選）12．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（3，0），則下列結論中正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．9a+3b+c＝0三、填空題（本題共4個小題，每小題3分，共12分。請將答案寫在答題卡相應的位置上）13．（3分）數(shù)軸上到原點的距離小于的點所表示的整數(shù)有．（寫出一個即可）14．（3分）已知實數(shù)a，b滿足（a﹣2）2+|b+1|＝0，則ab＝．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以小于AC長為半徑作弧，分別交AC，AB于點M，N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，在∠BAC內兩弧交于點O；③作射線AO，交BC于點D．若點D到AB的距離為1，則CD的長為．16．（3分）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具．某同學用邊長為4dm的正方形紙板制作了一副七巧板（見圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為dm2．四、解答題（本大題共10個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請將解答過程寫在答題卡相應位置上）17．（6分）解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．18．（6分）先化簡，再求值：（1+）?，其中x＝6．19．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．20．（6分）為落實“雙減”政策要求，豐富學生課余生活，某校七年級根據(jù)學生需求，組建了四個社團供學生選擇：A（合唱社團）、B（硬筆書法社團）、C（街舞社團）、D（面點社團）．學生從中任意選擇兩個社團參加活動．（1）小明對這4個社團都很感興趣，如果他隨機選擇兩個社團，請列舉出所有的可能結果；（2）小宇和小江在選擇過程中，首先都選了社團C（街舞社團），第二個社團他倆決定隨機選擇，請用列表法或樹狀圖求他倆選到相同社團的概率．21．（6分）教育部正式印發(fā)《義務教育勞動課程標準（2022年版）》．勞動課成為中小學的一門獨立課程，某市中小學已經(jīng)將勞動教育融入學生的日常學習和生活中．某校倡導同學們從幫助父母做一些力所能及的家務做起，培養(yǎng)勞動意識，提高勞動技能．小明隨機調查了該校10名學生某周在家做家務的總時間，并對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，過程如下：收集數(shù)據(jù)：在家做家務時間：（單位：小時）1541a32b34整理數(shù)據(jù)：時間段0≤x＜33≤x＜66≤x＜9人數(shù)36m分析數(shù)據(jù)：統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)數(shù)據(jù)3.43.54請結合以上信息回答下列問題：（1）m＝，并補全頻數(shù)分布直方圖；（2）數(shù)據(jù)統(tǒng)計完成后，小明發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)據(jù)不小心丟失了．請根據(jù)圖表信息找回這兩個數(shù)據(jù)．若a＜b，則a＝，b＝；（3）根據(jù)調查結果，請估計該校2000名學生在這一周勞動時間不少于3小時的人數(shù)．22．（6分）我國航天事業(yè)發(fā)展迅速，2023年5月30日9時31分，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射．某玩具店抓住商機，先購進了1000件相關航天模型玩具進行試銷，進價為50元/件．（1）設每件玩具售價為x元，全部售完的利潤為y元．求利潤y（元）關于售價x（元/件）的函數(shù)表達式；（2）當售價定為60元/件時，該玩具銷售火爆，該店繼續(xù)購進一批該種航天模型玩具，并從中拿出這兩批玩具銷售利潤的20%用于支持某航模興趣組開展活動，在成功銷售完畢后，資助經(jīng)費恰好10000元，請問該商店繼續(xù)購進了多少件航天模型玩具？23．（8分）如圖，點A的坐標是（﹣3，0），點B的坐標是（0，4），點C為OB中點．將△ABC繞著點B逆時針旋轉90°得到△A′BC′．（1）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C′，求該反比例函數(shù)的表達式；（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過A、A′兩點，求該一次函數(shù)的表達式．24．（8分）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時120秒．問題設置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設筒車半徑為2米．當t＝0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM＝30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處．問題解決：（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉到B處時，∠BOM的度數(shù)；（2）求該盛水筒旋轉至B處時，它到水面的距離．（結果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732）25．（10分）問題情境：小紅同學在學習了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在正方形ABCD的邊BC上任意取一點G，以BG為邊長向外作正方形BEFG，將正方形BEFG繞點B順時針旋轉．特例感知：（1）當BG在BC上時，連接DF，AC相交于點P，小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為DF的中點，如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結論，請給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接EG，并延長與DF相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是DF中點P，如圖②．根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結論，請判斷△APE的形狀，并說明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形BEFG繞點B順時針旋轉α，連接DF，點P是DF中點，連接AP，EP，AE，△APE的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．26．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，其中B（1，0），C（0，3）．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）在二次函數(shù)圖象上是否存在點P，使得S△PAC＝S△ABC？點P與點B不重合．若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由；（3）點Q是對稱軸l上一點，且點Q的縱坐標為a，當△QAC是銳角三角形時，求a的取值范圍．

2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的4個選項中，只有一項符合題目要求，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應的位置上）1．（3分）中國的漢字既象形又表意，不但其形美觀，而且寓意深刻．觀察下列漢字，其中是軸對稱圖形的是（）A．愛 B．我 C．中 D．華【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷．【解答】解：A、漢字“愛”不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、漢字“我”不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、漢字“中”是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、漢字“華”不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：C．2．（3分）若式子在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1【答案】D【分析】直接利用二次根式的有意義，被開方數(shù)不小于0，進而得出答案．【解答】解：式子在實數(shù)范圍內有意義，則x﹣1≥0，解得：x≥1．故選：D．3．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)8÷a2＝a4 B．a(chǎn)+a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)2?a3＝a5【答案】D【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運算法則以及冪的乘方運算法則、合并同類項法則分別判斷得出答案．【解答】解：A．a(chǎn)8÷a2＝a6，故此選項不合題意；B．a(chǎn)+a2，無法合并，故此選項不合題意；C．（a2）3＝a6，故此選項不合題意；D．a(chǎn)2?a3＝a5，故此選項符合題意．故選：D．4．（3分）某校組織青年教師教學競賽活動，包含教學設計和現(xiàn)場教學展示兩個方面．其中教學設計占20%，現(xiàn)場展示占80%．某參賽教師的教學設計90分，現(xiàn)場展示95分，則她的最后得分為（）A．95分 B．94分 C．92.5分 D．91分【答案】B【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和加權平均數(shù)的計算方法，可以計算出她的最終得分．【解答】解：由題意可得，90×20%+95×80%＝94（分），即她的最后得分為94分，故選：B．5．（3分）如圖，菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質和平行線的性質以及三角形的內角和定理即可得到結論．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，故選：C．6．（3分）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上的一點，過點A分別作AM⊥x軸于點M，AN⊥y軸于點N，若四邊形AMON的面積為2．則k的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【答案】A【分析】依據(jù)題意，根據(jù)四邊形面積與反比例函數(shù)的關系即可得解．【解答】解：由題意，設A（a，b），∴ab＝k．又S四邊形ANOM＝2＝ab，∴k＝2．故選：A．7．（3分）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側面展開圖中的長為（）A．4π B．6π C．8π D．16π【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側面展開圖中弧的長等于圓錐底面周長即可得出答案．【解答】解：這個圓錐的側面展開圖中的長為2π×4＝8π．故選：C．8．（3分）某校組織九年級學生赴韶山開展研學活動，已知學校離韶山50千米．師生乘大巴車前往，某老師因有事情，推遲了10分鐘出發(fā)，自駕小車以大巴車速度的1.2倍前往，結果同時到達．設大巴車的平均速度為x千米/時，則可列方程為（）A．＝+ B．+10＝ C．＝+10 D．+＝【答案】A【分析】設大巴車的平均速度為x千米/時，則小車的平均速度為1.2x千米/時，根據(jù)題意列出方程即可．【解答】解：設大巴車的平均速度為x千米/時，則小車的平均速度為1.2x千米/時，根據(jù)題意可得：．故選：A．二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分，在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應的位置上)（多選）9．（3分）下列選項中正確的是（）A．80＝1 B．|﹣8|＝8 C．﹣（﹣8）＝8 D．＝±2【答案】ABC【分析】根據(jù)算術平方根、絕對值、相反數(shù)的含義和求法，以及零指數(shù)冪的運算方法，逐項判斷即可．【解答】解：∵80＝1，∴選項A符合題意；∵|﹣8|＝8，∴選項B符合題意；∵﹣（﹣8）＝8，∴選項C符合題意；∵＝2，∴選項D不符合題意．故選：ABC．（多選）10．（3分）2023年湘潭中考體育考查了投擲實心球的項目．為了解某校九年級男生投擲實心球水平，隨機抽取了若干名男生的成績（單位：米），列出了如表所示的頻數(shù)分布表并繪制了扇形圖：類別ABCDE成績6≤x＜77≤x＜88≤x＜99≤x＜1010≤x＜11頻數(shù)2625125則下列說法正確的是（）A．樣本容量為50 B．成績在9≤x＜10米的人數(shù)最多 C．扇形圖中C類對應的圓心角為180° D．成績在7≤x＜8米的頻率為0.1【答案】AC【分析】把各類頻數(shù)相加可得樣本容量；根據(jù)分布表可得成績在9≤x＜10米的人數(shù)最多；用360°乘C類所占比例可得扇形圖中C類對應的圓心角度數(shù)；用B類的頻數(shù)除以樣本容量可得成績在7≤x＜8米的頻率．【解答】解：樣本容量為：2+6+25+12+5＝50，故選項A符合題意；成績在8≤x＜9米的人數(shù)最多，故選項B不符合題意；扇形圖中C類對應的圓心角為：360°×＝180°，故選項C符合題意；成績在7≤x＜8米的頻率為：＝0.12，故選項D不符合題意．故選：AC．（多選）11．（3分）如圖，AC是⊙O的直徑，CD為弦，過點A的切線與CD延長線相交于點B，若AB＝AC，則下列說法正確的是（）A．AD⊥BC B．∠CAB＝90° C．DB＝AB D．AD＝BC【答案】ABD【分析】利用圓周角定理即可判斷A；根據(jù)切線的性質即可判斷B；利用等腰直角三角形的性質即可判斷C；利用直角三角形斜邊中線的性質即可判斷D．【解答】解：A、∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故A正確；B、∵AC是⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，∴CA⊥AB，∴∠CAB＝90°，故B正確；C、∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°∵AD⊥BC，∴BD＝AB，故C錯誤；D、∵AC＝AB，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵∠CAB＝90°，∴AD＝，故D正確．故選：ABD．（多選）12．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（3，0），則下列結論中正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．9a+3b+c＝0【答案】BD【分析】根據(jù)圖象的開口方向可判斷選項A；根據(jù)圖象與x軸的交點位置，可判斷選項B；根據(jù)拋物線和x軸交點個數(shù)可判斷；C：根據(jù)x＝3的函數(shù)值的情況，可判斷選項D．【解答】解：A、由函數(shù)圖象得，拋物線開口方向向下，故a＜0，故A錯誤；B、圖象與y軸的交點在原點上方，故c＞0，故B正確；C、因為拋物線和x軸有兩個交點，故b2﹣4ac＞0，故D正確；D、當x＝3時，y＝9a+3b+c＝0，故D正確．故選BD．三、填空題（本題共4個小題，每小題3分，共12分。請將答案寫在答題卡相應的位置上）13．（3分）數(shù)軸上到原點的距離小于的點所表示的整數(shù)有0（答案不唯一）．（寫出一個即可）【答案】0（答案不唯一）．【分析】數(shù)軸上到原點的距離小于的點所表示的數(shù)為﹣與之間的所有數(shù)，然后寫出其中的一個整數(shù)即可．【解答】解：數(shù)軸上到原點的距離小于的點所表示的數(shù)為﹣與之間的所有數(shù)，則其中的整數(shù)為0（答案不唯一），故答案為：0（答案不唯一）．14．（3分）已知實數(shù)a，b滿足（a﹣2）2+|b+1|＝0，則ab＝．【答案】．【分析】根據(jù)偶次冪及絕對值的非負性求得a，b的值，然后代入ab中計算即可．【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+1|＝0，（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，∴a＝2，b＝﹣1，則ab＝2﹣1＝，故答案為：．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以小于AC長為半徑作弧，分別交AC，AB于點M，N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，在∠BAC內兩弧交于點O；③作射線AO，交BC于點D．若點D到AB的距離為1，則CD的長為1．【答案】1．【分析】根據(jù)角平分線的性質得到CD＝點D到AB的距離＝1．【解答】解：由作圖知AD平分∠BAC，∵∠C＝90°，點D到AB的距離為1，∴CD＝1．故答案為：1．16．（3分）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具．某同學用邊長為4dm的正方形紙板制作了一副七巧板（見圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為2dm2．【答案】2．【分析】根據(jù)正方形的性質，以及七巧板的特點，求得OE的長，即可求解．【解答】解：如圖所示，依題意，OD＝AD＝2，OE＝OD＝，∴圖中陰影部分的面積為OE2＝（）2＝2（dm2），故答案為：2．四、解答題（本大題共10個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請將解答過程寫在答題卡相應位置上）17．（6分）解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】﹣2＜x≤2；數(shù)軸見解答過程．【分析】先解不等式組求得其解集，然后在數(shù)軸上表示其解集即可．【解答】解：，由①得7x≤14，則x≤2，由②得2x+6＞x+4，則x＞﹣2，故原不等式組的解集為：﹣2＜x≤2，在數(shù)軸上表示其解集如下：18．（6分）先化簡，再求值：（1+）?，其中x＝6．【答案】2．【分析】利用分式的運算法則將分式進行化簡，然后代入已知數(shù)據(jù)進行計算即可．【解答】解：原式＝?＝?＝，當x＝6時，原式＝＝2．19．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）3.6．【分析】（1）根據(jù)已知條件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B為公共角，于是得出△ABD∽△CBA；（2）根據(jù)相似三角形的性質即可求出BD的長．【解答】（1）證明：∵AD是斜邊BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B為公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴，∴，∴BD＝3.6．20．（6分）為落實“雙減”政策要求，豐富學生課余生活，某校七年級根據(jù)學生需求，組建了四個社團供學生選擇：A（合唱社團）、B（硬筆書法社團）、C（街舞社團）、D（面點社團）．學生從中任意選擇兩個社團參加活動．（1）小明對這4個社團都很感興趣，如果他隨機選擇兩個社團，請列舉出所有的可能結果；（2）小宇和小江在選擇過程中，首先都選了社團C（街舞社團），第二個社團他倆決定隨機選擇，請用列表法或樹狀圖求他倆選到相同社團的概率．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）列舉出所有的可能結果即可；（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中小宇和小江選到相同社團的結果有3種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）所有的可能結果共有6種，分別為：AB、AC、AD、BC、BD、CD；（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中小宇和小江選到相同社團的結果有3種，∴他倆選到相同社團的概率為＝．21．（6分）教育部正式印發(fā)《義務教育勞動課程標準（2022年版）》．勞動課成為中小學的一門獨立課程，某市中小學已經(jīng)將勞動教育融入學生的日常學習和生活中．某校倡導同學們從幫助父母做一些力所能及的家務做起，培養(yǎng)勞動意識，提高勞動技能．小明隨機調查了該校10名學生某周在家做家務的總時間，并對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，過程如下：收集數(shù)據(jù)：在家做家務時間：（單位：小時）1541a32b34整理數(shù)據(jù)：時間段0≤x＜33≤x＜66≤x＜9人數(shù)36m分析數(shù)據(jù)：統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)數(shù)據(jù)3.43.54請結合以上信息回答下列問題：（1）m＝1，并補全頻數(shù)分布直方圖；（2）數(shù)據(jù)統(tǒng)計完成后，小明發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)據(jù)不小心丟失了．請根據(jù)圖表信息找回這兩個數(shù)據(jù)．若a＜b，則a＝4，b＝7；（3）根據(jù)調查結果，請估計該校2000名學生在這一周勞動時間不少于3小時的人數(shù)．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據(jù)各組頻數(shù)之和等于樣本容量可求出m的值，進而補全頻數(shù)分布直方圖；（2）根據(jù)眾數(shù)的定義確定a的值，再由平均數(shù)、中位數(shù)確定b的值即可；（3）求出樣本中“學生在這一周勞動時間不少于3小時學生”所占的百分比，進而估計總體中“學生在這一周勞動時間不少于3小時學生”所占的百分比，由頻率＝進行計算即可．【解答】解：（1）m＝10﹣3﹣6＝1，補全頻數(shù)分布直方圖如下：（2）樣本中1、3、4都出現(xiàn)2次，若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4，因此漏掉的兩個數(shù)中必有一個是4，而a＜b，因此a＝4，這10個數(shù)的中位數(shù)是3.5，平均數(shù)是3.4，因此漏掉的另一個數(shù)是7，即b＝7，故答案為：4，7；（3）2000×＝1400（人），答：該校2000名學生在這一周勞動時間不少于3小時的人數(shù)大約有1400人．22．（6分）我國航天事業(yè)發(fā)展迅速，2023年5月30日9時31分，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射．某玩具店抓住商機，先購進了1000件相關航天模型玩具進行試銷，進價為50元/件．（1）設每件玩具售價為x元，全部售完的利潤為y元．求利潤y（元）關于售價x（元/件）的函數(shù)表達式；（2）當售價定為60元/件時，該玩具銷售火爆，該店繼續(xù)購進一批該種航天模型玩具，并從中拿出這兩批玩具銷售利潤的20%用于支持某航模興趣組開展活動，在成功銷售完畢后，資助經(jīng)費恰好10000元，請問該商店繼續(xù)購進了多少件航天模型玩具？【答案】（1）y＝1000x﹣50000；（2）4000．【分析】（1）根據(jù)每件的利潤×件數(shù)＝總利潤求解即可；（2）設該商店繼續(xù)購進了m件航天模型玩具，根據(jù)資助經(jīng)費恰好10000元，列方程，求解即可．【解答】解：（1）y＝1000（x﹣50）＝1000x﹣50000；（2）設該商店繼續(xù)購進了m件航天模型玩具，（60﹣50）（1000+m）×20%＝10000，解得m＝4000，答：該商店繼續(xù)購進了4000件航天模型玩具．23．（8分）如圖，點A的坐標是（﹣3，0），點B的坐標是（0，4），點C為OB中點．將△ABC繞著點B逆時針旋轉90°得到△A′BC′．（1）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C′，求該反比例函數(shù)的表達式；（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過A、A′兩點，求該一次函數(shù)的表達式．【答案】（1）反比例函數(shù)的表達式為y＝；（2）該一次函數(shù)的表達式為y＝x+．【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質得出C′的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）作A′H⊥y軸于H．證明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出點A′坐標，再利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式．【解答】解：（1）∵點A的坐標是（﹣3，0），點B的坐標是（0，4），點C為OB中點，∴OA＝3，OB＝4，∴BC＝2，將△ABC繞著點B逆時針旋轉90°得到△A′BC′，∴C′（2，4），∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C′，∴k＝2×4＝8，∴該反比例函數(shù)的表達式為y＝；（2）作A′H⊥y軸于H．∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠A′BH，∵BA＝BA′，∴△AOB≌△BHA′（AAS），∴OA＝BH，OB＝A′H，∵OA＝3，OB＝4，∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4，∴OH＝1，∴A′（4，1），設一次函數(shù)的解析式為y＝ax+b，把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，，解得，∴該一次函數(shù)的表達式為y＝x+．24．（8分）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時120秒．問題設置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設筒車半徑為2米．當t＝0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM＝30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處．問題解決：（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉到B處時，∠BOM的度數(shù)；（2）求該盛水筒旋轉至B處時，它到水面的距離．（結果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732）【答案】（1）45°；（2）0.3米．【分析】（1）求出筒車每秒轉過的度數(shù)，再根據(jù)周角的定義進行計算即可；（2）根據(jù)直角三角形的邊角關系分別求出OD、OC即可．【解答】解：（1）由于筒車每旋轉一周用時120秒．所以每秒轉過360°÷120＝3°，∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；（2）如圖，過點B、點A分別作OM的垂線，垂足分別為點C、D，在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，∴OD＝OA＝（米）．在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，∴OC＝OB＝（米），∴CD＝OD﹣OC＝﹣≈0.3（米），即該盛水筒旋轉至B處時到水面的距離約為0.3米．25．（10分）問題情境：小紅同學在學習了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在正方形ABCD的邊BC上任意取一點G，以BG為邊長向外作正方形BEFG，將正方形BEFG繞點B順時針旋轉．特例感知：（1）當BG在BC上時，連接DF，AC相交于點P，小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為DF的中點，如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結論，請給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接EG，并延長與DF相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是DF中點P，如圖②．根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結論，請判斷△APE的形狀，并說明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形BEFG繞點B順時針旋轉α，連接DF，點P是DF中點，連接AP，EP，AE，△APE的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．【答案】（1）證明過程詳見解答；（2）△APE是等腰直角三角形；（3）△APE仍然是等腰直角三角形．【分析】（1）延長FG，交AC于H，可推出FG＝BG，CG＝GH，從而CD＝FH，進而得出△CDP≌△HFP，進一步得出結論；（2）延長EG，交AD的延長線于點M，設DF和EG交于點Q，同理（1）可證得△DQM≌△FQE，從而DQ＝FQ，從而得出點Q和點P重合，進一步得出結論；（3）延長EP至Q，是PQ＝PE，連接DQ，延長DA和FE，交于點N，△PDQ≌△PFE，從而DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF，所以∠N+∠ADQ＝180°，可推出∠N+∠ABE＝180°，進而推出△ADQ≌△ABE，AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE，進而推出∠QAE＝90°，進一步得出結論．【解答】解：（1）如圖1，延長FG，交AC于H，∵四邊形ABCD和四邊形BEFG是正方形，∴BC＝CD，F(xiàn)G＝BG，CD∥AE，F(xiàn)G∥AE，∠CGH＝∠BGF＝90°，∴∠CHG＝45°，CD∥FG，∴∠ACB＝∠CHG，∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP，∴CG＝GH，∴CG+BG＝GH+FG，∴BC＝FH，∴CD＝FH，∴△CDP≌△HFP（ASA），∴點P是DF的中點；（2）如圖2，△APE是等腰直角三角形，理由如下：延長EG，交AD的延長線于點M，設DF和EG交于點Q，∵四邊形ABCD和四邊形BEFG是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BEG＝45°，AD＝AB，BE＝EF，AD∥BC∥EF，∠BAC＝45°，∴∠M＝45°，∠M＝∠GEF，∠MDQ＝∠EFQ，∴∠M＝∠BEG，∴AM＝AE，∴AM﹣AD＝AE﹣AB，∴DM＝BE，∴DM＝EF，∴△DQM≌△FQE（ASA），∴DQ＝FQ，∴點Q和點P重合，即：EG與DF的交點恰好也是DF中點P，∵∠BAC＝45°，∠BEG＝45°，∴∠APE＝90°，AP＝EP，∴△APE是等腰直角三角形；（3）如圖3，△APE仍然是等腰直角三角形，理由如下：延長EP至Q，是PQ＝PE，連接DQ，延長DA和FE，交于點N，∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF，∴△PDQ≌△PFE（SAS），∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF，∴∠N+∠ADQ＝180°，∵四邊形ABCD和四邊形BEFG是正方形，∴∠BAN＝∠DAB＝90°，∠BEN＝∠BEF＝90°，AB＝AD，BE＝EF，∴∠N+∠ABE＝360°﹣∠BAN﹣∠BEN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，DQ＝BE，∴∠ABE＝∠ADQ，∴△ADQ≌△ABE（SAS），∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE，∴∠BAE+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝∠BAD＝90°，∴∠QAE＝90°，∴AP⊥EQ，AP＝PE＝，∴△APE是等腰直角三角形．26．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交