第22講二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性（原卷版）

第22講二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性【技巧點撥】二次函數(shù)背景下的相似三角形考點分析：1.先求函數(shù)的解析式，然后在函數(shù)的圖像上探求符合幾何條件的點；2.簡單一點的題目，就是用待定系數(shù)法直接求函數(shù)的解析式；3.復雜一點的題目，先根據(jù)圖形給定的數(shù)量關系，運用數(shù)形結合的思想，求得點的坐標，繼而用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；4.還有一種常見題型，解析式中由待定字母，這個字母可以根據(jù)題意列出方程組求解；5.當相似時：一般說來，這類題目都由圖像上的點轉化到三角形中的邊長的問題，再由邊的數(shù)量關系轉化到三角形的相似問題；6.考查利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建立方程求解的方法?！緜渥ⅰ浚?.以下每題教法建議，請老師根據(jù)學生實際情況參考；2.在講解時：不宜采用灌輸?shù)姆椒?，應采用啟發(fā)、誘導的策略，并在讀題時引導學生發(fā)現(xiàn)一些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學生在復雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領悟題目的意思；3.可以根據(jù)各題的“教法指導”引導學生逐步解題，并采用講練結合；注意邊講解邊讓學生計算，加強師生之間的互動性，讓學生參與到例題的分析中來；4.例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問題引導學生分析題目，邊講邊讓學生書寫，每個問題后面有答案提示；5.引導的技巧：直接提醒，問題式引導，類比式引導等等；6.部分例題可以先讓學生自己試一試，之后再結合學生做的情況講評；7.每個題目的講解時間根據(jù)實際情況處理，建議每題7分鐘，選講例題在時間足夠的情況下講解?！局锌继魬?zhàn)滿分模擬練】1．（2023黃浦區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣8（a≠0）經(jīng)過A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線y＝ax2+bx﹣8（a≠0）的解析式，并求出頂點P的坐標；（2）求∠APB的余弦值；（3）直線y＝kx+4與y軸交于點N，與直線AC的交點為M，當△MNC與△AOC相似時，求點M的坐標．2．（2023浦東新區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸的正、負半軸分別交于點B、A，與y軸交于點C，已知AB＝5，tan∠CAB＝3，OC：OB＝3：4．（1）求該拋物線的表達式；（2）設該拋物線的對稱軸分別與x軸、BC交于點E、F，求EF的長；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結CE，如果點P在該拋物線的對稱軸上，當△CEP和△CEB相似時，求點P的坐標．3．（2023浦東新區(qū)一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，O是坐標原點，已知點B的坐標是（3，0），tan∠OAC＝3；（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P在x軸上方的拋物線上，且∠PAB＝∠CAB，求點P的坐標；（3）點D是y軸上一動點，若以D、C、B為頂點的三角形與△ABC相似，求出符合條件的點D的坐標．4．（2023徐匯區(qū)一模）如圖，二次函數(shù)y＝+bx+c的圖象交坐標軸于點A（4，0），B（0，﹣2），點P為x軸上一動點．（1）求二次函數(shù)y＝+bx+c的表達式；（2）將線段PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PD，若D恰好在拋物線上，求點D的坐標；（3）過點P作PQ⊥x軸分別交直線AB，拋物線于點Q，C，連接AC．若以點B、Q、C為頂點的三角形與△APQ相似，直接寫出點P的坐標．5．（2022?崇明區(qū)二模）如圖．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1．點M為線段OB上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交直線BC于點F，交拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）當以C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似時，求線段EF的長度；（3）如果將△ECF沿直線CE翻折，點F恰好落在y軸上點N處，求點N的坐標．6．（2022?寶山區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）經(jīng)過點A（1，0）、B（2，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）將拋物線向左平移m個單位（m＞2），平移后點A、B、C的對應點分別記作A1、B1、C1，過點C1作C1D⊥x軸，垂足為點D，點E在y軸負半軸上，使得以O、E、B1為頂點的三角形與△A1C1D相似，①求點E的坐標；（用含m的代數(shù)式表示）②如果平移后的拋物線上存在點F，使得四邊形A1FEB1為平行四邊形，求m的值．7.（2022青浦一模24）．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．（1）求該拋物線的表達式及點C的坐標；（2）聯(lián)結BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若點P為x軸上一點，當△BDP與△ABC相似時，求點P的坐標．8.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，點A、B兩點在直線y＝x上，如圖．二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖象也經(jīng)過點A、B兩點，并與y軸相交于點C，如果BC∥x軸，點A的橫坐標是2．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）設這個二次函數(shù)圖象的對稱軸與BC交于點D，點E在x軸的負半軸上，如果以點E、O、B所組成的三角形與△OBD相似，且相似比不為1，求點E的坐標；（3）設這個二次函數(shù)圖象的頂點是M，求tan∠AMC的值．9.（202崇明一模）24.如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A(4，0)，與y軸交于點B(0，3)，點M(m，0)為線段OA上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．（1）求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對稱軸和頂點坐標；（2）如果以點P、N、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，求m的值；（3）如果以B、P、N為頂點的三角形與△ABO相似，求點M的坐標．10.（2022寶山一模）已知在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點、，頂點為點．（1）求拋物線的表達式及頂點的坐標；（2）聯(lián)結，試判斷與是否相似，并證明你的結論；（3）拋物線上是否存在點，使得．如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．11．（2022靜安區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點A（2，0）和點B（﹣1，m），頂點為點D．（1）求直線AB的表達式；（2）求tan∠ABD的值；（3）設線段BD與x軸交于點P，如果點C在x軸上，且△ABC與△ABP相似，求點C的坐標．12（2021年寶山二模24）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過點A（﹣2，0），B（1，0）和點D（﹣3，n），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的表達式及點D的坐標；（2）將拋物線平移，使點C落在點B處，點D落在點E處，求△ODE的面積；（3）如果點P在y軸上，△PCD與△ABC相似，求點P的坐標．13.（2021崇明二模24）（12分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸