2019年浙江省金華市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年浙江省金華市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）.

1.（3分）（2019?金華）實數(shù)4的相反數(shù)是（）

A.-LB.-4C.工D.4

44

【考點】14：相反數(shù)；28：實數(shù)的性質(zhì).

【專題】511：實數(shù).

【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的定義即可判定選擇項.

【解答】解：???符號相反，絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)，，4的相反數(shù)是-4；

故選：B.

【點評】此題主要考查相反數(shù)的定義：只有符號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù).

2.（3分）（2019?金華）計算正確的結果是（）

A.2B.3aC.a2D.cz3

【考點】48：同底數(shù)幕的除法.

【專題】512：整式；66：運算能力.

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕除法法則可解.

【解答】解：由同底數(shù)哥除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減知，/+/=小-3=/.

故選：D.

【點評】本題是整式除法的基本運算，必須熟練掌握運算法則.本題屬于簡單題.

3.（3分）（2019?金華）若長度分別為a,3,5的三條線段能組成一個三角形，則。的值可

以是（）

A.1B.2C.3D.8

【考點】K6：三角形三邊關系.

【專題】552：三角形.

【分析】根據(jù)三角形三邊關系定理得出5-3<a<5+3,求出即可.

【解答】解：由三角形三邊關系定理得：5-3<。<5+3,

即2<a<8,

即符合的只有3,

故選：C.

【點評】本題考查了三角形三邊關系定理，能根據(jù)定理得出5-3<a<5+3是解此題的關

鍵，注意：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.

4.（3分）（2019?金華）某地一周前四天每天的最高氣溫與最低氣溫如表，則這四天中溫差

最大的是（）

星期一二三四

最高氣溫10°C12°C11°C9°C

最低氣溫3°C0°C-2°C-3°C

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四

【考點】1A：有理數(shù)的減法.

【專題】511：實數(shù).

【分析】用最高溫度減去最低溫度，結果最大的即為所求；

【解答】解：星期一溫差10-3=7℃；

星期二溫差12-0=12℃；

星期三溫差11-（-2）=13℃；

星期四溫差9-（-3）=12℃；

故選：C.

【點評】本題考查有理數(shù)的減法；能夠理解題意，準確計算有理數(shù)減法是解題的關鍵.

5.（3分）（2019?金華）一個布袋里裝有2個紅球、3個黃球和5個白球，除顏色外其它都

相同.攪勻后任意摸出一個球，是白球的概率為（）

A.工B.2C.1D.-Z-

210510

【考點】X4：概率公式.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】讓白球的個數(shù)除以球的總數(shù)即為摸到白球的概率.

【解答】解：袋子里裝有2個紅球、3個黃球和5個白球共10個球，從中摸出一個球是

白球的概率是旦』.

102

故選：A.

【點評】本題考查的是隨機事件概率的求法.如果一個事件有〃種可能，而且這些事件

的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)機種結果，那么事件A的概率P（A）=2.

n

6.（3分）（2019?金華）如圖是雷達屏幕在一次探測中發(fā)現(xiàn)的多個目標，其中對目標A的位

置表述正確的是（)

90°長度單位：km

270°

A.在南偏東75°方向處B.在5物處

C.在南偏東15°方向56處D.在南偏東75°方向5加1處

【考點】IH：方向角.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據(jù)方向角的定義即可得到結論.

【解答】解：由圖可得，目標A在南偏東75°方向5加2處，

故選：D.

【點評】此題主要考查了方向角，正確理解方向角的意義是解題關鍵.

7.（3分）（2019?金華）用配方法解方程7-6x-8=0時，配方結果正確的是（）

A.（X-3）2=17B.（X-3）2=14C.Cx-6）2=44D.（x-3）2=1

【考點】A6：解一元二次方程-配方法.

【專題】11：計算題；521：一次方程（組）及應用.

【分析】方程利用完全平方公式變形即可得到結果.

【解答】解：用配方法解方程--6尤-8=0時，配方結果為（x-3）2=17,

故選：A.

【點評】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

8.（3分）（2019?金華）如圖，矩形ABC。的對角線交于點。.己知AB=7〃，NBAC=Nct,

A.ZBDC=ZaB.tanaC.AO=—2—D.BD=——

2sinQcosa

【考點】LB：矩形的性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【專題】556：矩形菱形正方形；55E：解直角三角形及其應用.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出NABC=/OCB=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,

AB^DC,再解直角三角形求出即可.

【解答】解：A、：四邊形A8C。是矩形，

AZABC^ZDCB=90°,AC=BD,49=CO,BO=DO,

：.AO=OB=CO=DO,

:./DBC=NACB,

由三角形內(nèi)角和定理得：/BAC=/BDC=/CL,故本選項不符合題意；

B、在RtZkABC中，tana=納，

ID

即BC=m*tana,故本選項不符合題意；

。、在Rt^ABC中，AC=——,即AO=—2—,故本選項符合題意；

cosa2cosCl

。、;四邊形A8C0是矩形，

.\DC=AB=m,

9：ZBAC=ZBDC=a,

???在RtZ^DCB中，BD=——,故本選項不符合題意;

cosa

故選：C.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和解直角三角形，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關鍵.

9.（3分）（2019?金華）如圖物體由兩個圓錐組成.其主視圖中，ZA=90°,ZABC=105°,

若上面圓錐的側面積為1,則下面圓錐的側面積為（）

A.2B.>/3C.上D.J2

2

【考點】MP：圓錐的計算.

【專題】55C：與圓有關的計算.

【分析】先證明△42。為等腰直角三角形得到NABD=45°,揚2,再證明△CBO

為等邊三角形得到BC=BD=yf2AB,利用圓錐的側面積的計算方法得到上面圓錐的側面

積與下面圓錐的側面積的比等于AB：CB,從而得到下面圓錐的側面積.

【解答】解：???NA=90°,AB=AD,

:.AABD為等腰直角三角形，

AZABD=45°,BD=y/2AB,

VZABC=105°,

：.ZCBD=60°,

而CB=CD,

AACBD為等邊三角形，

：.BC^BD=-.f2AB,

:上面圓錐與下面圓錐的底面相同，

上面圓錐的側面積與下面圓錐的側面積的比等于A3：CB,

...下面圓錐的側面積=加義1=&.

故選：D.

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓

錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.也考查了等腰直角三角形和等邊三角形

的性質(zhì).

10.（3分）（2019?金華）將一張正方形紙片按如圖步驟，通過折疊得到圖④，再沿虛線剪

去一個角，展開鋪平后得到圖⑤，其中FM,GN是折痕.若正方形EFGH與五邊形MCNGF

的面積相等，則里的值是（）

GF

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；P9：剪紙問題.

【專題】28：操作型；556：矩形菱形正方形.

【分析】連接HR設直線與邊的交點為尸，根據(jù)剪紙的過程以及折疊的性質(zhì)得

/且正方形斯G8的面積=Lx正方形ABCD的面積，從而用。分別表示出線段

5

GF和線段MF的長即可求解.

【解答】解：連接HF,設直線與邊的交點為P,如圖：

由折疊可知點P、H、F、M四點共線，MPH=MF,

設正方形ABCD的邊長為2a,

則正方形ABCD的面積為4a2,

,/若正方形EFGH與五邊形MCNGF的面積相等

由折疊可知正方形EFG8的面積=Lx正方形A3C。的面積=&a2,

55

正方形EFGH的邊長GF=^Aa2=2^5_a

；?HF=MGF=^J^-a

5

2技

/.MF=PH=———~：=5~VT^q

25

.FM=5~VI^-2旄_^V5-V2

"GF-5-I-5-a-2-

故選：A.

【點評】本題主要考查了剪紙問題、正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，由剪紙的過程得到

圖形中邊的關系是解題關鍵.

二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）

11.（4分）（2019?金華）不等式3x-6W9的解是xW5.

【考點】C6：解一元一次不等式.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應用.

【分析】根據(jù)移項、合并同類項、化系數(shù)為1解答即可.

【解答】解：3x-6W9,

3xW9+6

3xW15

%W5,

故答案為：x<5

【點評】本題考查了解一元一次不等式，能根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集是解此

題的關鍵.

12.（4分）（2019?金華）數(shù)據(jù)3,4,10,7,6的中位數(shù)是6.

【考點】W4：中位數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】將數(shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)中位數(shù)的概念求解可得.

【解答】解：將數(shù)據(jù)重新排列為3、4、6、7、10,

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6,

故答案為：6.

【點評】考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的能力.注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序,

然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求,

如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).

13.（4分）（2019?金華）當x=l,■時，代數(shù)式/+2盯+/的值是.

-3""一旦一

【考點】59：因式分解的應用.

【專題】512：整式.

【分析】首先把/+2盯+/化為（尤+y）2,然后把x=L產(chǎn)-L弋入，求出算式的值是

3

多少即可.

【解答】解：當x=l,y=-L時，

x+2xy+y

(x+y)

4

9

故答案為：—

9

【點評】此題主要考查了因式分解的應用，要熟練掌握，根據(jù)題目的特點，先通過因式

分解將式子變形，然后再進行整體代入.

14.（4分）（2019?金華）如圖，在量角器的圓心。處下掛一鉛錘，制作了一個簡易測傾儀.量

角器的0刻度線42對準樓頂時，鉛垂線對應的讀數(shù)是50。，則此時觀察樓頂?shù)难鼋嵌?/p>

數(shù)是40。.

【考點】TA：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】過A點作ACLOC于C,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求NOAC,再根據(jù)仰角的定

義即可求解.

【解答】解：過A點作ACLOC于C,

VZAOC=50°,

：.ZOAC=40°.

故此時觀察樓頂?shù)难鼋嵌葦?shù)是40°.

故答案為：40°.

【點評】考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，仰角是向上看的視線與水平線的

夾角，關鍵是作出輔助線構造直角三角形求出/OAC的度數(shù).

15.（4分）（2019?金華）元朝朱世杰的《算學啟蒙》一書記載：“今有良馬日行二百四十里,

弩馬日行一百五十里.野馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之.”如圖是兩匹馬行走路

程s關于行走時間f的函數(shù)圖象，則兩圖象交點P的坐標是（32,4800）.

【考點】FH：一次函數(shù)的應用.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用.

【分析】根據(jù)題意可以得到關于，的方程，從而可以求得點尸的坐標，本題得以解決.

【解答】解：令150/=240（f-12）,

解得,t=32,

貝ij150f=150X32=4800,

，點尸的坐標為（32,4800）,

故答案為:（32,4800）.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想

解答.

16.（4分）（2019?金華）圖2,圖3是某公共汽車雙開門的俯視示意圖，ME、EF、FN是

門軸的滑動軌道，NE=NP=90°,兩門A3、CD的門軸A、B、C、。都在滑動軌道上，

兩門關閉時（圖2）,A、。分別在E、尸處，門縫忽略不計（即8、C重合）；兩門同時

開啟，A、。分別沿EfM,尸一N的方向勻速滑動，帶動B、C滑動：B到達￡時，C恰

好到達尸，此時兩門完全開啟，已知AB=50。"，CD=40cm.

（1）如圖3,當NA8E=30°時，BC=90-45M_cm.

（2）在（1）的基礎上，當A向也方向繼續(xù)滑動15c相時，四邊形ABCD的面積為2256

cm2.

圖1圖2圖3

【考點】T8：解直角三角形的應用.

【專題】55E：解直角三角形及其應用.

【分析】（1）先由己知可得8、C兩點的路程之比為5：4,再結合2運動的路程即可求

出C運動的路程，相加即可求出BC的長；

(2)當A向M方向繼續(xù)滑動15。"時，由勾股定理和題目條件得出△AE?、

△。尸C和梯形AEFO邊長，即可利用割補法求出四邊形四邊形ABCD的面積.

【解答】解：。分別在￡、尸處，門縫忽略不計(即2、C重合)且AB=50cm,

CD=40cm.

EF—50+40=90cm

???8到達E時，C恰好到達凡此時兩門完全開啟,

；.B、C兩點的路程之比為5：4

(1)當/4BE=30°時，在RtZkABE中，BE=^-AB=25Mcm,

2

運動的路程為(50-25^5)cm

；B、C兩點的路程之比為5：4

此時點C運動的路程為(50-2573)xA=(40-20V5)cm

5

：.BC=(50-2573)+(40-20/3)=(90-45-./3)cm

故答案為：90-4573；

(2)當A向M方向繼續(xù)滑動15aw時，設此時點A運動到了點4處，點8、C、。分別

運動到了點B'、C、。處，連接AO,如圖:

則此時44'=

，AE=15+25=40CMI

由勾股定理得：EB,=30cm,

8運動的路程為50-30=20cm

；.C運動的路程為16c機

CF=40-16=24cm

由勾股定理得：DF=32cm,

四邊形ABC'D'的面積=梯形的面積-△AER的面積-△ZXFC的面積=

~X90X（40+32）-yX30X40-A-X24X32=2256cm2.

/.四邊形ABCD的面積為2256cm2.

故答案為：2256.

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬

于中等題型.

三、解答題（本題有8小題，共66分，各小題都必須寫出解答過程。）

17.（6分）（2019?金華）計算：|-3|-2tan60°+V12+（1）-1.

3

【考點】2C：實數(shù)的運算；6F：負整數(shù)指數(shù)累；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】511：實數(shù).

【分析】按順序依次計算，先把絕對值化簡，再算出2tan60°=然后根據(jù)二次根

式的性質(zhì)以及負指數(shù)基化簡即可求解.

【解答】解：原式=3-26+2?+3=6.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算和分式的加減法，設計到的知識點有零指數(shù)累、

特殊角的三角函數(shù)值，一定要牢記.

18.（6分）（2019?金華）解方程組儼Wx-2y）=5'

x-2y=l.

【考點】98：解二元一次方程組.

【專題】52：方程與不等式.

【分析】根據(jù)二元一次方程組的解法，先將式子①化簡，再用加減消元法（或代入消元

法）求解；

f3x-4（x-2y）=5,①

【解答】解：I_，

[x-2y=l②.

將①化簡得：-x+8y=5③，

②+③，得y=l,

將y=l代入②，得尤=3,

??.產(chǎn)

ly=l

【點評】本題考查二元一次方程組的解法；熟練掌握加減消元法或代入消元法解方程組

是解題的關鍵.

19.（6分）（2019?金華）某校根據(jù)課程設置要求，開設了數(shù)學類拓展性課程，為了解學生

最喜歡的課程內(nèi)容，隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查（每人必須且只選其中一項），并

將統(tǒng)計結果繪制成如下統(tǒng)計圖（不完整）.請根據(jù)圖中信息回答問題：

抽取的學生最喜歡課程內(nèi)容的扇形統(tǒng)計圖抽取的學生最喜歡型程內(nèi)容的條形統(tǒng)計圖

21

18

/趣味數(shù)學15

12

5.數(shù)學史活9

6

C實裝探究3

D生活應用0

E思想方法

（1）求m,n的值.

（2）補全條形統(tǒng)計圖.

（3）該校共有1200名學生，試估計全校最喜歡“數(shù)學史話”的學生人數(shù).

【考點】V5：用樣本估計總體；VB：扇形統(tǒng)計圖；VC：條形統(tǒng)計圖.

【專題】541：數(shù)據(jù)的收集與整理.

【分析】（1）先用選A的人數(shù)除以其所占的百分比即可求得被調(diào)查的總人數(shù)，然后根據(jù)

百分比=其所對應的人數(shù)+總人數(shù)分別求出相、〃的值；

（2）用總數(shù)減去其他各小組的人數(shù)即可求得選。的人數(shù)，從而補全條形統(tǒng)計圖；

（3）用樣本估計總體即可確定全校最喜歡“數(shù)學史話”的學生人數(shù).

【解答】解：（1）觀察條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖知：選A的有12人，占20%,

故總人數(shù)有124-20%=60人,

.,./??=154-60X100%=25%

力=9+60X100%=15%；

（2）選。的有60-12-15-9-6=18人，

故條形統(tǒng)計圖補充為：

21

18

15

12

9

6

3

O

（3）全校最喜歡“數(shù)學史話”的學生人數(shù)為：1200X25%=300人.

【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖及用樣本估計總體的知識，解題的關鍵是

能夠讀懂兩種統(tǒng)計圖并從中整理出進一步解題的有關信息，難度不大.

20.（8分）（2019?金華）如圖，在7X6的方格中，△A8C的頂點均在格點上.試按要求畫

出線段EF（E,尸均為格點），各畫出一條即可.

【考點】N4：作圖一應用與設計作圖.

【專題】552：三角形.

【分析】從圖中可得到AC邊的中點在格點上設為E,過E作A8的平行線即可在格點上

找至IJF；EC—后,EF=?FC=\I^，借助勾股定理確定/點；

【解答】解：如圖:

從圖中可得到AC邊的中點在格點上設為E,過E作的平行線即可在格點上找到尸；

EC=辰,EF=疾,FC=V10-借助勾股定理確定P點，則EFLAC；

借助圓規(guī)作AB的垂直平分線即可；

【點評】本題考查三角形作圖；在格點中利用勾股定理，三角形的性質(zhì)作平行、垂直、

中點是解題的關鍵.

21.（8分）（2019?金華）如圖，在口。42c中，以。為圓心，為半徑的圓與相切于

點、B,與OC相交于點。.

（1）求礪的度數(shù).

（2）如圖，點E在。。上，連結CE與。。交于點若跖=AB,求NOCE的度數(shù).

E

\^C

【考點】L5：平行四邊形的性質(zhì)；MC：切線的性質(zhì).

【專題】16：壓軸題；55A：與圓有關的位置關系；64：幾何直觀.

【分析】(1)連接。3,證明△AOB是等腰直角三角形，即可求解；

(2)△AOB是等腰直角二角形，貝!1OA='jHO=yjQg_g即

可求解.

【解答】解：(1)連接02,

是圓的切線，J.OBVBC,

?.?四邊形0ABe是平行四邊形，

：.OA//BC,：.OB±OA,

AAOB是等腰直角三角形,

：.ZABO=45°,

俞的度數(shù)為45°；

(2)連接0E,過點0作OHLEC于點H,設EH=t,

OHLEC,

：?EF=2HE=2t,

??,四邊形043。是平行四邊形，

；?AB=C0=EF=2t,

?：^AOB是等腰直角三角形，

.9.0A=yf2t,

則//0=VoE2-EH2=V2t2-t2=z,

'：0C=20H,

：.ZOCE=3Q°.

【點評】本題主要利用了切線和平行四邊形的性質(zhì)，其中（2）,要利用（1）中△AOB

是等腰直角三角形結論.

22.（10分）（2019?金華）如圖，在平面直角坐標系中，正六邊形ABCDEP的對稱中心尸

在反比例函數(shù)y=k（Z>0,x>0）的圖象上，邊在x軸上，點B在y軸上，已知

x

CD=2.

（1）點A是否在該反比例函數(shù)的圖象上？請說明理由；

（2）若該反比例函數(shù)圖象與DE交于點Q,求點。的橫坐標；

（3）平移正六邊形ABCDER使其一邊的兩個端點恰好都落在該反比例函數(shù)的圖象上，

試描述平移過程.

【考點】G4：反比例函數(shù)的性質(zhì)；G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；MM：正多邊

形和圓；Q3：坐標與圖形變化-平移；R4：中心對稱.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應用；555：多邊形與平行四邊形.

【分析】（1過點尸作x軸垂線PG,連接BP,可得2尸=2,G是CD的中點，所以尸（2,

V3）；

（2）易求。（3,0）,E（4,眄）,待定系數(shù)法求出。E的解析式為心-3丁豆，聯(lián)立反

比例函數(shù)與一次函數(shù)即可求點Q；

(3)E(4,y)，F(xiàn)(3,2?),將正六邊形向左平移兩個單位后，E(2,J5),F(1,

2、巧)，則點E與F都在反比例函數(shù)圖象上；

【解答】解：(1)過點尸作無軸垂線PG,連接2尸，

是正六邊形A8CQEF的對稱中心，CD=2,

；.BP=2,G是CD的中點，

:.PG=4S，

：.P(2,M),

'.'P在反比例函數(shù)y=k上，

X

:.k=2M，

.v—2娟

??y---------,

X

由正六邊形的性質(zhì)，A(1,2^3)-

.?.點A在反比例函數(shù)圖象上；

(2)D(3,0),E(4,眄),

設DE的解析式為y=iwc+b,

.(3m+b=0

(4irrl-b=V3，

1b=-3后

.'.y—y/^x-3A/3-

(_2炳

聯(lián)立方程解得X=3+￥17,

[y=V3x-3V3

點橫坐標為迎號；

(3)A(1,2后，B(0,后，C(1,0),D(3,0),E(4,如),F(3,2后，

設正六邊形向左平移機個單位，向上平移"個單位，則平移后點的坐標分別為

/.A(1-m,2A/^+〃)，B(-m,C(1-m,〃),D(3-m,幾),E(4-m,yp^+n),

F(3-m,2A/^+九)，

①將正六邊形向左平移兩個單位后，E(2,V3),F(1,2^3);

則點E與F都在反比例函數(shù)圖象上；

②將正六邊形向右平移一個單位，再向上平移E個單位后，C（2,M）,B（1,2A/3）

則點B與C都在反比例函數(shù)圖象上；

【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)；將正六邊形的邊角關系

與反比例函數(shù)上點的坐標將結合是解題的關系.

23.（10分）（2019?金華）如圖，在平面直角坐標系中，正方形0ABe的邊長為4,邊。4,

0c分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OA8C的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標均為整數(shù)

的點稱為好點.點P為拋物線>=-（尤-"2）?+機+2的頂點.

（1）當機=0時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數(shù).

（2）當初=3時，求該拋物線上的好點坐標.

（3）若點尸在正方形042c內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求相

的取值范圍.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】153：代數(shù)幾何綜合題.

【分析】（1）如圖1中，當機=0時，二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=-/+2,畫出函數(shù)圖象，利

用圖象法解決問題即可.

（2）如圖2中，當相=3時，二次函數(shù)解析式為y=-（尤-3）2+5,如圖2,結合圖象

即可解決問題.

（3）如圖3中，：拋物線的頂點尸（比,加+2）,推出拋物線的頂點P在直線y=x+2上,

由點尸在正方形內(nèi)部，則0<2,如圖3中，E（2,1）,F（2,2）,觀察圖象可知，

當點尸在正方形0A2C內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點時，拋物線

與線段EF有交點(點尸除外)，求出拋物線經(jīng)過點E或點E時。機的值，即可判斷.

【解答】解：(1)如圖1中，當機=0時，二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=-x?+2,函數(shù)圖象如圖

1所示.

,當x=0時，y=2,當x=l時，y=l,

...拋物線經(jīng)過點(0,2)和(1,1),

觀察圖象可知：好點有：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5個.

(2)如圖2中，當根=3時，二次函數(shù)解析式為y=-(x-3)2+5.如圖2.

,當x=l時，y=l,當x=2時，y=4,當x=4時，y=4,

二拋物線經(jīng)過(1,1),(2,4),(4,4),

共線圖象可知，拋物線上存在好點，坐標分別為(1,1),(2,4),(4,4).

(3)如圖3中，：拋物線的頂點尸(m,m+2),

/.拋物線的頂點P在直線y=x+2上，

:點尸在正方形內(nèi)部，則0＜相＜2,

1

如圖3中，E（2,1）,F（2,2）,觀察圖象可知，當點尸在正方形0A8C內(nèi)部，該拋物

線下方（包括邊界）恰好存在8個好點時，拋物線與線段跖有交點（點/除外），

當拋物線經(jīng)過點E時，-（2-m）2+能+2=1,

解得加=5?怎或5+JW（舍棄），

22

當拋物線經(jīng)過點尸時，-（2-M2+m+2—2,

解得m=1或4（舍棄），

...當上叵W機＜1時，頂點尸在正方形。42c內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好

2

存在8個好點.

【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，好點的定

義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會正確畫出圖象，利用圖象法解決問題，學會利

用特殊點解決問題，屬于中考壓軸題.

24.（12分）（2019?金華）如圖，在等腰RtZiABC中，ZACB=90°,AB=143歷，點。，

E分別在邊AB,BC上,將線段網(wǎng)＞繞點E按逆時針方向旋轉90°得到EE

（1）如圖1,若點￡與點C重合，A尸與。C相交于點O.求證：BD=2DO.

（2）已知點G為AF的中點.

①如圖2,若AD=BD,CE=2,求。G的長.

②若AD=6BD,是否存在點E,使得△QEG是直角三角形？若存在，求CE的長；若不

存在，試說明理由.

【考點】RB：幾何變換綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】（1）如圖1中，首先證明CD=BD=AD,再證明四邊形AOFC是平行四邊形即

可解決問題.

（2）①作DTLBC于點T,FHLBC于H.證明DG是△ABF的中位線，想辦法求出

BF即可解決問題.

②分三種情形情形：如圖3-1中，當/?！?=90°時，F(xiàn),E,G,A共線，DT±BC

于點T,FHLBC于H.設EC=t構建方程解決問題即可.如圖3-2中，當NEDG=

90°時，取的中點。，連接。G.作即，AB于"構建方程解決問題即可.如圖3

-3中，當NOGE=90°時，構造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)構建方程解決問

題即可.

【解答】（1）證明：如圖1中，

：.CD±AB,CD=AD=BD,

,:CD=CF,

：.AD=CF,

VZADC=ZDCF=90°,

J.AD//CF,

???四邊形ADFC是平行四邊形,

：?OD=OC,

?；BD=20D.

(2)①解：如圖2中，作。T_L3C于點T,FH上BC于H.

由題意：BD=AD=CD=Q&BC=，jpD=14,

'：DT±BC,

：.BT=TC=1,

■:EC=2,

；?TE=5,

VZDTE=ZEHF=ZDEF=90°,

：.ZDET+ZTDE=90°,ZDET+ZFEH=90°,

：.ZTDE=ZFEH,

■:ED=EF,

:?叢DTE”叢EHF(A4S),

:?FH=ET=5,

VZDDBE=ZDFE=45°,

：.B,D,E,尸四點共圓,

???/DBF+/DEF=90°,

：.ZDBF=90°,

'：ZDBE=45°,

：.ZFBH=45°，

VZBHF=90°,

：.ZHBF=ZHFB=45°,

；?BH=FH=5,

:?BF=5版,

VZADC=ZABF=90°,

：.DG//BF,

'：AD=DB,

：.AG=GF,

:.DG=LBF=^^.

22

②解：如圖3-1中，當/DEG=90°時，F(xiàn),E,G,A共線，作。T_L3C于點T,FH

_L5C于H.設EC=x.

VAZ)=6BD,

：.BD=i-AB=2y[2^

7

9

：DT±BCfZDBT=45°,

:.DT=BT=2,

?:△DTE"AEHF,

:.EH=DT=2,

：.BH=FH=12-x,

U：FH//AC,

.EH=FH

**ECAC，

.2_12-x

"7'14’

整理得：12尤+28=0,

解得了=6±2&.

如圖3-2中，當/EDG=90°時，取AB的中點。，連接。G.作成九LAB于8.

圖3-2

設EC=x,由2①可知（12-無），0G=工8尸=返（12-x）,

22

?：/EHD=NEDG=/DOG=90°,

：.ZODG+ZOGD^90°,ZODG+ZEDH^90°,

：.ZDGO=ZHDE,

.,.△EHDsADOG,

.DH=EH

"OGD0,

2點手'(14-x)率(14-x)

坐(12=)5近

整理得：36尤+268=0,

解得x=18-2缶或18+2714(舍棄)，

如圖3-3中，當/。GE=90°時，取A8的中點O,連接。G,CG,作。T_LBC于T,

于H,EKLCG于K.設EC=尤.

/DBE=/DFE=45°,

:?D,B,F,E四點共圓,

：.NDBF+/DEF=9U°,

9：ZDEF=90°,

:?/DBF=90°,

9

：AO=OBfAG=GF,

：.OG//BF,

：.ZAOG=ZABF=90°,

OG±AB,

TOG垂直平分線段A5,VCA=CB,

：.O,G,C共線，

由△DTE之△EHR可得EH=DT=BT=2,ET=FH=12-x,BF=&（A2-x）,OG=

基尸=返（12-%）,CK=EK=?x,GK=7&-返（12-％）-返x,

22222

由△OGZ）s/^KEG,可得毀=毀，

EKGK

..學12-x）可，

-y-x7V2^y-（12-x）-^y-x

解得x=2,

,綜上所述，滿足條件的EC的值為6±2血或18-2舊或2.

【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定

和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學

會添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

考點卡片

1.相反數(shù)

(1)相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

(2)相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互

為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.

(3)多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關，有奇數(shù)個“-”號結果為負，有偶數(shù)個“-”

號，結果為正.

(4)規(guī)律方法總結：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“-如。的相反

數(shù)是-a,的相反數(shù)是-(m+n),這時機+〃是一個整體，在整體前面添負號時，要用

小括號.

2.有理數(shù)的減法

(1)有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即：a-b=a+Lb)

(2)方法指引：

①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；

②將有理數(shù)轉化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號(減號變加號)；二是減

數(shù)的性質(zhì)符號(減數(shù)變相反數(shù))；

【注意】：在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律.

減法法則不能與加法法則類比,0加任何數(shù)都不變,0減任何數(shù)應依法則進行計算.

3.實數(shù)的性質(zhì)

(1)在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣.實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這

個數(shù)對應的點與原點的距離.

(2)實數(shù)的絕對值：正實數(shù)。的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕

對值是0.

(3)實數(shù)。的絕對值可表示為同={a(a?0)-a(a<0),就是說實數(shù)。的絕對值一定是

一個非負數(shù)，即間20.并且有若|x|=a(a20),則尤=±a.

實數(shù)的倒數(shù)

乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若a與6互為倒數(shù)，則。6=1；反之，若漏=1,則。與

6互為倒數(shù)，這里應特別注意的是0沒有倒數(shù).

4.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

5.同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)幕的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

am+a"=amf（aWO,機，〃是正整數(shù)，能＞〃）

①底數(shù)因為0不能做除數(shù)；

②單獨的一個字母，其指數(shù)是1,而不是0;

③應用同底數(shù)塞除法的法則時，底數(shù)?？墒菃雾検剑部梢允嵌囗検?，但必須明確底數(shù)是

什么，指數(shù)是什么.

6.因式分解的應用

1、利用因式分解解決求值問題.

2、利用因式分解解決證明問題.

3、利用因式分解簡化計算問題.

【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應用

1.因式分解是研究代數(shù)式的基礎，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用

解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代

入.

2.用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是

其中的一部分.

7.負整數(shù)指數(shù)第

負整數(shù)指數(shù)幕：a"=lapQWO,p為正整數(shù))

注意：①aWO；

②計算負整數(shù)指數(shù)幕時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)幕的意義計算，避免出現(xiàn)(-3)l=(-

3)X(-2)的錯誤.

③當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

8.解二元一次方程組

(1)用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關系式

代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求

出或y)的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

(2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元

一次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用口="=6的形式表示.

9.解一元二次方程-配方法

(1)將一元二次方程配成(X+機)2=”的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為辦2+bx+c=0(<2#0)的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負

數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.

10.解一元一次不等式

根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式

基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項;

④合并同類項；⑤化系數(shù)為1.

以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3,即可能變不等號方向，其他

都不會改變不等號方向.

注意：符號“2”和“W”分別比和各多了一層相等的含義，它們是不等號與

等號合寫形式.

11.一次函數(shù)的應用

1、分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科

學合理，又要符合實際.

2、函數(shù)的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關系，選取其中一個變量作為自變量，然后根

據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù).

3、概括整合

（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應用.

（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關鍵.

12.反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函數(shù)的性質(zhì)

（1）反比例函數(shù)（左WO）的圖象是雙曲線；

x

（2）當左＞0,雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小;

（3）當上＜0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大.

注意：反比例函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點.

13.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

反比例函數(shù)y=V無（左為常數(shù)，左W0）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（x,y）的橫縱坐標的積是定值左，即孫=%

②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；

③在y=k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形

的面積是定值

14.二次函數(shù)綜合題

(1)二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

(2)二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關鍵

是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

(3)二次函數(shù)在實際生活中的應用題

從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型.關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

15.方向角

方向角是從正北或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角

(1)方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準，來描述物體所處的方向.

(2)用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊,

故描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.(注意幾個方向的角平分線按日

常習慣，即東北，東南，西北，西南.)

(3)畫方向角

以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線.

16.三角形三邊關系

(1)三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

(2)在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，

只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角

形.

(3)三角形的兩邊差小于第三邊.

(4)在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏

的定時炸彈，容易忽略.

17.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處