2024屆甘肅省隴南市部分學(xué)校高三一模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2甘肅省隴南市部分學(xué)校2024屆高三一模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)全集為R，集合則（）A.或 B.或C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，則，解得或，或，.故選：D.2.已知a為實(shí)數(shù),復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由為純虛數(shù)，，.故選：C.3.下列函數(shù)圖象的對稱軸方程為的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，，令，即，即的對稱軸方程為，A錯誤；對于B，，令，即，即的對稱軸方程為，B正確；對于C，，令，即，即的對稱軸方程為，C錯誤；對于D，，令，即，即的對稱軸方程為，D錯誤；故選：B.4.設(shè)為兩個平面，下列條件中，不是“與β平行”的充要條件的是（）A.內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B.垂直于同一條直線C.平行于同一個平面 D.內(nèi)有兩條相交直線都與β平行〖答案〗A〖解析〗對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，可可能相交，即這無數(shù)條直線都與兩平面的交線平行，故內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行得不出與β平行，A適合題意；對于B，垂直于同一條直線時，可得與β平行，反之也成立，即垂直于同一條直線是與β平行的充要條件；對于C，平行于同一個平面，則與β平行，反之也成立，故平行于同一個平面是與β平行的充要條件；對于D，內(nèi)有兩條相交直線都與β平行，根據(jù)面面平行的判定定理可知與β平行，反之也成立，即內(nèi)有兩條相交直線都與β平行為與β平行的充要條件；故選：A5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（）A. B.C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，則，故.故選：C.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)為C上一點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，過分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).則，所以，又，，所以，解得，所以.故選：A7.知3名男同學(xué)、2名女同學(xué)和1名老師站成一排，女同學(xué)不相鄰，老師不站兩端，則不同的排法共有（）A.336種 B.284種 C.264種 D.186種〖答案〗A〖解析〗當(dāng)2名女生站在兩端時，3名男生和1名老師排在中間，共有種排法；當(dāng)有1名女生排在一端，另一端排男生時，共有種排法；當(dāng)男生排在兩端時，共有種排法；故不同的排法共有（種），故選：A8.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?；令，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，所以，故，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，當(dāng)，即，有，從而有；綜上，.故選：D.二、選擇題9.某廠近幾年陸續(xù)購買了幾臺A型機(jī)床，該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時間x(單位：年)與當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.則（）A.B.y與x的樣本相關(guān)系數(shù)C.表中維修費(fèi)用的第60百分位數(shù)為6D.該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時間為10年時，當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用一定是12.38萬元〖答案〗ABC〖解析〗根據(jù)題意可得，，，所以樣本中心點(diǎn)為，對于A，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程，可得，故A正確；對于B，由表中數(shù)據(jù)可得隨著增大而增大，與正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，故B正確；對于C，維修費(fèi)用從小到大依次為，第60百分位數(shù)為，故C正確；對于D，根據(jù)回歸分析的概念，機(jī)床投入生產(chǎn)的時間為

10年時，所需要支出的維修費(fèi)用大概是12.38萬元，故D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)有3個不同的零點(diǎn),且，則（）A. B.的解集為C.是曲線的切線 D.點(diǎn)是曲線的對稱中心〖答案〗AC〖解析〗對于A，因?yàn)橛?個不同的零點(diǎn),所以不妨設(shè)，易知展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故，又，所以，解得，所以，解得，故A正確；對于B，因?yàn)?，令，即，利用?shù)軸穿根法，解得或，故B錯誤；對于C，易得，當(dāng)切線斜率為時，令，解得或，當(dāng)時，，此時切線為，即，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故D錯誤.故選：AC.11.已知，關(guān)于x的不等式的解集為，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由題意知，關(guān)于x的不等式的解集為，不妨取，則，即，其解集為，即滿足題意，故A錯誤；對于B，即，令，由于不等式的解集為，故需滿足，且，令，則，由于，則，即得，又，故，B正確；對于C，D，，，故，令，，則，則，令，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，即，即，，C，D正確，故選：BCD.三、填空題12.已知圓O為圓錐的底面圓，等邊三角形內(nèi)接于圓O；若圓錐的體積為，則三棱錐的體積為________〖答案〗〖解析〗設(shè)圓O的半徑為r，圓錐的高為h，則，等邊三角形內(nèi)接于圓O，則，故，則三棱錐的體積為，故〖答案〗為：13.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項(xiàng)起依次為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….記大衍數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為________.〖答案〗240〖解析〗由題意知，，故數(shù)列的前30項(xiàng)和為，故〖答案〗為：24014.已知M是橢圓上一點(diǎn)，線段AB是圓的一條動弦,且則的最大值為_______.〖答案〗70〖解析〗如圖，設(shè)中點(diǎn)為，由，，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以，故〖答案〗為：70.四、解答題15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為.已知（1）求b；（2）D為邊上一點(diǎn)，，求的長度和的大小.解：（1）由題意知在中，，故，即，由于，故；（2）由（1）知，結(jié)合，得，又，故，又，則，又，則，故，即，即，結(jié)合，解得，則，，而銳角，故.16.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，為等邊三角形.（1）證明：平面.（2）若為等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：記為的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)椋?，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又平面，所以平?（2）解：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈冗吶切?，，所以到底邊距離為，因?yàn)闉榈冗吶切危?，所以到底邊的距離為，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，故，因，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.某商場在開業(yè)當(dāng)天進(jìn)行有獎促銷活動，規(guī)定該商場購物金額前200名的顧客，均可獲得3次抽獎機(jī)會.每次中獎的概率為，每次中獎與否相互不影響.中獎1次可獲得100元獎金，中獎2次可獲得300元獎金，中獎3次可獲得500元獎金.（1）已知，求顧客甲獲得了300元獎金的條件下，甲第一次抽獎就中獎的概率.（2）已知該商場開業(yè)促銷活動的經(jīng)費(fèi)為4.5萬元，問該活動是否會超過預(yù)算?請說明理由.解：（1）設(shè)顧客甲獲得了300元獎金的事件為A，甲第一次抽獎就中獎的事件為B，則，，故；（2）設(shè)一名顧客獲得的獎金為X元，則X的取值可能為，則，，，，則（元），故，故該活動不會超過預(yù)算.18.已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且M經(jīng)過點(diǎn)的焦距為4.（1）求M和的方程;（2）如圖，過點(diǎn)T(0，1)的直線l(斜率大于0)與雙曲線M和N的左、右兩支依次相交于A,B,C,D,若求直線l的方程.解：（1）因?yàn)?的焦距為4,所以，，所以，漸近線相同，可設(shè)為，代入，，所以（2）設(shè)直線l的方程為，由化簡可得：，，時，，，時，，，所以,同理因?yàn)椋?，所?又因?yàn)樗运詣t，由，解得：，由可知，,所以直線l的方程為：.19.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性.（2）證明:當(dāng)時,（3）證明:（1）解：，，當(dāng)時，易知，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，得，即在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：令，，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，又，有，，即單調(diào)遞減，，，即單調(diào)遞增，所以，而此時，所以當(dāng)時，成立；當(dāng)時，可得，，所以又，所以存在，使得，即，，，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由可得，，下面證明，，令，，所以在上單調(diào)遞增，，即得證，即成立，綜上，當(dāng)時，成立.（3）證明：由（2），當(dāng)時，有，即，令，，得，，，即.甘肅省隴南市部分學(xué)校2024屆高三一模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)全集為R，集合則（）A.或 B.或C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，則，解得或，或，.故選：D.2.已知a為實(shí)數(shù),復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由為純虛數(shù)，，.故選：C.3.下列函數(shù)圖象的對稱軸方程為的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，，令，即，即的對稱軸方程為，A錯誤；對于B，，令，即，即的對稱軸方程為，B正確；對于C，，令，即，即的對稱軸方程為，C錯誤；對于D，，令，即，即的對稱軸方程為，D錯誤；故選：B.4.設(shè)為兩個平面，下列條件中，不是“與β平行”的充要條件的是（）A.內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B.垂直于同一條直線C.平行于同一個平面 D.內(nèi)有兩條相交直線都與β平行〖答案〗A〖解析〗對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，可可能相交，即這無數(shù)條直線都與兩平面的交線平行，故內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行得不出與β平行，A適合題意；對于B，垂直于同一條直線時，可得與β平行，反之也成立，即垂直于同一條直線是與β平行的充要條件；對于C，平行于同一個平面，則與β平行，反之也成立，故平行于同一個平面是與β平行的充要條件；對于D，內(nèi)有兩條相交直線都與β平行，根據(jù)面面平行的判定定理可知與β平行，反之也成立，即內(nèi)有兩條相交直線都與β平行為與β平行的充要條件；故選：A5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（）A. B.C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，則，故.故選：C.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)為C上一點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，過分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).則，所以，又，，所以，解得，所以.故選：A7.知3名男同學(xué)、2名女同學(xué)和1名老師站成一排，女同學(xué)不相鄰，老師不站兩端，則不同的排法共有（）A.336種 B.284種 C.264種 D.186種〖答案〗A〖解析〗當(dāng)2名女生站在兩端時，3名男生和1名老師排在中間，共有種排法；當(dāng)有1名女生排在一端，另一端排男生時，共有種排法；當(dāng)男生排在兩端時，共有種排法；故不同的排法共有（種），故選：A8.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?；令，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，所以，故，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，當(dāng)，即，有，從而有；綜上，.故選：D.二、選擇題9.某廠近幾年陸續(xù)購買了幾臺A型機(jī)床，該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時間x(單位：年)與當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.則（）A.B.y與x的樣本相關(guān)系數(shù)C.表中維修費(fèi)用的第60百分位數(shù)為6D.該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時間為10年時，當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用一定是12.38萬元〖答案〗ABC〖解析〗根據(jù)題意可得，，，所以樣本中心點(diǎn)為，對于A，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程，可得，故A正確；對于B，由表中數(shù)據(jù)可得隨著增大而增大，與正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，故B正確；對于C，維修費(fèi)用從小到大依次為，第60百分位數(shù)為，故C正確；對于D，根據(jù)回歸分析的概念，機(jī)床投入生產(chǎn)的時間為

10年時，所需要支出的維修費(fèi)用大概是12.38萬元，故D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)有3個不同的零點(diǎn),且，則（）A. B.的解集為C.是曲線的切線 D.點(diǎn)是曲線的對稱中心〖答案〗AC〖解析〗對于A，因?yàn)橛?個不同的零點(diǎn),所以不妨設(shè)，易知展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故，又，所以，解得，所以，解得，故A正確；對于B，因?yàn)?，令，即，利用?shù)軸穿根法，解得或，故B錯誤；對于C，易得，當(dāng)切線斜率為時，令，解得或，當(dāng)時，，此時切線為，即，故C正確；對于D，因?yàn)?，又，所以，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故D錯誤.故選：AC.11.已知，關(guān)于x的不等式的解集為，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由題意知，關(guān)于x的不等式的解集為，不妨取，則，即，其解集為，即滿足題意，故A錯誤；對于B，即，令，由于不等式的解集為，故需滿足，且，令，則，由于，則，即得，又，故，B正確；對于C，D，，，故，令，，則，則，令，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，即，即，，C，D正確，故選：BCD.三、填空題12.已知圓O為圓錐的底面圓，等邊三角形內(nèi)接于圓O；若圓錐的體積為，則三棱錐的體積為________〖答案〗〖解析〗設(shè)圓O的半徑為r，圓錐的高為h，則，等邊三角形內(nèi)接于圓O，則，故，則三棱錐的體積為，故〖答案〗為：13.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項(xiàng)起依次為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….記大衍數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為________.〖答案〗240〖解析〗由題意知，，故數(shù)列的前30項(xiàng)和為，故〖答案〗為：24014.已知M是橢圓上一點(diǎn)，線段AB是圓的一條動弦,且則的最大值為_______.〖答案〗70〖解析〗如圖，設(shè)中點(diǎn)為，由，，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以，故〖答案〗為：70.四、解答題15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為.已知（1）求b；（2）D為邊上一點(diǎn)，，求的長度和的大小.解：（1）由題意知在中，，故，即，由于，故；（2）由（1）知，結(jié)合，得，又，故，又，則，又，則，故，即，即，結(jié)合，解得，則，，而銳角，故.16.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，為等邊三角形.（1）證明：平面.（2）若為等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：記為的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈冗吶切危?，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平?（2）解：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈冗吶切?，，所以到底邊距離為，因?yàn)闉榈冗吶切危?，所以到底邊的距離為，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，故，因，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.某商場在開業(yè)當(dāng)天進(jìn)行有獎促銷活動，規(guī)定該商場購物金額前200名的顧客，均可獲得3次抽獎機(jī)會.每次中獎的概率為，每次中獎與否相互不影響.中獎1次可獲得100元獎金，中獎2次可獲得300元獎金，中獎