《數(shù)學小學三年級奧數(shù)》（附答案）第19講 重疊問題

《數(shù)學小學三年級奧數(shù)專題》第19講重疊問題

一、知識要點

三(1)班準備給參加班級繪畫比賽的16位同學和參加朗讀比賽的12位同

學每人發(fā)一份紀念品，當中隊長玲玲將28份紀念品發(fā)下去時，卻多出5份，這

是怎么回事？對了，因為有5位同學既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，

所以獎品就多出了5份。數(shù)學中，我們將這樣的問題稱為重疊問題。

解答重疊問題要用到數(shù)學中的一個重要原理一一包含與排除原理，即當兩

個計數(shù)部分有重復包含時，為了不重復計數(shù)，應從它們的和中排除重復部分。

解答重疊問題的應用題，必須從條件入手進行認真的分析，有時還要畫出

圖示，借助圖形進行思考，找出哪些是重復的，重復了幾次？明確求的是哪一

部分，從而找出解答方法。

二、精講精練

【例題1】六一兒童節(jié)，學校門口掛了一行彩旗。小張從前數(shù)起，紅旗是第8面;

從后數(shù)起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？

練習1：

1、小朋友排隊做操，小明從前數(shù)起排在第4個，從后數(shù)起排在第7個。這隊小

朋友共有多少人？

2、學校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數(shù)起是第12個，從右數(shù)起是第21個。

這一行座位有多少個？

【例題2】同學們排隊做操，每行人數(shù)同樣多。小明的位置從左數(shù)起是第4個,

從右數(shù)起是第3個，從前數(shù)起是第5個，從后數(shù)起是第6個。做操的同學共有

多少個？

練習2：

1、同學們排隊跳舞，每行、每列人數(shù)同樣多。小紅的位置無論從前數(shù)從后數(shù),

從左數(shù)還是從右數(shù)起都是第4個。跳舞的共有多少人？

2、為慶祝“六一”，同學們排成每行人數(shù)相同的鮮花隊，小華的位置從左數(shù)第

2個，從右數(shù)第4個；從前數(shù)第3個，從后數(shù)第5個。鮮花隊共多少人？

【例題3］把兩塊一樣長的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘

在一起的木板長120厘米，中間重疊部分是16厘米,這兩塊木板各長多少厘米？

練習3：

1、把兩段一樣長的紙條粘合在一起，形成一段更長的紙條。這段更長的紙條長

30厘米，中間重疊部分是6厘米，原來兩段紙條各長多少厘米？

2、把兩塊一樣長的木板釘在一起，釘成一塊長35厘米的木板。中間重合部分

長11厘米，這兩塊木板各長多少厘米？

【例題4】一次數(shù)學測試，全班36人中，做對第一道聰明題的有21人，做對第

二道聰明題的有18人，每人至少做對一道。問兩道聰明題都做對的有幾人？

練習4：

1、三(1)班有學生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加

賽跑的有36人，參加跳繩的有38人。兩項比賽都參加的有幾人？

2、兩塊木板各長75厘米，像下圖這樣釘成一塊長130厘米的木板，中間重合

部分是多少厘米？

130cm

75cm75cm

【例題5】三(1)班訂《數(shù)學報》的有32人，訂《閱讀報》的有30人，兩份

報紙都訂的有10人，全班每人至少訂一種報紙。三(1)班有學生多少人？

訂兩份報紙的人數(shù)

練習5：

1、三(4)班做完語文作業(yè)的有37人，做完數(shù)學作業(yè)的有42人，兩種作業(yè)都

完成的有31人，每人至少完成一種作業(yè)。三(4)班共有學生多少人？

2、兩塊木板各長90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分是15厘米,

這塊釘在一起的木板總長多少厘米？

三、課后作業(yè)

1、同學們排隊去參觀展覽，無論從前數(shù)還是從后起起，李華都排在第8個。這

一排共有多少個同學？

2、三(5)班有42名同學，會下象棋的有21名同學，會下圍棋的有17名，兩

種棋都不會的有10名。兩種棋都會下的有多少名？

3、三年級有107個小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每

人至少帶一種。三年級既帶礦泉水又帶水果的小朋友有多少人？

4、三（4）班排成每行人數(shù)相同的隊伍入場參加校運動會，梅梅的位置從前數(shù)

是第6個，從后數(shù)是第5個；從左數(shù)、從右數(shù)都是第3個。三（4）班共有學生

多少人？

5、兩根木棍放在一起，從頭到尾共長66厘米，其中一根木棍長48厘米，中間

重疊部分長12厘米。另一根木棍長多少厘米？

66cm

48cm

12cm

?cm

答案第19講重疊問題

一、知識要點

三（1）班準備給參加班級繪畫比賽的16位同學和參加朗讀比賽的12位同學每人發(fā)一份

紀念品，當中隊長玲玲將28份紀念品發(fā)下去時，卻多出5份，這是怎么回事？對了，因為有

5位同學既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎品就多出了5份。數(shù)學中，我們將

這樣的問題稱為重疊問題。

解答重疊問題要用到數(shù)學中的一個重要原理一一包含與排除原理，即當兩個計數(shù)部分有

重復包含時，為了不重復計數(shù)，應從它們的和中排除重復部分。

解答重疊問題的應用題，必須從條件入手進行認真的分析，有時還要畫出圖示，借助圖

形進行思考，找出哪些是重復的，重復了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解答方法。

二、精講精練

【例題1】六一兒童節(jié)，學校門口掛了一行彩旗。小張從前數(shù)起，紅旗是第8面；從后

數(shù)起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？

【思路導航】根據(jù)題意，畫出下圖：

從圖上可以看出，從前數(shù)起紅旗是第8面，從后數(shù)起........門城

是第10面，這樣紅旗就數(shù)了兩次，重復了一次，所以這行、---------v一咽一

?面

彩旗共有8+10—1=17面。

練習1：

1.小朋友排隊做操，小明從前數(shù)起排在第4個，從后數(shù)起排在第7個。這隊小朋友共有

多少人？答案

解:（4-1）+（7-1）+1

=3+6+1

=10（人）

答：這隊小朋友共有10人.

故答案為：

10人

解析

根據(jù)題干知道，小明從前數(shù)起排在第四，那么它的前面有4—1=3（人），從后數(shù)起在第七個，他的后面

有7—1=6（人），再加上小明本人，據(jù)此解答.

本題考查的是1?10各數(shù)的排列順序，掌握1?10各數(shù)的排列順序，能用、前面、后面和第幾個等表

示數(shù)與數(shù)之間的順序和位置是解題的關(guān)鍵.

2.學校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數(shù)起是第12個，從右數(shù)起是第21個。這一行

座位有多少個？

答案

解：12+21—1=32（個）故答案為：32個

解析

把左邊的12個座位加右邊的21個座位，再減去1,就是這一行座位的總個數(shù)，因為從左數(shù)起的第12

個與從右數(shù)起的第21個是同一個.

解答此題時記得把和減去1,因為有一個座位重復了.

3.同學們排隊去參觀展覽，無論從前數(shù)還是從后起起，李華都排在第8個。這一排共有

多少個同學？

答案

解：

把前后兩次數(shù)起的數(shù)值相加，則李華被加了兩次，所以所得之和需再減掉一次李華的位置，8+8-1

=15

故答案為：b

解析

根據(jù)李華的位置，利用容斥原理推算這一排的同學人數(shù).

【例題2】同學們排隊做操，每行人數(shù)同樣多。小明的位置從左數(shù)起是第4個，從右數(shù)

起是第3個，從前數(shù)起是第5個，從后數(shù)起是第6個。做操的同學共有多少個？

【思路導航】根據(jù)題意，畫出下圖：

前

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

左

OOOeOO右

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

由圖可看出：小明的位置從左數(shù)第4個，右數(shù)第3個，說明橫行有4+3—1=6個人；從

前數(shù)第5個，從后數(shù)第6個，說明豎行有5+6—1=10人，所以做操的同學共有：6X10=60

人。

練習2：

1.同學們排隊跳舞，每行、每列人數(shù)同樣多。小紅的位置無論從前數(shù)從后數(shù)，從左數(shù)還

是從右數(shù)起都是第4個。跳舞的共有多少人？

答案

解：4+4-1=7（A）7x7=49（人）

答：跳舞的同學共有49人.

故答案為：

49人.

噴

小紅的位置無論從前數(shù)、后數(shù)、左數(shù)、右數(shù)，都是第4個，說明小紅在的這一行有7個人，同理，這個隊伍也有7行，因此7x7=49（人），就是總?cè)藬?shù).

小紅的位置無論從前數(shù)、后數(shù)、左數(shù)、右數(shù)，都是第4個，求出小紅在的這一行的人數(shù)，同理，得知這個隊伍的行數(shù)和一行的人數(shù)一樣，根據(jù)一行的人數(shù)x行數(shù)=總?cè)藬?shù),

得出結(jié)果即可.

2.為慶?！傲弧?，同學們排成每行人數(shù)相同的鮮花隊，小華的位置從左數(shù)第2個，從

右數(shù)第4個；從前數(shù)第3個，從后數(shù)第5個。鮮花隊共多少人？

答案

解：2+4-1=5

3+5-1=7

5x7=35（人）

答：鮮花降35人。

解析

1、仔細分析題意，可在草稿紙上試著畫出〃嘩的位置；

2、由〃曄的位置從左數(shù)第2個，從右數(shù)第4個，可知鮮花隊的列數(shù)；

3、再由從前數(shù)第3個，從后數(shù)第5個，可知鮮花隊的行數(shù)，至此，相信你不難解答此題了。

3.三（4）班排成每行人數(shù)相同的隊伍入場參加校運動會，梅梅的位置從前數(shù)是第6個,

從后數(shù)是第5個；從左數(shù)、從右數(shù)都是第3個。三（4）班共有學生多少人？

答案

解：

5+&1=10人，3+34=5排；10x5=50人.

故答案為：

50人.

解決此類題目需把整個隊伍看作一個方陣，首先求出方陣的長，再求出方陣的寬，在本題中也就是求出每持有幾人，共兒排，既而求出總?cè)藬?shù).

而

把整個隊伍看作一個方陣，梅梅的位置從前數(shù)是第6個，從后數(shù)是第5個，可求出每排有10人；從左數(shù)、從右數(shù)都是第3個可知該方陣共5排，每排10人乘以5排共50人.

的小伙僅1ZU國不，十問里簟郁刀、犯10年不，4M狀小伙食長天少年不I

【思路導航】把等長的兩塊木板的一端釘起來，釘在一起的長度就是重疊部分，重疊的

部分是16厘米，所以這兩塊木板的總長度是120+16=136厘/------71

米，每塊木板的長度是136+2=68厘米。//，/

練習3：

1.把兩段一樣長的紙條粘合在一起，形成一段更長的紙條。這段更長的紙條長30厘米,

中間重疊部分是6厘米，原來兩段紙條各長多少厘米？

答案

解；（30+6）4-2

=36+2

=18（厘米）?

答；原來兩段紙條各長18厘米.故答案為：18瓶米.

本題實際是和差問題的滅活應用，關(guān)鍵是理解羽及部分的長度就是現(xiàn)在的總長度比原來的總長度減少J'的長度.

麗

把兩段?樣長的紙條粘合在一起，總長度比原來減少了重疊部分的長度即6厘米，所以原來兩條的總長度是：30+6=36厘米，那么原來兩段紙條各長：36+2=18厘米；據(jù)

此解答.

2.把兩塊一樣長的木板釘在一起，釘成一塊長35厘米的木板。中間重合部分長n厘

米，這兩塊木板各長多少厘米?

66cm

48cm

答案

解：（35+11）4-2

=46+2

=23（厘米）；

答：這兩塊木板各長23厘米.

故答案為：23厘米.

解答此類問題，應注意：如果求重疊的兩塊木板各自的長度，就要用“（釘在一起的木板長+重疊部分）+2”計算.

解析

3.兩根木棍放在一起（如圖），從頭到尾共長66厘米，其中一根木棍長48厘米，中間

重疊部分長12厘米。另一根木棍長多少厘米？

解，

12+66-48

=78-48

=30（即米）；

答?另?根木棍長30厘米.

故答案為：30厘米.

明題

一現(xiàn)?的總!減少「

把兩根木棍鈴放在起，總長度比原來此少/乖離部分的長度即12帆米，所以原來兩條的總長度是：12+66=78機米，那么處一根木棍長：78*48=30（厘米）：據(jù)此解

道題空

36=3人,這多出的3人既在做對第一題的人數(shù)中算過，也在做對第二道2S?is/題

的人數(shù)中算過，即表示兩道題都做對的人數(shù)。

練習4：

1.三（1）班有學生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加賽跑的有

36人，參加跳繩的有38人。兩項比賽都參加的有幾人？

130cm

75cm75cm

答案

解：36+38-55

=74-55

-19（A）

答:兩項比賽都參力口的有19A.

先計算出參加兩項比賽的總?cè)擞P因為每人至少參加一項，有部分同學兩項都參加了，重復數(shù)了，所以總?cè)藬?shù)比實際全班人數(shù)多，比全班實際人數(shù)多出的人數(shù)就是兩項都參力勵

2.兩塊木板各長75厘米，像下圖這樣釘成一塊長130厘米的木板，中間重合部分是多少

厘米？

兩塊木板各長75厘米像如圖這樣釘成一塊長130厘米的木板中間重合部分是多少厘米？

—130cm」

|?cm|

75cm75cm

答案

解：75x2-130

=150-130

3.三(5)班有42名同學，會下象棋的有21名同學，會下圍棋的有17名，兩種棋都不

會的有10名。兩種棋都會下的有多少名？

解：42—10=32(名)

21+17-32=6⑻

谷：兩種棋都公卜的有6名.

故答案為1

6名.

這道題是加法和M法在實際生活中的應用，本鹿中的這個班族右42名同學，公下象棋的有21名同學，公下圍機的有17名，兩種極都不公的有10名，這個班的總?cè)藬?shù)減去兩

種極都不公的人數(shù)就是公卜棋的；公卜象機的仃21名同學.會卜國棋的仃17名，兩個數(shù)相加再M去32就是既公卜象棋,也公卜圍棋的.

這個班共有42名同學,兩種機都不會的仃10名,兩個數(shù)出城就是會卜根的；會卜象機的仃21名同學.會卜圍棋的有17名,兩個數(shù)相加再M去32就是既會卜皇機，也會卜臨

棋的.

【例題5】三(1)班訂《數(shù)學報》的有32人，訂《閱讀報》的有30人，兩份報紙都訂

的有10人，全班每人至少訂一種報紙。三(1)班有學生多少人？

【思路導航】根據(jù)題意，畫出下圖：

MP

從上圖可以看出，中間重疊部分表示兩份訂兩份報紙的人數(shù)報紙都訂的10人，這10

人既被包括在訂《數(shù)學報》的32人內(nèi)，又被包括在訂《閱讀報》的30人內(nèi)，重復算了一次,

所以要算出全班人數(shù)，必須從32+30=62人中去掉被重復算過的10人。所以全班人數(shù)應是

62-10=52人。

練習5：

1.三(4)班做完語文作業(yè)的有37人，做完數(shù)學作業(yè)的有42人，兩種作業(yè)都完成的有

31人，每人至少完成一種作業(yè)。三(4)班共有學生多少人？

由題意行，三(4)班學生人數(shù)為:

37+42-31=48(人)

故答案為；48人

本虺關(guān)鍵是要知道兩種作業(yè)都做的被包括進r只做其中腫作業(yè)的人數(shù)里/

2.兩塊木板各長90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分是15厘米，這塊釘在一

起的木板總長多少厘米？/---------/7

答案

解：90+90-15=165（厘米）

答：這塊釘在一起的木板總長是165厘米.

故答案為?

165匣米

3.三解析

一根據(jù)題意，認真觀察題”給出的圖形以及數(shù)吊.這塊釘在上的木板J5厘米.

二月此矍考查學生的觀察能力；合出的圖形以及數(shù)就這塊釘住一起的小，

15郵米.

解：78+77-107

=155-107

=48（人）.

答：既帶礦泉水又帶水果的小朋也48人.

1、解答此題的方法依據(jù)是容斥原理，回憶容斥原理的意義和解題的方法；

2、儂容斥顆的意義，計算出舸泉水的人數(shù)界水果的人蛆和；

3、再用帶礦泉水的人數(shù)量水果的人蚯和減去實際的總?cè)藬?shù)，所醐差就是本題的答案。

三、課后作業(yè)

1、同學們排隊去參觀展覽，無論從前數(shù)還是從后起起，李華都排在第8個。這

一排共有多少個同學？

答案

解：7+1+7=15（4"）

答：這一排同學共有15個.

故答案為：

15個

解析

無論從前還是后數(shù)起，李華都排在第8個，即是李華前面有7個同學，后面有7個同學，從而可求此題結(jié)果.

2、三（5）班有42名同學，會下象棋的有21名同學，會下圍棋的有17名，兩

種棋都不會的有10名。兩種棋都會下的有多少名？

解：42-10=32（名）

21+17—32=6（名）

答：兩種棋都會卜.的仃6名.

故答案為：

6名.

這道題是加法和減法在實際生活中的應用，本題中的這個班共有42名同學,會卜象棋的有21名同學，會卜闈棋的有17名，兩種棋都不會的有10名，這個班的總?cè)藬?shù)減去兩

種棋都不會的人數(shù)就是會卜棋的；會卜象棋的有21名同學，會卜圍棋的有17名，兩個數(shù)相加梅i成去32就是既會卜象棋，也會卜圍棋的.

而

這個班共有42名同學，兩種棋都不會的仃108,兩個數(shù)相減就是會下根的；會下象棋的有21名同學，會下困棋的有17名，兩個數(shù)相加再減去32就是既會下象根，也會下雨

棋的.