2020-2021學(xué)年大慶中學(xué)高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析)

2020-2021學(xué)年大慶中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知集合力={1,2},B={2,4},則4UB=()

A.{2}B.{1,2,2,4}C.{1,2,4}D.0

2,下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)的是()

A.y=-x2+2xB-y=x3

c.p=2-”+1D.y=log2x

08

3.已知函數(shù)/(%)在R上是減函數(shù)，且a=/(logslO),b=/(log39.1),c=/(2),則a,b,c的

大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

4,若函數(shù)/(%)=logal%-b|在(-8,0)上是增函數(shù)，則a,b的值可能是()

A.a=2,b=2B.a=I，=|

C.a=2,b=—2D.a=2,b=—

5.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的

“高斯函數(shù)”為：設(shè)第ER,用[用表示不超過久的最大整數(shù)，則y=[%]稱為高斯函數(shù)，例如：

[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函數(shù)/0)=三一號函數(shù)0(%)=[/(%)],則下列命題中真命題的

個數(shù)是()

①9(%)圖象關(guān)于i=0對稱，②/(%)是奇函數(shù)，③/(%)在R上是增函數(shù)，④g(%)的值域是

A.1B.2C.3D.4

+2%<1

2'，設(shè)a€R,若關(guān)于x的不等式/⑶2|；+a|在R上恒成立，則a的

XI一■X-L.

x

取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-273,2]C.[-2,2^3]D.[―2百,2次]

7.已知函數(shù)f(x)=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=號對稱，則實數(shù)a的值為()

A.-V3B.-qC.V2D.四

32

8.一圓錐側(cè)面積是其底面積的3倍，則該圓錐側(cè)面展開圖圓心角的弧度數(shù)為()

A27rn兀"兀c

A-yB-4C.-D.n

9.若函數(shù)/（?=2s譏（3x）在區(qū)間【Y，勺上存在最小值為-2,則非零實數(shù)3的取值范圍是（）

A.（-00,-2]B.[6,+oo）

C.（-00,-2]u[p+°°）D.（-8,一勺u[6,+8）

10.在△ABC中，tanAsin2B=tanBsin^A,那么△ABC一定是

A.銳角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

11.將y=s譏2%的圖象向左平移子個單位，則平移后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)的解析式為（）

A.y=sin(2x+g)B.V=sin(2x--)

o6

C.y=Sin（2x+g）D.y=sin（2x-柒

12.函數(shù)f（x）=久一2+|"久|在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.函數(shù)/。）=與零的定義域是（用區(qū)間表示）.

14.平面向量落另滿足力=（1,1）,\b\=2.且加J_位一號及，則向量五與B的夾角為.

O^rr

15.如圖，在AABC中，BC=2,AB=^6,^ACB=―,點E在邊AB上，MzXCF=ABCE,將射

線CB繞著C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，并在所得射線上取一點D,使得CD=W-1，連接。E,則ACDE

的面積為.

16.函數(shù)y=sin?%+W)的周期為.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知集合后={X\X=…,％n)，/WN*,i=1,2,???,n](n>2).對于A=Qalfa2,...,an),B=

9

(瓦,一，,,,，g)ETn,定乂；AB=(瓦—G],b?—g，…，"n—^n)入(。1，。2,,,,，—n)=

…,WR);Z與B之間的距離為d(4B)=Yd=iI小一瓦I,

(I)當(dāng)71=5時，設(shè)4=(1,2,1,2,。5)，B=(2,4,2,1,3).若d(4B)=7,求

(口)證明：若4B,CETn,且m2>0,使四=2就，則d(A,B)+d(8,C)=dQ4,C);

(HI)記/=(1,1,...」)€說,若a,BETn,且d(/,A)=d(/,B)=p,求d(4B)的最大值.

18.已知全集U=R,若集合力={%|-2<%<4},B={x\x—m<0].

(1)若m=3,求力C(CuB)；

(2)若ACB=4,求實數(shù)小的取值范圍.

19.如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角a和鈍角0的終邊分別與單位圓交于4B兩點,且點4的

橫坐標是支點8的縱坐標是

/T、、igSin(7r—6)+cos(7r+N)q「/+

(I)計算$m弓一幻+8$吟+.)的值;

(U)若芯=2同則求點C的坐標.

20.已知南為第三象限角

［蜘岷-勰,_腋》曷麻《一,儂一礴

(1)化簡煲堿(2)若瞬哪第-,求知f礴的值.

21.已知函數(shù)/O)=&sin(x-￡),刀eR

⑴求函數(shù)/(x)的最小正周期和值域；

(2)設(shè)S為實常數(shù)，若在開區(qū)間(0,兀)內(nèi)/(*)=zn有且只有1個實數(shù)根，求小的取值范圍.

22.設(shè)/(x)是定義在［a,加上的函數(shù)，用分點T：a=x0<x1<<xt<-xn=6將區(qū)間［a,b］

任意劃分成幾個小區(qū)間，如果存在一個常數(shù)M>0,使得和(陽)—<M(i=

1,2，…,n)恒成立，則稱/(?為［a,6］上的有界變差函數(shù).

(1)函數(shù)/(x)=/在［0,1］上是否為有界變差函數(shù)？請說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)/(尤)是［a,句上的單調(diào)遞減函數(shù)，證明："X)為［a,6］上的有界變差函數(shù)；

(3)若定義在［a,0上的函數(shù)f(x)滿足:存在常數(shù)匕使得對于任意的與、冷e阿加時，，(久1)-/(冷)14

k-%—也1?證明：/(一為［a,句上的有界變差函數(shù).

參考答案及解析

1.答案：C

解析：本題考查了并集及其運算，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.

解：???4={1,2},B={2,4},

???XUB={1,2,4}.

故選：C.

2.答案：C

解析：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間。

A、p=_工？+2工開口向下，對稱軸為：x=l,即該函數(shù)在［1,+8)上單調(diào)遞減，故不滿足題意；

B、7二工3在R上單調(diào)遞增，故不滿足題意；

c、y=2-”+1在R上單調(diào)遞減，即滿足在(0,+8)上是減函數(shù)；

。、y=log?x在(。,+8)上單調(diào)遞增，不滿足題意；

故選：Co

3.答案：A

08

解析:解：根據(jù)題意，函數(shù)/(%)在R上是減函數(shù)，且a=/Qog310),b=/(log39.1),c=/(2),

10-8

又由logslO>log39.1>log39=2=2>2,

則有a<b<c；

故選：A.

根據(jù)題意，由對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得Iog310>log39.1>log39=2=2i>20?8,結(jié)合函數(shù)

的單調(diào)性分析可得答案.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的定義.

4.答案：B

解析：解：令t=|x-b|,該函數(shù)在(-8,6)上為減函數(shù)，

要使函數(shù)/(%)=loga|x-b|在(一8,0)上是增函數(shù)，

則外層函數(shù)y=log/是定義域內(nèi)的減函數(shù)，貝1]0<a<1,

由t=|x—b|在(一8,0)上恒大于0,則b20,

a,6的值可能是a=],￡>=|.

故選：B.

令t=|x—b|,該函數(shù)在(一8,6)上為減函數(shù)，要使函數(shù)/(x)=logalx-b|在(一8,0)上是增函數(shù)，可

得0<a<l,再由橢圓可得620,則答案可求.

本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法.對應(yīng)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定

函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行判斷，判斷的依據(jù)

是“同增異減”，是中檔題.

5.答案：B

解析：解：根據(jù)題意知，〃久)=二—：=：—2.

l+ex22l+ex

g⑴==[￡一芻=o,。(一i)=V(T)]=[a一芻=t，

???g(i)Kg(T)，g(i)力一g(T)，

???函數(shù)g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，①錯誤；

,?"(一久)=￡三一3=看一號=一/0)，???/'CO是奇函數(shù)，②正確；

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知=巳-5萬在R上是增函數(shù)，③正確；

11

g。)=[/(x)]=[-1,0},④錯誤.

故選：B.

利用特殊值判斷函數(shù)的奇偶性，判斷①；奇偶性的定義判斷②；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷③；求出值

域判斷④即可.

本題考查命題的真假的判斷，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的對稱性，函數(shù)的值域的求法，是函數(shù)的性質(zhì)

的應(yīng)用與基本知識的考查.

6.答案：A

解析：

根據(jù)題意，作出函數(shù)f(x)的圖象，令g(x)=E+a|,分析g(x)

的圖象特點，將不等式/(%)>弓+研在R上恒成立轉(zhuǎn)化為函

數(shù)/(%)的圖象在g(x)上的上方或相交的問題，分析可得

f(0)2g(0)，即2>|a|,解可得a的取值范圍，即可得答案.

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是作出函數(shù)/(?的圖象，將

函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為圖象的上下位置關(guān)系.

解：根據(jù)題意，函數(shù)/'(久)=1,2\.的圖象如圖：

令g(x)=Ij+a|，其圖象與無軸相交與點(-2a,o),

在區(qū)間(-8,-2a)上為減函數(shù)，在(-2a,+8)為增函數(shù),

若不等式/。)>||+a|在R上恒成立，則函數(shù)/(%)的圖象在

g(x)上的上方或相交，

則必有/(0)2g(0),

即2>|a|,

解可得一2<a<2,

故選：A.

7.答案：B

解析：

考查三角函數(shù)輔助角公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，注意函數(shù)的對稱軸就是函數(shù)取得最

值，考查計算能力.

利用輔助角公式化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過x=與，函數(shù)取得最值，求出a的值

即可.

解：y=sinx+acosjc=VTF涯sin(x+,),在對稱軸處取得最大值或最小值，

sin—+acos—=+V1+a2,

33—

即—但+1a=+/m7,解得a=—四；

22—3

故選艮

8.答案：A

解析：解：設(shè)母線長為R,底面半徑為丁，

???底面周長=2nr,底面面積=nr2,側(cè)面面積=沙=冗rR,

??,側(cè)面積是底面積的3倍，

???3兀廠2=RTR,R=3r,9=-=—.

R3

故選：A.

設(shè)出圓錐的母線與底面半徑，利用已知條件列出方程求解即可.

本題考查圓錐的展開圖，扇形和圓錐的相關(guān)計算，考查空間想象能力以及計算能力.

9.答案:C

解析：解：:函數(shù)/(久)=2s譏3X在區(qū)間上的最小值是-2,

又y=2sincox(xG7?)G[—2,2]

當(dāng)％e[-3m上有最小值為-2時，有：

①當(dāng)3>0時，即一<3%<^3,

由題意得一窕三一方，解得32|;

②當(dāng)3<0時，W3%〈~^a),

由題意知33<—解得3<—2,

綜上，符合條件的實數(shù)3的取值范圍為：(-8,-2]U[|,+8).

故選：C.

首先，分兩種情形進行討論：3>0和3<0,然后，分別求解即可.

本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，考查二角函數(shù)基本知識的掌握程度，屬中檔題.

10.答案:c

解析：解：在△ZBC中，tanAsin2B=tanBsin2A,

化簡得：“里?2sinBcosB=巴里-2sinAcosA,

cosAcosB

整理得：cos2^=cos2>l,BP|(1+cos2B)=|(1+cos2A),

化簡得：cos2A=coslB,

???2a=2B,即4=B,

則△ABC為等腰三角形，

故選：c.

利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系切化弦，以及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用二倍角的余

弦公式變形得到cos2A=cos2B,進而得到4=B,即可確定出三角形為等腰三角形.

此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運用，熟練掌握公式是

解本題的關(guān)鍵.

11.答案：C

解析：解：將y=s譏2久的圖象向左平移質(zhì)個單位，則平移后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=

sin2(x+￡)=sin(2x+1),

故選C.

將y=s譏2久的圖象向左平移g個單位，則平移后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=s出2(x+勺,

6o

由此得出結(jié)論.

本題主要考查y=AsinQcox+。)的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：C

解析：解：函數(shù)/'(X)=x-2+|仇光|在定義域內(nèi)零點的個數(shù)

就是方程2-%=|濟久|的解的個數(shù)，也就是函數(shù)y=2-x與

y=|"x|圖象交點個數(shù)，

在同一坐標系中畫出：兩個函數(shù)的圖象如圖：

可知兩個函數(shù)有兩個交點，原函數(shù)的零點有兩個.

故選：C.

函數(shù)的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)利用數(shù)

形結(jié)合求解即可.

本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，考查計算能力.

13.答案:(—3,0)

解析：

本題考查函數(shù)的定義域，涉及指數(shù)對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)函數(shù)“X)的解析式，結(jié)合指

數(shù)對數(shù)函數(shù)的定義域和性質(zhì)，求出使解析式有意義的自變量x的取值范圍即可.

解：???函數(shù)”久)=3霉

%+3>0

1-2X>0'

解得一3<x<0,

???/。）的定義域是（一3,0）.

故答案為（-3,0）.

14.答案：3

解析：解：根據(jù)題意，設(shè)向量五與石的夾角為。，

a=（1,1）,則|初=V2,

若石10-/），則隹位一轉(zhuǎn)）=N.9—/2=2/cos。一2=0,

解可得cos。=—,

2

又由0<6<71,則。=

故答案為：

根據(jù)題意，設(shè)向量云與石的夾角為0,求出五的模，由另1Q-尹），可得點位一物）=小另一物2=

2/cos。-2=0,解可得cos。的值，結(jié)合8的范圍，分析可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量的坐標計算，屬于基礎(chǔ)題.

15.答案：3百一5

解析：

本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查運算求解能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

由已知利用余弦定理可求4C的值，由正弦定理可求sin/BAC的值，利用正弦定理求得CE的值，可求

NECD為直角，根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

解：由AB?=4。2+8。2-2&C-BCCOSN4CB,

得+22。—2=0,解得AC=V3-1.

ZB

因為BC

sinz.BACsinz.ACB

所以sin?C*,皿C*

D

所以sinZ_4EC=sin(Z71CE+乙BAC)

71、V6+V2

=si.n(,n-+,-)=-----

、34y4

I八I/J-,

sinz.BACsinz.AEC

所以CE=，髻=4-2V3.

4

因為NEC。=乙BCE+乙BCD=

所以SADCE=|C￡-CD=3A/3-5.

故答案為38-5.

16.答案:4兀

解析：解：函數(shù)y=sinG%+?)的周期為竽=4兀，

故答案為：47r.

由條件利用利用函數(shù)y=Asin(cox+⑴)的周期為詈，得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)y=4si7i(3久+卬)的周期性，利用了函數(shù)y=+")的周期為巴，屬于基

CO

礎(chǔ)題.

17.答案：(I)解：4=(1212-5)，3=(2,421,3).

由d(4B)=%1|%-加|=7,

得d(A,B)=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+\a^—3|=5+|@5-3|=7.

|。5—3|=2,

解得：a3=1或的=5；

(II)證明：設(shè)/=QL…>a?i)，B=(瓦,…，bn),C=(q,C2,...,cn)GTn

???AB=ABC,

???AB=(瓦—altb2—a2,''',bn—an)=A(ct—瓦，c2—b2,...,cn—bn),

???+d(B,C)=斃11%—加I+EH】I1一q|,d(4C)=%|七-Q|,

d(4B)+d(B,C)=d(4C)；

(皿)角牛：,*,I—(1,1,…,1),A—…a?i)9B=(bi，b?,,bfi)9

由d(/,A)==P,

得%—11+|。2-1|+1。3—1|+…+|%i—1|=P，

|瓦一1|+|b2-l|+四一1|+…+\bn-1\=P.

_

???d(A,B)=1%-瓦I+b2\+\a3-b3\4----卜\an-bn\

=1(%-1)一(瓦-1)1+1(@2-1)一電-1)1+1(@3-1)一?.1)1+…+15-1)一(4-1)|

a

W|。1-1|+I瓦-1|+|。2-1|+電—1|+…+\n-1|+|bn-1|=2P.

■-.d(4B)的最大值為2P.

解析：試題分析：(I)直接利用新定義運算,結(jié)合d(4B)=7,把式=(1,2,1,2,a5),B=(2,4,2,1,3)代

入4與B之間的距離d(4B)=￡之1|七一仇即可求解a5的值；

(□)利用新定義，結(jié)合荏=2就，即可怎么d(4B)+d(B,C)=d(4C)；

(HI)由=d(l,B)=P,得到—1|+|<22-1|+|。3—1|+…+(n—1|=P，I瓦—1|+1。2—

---a

1|+|Z?3~l|++|bn-1|=P.然后把d(4B)=-瓦|+|a2一1+l3—1+…+|nn~bn\)

利用絕對值不等式放縮得答案.

18.答案：解：(1)當(dāng)巾=3時，B={x|x<3},

所以18={利久23},

又集合4={%|-2<%<4],

故An(CuB)={x[3<x<4].

(2)4ClB=A,得，AQB,

故實數(shù)ni的取值范圍是m>4.

解析：(1)由集合B求出QB,再求出集合4與集合B的補集的交集即可；

(2)由集合4是集合8的子集，求出小的取值范圍.

本題考查集合的交并補運算，以及由集合間的關(guān)系求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題.

19.答案：(I)根據(jù)三角函數(shù)的定義得，

cosa=-,sinp=|.

a的終邊在第一象限，；.sina-1.

???B的終邊在第二象限，COS0=-等?

sin(7T-/?)+cos(7r+/?)sinp-cosp、彳

41

sin(^.a)+cos(|+a)=cosa_sina=--2V6.

(H)X(|,5(―?設(shè)C(x,y).

則2話=(年J前=Q—|,y—)

解析：（I）根據(jù)三角函數(shù)的定義可求cosa,sin，,結(jié)合a、夕的終邊位置可求sizia,cos，，代入即可

求得。

（II）分別求得4B點坐標，表示出向量48和AC,根據(jù)羽=2歷即可求得C點坐標。

20.答案：（1）一奧相福（2）紀?

解析：試題分析：（/）.翼喻=-虱壁懿（2）孥

蝴喊口-T?2M三1帶畿圈刎j冢_礴：

⑴弱堿=-------逡----&-----------

他3喊-舷一成姆堿一雄一棒

即奠籥》的值為止（10分）

考點：誘導(dǎo)公式和同角關(guān)系式

點評：熟練的運用三角函數(shù)中誘導(dǎo)公式以及同角的關(guān)系式來求解和化簡，易錯點就是誘導(dǎo)公式的符

號的確定，屬于基礎(chǔ)題。

yf

21.答案：解：（1）對于函數(shù)/（x）=&sin（x—J久6R,它一

的周期為2兀，值域為［-/,迎］.

(2)???在開區(qū)間(0,兀)內(nèi)f(x)=小有且只有1個實數(shù)根，故在開區(qū)間(0,兀)內(nèi)，

y=的圖象和直線y=m有且只有1個交點.

由久_：6(—午)，可得sin(x—彳)€*1］,V2sin(x-^)e(―\/2,V2］,

結(jié)合圖象可得爪=&,或一立爪<五.

22

解析：