2021-2022學年新教材湘教版高中數(shù)學必修第一冊4 .2 指數(shù)函數(shù)

4.2指數(shù)函數(shù)

1、指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減...............................................1

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)............................................5

3、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用(習題課)......................................11

1、指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減

1.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為()

①丁=/；②且。/1)；③>=1七④y=出一L

A.0個B.1個

C.3個D.4個

解析：選B由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確.

[a?2%,

2.已知函數(shù)段)=「%八若加(一1))=1,貝UQ=()

12x,x<0,

11

-

-氏

A.42

C.1D.2

解析：選A根據(jù)題意可得八一l)=2i=2,

，用(一D)=A2)=G22=1,解得。=；,故選A.

3.若指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象過點(2,4),則人3)的值為()

A.4B.8

C.16D.1

解析：選B設指數(shù)函數(shù)的解析式為?x)=tf(a>0,1),又由函數(shù)的圖象

經(jīng)過點(2,4),則/=4,解得a=2或a=—2(舍)，即火x)=2"所以火3)=23=

8,故選B.

4.已知人乃=爐+晨％?>0,且a#l),且汽1)=3,則汽0)+汽1)+五2)的值是()

A.14B.13

C.12D.11

解析：選C由火工)=〃+。七得五0)=。。+。0=2.

又加)=3,即a+a~l=3,(a+aTl)2=a2+2+ar2=9,.，.tz2+a-2=7,即

7(2)=7.

因此，人0)+{1)+次2)=2+3+7=12,故選C.

5.(多選)設指數(shù)函數(shù)八》)=爐他>0,且。/1),則下列等式中正確的是()

A.Hx+y)=/(x)Ky)

f(x)

B-

c.^=?-?

D.>x)=[/(%)]>eQ)

解析：選ABD>+y)=cf+y=(fd1=/%W)-故A中的等式正確；f(x-y)

/f(%)AAi]

xyy-

=a~=(fa~=~：~f(y)-故B中的等式正確；化J=ay=(“⑦，=

1

一。注(出加故C中的等式錯誤；加》)=。內(nèi)=(疝)"=|?]"，故D中的等式正確.

6.若函數(shù)兀￥)=(4—2a+2)(a+l)x是指數(shù)函數(shù)，則a=.

fa2—2a+2=l,

解析：由指數(shù)函數(shù)的定義得{a+1>0,

[a+lWl,

解得tz=1.

答案：1

7.已知函數(shù)段)=江+。3>0,且aWl)，其圖象經(jīng)過點(一1，5),(0,4),則

五一2)的值為

_1

a~'+b=5,所以人x)=gy+3,所以五一2)=

解析:由已知得，解得2

、a°+b=4,

”=3.

⑸+3=4+3=7.

答案：7

8.由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計算機的成本不斷降低，若每隔5年計算機

的價格降低;，則現(xiàn)在價格為8100元的計算機經(jīng)過15年價格應降為.

解析：5年后價格為8100x(1—j；10年后價格為8100x(1—15年后

價格為8100X(l-￡f=2400(元).

答案：2400兀

9.某生態(tài)文明小鎮(zhèn)2018年底人口為20萬人，人均住房面積為8n計劃

2022年底人均住房達到10n?,如果該鎮(zhèn)將每年人口平均增長率控制在1%,那

么要實現(xiàn)上述計劃，這個城市平均每年至少要新增住房多少萬平方米？(精確到1

萬平方米)

解：設這個城市平均每年要新增住房x萬m2,

據(jù)題意可得20X8+4X=20(1+1%)4.10,所以x=50X1.014—40^12.

所以這個城市平均每年至少需新增住房12萬m2.

10.已知函數(shù)人%)=(<?+。-5)"是指數(shù)函數(shù).

(1)求4x)的表達式；

(2)判斷R(x)=/(x)—八一x)的奇偶性，并加以證明.

解：(1)由/+a—5=1,a>0,且aWl,

可得a=2或。=一3(舍去)，=2\

(2)F(x)=2x-2"\

I.F(-x)=-F(x),I."力是奇函數(shù).

11.池塘里浮萍的生長速度極快，它覆蓋池塘的面積，每天可增加原來的一

倍.若一個池塘在第30天時剛好被浮萍蓋滿，則浮萍覆蓋池塘一半的面積是

()

A.第15天B.第20天

C.第25天D.第29天

解析：選D因為浮萍覆蓋池塘的面積，每天可增加原來的一倍，且第30

天時剛好被浮萍蓋滿，所以可知第29天時剛好覆蓋池塘的一半.故選D.

f\\ax

12.已知函數(shù)人=,a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過點(一1,2),則a=

,若g(x)=4r—2,且g(x)=?r),則x=.

解析：因為函數(shù)的圖象過點(一1,2),

所以（1）=2,所以a=l,

所以汽x）=g］：g（x）=/（x）可變形為4=—2=—2=0,

解得2r=2,所以x=-L

答案：1—1

13.已知函數(shù)兀V）滿足:對任意實數(shù)XI<%2,有/（XI）勺（X2）,且兀n+%2）=人制）次冷）,

若寫出一個滿足這些條件的函數(shù)，則這個函數(shù)可以寫為

解析：時，於1）勺（X2）,

.?優(yōu)X）為增函數(shù).

'."y（Xl+X2）=人為）7（X2）符合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),

...滿足條件的函數(shù)可以是丁=/（。>1）.

答案：丁=2飛底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)即可）

14.有一種樹栽植5年后可成材.在栽植后5年內(nèi)，該種樹的產(chǎn)量年增長率

為20%,如果不砍伐，從第6年到第10年，該種樹的產(chǎn)量年增長率為10%,現(xiàn)

有兩種砍伐方案：

甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐.

乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后過5年再砍伐一次.

請計算后回答：10年內(nèi)哪一個方案可以得到較多的木材？

解：設該種樹的最初栽植量為。，甲方案在10年后的木材產(chǎn)量為州=a（l+

20%）5（l+10%）5=a（1.2X1.1）5七4.01a

乙方案在10年后的木材產(chǎn)量為

”=2a（1+20%）5=2a-1.25^4.98a.

Va>0,.,.4.98tz>4.01（z,即,2>yi,

...乙方案能獲得更多的木材.

「/（I）1/（2）1f（H）

15.已知函數(shù)y=/（x），xGR,且-0）=3,；（0）=］，/（］）=］，…，于（〃—i）

=3，〃GN+，求函數(shù)y=/（x）的一個解析式.

解：當x增加1時函數(shù)值都以g的衰減率衰減,

所以函數(shù)人為為指數(shù)型函數(shù),

又汽0)=3,所以左=3,

所以人x)=3X，f.

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.函數(shù)40=^^的定義域為()

A.[-1,0)U(0,+°°)B.(-1,+0°)

C.[-1,+8)D.(0,+8)

x+1NO,一1,

解析：選A依題意得＜即<

2"一IWO,&手0.

故函數(shù)代勸的定義域為［―1,0)U(0,+8),故選A.

1

2.已知a>0且aWl,則函數(shù)尸法的值域為()

A.(0,+°°)B.(-8,1)U(1,+00)

C.(0,1)U(1,+8)D.(1,+8)

解析：選C設片;則y=",其中/W0.,.?/?(),af^a0,即又

1

<7>0,...、>()且yWl,即函數(shù)y=ax的值域為(0,1)U(1,+°°),故選C.

3.在同一坐標系中，函數(shù)y=ax+a與y=(/的圖象大致是()

解析：選B函數(shù)y=ax+a的圖象經(jīng)過(一1,0)和(0,a)兩點，選項D錯誤;

在圖A中，由指數(shù)函數(shù)的圖象得由的圖象得選項

A錯誤；在圖B中，由指數(shù)函數(shù)丁=〃的圖象得由的圖象得

選項B正確；在圖C中，由指數(shù)函數(shù)/的圖象得0<〃<1,由丁=以+〃的圖

象得。>1,選項C錯誤.故選B.

4.（多選）下列說法正確的是（）

A.函數(shù)y=3*與『的圖象關(guān)于y軸對稱

B.函數(shù)y=3'與y=||y的圖象關(guān)于x軸對稱

C.函數(shù)丁=3、與y=—的圖象關(guān)于原點對稱

D.函數(shù)丁=3工與y=-3工的圖象關(guān)于x軸對稱

解析：選ACD易知函數(shù)丁=戶與=相工的圖象關(guān)于丁軸對稱，且函

數(shù)y="與丁=一（/的圖象關(guān)于x軸對稱，所以函數(shù)y=a*與y=—g）的圖象關(guān)

于原點對稱，所以B說法錯誤.

5.（2021?湖南衡陽八中高一月考）設〃，b,c,d均大于0,且均不等于1,y

=〃，y=bx,y=c\y=#在同一坐標系中的圖象如圖，貝U〃，b,c,d的大小順

序為（）

A.a<b<c<dB.a<b<d<c

C.b<a<d<cD.b<a<c<d

解析：選C作出直線x=l,如圖所示.

直線x=l與四個函數(shù)圖象的交點從下到上依次為(1,b),(1,a),(1,d),(1,

c),因此a,b,c,d的大小順序是6<a<d<c,故選C.

6.已知函數(shù)y(x)=(x—a)(x—z?)(其中的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)=a*

+6的圖象是()

解析：選C由函數(shù)人x)的圖象可知，一1V6<O,a>l,則g(x)="+b為

增函數(shù)，當x=0時，g(0)=l+b>0,故選C.

7.函數(shù)3+3(。>0,且的圖象過定點.

解析：因為指數(shù)函數(shù)y=爐(。>0,且。W1)的圖象過定點(0,1),所以在函數(shù)

y=a「3+3中，令x—3=0,得x=3,此時y=l+3=4,即函數(shù)丁=“「3+3的圖

象過定點(3,4).

答案：(3,4)

2%x<0

8.若函數(shù)火%)=I。則函數(shù)人為的值域是____.

—2x,x>0,

解析:由尤V0,得0V2XV1；'：x>0,：.~x<0,Q<2~X<1,：.~1<~2~

"VO.?.函數(shù)於)的值域為(-1,0)U(0,1).

答案：(一1,0)U(0,1)

9.求下列函數(shù)的定義域、值域：

1

(l)y=0.3x—1；

⑵尸3行.

解：(1)由x—1W0得無W1,所以函數(shù)定義域為{x|xWl}.由士生0得yWl,

JCL

所以函數(shù)值域為{y|y>0且yW1}.

(2)由5%—120得所以函數(shù)定義域為1卜三%.由正二INO得

所以函數(shù)值域為{y|y》l}.

10.已知函數(shù)五x)=〃-i(x20)的圖象經(jīng)過點(2,號，其中a>0且aWl.

⑴求。的值；

(2)求函數(shù)y=Hx)(x》O)的值域.

解：(1)函數(shù)圖象經(jīng)過點(2,；),所以/T=g,則a=g.

(2)由(1)知函數(shù)為五x)=[j"l(xN0),由xNO,得x—lN—1.于是0<[；了1

wg)=2,所以函數(shù)的值域為(0，2].

11.(2021?廣東珠海高一月考)已知函數(shù)人乃滿足火工+1)的定義域是[0,31),

則人2、)的定義域是()

A.[1,32)B.[-1,30)

C.[0,5)D.(—8,30]

解析：選C：於+1)的定義域是[0,31),即0Wx<31,.,.K.x+l<32,，

兀t)的定義域是[1,32),

...人2工)有意義必須滿足2°=1<2V<32=25,.\0<%<5.

12.(多選)下列說法正確的是()

A.函數(shù)人x)=；在定義域上是減函數(shù)

B.函數(shù)加c)=2x—f與x軸有且只有兩個交點

C.函數(shù)y=2同的最小值是1

D.在同一坐標系中函數(shù)丁=2苫與丁=2七的圖象關(guān)于y軸對稱

解析：選CD對于A,五x)=：在定義域上不具有單調(diào)性；對1TL

于B,在同一坐標系中，畫出y=2*與的圖象，有三個交點，\10,

故函數(shù)火沙二？*—%2與x軸有三個交點，一個負值，兩個正值；對\\JA

于C,因為國三0,所以2因三20=1,所以函數(shù)了=2惻的最小值是1,'ol71'i

正確；對于D,在同一坐標系中，函數(shù)丁=2工與、=2七的圖象關(guān)于y軸對稱，正

確.故選C、D.

(1、|1一x|

13.若函數(shù)+m的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是

m|l—A-|

解析：作出函數(shù)g(x)=[]J

=\(2)'的圖象如圖所示.

〔2L1,x<l

由圖象可知0<g(x)Wl,則m<g(x)+m^1+m,

即m</(x)^l+m,

要使函數(shù)+m的圖象與x軸有公共點，則J解得一

3[m<0,

1W機＜0.

答案：[—1,0)

14.設兀0=3',g(x)=(j.

(1)在同一平面直角坐標系中作出火x),g(x)的圖象；

(2)計算人1)與g(—1),-n)與g(~n),式咽與g(一機)的值，從中你能得到什

么結(jié)論？

解：(1)函數(shù)於),g(x)的圖象如圖所示:

(2求1)=31=3,g(T)=

則)=3n,g(-n)=g)=3"；

找m)=3”\g(一咐=0=3m

從以上計算的結(jié)果看，兩個函數(shù)當自變量取值互為相反數(shù)時，其函數(shù)值相等,

即當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)時，它們的圖象關(guān)于y軸對稱.

15.設於尸言一，g(x)=^^(其中a>0且aWl).

⑴由5=2+3,請你探究g(5)能否用火2),:3),g(2),g(3)來表示;

(2)如果你在(1)中獲得了一個結(jié)論，請?zhí)骄磕芊駥⑵渫茝V.

a5—a5

解：(l)...g(5)=-y—,

/2)g(3)+g(2/3)

cr+a^-c？—cT3cr—cT-tz3+a-3

_-22-+-22-

=^(＜25+tz—o-1—a5a5—a-\-a~]~a~5)

=|(＜75—a-5),

...g(5)=/(3)g(2)+g(3次2).

(2)探究(1)中的等式，可以得g(x+y)=Ax)g(y)+g(x)1/(y)恒成立.

證明：加)g(y)+g(x次y)

cf+a~xay-a~yax—a~xav+tz-y

_-22-+-22-

=；(爐+〉+口廠￡一〃、一相廠'+/+＞一。廠'+爐-＞一屋廠＞)

=；(爐+＞—。-廠＞).

,(f+y~a~x~y

'-*g(x+y)=5,

g(x+y)=/U)g(y)+g(切(y)-

3、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用(習題課)

1.函數(shù)人x)=(4§尸在區(qū)間［1,2］上的最大值是()

A.坐B.小

C.3D.24

解析：選C因為小>1,所以指數(shù)函數(shù)火%)=(5)x為增函數(shù)，所以當x=2

時，函數(shù)取得最大值，且最大值為3.

2.已知。=匹，b=203,c=0.3°-2,則a,b,c三者的大小關(guān)系是()

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>b>cD.c>b>a

解析：選Aa=^/03=0.3°-5.

??7(x)=0.3x在R上單調(diào)遞減，

.，.0.3°-5<0.3°-2<0.3Ma<c<l.

又5=2。3>2。=1,：.a<c<b,故選A.

3.?=2W,x?R,那么五%）是（）

A.奇函數(shù)且在(0,+8)上是增函數(shù)

B.偶函數(shù)且在(0,+8)上是增函數(shù)

C.奇函數(shù)且在(0,+8)上是減函數(shù)

D.偶函數(shù)且在(0,+8)上是減函數(shù)

解析：選B由x?R且五一x)=/(x)知人乃是偶函數(shù)，當x>0時，五%)=2,是

增函數(shù).

4.指數(shù)函數(shù)人為二爐色>。，aWl)在R上是減函數(shù)，則函數(shù)8⑴=儂一？)%3在

R上的單調(diào)性為()

A.單調(diào)遞增

B.在(0,+8)上遞減，在(一8,0)上遞增

C.單調(diào)遞減

D.在(0,+8)上遞增，在(一8,0)上遞減

解析：選C?指數(shù)函數(shù)1x）="（a>0,a手l）在R上是減函數(shù)，

/.O<Q<1,

.?.〃一2<0,

.?送。）=（。一2）式在R上是減函數(shù)，故選C.

5.（多選）若於）=3，葉1,則（）

A.於）在［T,1］上單調(diào)遞增

B.丁=3工+1與y=（1『+l的圖象關(guān)于y軸對稱

C.段）的圖象過點（0,1）

D.段）的值域為［1,+8）

解析：選AB汽x）=3'+l在R上單調(diào)遞增，則A正確；y=3"+l與丁=3七

+1的圖象關(guān)于y軸對稱，則B正確；由五0）=2,得人x）的圖象過點（0,2）,則

C錯誤；由3、>0,可得火為>1,則D錯誤.故選A、B.

1

6.函數(shù)y=3l的單調(diào)遞減區(qū)間是.

解析：設M=：,則y=3",

因為”=一在（一8,0）和（0,+8）上是減函數(shù)，

且y=3"在R上是增函數(shù)，

1

所以函數(shù)y=3x的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,0）和（0,+°°）.

答案：（一8,0）和（0,+°°）

一%+3。，x<0,

7.函數(shù)人x）=1r（。>°，且。?1）是R上的減函數(shù)，則。的取

值范圍是.

解析：由單調(diào)性定義，火乃為減函數(shù)應滿足：

0<tZ<l,1

<、n即WWaVl.

［3a^a0,3

答案：,1）

W+i

8.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；奇偶性為.

解析：設"=一國+1,則,,易知"=一國+1的單調(diào)遞減區(qū)間為[0,+

8),y=&是減函數(shù)，

W+1

的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,+°°).

門、一|一丫|+1m—M+1

..?五一勸=[/=?,

.?.小)是偶函數(shù).

答案：[0,+8)偶函數(shù)

9.已知函數(shù)月乃=/(。>0,且aWl)的圖象經(jīng)過點(2,4).

⑴求a的值；

(2)若任+1<0-1,求％的取值范圍.

解：(l)V?=av(t?>0,且aWl)的圖象經(jīng)過點(2,4),，/=4,又a>0,且

ci-^-1,??4=2.

(2)由(1)得a=2,由/》+1<。3廠1,代入。=2,可得22/1<231，由指數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性可知2x+l<3x—l,解得x>2,即x的取值范圍是(2,+8).

10.設0WxW2,y=4x—g—3?2，+5,試求該函數(shù)的最值.

解:令1=2',0WxW2,

則y=22-^1—3-2A+5=^—3r+5.

配方得3)2+3，/G[l,4],

3)2+1,re[1,3]上是減函數(shù)；?e[3,4]上是增函數(shù)，

,1

/.當/=3時L，^min=2：

,L5

當1=1時，ymax=2-

故函數(shù)的最大值為最小值為;.

11.若不等式2f+iwgy2的解集是函數(shù)y=2,的定義域，則函數(shù)y=2,

的值域是（）

」、「1一

A.g,21B.R,2

c[-4|D.[2,+00）

解析：選B由之得2/+lW2-2x+4,即/+iw—2x+4,解

得一3WxWl,所以函數(shù)y=2”的定義域為[—3,1].由于函數(shù)丁=2、在R上單調(diào)

遞增，故當x=-3時取得最小值1，當x=l時取得最大值2,所以函數(shù)的值域

O

為2.故選B.

12.（多選）函數(shù)'=五%）=爐一a|（a>0且aWl）的圖象可能為（）

解析：選BC當時，不妨取a=2,則丁=0-2]的圖象如圖①，故C

正確.

當0<a<l時，y=|</-a|的大致圖象如圖②，故B正確.

13.已知函數(shù)五%）=6爐（其中a,6為常數(shù)，a>0,且aWl）的圖象經(jīng)過A（l,

6),3(2,18)兩點.若不等式(|)”十伴(一機20在x?(—8,1］上恒成立，則實

數(shù)m的最大值為.

ba=6,〃=3,

解析：由已知可得，2,c解得，c

=18,［b=2,

則不等式仔)+g)—機巳0在x?(—8,Il上恒成立，設且(%)=住)+(；)—

m,

顯然函數(shù)g(%)=0+(；)—加在(一8,1］上單調(diào)遞減，

217

?????W^<g(l)=3+2—m=6—m,

77

故4一加20,即

、7

...實數(shù)m的最大值為1

o

答案：I

14.已知函數(shù)人x)=2「.

3

(1)求人0)—2，X或X2<的值；

(2)若函數(shù)/z(x)=/(x)+g(x),且/z(x),g(x)滿足下列條件：

①"(X)為偶函數(shù)；

②h(x)》2且mxGR使得A(x)=2；

③g(x)>0且g(x)恒過(0,1)點.

寫出一個符合題意的函數(shù)g(x),并說明理由.