浙江省寧波市余姚市高三上學期期末數(shù)學試題

余姚市2023學年第一學期高中期末考試高三數(shù)學試題卷說明：本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得集合后，與集合進行交運算即可.【詳解】令，解得，所以，又，故，故選：B.2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】首先化簡復數(shù)，再求.【詳解】由題意可知，，所以.故選：C3.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量，則數(shù)量積為零，將已知和公式代入求解.【詳解】設(shè)與的夾角為因為，所以所以，因為，所以.故選：A4.已知點，在直線：上運動，且，點在圓上，則的面積的最大值為（）A. B.5 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】找到動點到直線距離的最大值，再求面積即可.【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，到直線的距離為，易得，易知當最大時，，此時面積也最大，.故選：B5.命題“，”為假命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先轉(zhuǎn)化為存在量詞命題的否定，求參數(shù)的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項.【詳解】若命題“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，即，恒成立，，，當，取得最大值，所以，選項中只有是的真子集，所以命題“，”為假命題的一個充分不必要條件為.故選：D6.將函數(shù)圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平移變換得到，且，結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，由題意得，故當時，，顯然當，即為的一個零點，要想在上恰有三個不同的零點，若，解得，若，無解，若，無解.故選：A7.人口問題是當今世界各國普遍關(guān)注的問題.認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯（，1766—1834）就提出了人口增長模型.已知1650年世界人口為5億，當時這段時間的人口的年增長率為0.3%.根據(jù)模型預測________年世界人口是1650年的2倍.（參考數(shù)據(jù)：，）A.1878 B.1881 C.1891 D.1993【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意列出方程，結(jié)合給定的近似值計算即可.【詳解】設(shè)年后世界人口是1650年2倍，由題意得，解得，故在1881年世界人口是1650年的2倍.故選：B8.已知為雙曲線：的一個焦點，C上的A，B兩點關(guān)于原點對稱，且，，則C的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線的定義求出，結(jié)合余弦定理可求離心率.【詳解】不妨設(shè)分別為雙曲線的左右焦點，連接，因為A，B兩點關(guān)于原點對稱，所以為平行四邊形，所以，因為，，所以.因為，所以；在中，由余弦定理可得，因為，所以，即.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的有（）A.相關(guān)系數(shù)越接近1，變量，相關(guān)性越強B.若隨機變量，滿足，則C.相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差D.設(shè)隨機變量服從二項分布，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合相關(guān)系數(shù)，方差的性質(zhì)，相關(guān)指數(shù)的定義，二項分布概率計算公式計算，逐個判斷即可.【詳解】對于A：由相關(guān)系數(shù)的定義可知，相關(guān)系數(shù)越接近，變量正相關(guān)性越強；相關(guān)系數(shù)越接近，變量負相關(guān)性越強，故A正確.對于B：由隨機變量，滿足，則，故B錯誤.對于C：由相關(guān)指數(shù)的定義可知，相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差，故C正確.對于D：，故D正確.故選：ACD10.設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，，當時，，則（）A.是奇函數(shù)B.C.的最小值是D.方程在區(qū)間內(nèi)恰有個實數(shù)解【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)條件，對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對于選項A，因為函數(shù)定義域為，又，所以，又，得到，所以是奇函數(shù)，故選項A正確，對于選項B，因為，所以，得到的周期為，所以，故選項B正確，對于選項C，當時，，又是奇函數(shù)，所以當時，，所以選項C錯誤，對于選項D，當時，，則，得到，因為，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以在上的圖像如圖所示，由圖知，在有4個交點，又的周期為，且在區(qū)間上共有506個周期，所以方程在區(qū)間內(nèi)恰有個實數(shù)解，故選項D錯誤，故選：AB.11.在棱長為2的正方體中，Q為線段的中點，P為線段上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的有A.P為中點時，的值最小B.不存在點P，使得平面平面C.P與端點C重合時，三棱錐的外接球半徑為D.P為中點時，過D，P，Q三點的平面截正方體所得的截面的周長為【答案】BCD【解析】【分析】對于A,利用側(cè)面展開圖可以確定點位置；對于B，存在點,利用條件可得，顯然不成立；對C，構(gòu)造長方體即可；對于D,畫出截面，求周長即可.【詳解】對于A,由側(cè)面展開圖,當與交于點時，的值最小，此時,故P不為中點，故A錯誤；對于B,若存在點，使得平面平面，由平面平面，平面平面，可知,顯然不成立，若點與重合，則平面平面，顯然也不成立，故B錯誤；對于D,P與端點C重合時，三棱錐即是三棱錐,三棱錐的外接球即是以為長、寬、高的長方體的外接球，此時外接球半徑為，故C正確；對于D，連接,由三角形中位線性質(zhì)和正方體的性質(zhì)知，,所以過D，P，Q三點的截面為梯形,,故周長為，故D正確，故選：BCD.12.已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線：的焦點，過點F且傾斜角為的直線交C于A、B兩點（其中點A在第一象限），過線段的中點P作垂直于拋物線準線的直線，與準線交于點N，則下列說法正確的是（）A.C的準線方程為 B.C.三角形的面積 D.【答案】BD【解析】【分析】A選項，直接求出準線方程即可；B選項，求出的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，得到，進而求出，，故，從而推出；C選項，求出點到直線的距離，求出三角形的面積；D選項，求出，由焦半徑公式得到，得到.【詳解】A選項，準線方程為，A錯誤；B選項，焦點坐標為，故直線，即，聯(lián)立得，，設(shè)，則，所以，即，所以，又，所以，所以，故，因為，所以，所以，B正確；C選項，點到直線的距離為，故三角形的面積為，C錯誤；D選項，由B選項可得，則由焦半徑公式可知，故，D正確.故選：BD【點睛】結(jié)論點睛：拋物線的相關(guān)結(jié)論，中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切；中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機變量，且，則的展開式中常數(shù)項為__________.【答案】【解析】【分析】由正態(tài)分布求出參數(shù)后再利用二項式定理計算即可.【詳解】由題意得隨機變量服從正態(tài)分布，且，由，所以，即求的常數(shù)項，由二項式定理得常數(shù)項為.故答案為：14.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出a、b，即可求解.【詳解】代入得，，即，，即，則，，所以.故答案為：.15.已知，求__________.【答案】8【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性解方程，得到，的值，問題即可解決.【詳解】設(shè)，則在上為增函數(shù)，且，所以只有一解：；同理：方程只有一解：.所以：.故答案為：16.已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出球O半徑，平面截球O所得截面小圓半徑，圓錐底面圓半徑，再求出平面截圓錐所得的截面等腰三角形底邊長及高即可計算作答.【詳解】令球半徑為，則，解得，由平面與直線成角，得平面截球所得小圓半徑，因此，由球的內(nèi)接圓錐高為2，得球心到此圓錐底面距離，則圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，點為弦中點，如圖，依題意，，，，顯然，于是，所以.故答案為：【點睛】思路點睛：涉及平面截球所得截面，利用截面小圓的性質(zhì)，可從線面垂直關(guān)系求解，也可借助勾股定理建立數(shù)量關(guān)系求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，，.（1）求A；（2）已知M為直線上一點，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用給定條件直接求角即可.（2）利用余弦定理求出關(guān)鍵邊長，再求面積即可.【小問1詳解】在中，，，則，∵，即，又，則；【小問2詳解】因為，，所以，所以，在中，，解得（負值舍去），所以18.已知數(shù)列滿足，，，（1）令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列定義證明.（2）利用錯位相減法求和.【小問1詳解】∵，即∴數(shù)列是以首項為，公比為等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知：∴①②故①②19.如圖所示，在多面體中，四邊形是邊長為的正方形，其對角線的交點為，平面，，，點P是棱上的任意一點.（1）求證：；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，即可得出線線垂直；（2）建立空間直角坐標系，向量法求解線面角即可.【小問1詳解】因為，所以四點共面.因為平面，平面，所以，因為四邊形ABCD是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面，而平面，所以.【小問2詳解】由題意，，，互相垂直，以為原點，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，.則，，，設(shè)平面的法向量為，所以由，得，令，可得，設(shè)直線和平面所成角為，則，所以直線CN和平面AMN所成角的正弦值為.20.杭州亞運會男子乒乓球團體賽采用世界乒乓球男子團體錦標賽（斯韋思林杯）的比賽方法，即每隊派出三名隊員參賽，采用五場三勝制.比賽之前，雙方隊長應(yīng)抽簽決定A、B、C和X、Y、Z的選擇，并向裁判提交每個運動員分配到一個字母的隊伍名單.現(xiàn)行的比賽順序是第一場A對X；第二場B對Y；第三場C對Z；第四場A對Y；第五場B對X.每場比賽為三局兩勝制.當一個隊已經(jīng)贏得三場個人比賽時，該次比賽應(yīng)結(jié)束.已知在某次團隊賽中，甲隊A、B、C三位選手在每場比賽中獲勝的概率均為如下表所示，且每場比賽之間相互獨立場次第一場第二場第三場第四場第五場獲勝概率（1）求最多比賽四場結(jié)束且甲隊獲勝的概率；（2）由于賽場氛圍緊張，在教練點撥、自我反思和心理調(diào)控等因素影響下，從第二場開始，每場比賽獲勝的概率會發(fā)生改變，改變規(guī)律為：若前一場獲勝，則該場獲勝的概率比原先獲勝的概率增加0.2；若前一場失利，則該場獲勝的概率比原先獲勝的概率減少0.2.求已知A第一場獲勝的條件下甲隊最終以3：1贏得比賽的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)事件表示甲隊第場比賽獲勝,最多比賽四場結(jié)束且甲隊獲勝，對應(yīng)如下應(yīng)事件，利用獨立事件和互斥事件的概率計算即可得出結(jié)果；（2）事件表示第一場甲獲勝，則事件A表示甲以3：1獲勝，即求條件概率，由，計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)事件表示甲隊第場比賽獲勝【小問2詳解】設(shè)事件表示第一場甲獲勝，事件A表示甲以3：1獲勝，則.所以A第一場獲勝的條件下甲隊最終以3：1贏得比賽的概率為.21.已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在內(nèi)恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的定義域為，求得，分別解不等式、可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和遞增區(qū)間；（2）分析可知不等式在時恒成立，利用導數(shù)求出函數(shù)在時的最小值，構(gòu)造，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，求得時，即可求得整數(shù)的最大值.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由可得：，記，，①若，即，，則上單調(diào)遞增，又時，，不合題意；②若，即，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，則令，解得：，令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，故整數(shù)的最大值為.【點睛】方法點睛：若證明恒成立，只要證明即可；若證明恒成立，只要證明即可.22.在平面直角坐標系中，，是橢圓：的左、右焦點，是C的左頂點，過點A且斜率為的直線交直線上一點M，已知為等腰三角形，.（1）求C的方程；（2）在直線上任取一點，直線：與直線交于點Q，與橢圓C交于D，E兩點，若對任意，恒成立，求m的值.【答案】（1）