2023-2024學年人教A版必修第二冊 向量的加法運算 學案

6.2平面向量的運算6.2.1向量的加法運算學習任務1．能從實例中抽象出向量加法的概念，了解向量加法的物理意義與幾何意義．(數(shù)學抽象)2．掌握向量加法的三角形法則與平行四邊形法則．(直觀想象)3．了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性．(數(shù)學抽象、邏輯推理)天車是大型生產(chǎn)車間或工地進行起重作業(yè)的重要設備．如圖，物體在天車的作用下，同時進行豎直方向的位移和水平方向的位移，實際位移AB可以看作豎直方向的位移AD與水平方向的位移AC的合成．知識點1向量的加法1．向量加法的定義(1)定義：求__________的運算，叫做向量的加法．(2)對于零向量與任意向量a，規(guī)定0＋a＝a＋________＝________．2．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作AB＝a，BC＝b，則向量AC叫做a與b的和，記作____，即a＋b＝AB+BC平行四邊形法則已知兩個______向量a，b，作AB＝a，AD＝b，以AB，AD為鄰邊作?ABCD，則對角線上的向量________＝a3．|a＋b|與|a|，|b|之間的關系一般地，我們有|a＋b|__|a|＋|b|，當且僅當a，b中有一個是零向量或a，b是________的非零向量時等號成立．非零向量a，b處于什么位置時，(1)|a＋b|＝|a|＋|b|；(2)|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________知識點2向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝_______．(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__________________．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任意兩個向量的和仍然是一個向量． ()(2)AB+BC>AC． ((3)|AB|＋|BC|＝|AC|． ()2．如圖，在?ABCD中，DA+DC＝3．化簡：CB+AD+類型1向量的加法法則【例1】如圖，已知向量a，b．(1)用三角形法則作出向量a＋b；(2)用平行四邊形法則作出向量a＋b．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________三角形法則與平行四邊形法則的適用條件法則三角形法則平行四邊形法則兩向量位置關系兩向量共線或不共線均可只適用于兩向量不共線的情況兩向量起點、終點的特點一個向量的終點為另一個向量的起點兩向量起點相同注意：(1)使用三角形法則求兩個向量的和時，應注意“首尾相連，起點指終點”．(2)向量加法的平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發(fā)的不共線向量．[跟進訓練]1．(1)如圖甲所示，求作向量和a＋b；(2)如圖乙所示，求作向量和a＋b＋c．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2向量加法的運算【例2】(源自人教B版教材)化簡下列各式：(1)AB+(2)AB+[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________向量加法運算律的意義和應用原則(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的．(2)應用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序．[跟進訓練]2．已知O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：①OA+OE；②AO+_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3向量加法的實際應用【例3】(源自蘇教版教材)在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船在靜水中的速度為25km/h．渡船要垂直地渡過長江，其航向應如何確定？[思路導引]位移問題轉(zhuǎn)化化歸向量問題直觀想象結(jié)合圖形求解．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟[跟進訓練]3．一架救援直升飛機從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到達B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達C地，求此時直升飛機與A地的相對位置．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．(多選)如圖所示，在?ABCD中，下列結(jié)論中正確的是()A．AB＝DC B．AD+ABC．AB＝BD+AD D．AB2．向量(AB+PB)＋(BO+BM)＋OPA．BCB．ABC．ACD．AM3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為________．4．小船以103km/h的速度按垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為10km/h，則小船實際航行速度的大小為________km/h．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎？其運算法則有哪些？2．應用三角形法則應注意哪些問題？3．應用平行四邊形法則應注意哪些問題？4．對于任意的向量a，b，|a＋b|與|a|，|b|之間存在怎樣的大小關系？6.2.1向量的加法運算[必備知識·情境導學探新知]知識點11．(1)兩個向量和(2)0a2．a(chǎn)＋bAC不共線AC3．≤方向相同思考提示：(1)當a，b共線且同向時，|a＋b|＝|a|＋|b|；(2)當a，b共線且反向時，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．知識點2(1)b＋a(2)a＋(b＋c)課前自主體驗1．(1)√(2)×(3)×2．[由平行四邊形法則可知DA+DC＝3．[CB+AD+BA＝[關鍵能力·合作探究釋疑難]例1解：(1)如圖①，在平面內(nèi)任取一點O′，作O'D＝a，DE＝b，連接O′E，則O'E＝(2)如圖②，在平面內(nèi)任取一點O，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB為鄰邊作?OACB，連接OC，則OC＝OA+OB＝a＋跟進訓練1．解：(1)首先作向量OA＝a，然后作向量AB＝b，則向量OB＝a＋b．如圖所示．(2)法一(三角形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量OA＝a，再作向量AB＝b，則得向量OB＝a＋b，然后作向量BC＝c，則向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．法二(平行四邊形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，以OA，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則OD＝OA+OB＝a＋再以OD，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則OE＝OD+OC＝a＋b＋例2解：(1)AB+CD+BC＝(AB+BC)＋(2)AB+FA+BD+DE+EF＝AB+FA＋(BD+跟進訓練2．解：如圖所示，①易知四邊形OAFE為平行四邊形，連接OF，則OA+OE＝②連接OC，則四邊形OABC為平行四邊形，連接AC，則AO+AB＝③連接DB，則四邊形AEDB為平行四邊形，連接OD，則AE+AB＝例3解：如圖，設AB表示水流的速度，AD表示渡船在靜水中的速度，AC表示渡船實際垂直過江的速度．因為AB+AD＝AC，所以四邊形在Rt△ACD中，因為∠ACD＝90°，|DC|＝|AB|＝12.5，|AD|＝25，所以∠CAD＝30°．答：渡船要垂直地渡過長江，其航向應為北偏西30°．跟進訓練3．解：如圖所示，設AB，BC分別是直升飛機的位移，則AC表示兩次位移的合位移，即AC＝在Rt△ABD中，|DB|＝20km，|AD|＝203km．在Rt△ACD中，|AC|＝AD2+DC2＝40即此時直升飛機位于A地北偏東30°方向，且距離A地403km處．[學習效果·課堂評估夯基礎]1．AB2．D[原式＝(AB+BM)＋(PB+BO+OP)＝3．13[因為|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值為13．]4．20[根據(jù)平行四邊形法則，因為水流方向與船速方向垂直，所以小船實際速度的大小為103課堂小結(jié)1．提示：兩個向量相