安徽省皖江聯(lián)盟2024年高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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安徽省皖江聯(lián)盟2024年高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是()A.從2000年至2016年,該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加;B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;C.2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番;D.為了預(yù)測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為)建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型,根據(jù)該模型預(yù)測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.2.在聲學(xué)中,聲強級(單位:)由公式給出,其中為聲強(單位:).,,那么()A. B. C. D.3.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.4.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.85.如圖,中,點D在BC上,,將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐,分別記,與平面ADC所成角為,,則,的大小關(guān)系是()A. B.C.,兩種情況都存在 D.存在某一位置使得6.如圖,點E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點,點F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點)上運動,則()A.在點F的運動過程中,存在EF//BC1B.在點M的運動過程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值7.已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)8.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.149.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域為的是()A. B. C. D.10.某程序框圖如圖所示,若輸出的,則判斷框內(nèi)為()A. B. C. D.11.對于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時,函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.12.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線(,)的離心率為,則該雙曲線的漸近線方程為________.14.在回歸分析的問題中,我們可以通過對數(shù)變換把非線性回歸方程,()轉(zhuǎn)化為線性回歸方程,即兩邊取對數(shù),令,得到.受其啟發(fā),可求得函數(shù)()的值域是_________.15.一個房間的地面是由12個正方形所組成,如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面,已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形,即或,則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.16.已知兩點,,若直線上存在點滿足,則實數(shù)滿足的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)設(shè)其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若滿足,,,求.19.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(1)求,的值;(2)證明函數(shù)存在唯一的極大值點,且.20.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點P,Q分別為,的中點.求證:(1)PQ平面;(2)平面.21.(12分)在三棱柱中,四邊形是菱形,,,,,點M、N分別是、的中點,且.(1)求證:平面平面;(2)求四棱錐的體積.22.(10分)如圖,在中,角的對邊分別為,且滿足,線段的中點為.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)已知,求的大小.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù),對四個選項逐一進行分析排除,由此得到表述不正確的選項.【詳解】對于選項,由圖像可知,投資額逐年增加是正確的.對于選項,投資總額為億元,小于年的億元,故描述正確.年的投資額為億,翻兩翻得到,故描述正確.對于選項,令代入回歸直線方程得億元,故選項描述不正確.所以本題選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析能力,考查利用回歸直線方程進行預(yù)測的方法,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由得,分別算出和的值,從而得到的值.【詳解】∵,∴,∴,當(dāng)時,,∴,當(dāng)時,,∴,∴,故選:D.【點睛】本小題主要考查對數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當(dāng)時,,,所以,故可排除B,C;當(dāng)時,,故可排除D.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐,四棱錐底面是邊長為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.5、A【解析】

根據(jù)題意作出垂線段,表示出所要求得、角,分別表示出其正弦值進行比較大小,從而判斷出角的大小,即可得答案.【詳解】由題可得過點作交于點,過作的垂線,垂足為,則易得,.設(shè),則有,,,可得,.,,;,;,,,.綜上可得,.故選:.【點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6、C【解析】

采用逐一驗證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點到平面的距離即點到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯誤由//,平面,平面所以//平面,則點到平面的距離即為點到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.7、C【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,進而可知在R上為增函數(shù),轉(zhuǎn)化條件得,解一元二次不等式即可得解.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù),所以,即,解得,即,易知在R上為增函數(shù).又,所以,解得.故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用,考查了一元二次不等式的解法,屬于中檔題.8、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域為,正確;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域為,錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】程序在運行過程中各變量值變化如下表:KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項.點睛:使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時,要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征,決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計數(shù)時,注意要統(tǒng)計的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.11、A【解析】

由已知可得的單調(diào)性,再由可得對稱性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對于任意,函數(shù)滿足,因為函數(shù)關(guān)于點對稱,當(dāng)時,是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因為,所以,.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..12、B【解析】

根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因為,所以所以,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用,解出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】,且,,,該雙曲線的漸近線方程為:.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線離心率與漸近線方程,考查了雙曲線基本量的關(guān)系,考查了運算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

轉(zhuǎn)化()為,即得解.【詳解】由題意:().故答案為:【點睛】本題考查類比法求函數(shù)的值域,考查了學(xué)生邏輯推理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.15、11【解析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定,再由此進行分類,在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進行分類,在其中會有相同元素的排列問題,需用到“縮倍法”.采用分類計數(shù)原理,求得總的方法數(shù).【詳解】(1)先貼如圖這塊瓷磚,然后再貼剩下的部分,按如下分類:5個:,3個,2個:,1個,4個:,(2)左側(cè)兩列如圖貼磚,然后貼剩下的部分:3個:,1個,2個:,綜上,一共有(種).故答案為:11.【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理,排列問題,其中涉及到相同元素的排列,用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.16、【解析】

問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓有公共點時,的取值范圍,利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果.【詳解】解:直線,點,,直線上存在點滿足,的軌跡方程是.如圖,直線與圓有公共點,圓心到直線的距離:,解得.實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題主要考查直線方程、圓、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(I)零點分段法,分,,討論即可;(II),分,,三種情況討論.【詳解】原不等式即.當(dāng)時,化簡得.解得;當(dāng)時,化簡得.此時無解;當(dāng)時,化簡得.解得.綜上,原不等式的解集為由題意,設(shè)方程兩根為.當(dāng)時,方程等價于方程.易知當(dāng),方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.此時方程在上無解.滿足條件.當(dāng)時,方程等價于方程,此時方程在上顯然沒有兩個不相等的實數(shù)根.當(dāng)時,易知當(dāng),方程在上有且只有一個實數(shù)根.此時方程在上也有一個實數(shù)根.滿足條件.綜上,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查解絕對值不等式以及方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍,考查學(xué)生的運算能力,是一道中檔題.18、(1);(2)【解析】

(1)化簡得到,取,解得答案.(2),解得,根據(jù)余弦定理得到,再用一次余弦定理解得答案.【詳解】(1).取,解得.(2),因為,故,.根據(jù)余弦定理:,..【點睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,余弦定理,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.19、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo),可得(1),(1),結(jié)合已知切線方程即可求得,的值;(2)利用導(dǎo)數(shù)可得,,再構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,,則(1),(1),故曲線在點,(1)處的切線方程為,又曲線在點,(1)處的切線方程為,,;(2)證明:由(1)知,,則,令,則,易知在單調(diào)遞減,又,(1),故存在,使得,且當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng),時,,單調(diào)遞減,由于,(1),(2),故存在,使得,且當(dāng)時,,,單調(diào)遞增,當(dāng),時,,,單調(diào)遞減,故函數(shù)存在唯一的極大值點,且,即,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,由于,故(2),即,.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值及最值,考查推理論證能力,屬于中檔題.20、(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)取的中點D,連結(jié),.根據(jù)線面平行的判定定理即得;(2)先證,,和都是平面內(nèi)的直線且交于點,由(1)得,再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【詳解】(1)取的中點D,連結(jié),.在中,P,D分別為,中點,,且.在直三棱柱中,,.Q為棱的中點,,且.,.四邊形為平行四邊形,從而.又平面,平面,平面.(2)在直三棱柱中,平面.又平面,.,D為中點,.由(1)知,,.又,平面,平面,平面.【點睛】本題考查線面平行的判定定理,以及線面垂直的判定定理,難度不大.21、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)要證面面垂直需要先證明線面垂直,即證明出平面即可;(2)求出點A到平面的距離,然后根據(jù)棱錐的體積公式即可求出四棱錐的體積.【詳解】(1)連接,由是平行四邊形及N是的中點,得N也是的中點,因為點M是的中點,所以,因為,所以,又,,所以平面,又平面,所以

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