雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（6大題型）精講

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程重點(diǎn)：1、掌握雙曲線的定義；2、掌握定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。難點(diǎn)：理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題。一、雙曲線的定義1、定義：在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.2、焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)、3、焦距：兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距，表示為.4、雙曲線就是下列點(diǎn)的集合：．5、要點(diǎn)注意：（1）若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；（2）若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；（3）若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；（4）若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在軸焦點(diǎn)在軸圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)、、的關(guān)系三、待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法四、由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍1、對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)表示雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.2、對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)表示雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.3、已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值范圍的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍。五、求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形面積的方法（1）=1\*GB3①根據(jù)雙曲線的定義求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關(guān)系式；=3\*GB3③通過配方，利用整體的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面積。（2）利用公式求得面積；（3）若雙曲線中焦點(diǎn)三角形的頂角，則面積，結(jié)論適用于選擇或填空題。題型一雙曲線定義的理解與應(yīng)用【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．射線B．直線C．橢圓D．雙曲線的一支【答案】A【解析】設(shè)，由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)M滿足|，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是射線.故選：A.【變式11】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，則在平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，因此滿足，的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡均不是雙曲線，滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，而滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡才是雙曲線．故選：B．【變式12】（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則下列說法準(zhǔn)確的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一直線B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一射線C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線【答案】AB【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)的軌跡是一條射線，且射線的端點(diǎn)為，方向?yàn)檩S的正方向，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)的軌跡是一條射線，且射線的端點(diǎn)為，方向?yàn)檩S的負(fù)方向，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，且，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，D錯(cuò).故選：AB.【變式13】（2023·全國·高二專題練習(xí)）雙曲線上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為11，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A．1或21B．14或36C．2D．21【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，不妨設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義知|，所以或，而，，雙曲線右支上一點(diǎn)，，則，則點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為2，故不成立，舍去，滿足要求，所以點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為21，故選：D題型二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）焦點(diǎn)在軸上，，經(jīng)過點(diǎn)；（2）經(jīng)過、兩點(diǎn)．（3）過點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)雙曲線方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因?yàn)?，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由題意知，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，代入點(diǎn)可得，聯(lián)立解得；所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式21】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，又動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線方程為，則有，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A．【變式22】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列選項(xiàng)中的曲線與共焦點(diǎn)的雙曲線是（）A．B．1C．1D．1【答案】D【解析】雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，半焦距，對(duì)于A，方程，即，是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，而半焦距為，A不是；對(duì)于B，C，方程、都是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，BC不是；對(duì)于D，方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，半焦距為，D是.故選：D【變式23】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？计谀┰O(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長軸長為26，若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在橢圓中，由題知，解得，所以橢圓的焦點(diǎn)為，，因?yàn)榍€上的點(diǎn)到，的距離的差的絕對(duì)值等于8，且，所以曲線是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的雙曲線，所以曲線的虛半軸長為，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.題型三由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)【例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知方程表示的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】方程可化為：，由方程表示的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，得，解得.故選：C.【變式31】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍為（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】由題意得，解得，即.故選：A.【變式32】（2023秋·江蘇無錫·高二?？茧A段練習(xí)）若方程所表示的曲線是雙曲線，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.【答案】和【解析】由題意可知，，解得：，此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)在軸，，，那么，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是和.【變式33】（2023秋·江蘇無錫·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則曲線是圓，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)或時(shí)，，曲線是雙曲線，B正確；對(duì)于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對(duì)于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，D錯(cuò)誤．故選：BC.題型四雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題【例4】（2021秋·廣東深圳·高二?？计谥校┤魴E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的面積是（）A．B．tC．2tD．4t【答案】B【解析】設(shè)，，不妨設(shè)交點(diǎn)P在第一象限，分別為左右焦點(diǎn)，則①，②，，可得①②2：，∴是直角三角形，①②：，．故選：B【變式41】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點(diǎn)，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由雙曲線得出.因?yàn)?，所?作于C，則C是AB的中點(diǎn).設(shè)，則由雙曲線的定義，可得.故，又由余弦定理得，所以，解得.故選：C【變式42】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的周長等于.【答案】22【解析】由題意知，，又，∴，，故的周長為，故答案為：22【變式43】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在雙曲線中，，，則，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則．因?yàn)?，所，．在中，，①在中，是中點(diǎn),則，兩邊平方可得，所以②所以,,．故選：A.題型五與雙曲線有關(guān)的軌跡問題【例5】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)訄AM與兩圓和都外切，則動(dòng)圓M的圓心軌跡是（）A．雙曲線B．雙曲線的一支C．拋物線D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】B【解析】題中兩圓分別記為圓以及圓，設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為r，則，于是為定值，因此動(dòng)圓M的圓心軌跡是雙曲線的一支，故選：B.【變式51】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┦且粋€(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為4，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，根據(jù)題意可知點(diǎn)在和相交的右側(cè)區(qū)域，所以點(diǎn)到直線的距離，到直線的距離，，即.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程：.故選：C.【變式52】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，為圓心，為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，所以有，由圓，得，該圓的半徑，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所以有，于是有，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，所以，，可得，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B．【變式53】（2023·全國·高二專題練習(xí)）動(dòng)圓P過定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圓N：的圓心為，半徑為，且設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則，即.即點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，焦距長為，實(shí)軸長為，虛軸長為的雙曲線上，且點(diǎn)在靠近于點(diǎn)這一支上，故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是故選：A題型六雙曲線中的距離和差最值【例6】（2023春·四川成都·高二校考期中）已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】由雙曲線方程可知，，，故右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知，所以，從而，又為定值，所以，此時(shí)點(diǎn)在線段與雙曲線的交點(diǎn)處（三點(diǎn)共線距離最短），故選：B.【變式61】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的下焦點(diǎn)為，，是雙曲線上支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意得雙曲線焦點(diǎn)在軸上，，，，所以下焦點(diǎn)，設(shè)上焦點(diǎn)為，則，根據(jù)雙曲線定義：，在上支，，,在中兩邊之差小于第三邊，，,.故選：D.【變式62】（2023