人教A版高中數(shù)學必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題 (11)(含答案解析)

必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題(11)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.己知瓦？=(1,1)，OB=(0,-1)，OM=6/?).。是坐標原點.

(1)若點A,B,M三點共線，求，的值；

(2)當f取何值時，兩.而取到最小值？并求出最小值.

2.如圖，已知|瓦？|=1.\OB\=2.|OC|=10,就與話的夾角為120。,

況與元的夾角為60。，用沅5與麗表示沆

3.(I)已知單位向量可與五夾角為60。，且五=2可一麗石=可+可，求五方的值.(口)已知|砧=2,

|/?|=3>|a—6|=4>求五與b夾角的余弦值.

4.在直角梯形A5CD中，已知4B〃CD,NZMB=90。,48=6,4。=CO=3,對角線AC交8。于點

。，點M在A8上，ROM1BD.

(1)求麗?前的值；(2)若N為線段AC上任意一點，求麗.麗的取值范圍.

5.已知向=4，荷=2,且三與方夾角為120。,求:

(l)(a-2h)-(a+h)s

(2)|2a-hp

(3)a與a+人的夾角.

6.在銳角中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別是a,b,c,力點是BC邊上的中點.

(1)求|八|(磔,c,A表為；

(2)若BC=2,且滿足c(l+cos4)=a(2cosA+cosB),求中線4。的取值范圍.

7.已知向量；，I滿足:|a|=4,力=3,0—b)+2b)=0.

(1)求卜之+可的值：

(2)若向量；1倒+應)，求實數(shù)4的值.

8.已知向量五=(1,遍)范=(一2,0).

(1)求為一石的坐標以及五一3與五之間的夾角;

(2)當te時，求區(qū)-t司的取值范圍.

9.設A,B,C,9為平面內(nèi)的四點,且4(1,3),6(2,-2),C(4,l).

(1)若麗=而，求。點的坐標：

(2)設向量五=荏，b=BC＞若k為一方與五+3方平行，求實數(shù)%的值.

10.已知向量；在向量力=(1,⑹方向上的投影長為2,(2-2力

(1)求向量2與1的夾角；

(2)求112a-匕的值;

(3)若向量”=3%—4b，d=ma+b,,求,"的值?

11.已知兩個不共線的向量五，b滿足方=(1,V5)，b=(cos8,sin0),6&R.

(1)若五〃方，求角。的值；

(2)若2方-方與4-7方垂直,求|日+1|的值;

12.已知落石是兩個不共線的非零向量.

(1)記函=1，OB=tb，OC=l(a+b),則當實數(shù)，為何值時，A,B,C三點共線-

(2)若|成=|石|=1，且五與石的夾角為120。，則當實數(shù)x為何值時，|五一的值最小?

13.已知五=(4,3),b=(-1,2).u=a-Ab＞萬=2蒼+及按照下列條件求4的值或范圍.

(1)u1V;

⑵正〃亦

(3)丘與萬的夾角為鈍角.

14.已知向量益骨的夾角為45。，且=同=e，若熱=2蔡+亢，=一3蔡+二

(1)求向量：與7的夾角；

(2)設K=/—b,d=2茄一I，若。/d，求實數(shù)，的值?

15.已知|?=4,巧|=8,五與石的夾角是60。，計算:

(1)(2a+K)?(2a-h);

(2)|4a-2b|.

16.已知向量行,至滿足|五|=1,=&，(a-K)1a.

(1)求向量8與E的夾角及向量石在向量五上的投影向量；

(2)求|2可一同的值;

(3)若向量3方+5石，d=ma-3b，c//d，求m的值.

17.已知向量a=3瓦*—2筱，b=4可+可，其中e】=(1,0),e2=(0,1).

⑴求「V向+可；⑵求［與。的夾角的余弦值.

18.已知日=(1,3)范=(2,—1)(1)求|2五+3；

(2)k為何值時，k五+3與五-2施直？

19.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,向量記=(a,gb)與記=(cosA,sinB)平行.

⑴求A;

(2)若a=V7,b=2,求sinC的值.

20.已知向量五=(l,V3),b=(-2,0)

(1)求五-石的坐標以及五-石與丘之間的夾角；

(2)當％為何值時，k五+石與五一3加垂直？

(3)當時,求區(qū)-t司的取值范圍.

21.已知向量|引=3,|b|=2,a,b的夾角為120°.求：(1)(2五+b),(蒼—2b)的值;

(2)|2五+B|的值.

(3)(2a+3)與(五-2石)的夾角的余弦值

22.邊長為1的正三角形ABC,E、F分別是邊A8、AC上的點，若屈=巾荏，AF=nAC＞其中

m,n￡(0,1),設EF的中點為M,BC中點、為N.

(1)若A、M、N三點共線，求證：m=n;

(2)若m+n=l,求|MN|的最小值.

23.已知向量值=(cosx,sinx),b=(cosy,siny)(l)若2|方+石|=|不一3|，求cos(x-y)的值;

(2)若記=(-1,1),mlb，x,y為銳角，求為方的取值范圍

24.已知|社|=4,|b|=8,a與匕的夾角為號.

⑴求|方+方|;

(2)求k為何值時，0+2石)1(4五一石).

25.在團ABC中，角4,B,C的對邊分別為小b,c,且gasinB=2bcos2等.

(1)求角A的大小;

(2)若BC邊上的中線4D=2,求回4BC面積的最大值.

26.如圖在矩形ABCD中，^48=a,AD=石,N是CD的中點，M是線段AB上的點，同=2,\b\=1。

(1)若M是AB的中點，求證：詢與而共線；

(2)在線段A8上是否存在點“，使得麗與而垂直？若不存在請說明理由，若存在請求出M點

的位置；

(3)若動點尸在矩形48C。上運動，試求而?存的最大值及取得最大值時P點的位置。

27.已知五=(cosa,sina),b=(cos^?,sin/?)>且,a+?=>0).

(1)用上表示￡1；

(2)求￡%的最小值，并求出此時N與石的夾角。.

28.已知向量五=(1,2),b=(cosa,sina)，設沅=五+t另(￡ER).

(1)若c；,求當|而|取最小值時實數(shù)，的值；

(2)若定，了，問：是否存在實數(shù)7,使得向量力一方與向量沅的夾角為W?若存在，求出實數(shù)，的

值；若不存在，請說明理由.

29.如圖，在平面斜坐標系xOy中，ZxOy僅)，平面上任一點P在該斜坐標系中的斜坐標是這

樣定義的：若前=x^+y瓦(其中瓦(、石分別為與x軸、y軸正方向同向的單位向量)，則P點

斜坐標為(x,y).

⑴若P點斜坐標為(2,-2),求尸到0的距離|P0卜

(2)若AABC三個頂點的斜坐標分別為4(1,4),B(4,2),C(3,5),求三角形的內(nèi)角NA.

30.已知平面向量五，方，a=(1,2).

(1)若方=(0,1)，求|弓+29|的值；

(2)若石=(2,?n),五與五一石共線，求實數(shù)機的值.

【答案與解析】

1.答案：解：(1)因為a=(1,1),0B=(0,-1).OM=(2t,t)(tG

所以而=而一刃=(一1,一2)，AM=OM-OX=(2t-1,t-1).

又因為A,B,M三點共線，所以同與祠共線，

因此—(t-1)+2(2t—1)=0,解得t=

(2)因為罰=MB=(-2t,-l-t)-

所以值?麗=-2t(l-2t)-(1-t2)=5t2-2t-1.

而t€R,因此當t=2時，稔?而取得最小值一|.

解析：本題考查了二次函數(shù)，共線向量的概念，向量的數(shù)量積，平面向量的坐標運算和平面向量共

線的充要條件，屬于中檔題.

(1)利用平面向量的坐標運算得前與宿的坐標，再利用共線向量的概念得荏與宿共線，再利用平

面向量共線的充要條件，計算得結(jié)論；

(2)利用平面向量的坐標運算得而與加的坐標，再利用向量數(shù)量積的坐標運算得以-MB=5t2-

2t-l,最后利用二次函數(shù)的最值，計算得結(jié)論.

2.答案：解：以O為坐標原點，向量次所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如下圖：

因為|函|=1，|而|=2,\OC\=10.函與話的夾角為120。，成與小的夾角為60。,

所以市=(1,0).OB=(2cosl20°,2sinl20°)=(-1.V3),

OC=(10cos60°,10sin60°)=(5,5>/3).

設元=xOA+yOB^

則(5,575)=x(l,0)+y(-l,V3)=(x-y,V3y),

因此叱羲3°

所以元=lOOA+S'OB.

解析：本題考查了向量的模，向量的夾角，向量的加法和數(shù)乘運算，平面向量的基本定理及其應用

和平面向量的坐標運算，屬于中檔題.

以。為坐標原點，向量成所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標表示得向量

萬?、而和前的坐標，設走=xH?+y而，利用向量加法和數(shù)乘的坐標運算得（5,5百）=

（%-y,V3y）,再利用平面向量的基本定理得「二最后計算得結(jié)論.

3.答案：解：（/）,.?單位向量瓦與瓦夾角為60。，

?,?樂?瓦=，否||瓦|cos60°=lxlx1=|.

???五?b=(2百一勾)?固+前)

r-)---->2.---->----?---->2

=2U]+ex-e2-e2

=21

(H)v\a-b\=4,

/.a2—2a-6+Z)=16,即4一2五7+9=16,

Aa-/?=—

故五與石夾角的余弦值為--

解析：本題考查了向量的夾角和向量的數(shù)量積，是基礎題.

（/）先得出可?石，再由五7=（2瓦一瓦）?⑹+區(qū)）展開計算即可；

（口）由|蒼-方|=4,兩邊同時平方可得益不，由向量夾角公式可得弓與石夾角的余弦值.

4.答案：解：（1）因為NDAB90,

所以以A為坐標原點，AB、A。分別為X、），軸，建立平面直角坐標系如下圖：

y

A\MB

因為AB〃CD,AB=6,AD=CD=3,

所以4(0,0),8(6,0),C(3,3),0(0,3).

又因為對角線AC交于點O,

所以由而=t而得標=(3t,3t)，即O(3t,3t),

因此麗=(3t,3t-3)，DB=(6,-3)，

而說〃而，所以一3x3t-6x(3t-3)=0,解得t=g,

因此0(2,2).

又因為點“在A8上，所以設M(m,0),

因此兩=0—2,—2)，BD=(-6,3).

而。M1BD,所以而.BD=-6(m-2)-6=0，

解得m=l,即M(l,0),

因此前?彳？=-15

(2)因為N為線段AC上任意一點，

所以由(1)知：可設N(n,n)(0<n<3)(包括端點)，

因此麗=(n-3,n-3)，MN=(n-l.n).

所以就-MW=2n2-7n+3.

因為函數(shù)y=2/一7八+3的圖象開口上，對稱軸為n=

而0<n43,

所以函數(shù)y=2幾2_7n+3的值域為卜

即EW?而7的取值范圍是［-學3)

解析：本題考查了二次函數(shù)，向量的數(shù)量積，相等向量的概念，向量垂直的判斷與證明，平面向量

的坐標運算，平面向量共線的充要條件和向量的幾何運用，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題目條件，以A為坐標原點，AB、AD分別為小y軸，建立平面直角坐標系，利用相等向量

的概念的坐標運算得標=(3t,3t)，從而得O(3t,3t),再利用向量的坐標運算得前=(3t,3t-3)和

麗=(6,-3)，再利用平面向量共線的充要條件得得t=|,從而得。(2,2),設從而得而=

(m-2,-2),前=(一6,3),再利用向量垂直的判斷的坐標運算得m=1,從而得再利用向量

數(shù)量積的坐標運算，計算得結(jié)論；

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合題目條件設N(n,n)(O4九43)(包括端點)，再利用向量的坐標運算得麗=

5-3,n-3),和麗=(n-l,n),再利用向量數(shù)量積的坐標運算得麗?麗=2M-7n+3,最后

利用二次函數(shù)，計算得結(jié)論.

5.答案：解：

(1)由題意，a-K=4x2xcos120。=-4，

所以位—zK)-(a+K)=a2—a-K—zK2=16+4—8=12；

(2)因為Q4一By=4五2一4五)+=64+16+4=84，

所以|2五一=2V21;

(3)因為0+/)2=H2+2a-K+b2=16-8+4=12>

所以|五+9|=2?又五?(五+方)=日2+五不=16—4=12，

所以cos<a,a+b>==12=―,

'|a||a+b|4X27r32

所以；與3+1的夾角為?

解析：本題考查了向量的數(shù)量積、模長的計算，考查了向量的夾角公式，屬于基礎題.

⑴先計算1V再把@_2%).6+小展開，代入已知計算可得答案；

(2)先對江-%進行平方運算，再開方可得答案；

(3)先對2+%進行平方運算，再開方求其模長，再計算；.&+：)，最后代入夾角公式可得答案.

6.答案：解：⑴由同=家血+而)，

得|而|="(而+而/

][----?2-----?----?---->2

=^dAB-I-2AB-AC+AC

_Vb*2+c2+2bccosA^

—2'

(2)因為c(l+COSJ4)=a(2cosA+cosB),

由正弦定理得sinC(l+cosA)=sin4(2cos4+cosB),

KPsinC+sinCcosA=2s\nAcosA4-sinAcosB,

由sinC=sin(?1+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB+cosAsinB+sinCcosA=2sin4cos力+sinAcosB,

所以cosAsinB+sinCcosA=2sinAcos4,

易知cos/H0,得sinB+sinC=2sinA,

所以匕+c=2a=4,即c=4一b,

伊+4>(4-4

由銳角A.AB「得解得|<b<l，

1(4—b)2+4>從

由II—"2+c2+2bccosA_a+c+2bc.2bc

_72b2+2c2-4_42b2+2(4-6)2-4

=2=2

y/4(b-2)z+12

2

由*得回且亙e［低空).

222L27

解析：本題考查向量的加法運算，考查正弦定理、余弦定理，考查三角恒等變換及二次函數(shù)性質(zhì)，

屬于較難題.

(1)由而=)費+而)，結(jié)合|萬|(荏+前)2,即可求得；

(2)由正弦定理及三角恒等變換可得b+c=2a=4,由銳角△.A3。得b的范圍，結(jié)合(1)可得|荷|=

48-2)2+12,即可求得中線的取值范圍.

2

7.答案：解：⑴??,0-1)0+2萬)=0，.??2+：.b-2b2=0，

由同=4,力卜3，...16+Q?b—18=0=Q?b=2，

12Q+/?|=4Q2+4五,Z?+b—64+8+9=81，J,|2a+b|=9.

(2)若aJ.(a+比)，則a-(a+(b)=0=>a2+Aa-Z?=0>

：|a|=4,a-b=2>■.a2+Aa-fe=16+2A=0>解得，=8.

解析：本題考查向量的數(shù)量積運算、垂直向量的數(shù)量積關系，屬于基礎題.

⑴由傘~b)(a+2b)=0根據(jù)向量的數(shù)量積運算律可展開求出三)，求出必+12即可求得

2a+b的值；

(2)根據(jù)垂直向量的數(shù)量積關系列出等式求解人

8.答案:解:(1)因為向量五=(1,V3),b=(—2,0)，

所以五一方=(1,8)一(-2,0)=(3,遮)，

設五一區(qū)與方之間的夾角為氏

同CO%-(五一?)五-3X1+6X__V3

人JCOS"一磔崗@一際%而一2'

而0<8故。=g

o

所以向量方-石與丘之間的夾角為2

O

(2)-a-tb=(l,V3)-t(-2,0)=(1+2t,V3)

—____________/

**?|ci-th|=J(1+2t)2+3=4+—J+3

在上遞減，在卜表1］上遞增，所以"一泄，忖—t司最小值為次,

±=1時，忖-聞最大值為2百，故忖-t3的取值范圍為［四2碼.

解析：本題主要考查向量的坐標運算，向量的數(shù)量積和向量的模，考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，考查

學生綜合分析及解決問題能力，屬于中檔題.

(1)由已知條件能表示出往一方的坐標，設五一3與五之間的夾角為。，根據(jù)cos。="需，代入求值即

可得出結(jié)果；

(2)求出五一的坐標，由|有一=J(l+2t)2+3=卜(t+乎+3,結(jié)合函數(shù)的二次函數(shù)的單調(diào)

性，即可求出取值范圍.

9.答案：解：(1)設。(x,y),

???4,B,C,。為平面內(nèi)的四點，且4(1,3),8(2,—2),C(4,l).

AB=CD，即(2,-2)-(1,3)=Q,一一(4,1),即(1,-5)=(x—4,y—1),

.??｛；_：二解得久=5，y=-4,

D(5,-4).

(2)---a=AB=(1,-5).b=BC=(2,3)，

kQ,—b=(k-2,—5fc—3)?

3+36=(7,4),

V卜之一石與方+33平行，

7(-5fc-3)-4(fc-2)=0,

解得k=*

實數(shù)%的值為

解析：(1)設n(K,y),由荏=而，能求出。點坐標.

(2)住位=而=(1,-5)，3=同=(2,3)，求出5蒼一I=(1-2,一58-3)，N+3石=(7,4)，由A五一片

與3+3石平行，能求出實數(shù)％的值.

本題考查。點坐標的求法，考查實數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意平面向量坐標

運算法則、向量平行的性質(zhì)的合理運用.

10.答案：解：⑴?.)=(1,遮)，則勾=。百=2,

設向量二與b的夾角為仇則。|cos6=2,所以a-b=|a卜bcos。=4,

(a-2b)1.a，■1?(a—2b)-a=0，可得a?=2a?b=8',',|^|=2y/2>

TT「

所以，COS0=7^77=—0<0<7T,-?-6>=p

HH24

因此，向量;與了的夾角為全

(2)|2a-b|=J(2a-t)2=j4a2-4a-b+b2=<4x8-4x44-22=2炳;

(3)<-iid，設d=Ac1則(?na+b)=A(3a—4b),

由于2、%不共線，貝I解得機=一*

解析：本題考查向量的數(shù)量積的應用，向量的夾角以及向量的模的求法，考查計算能力.

⑴由由射影定義和伍-231；即可求出兩向量,，3的夾角；

(2)利用公式片=佃產(chǎn)可求得向量的模；

(3)利用向共線定理，即若則存在實數(shù);I,使得》=4"成立，由此利用向量相等可得參數(shù)值.

11.答案：解：⑴由題得sinO-V'&XKS().：.、4，所以角。的集合為g€z｝；

(2)由條件知|砧=2,|方|=1，又與五一7萬垂直，

所以(2方-3)?0一79)=8—15五1+7=0,所以五?另=1.

所以|五+旬2=|五『+2」.1+|司2=4+2+1=7,故|五+3|=近.

解析：本題主要考查向量平行垂直的坐標表示，向量的模的計算，屬于基礎題.

(1)根據(jù)向量平行滿足的條件進行解答即可；

(2)利用條件2五一石與五一7石垂直，建立方程關系，先求五不，然后求向量的模.

12.答案:解：(1)由三點4,8,C共線，必存在一個常數(shù)f使得超=A5C1則有方-OA=A(OC-OB)

又就=五，話=tb,OC=i(a+h)

tb-a=^A(a+b)-Atb,又方、石是兩個不共線的非零向量

故存在t=：時，A、B、C三點共線

⑵???|磯==1且Z兩向量的夾角是120。

_T_213

|a-xh|2=a2-2xa-b+x2b=l+x+x2=(x+-)2+-

???當X=時，國―X&I的值最小為當

解析：本題考查平面向量的綜合題，解題的關鍵是熟練掌握向量共線的坐標表示，向量的模的坐標

表示，理解題設條件，正確轉(zhuǎn)化.本題把三點共線轉(zhuǎn)化為了向量共線，將模的最小值求參數(shù)的問題

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，解題時要注意恰當?shù)剡\用轉(zhuǎn)化、化歸這一數(shù)學思想

(1)由三點A,B,C共線，必存在一個常數(shù)f使得同=2瓦,由此等式建立起關于九1的方程求出

f的值;

(2)由題設條件，可以|五_刀小表示成關于實數(shù)x的函數(shù)，根據(jù)所得的函數(shù)判斷出它取出最小值時的

x的值.

查看答案

13.答案：解：(1)因為方=(4,3),b=(-1,2).u=a-Ab>v=2a+b>

由日J.N得至IJ伍-，石)?(21+石)=2a2-Ab2+(1-2A)a-K=0，

即50-5A+(1-2A)(-4+6)=0,

所以；I=弓；

(2)由題意知:u=a-AK=(4+2,3-22)

v=2a+b=(7,8)，

由丘〃濟得到7(3—24)—8(4+4)=0,

所以4=—^；

(3)當正〃萬時，u-v<0月無力不共線，

則50—54+2(1—2；1)<0,且2彳一;

所以;l>f.

解析：本題考查向量的坐標運算，考查向量垂直，向量共線的充要條件應用，考查向量模求法，屬

基礎題.

(1)依題意，根據(jù)向量垂直的充要條件得50-54+(1-22)(-4+6)=0,求解即可；

(2)依題意,求得過=(4+A,3-2A),v=(7,8),根據(jù)向量共線的充要條件得7(3-2A)-8(4+2)=0,

求解即可；

(3)依題意，得50-5A+2(1-22)<0且4H計算即可.

>

14.答案：解：(1)由己知有|'5『=|2記+書|2=4|$|2+4］南|.|咒］.00845。+|'5?『=10,

所以|五|=V10,

|了『=I一3沆+7?|2=9|"『一6|示I?+|=5，

所以|b|=V5>

a-b=(2m+n)?(-3m+n)=-6|m\2-m-n+|n\2=-5?

…八了-55/2

所以。咐。-------=r=-7=---7==--—,

\7t\?|6|v7!!)xy52

又0工8工兀，

所以。=1,

即五與石的夾角為：;；

(2)由已知/=t方-3=(2t+3)m+(t-l)n?d=2m-n>

因為不〃工所以存在實數(shù)；I使得3=42，

所以y*3號解得卜二Z

(t-1=-A,h=5

解得t=d

解析：本題考查向量的模及向量的數(shù)量積，向量平行的判斷與證明，向量的加法、減法、數(shù)乘運算,

向量的數(shù)量積和向量的夾角.屬于一般題.

(1)利用向量的數(shù)量積得五不=-5,然后求出五與石的模，代入夾角計算公式即可求解；

(2)將C用記，元表示，然后利用平行的充要條件求解即可.

15.答案：解：(1)因為|引=4,但|=8，

所以(21+弓)?(2五一3)

=(2a)2-b2=4|a|2-|K|2

=4x42-82=0；

(2)因為|初=4,@=8,充與石的夾角是60。，

所以|4五一2司2=(4a-2b)2=16a2-16a-b+4b2

=16x42—16x4x8xcos600+4x82=256.

所以|4五一2石|=16.

解析：本題考查向量的模的求解、向量的數(shù)量積，屬于基礎題.

(1)直接利用數(shù)量積的運算性質(zhì)計算即可；

(2)先求出|4五一2石產(chǎn)，即可求出結(jié)果.

16.答案：解：(1)設向量五與方的夾角為。，

因為位一至)，方，所以0—石)?五=0=九=1，

所以(：0$。=稔而=§,又。6[0,用，1,

E在五上的投影向量為同cos。五=a;

2

(2)|2a-bl=y4a—4a-b+b=V4-4+2=y/2'

(3)因為不〃3，所以F=；lZ所以3五+53=2(771五一33)，

因為行與方不共線，

所以｛廣絲解得血=_*.

15=-345

解析：本題主要考查向量的數(shù)量積，投影向量，平行向量，向量垂直等基本概念，難度一般，屬于

中檔題。

(1)由0-1)J.五求出兩向量的夾角，再由投影向量的計算公式可得；

(2)利用公式片=同2可求得向量的模；

(3)利用向量共線定理得到方程組，求解即可.

.答案：解：由已知，向量五=再一備，

1732b=4et+e2?

其中瓦=

(1,0),e2=(0,1),

???a=(3,-2),b=(4,1),

(1)3-6=3x4-2x1=10，

\a+b\=|(7,-1)|=5V2;

(2)|a|=V13.\b\=g,

解析：此題主要考查向量的模、平面向量的坐標運算、數(shù)量積及夾角運算，屬基礎題.

(1)先根據(jù)a=(1,0),芍=(0,1)表示出向量五、b，然后根據(jù)向量的數(shù)量積運算和向量模的運算求出

答案；

(2)先求出向量正石的模,然后根據(jù)c°s。=器,將數(shù)值代入即可得到答案.

18.答案：解：(1)因為2元+3=(4,5)，所以|2五+方|="16+25=俯;

(2)因為五=(1,3)花=(2,—1)，

所以為b=lx2+3x(―1)=-1，\a\=V10,\b\=y/5,

所以(k1+b)?0—2b)=Z弓之+(i—2k)a-b—2b2

=10/c-(l-2/c)-10=0,

解得/c=

故當時，攵五+3與方一垂直.

解析：本題考查向量模長的計算公式，向量垂直的判斷與證明，平面向量的坐標運算，屬于簡單題.

(1)由2五+3=(4,5)，利用向量的坐標計算模即可；

(2)由k2+石與五-石垂直，可得數(shù)量積等于0,利用向量的坐標運算可得.

19.答案：解：(1)向量記=(a,8b)與記=(cos4s譏B)平行,

asinB=y[3bcosA,

???sinAsinB=y/3sinBcosA，

vsinBW0,

???sinA=\[3cosA，

???tanA=V3?

v0<71<7T,

n

AA

.3

b

由正弦定理可得啖=

(2)sinBf

2

bsinA_XY_x/H

???sinBa-V7-7'

**a>b,

???A>B,

??.cosB="-sin28號,

?6■/X,ox-n,A.n遍、，2上11、，怎3怎

AsmC=sinM+8)=smAcosB+cosAstnB=—x-----1--x——=-----?

k7272714

解析：(1)利用平面向量共線(平行)的坐標表示可得as譏B=bbcosA，又sinBNO,結(jié)合正弦定理

可得：tanA=g，再結(jié)合范圍0<4<兀，即可求得A的值；

(2)根據(jù)正弦定理求出sinB,再根據(jù)sinC=sin(4+B),即可求出答案.

本題主要考查了平面向量共線(平行)的坐標表示，正弦定理，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬

于中檔題.

20.答案：解:

(1)因為向量行=(1,遮)，b=(-2,0).

所以為一方=(1,次)一(-2,0)=(3,V3)-

所以cos〈五一第五>=3煞

\a-b\-\a\

一3+3_V3

-2x717—2°

因為(五一石，a>e[0,7T],

所以向量五-石與行之間的夾角為3

O

(2)fca+b=(fc-2,V3/c)，a-3&=(1+6,V3)=(7,回

因為+9與五一3方垂直，所以僅日+了),0—3])=0，則7(k—2)+3k=0得k=(,

=J(a-tK)2=^a2-2ta-b+t2f=

(3)由|蒼一㈤74t2+田+4=j4(t+'+3,

因為te[-1,1],所以舊《j4(t+1)2+3<2V3,

所以苗<|a-tK|<2>/3.

解析：本題主要考查向量的坐標運算，向量的數(shù)量積和向量的模，考查學生綜合分析及解決問題能

力.

(1)根據(jù)向量差公式與夾角公式可得結(jié)果；

(2)由kW+E與1一3方垂直可得(人方+石)?(a-3b)=0.即可求得結(jié)果；

⑶由|五一高|=后方=國荔37康化簡再結(jié)合teHU］即可求范圍?

21.答案：解：(1)|a|=3,\b\=2,且區(qū)3的夾角為120。,

?-a'b=\a\'\b|cosl20°=3x2x(--)=—3,

(2a+b)-(a-2b)=2|a|2-3a-K-2|K|2=2x9-3x(-3)-2x4=19;

(2)|2a+K|2=4|a|2+4a-b+|K|2=36-12+4=28,

.-.\2a+b\=2V7.

(3)v(a-2fa)2=|a|2-4a-b+4|b|2=9+12+16=37,

.-.\a-2b\=V37,

>_(2-+/)0-2/)_19_19>/^

：,cos<(2a+b),(a—2b)

一\(2a+b)\\(a-2b)\~277x737-518

解析：本題考查向量的數(shù)量枳的運算，向量的夾角公式，向量的模，考查計算能力，屬于基礎題.

(1)先求出為4=-3，再根據(jù)向量的數(shù)量積計算即可；

(2)先平方，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可；

(3)求出用-29|=同，從而利用向量的夾角公式計算即可.

22.答案：(1)證明：由4,M,N三點共線，得而〃詢，設祠=2而(AeR)，

即*荏+方)=/(荏+禧)，

所以m荏+n前=2(南+近)，

由南，而不共線得m=ri=4,

即m=n.

(2)解：AB-AC=ixlxcos60°=

因為麗=AN-AM=^(AB-AC)-^(AE-AF)

=U荏+三而，

22

又m+n=l,所以而=皇而+1前，

所以|麗|2=^1^荏2+?而2+1］一小加荏而

=i(l—m)2+^m2+^(1—m)m=(m—1)2+*

故當m=］時，|而|mm=f.

即|而|的最小值為

解析：本題考查平面向量的加減及數(shù)乘運算，考查平面向量共線的條件，考查平面向量的數(shù)量積與

求向量的模長，是中檔題.

⑴由A,M,N三點共線，得祠〃麗，設宿=2而(4CR)，所以“荏+正)=/(四+而)即

可求解：

(2)化簡所為而=^AB+^-AC,再兩邊平方利用數(shù)量積即可求解.

23.答案：解：(1)3=(cosx^inx),b=(cosy,siny)，

可得有2=E2=i,a-b=cosxcosy+sinxsiny—cos(x—y)，

由2|R+b|二|五一b|，可得4日之+4b+8a-K=a2+b—2a-b1

即為6+lOcos。-y)=0,

解得cos(x-y)=-|；

⑵若沅=(-1,1),m1b，

貝ijcosy—siny=0,即cosy=siny,

因為x,y為銳角，所以％=y=%所以9=(今當，

a-h=~cosx+—sinx=sinfx+-\

22\4/

因為xe(o,?*+H祥),

所以當<sin(%+W)W1,即曰<a-K<1.

解析：本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示和性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，考查正弦型函數(shù)的性

質(zhì)，屬于中檔題.

(1)運用平方法，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標表示和性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，再由兩角的差的

余弦公式，計算即可得到所求值；

(2)運用向量垂直的數(shù)量積的坐標表示，可得石=(￥，￥),利用數(shù)量積運算可得心了=sin(x+

從而可得答案.

24.答案：解：(1)由已知可得云不=|用向cosl20。=4x8x(_；)=-16.

4

所以I五+石I=/=742+82+2X(-16)=V3.

yja+b+2ab

(2)v(a+2b)1(/ca-K).

=2+=

■11(a+2K)'(ka-b)k32_2b(2k-l)ab°>

???16k-128+(2k-1)x(-16)=0,

化為k=-7.

■,當k-—7值時，(a+2b)l(fca-b)-

解析：本題考查了數(shù)量積定義及其運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

(1)利用數(shù)量積定義及其運算性質(zhì)即可得出；

(2)由于0+2石)J.(卜日一石)，0+2石).(卜五_石)=0,展開即可得出.

25.答案：解：(1)依題意有7^5也8=2兒052等=(1一854)乩

V3sinAsinB=(1—cosA)sinB>sinB*0,

???V3sin4=1—cosA，

又sin27l+cos2A=1

解得sinA=—>cos>1=-1，.1-4=?.

223

(2)［而|=|^|^|=2,\AB+AC\=4,即

|畫2+?宿2+2\AB\\AC\cos—=\AB\2+\AC\2-\AB\\AC\=16\AB\\AC\

（|AB||XC|）max=16，當且僅當|荏|=|而|=4時成立.

故&ABC面積的最大值為S=\\AB\\AC\sin4=4百

解析：本題考查解三角形、三角恒等變換和平面向量的綜合應用，屬于一般題.

(1)利用余弦的二倍角公式及降塞公式可得V3asinB=2bcos2^-=(1-cosA)b,再利用正弦定理

邊化角求解即可.

(2)利用向量的中線公式得|同|=|亨|=2平方后化簡得(|荏||而|)max=16,即可求面積的最

大值.

26.答案：（1）證明："AN=AD+'DN=b+^a,CM=~CB+'BM=-b-^a,

A/V=-CM，

：.前與西共線.

(2)解：在線段AB上存在點例，使的與而垂直.

理由：設麗=a%~BD=AD-AB=b-a^CM=CB+BM=-b+

???麗與兩垂直，.?.前?加=0.

叩④-3）?（-5+4五）=0,

|a|=2,|ft|—1，五.b=0'2=-*.

???存在滿足條件的點M，即4M=|,使得麗與而垂直.

此時點M在線段A8的四等分點，最靠近點8的位置.

(3)解:

①當尸在線段A8上時，設而=卜五，(0<fc<1),貝1J：AP-AB=ka-a=4k,

.?.加?南的最大值為4,此時P在B點處；

②當尸在線段BC上(不含端點)時，設9=1+九3，.,?方?南=(五+憶方)?a=4，

此時P在線段8c上(端點除外)；

③當P在線段C。上時，設方=-kk，(0</c<1),AP-AB=(a+b-ka)-a=4(1-k)>

AP.荏的最大值為4,此時P在C點處；

④當P在線段4。上時，AP-AB=0.

綜上所述，當戶在線段8c上時，而.近的最大值是4.

解析：本題考查了向量共線的判定，向量垂直的判定，向量的數(shù)量積，向量的幾何運用.

(1)解答本題的關鍵是由向量的幾何運用將前和前用行和方表示出來，可發(fā)現(xiàn)麗=—而，由此即可

證得宿與而共線；

(2)解答本題的關鍵是將宿、而用五和B