1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算(第1課時(shí))課件-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期人教版數(shù)學(xué)

第一章空間向量與立體幾何1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算新知探究問題1平面向量是什么？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？一、空間向量的有關(guān)概念平面向量的概念空間向量的概念

平面內(nèi)，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長度或模，記作

或|a|.

空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長度或模，記作

或|a|.新知探究問題2如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空間向量的表示嗎？平面向量的表示法空間向量的表示法

(1)有向線段

A(起點(diǎn))B(終點(diǎn))a(2)字母

a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)(1)有向線段(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y，z)新知探究二、空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律追問1空間向量的線性運(yùn)算如何進(jìn)行？ba.Oα空間向量的線性運(yùn)算

轉(zhuǎn)化平面向量的線性運(yùn)算新知探究二、空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律平面向量的運(yùn)算律空間向量的運(yùn)算律

①交換律：②結(jié)合律：③分配律：①交換律：②結(jié)合律：③分配律：a+b＝b+a；a+(b+c)＝(a+b)

+c，λ(μa)＝(λμ)a；(λ+μ)a＝λa+

μa，λ(a+b)＝λa+

λb.a+b＝b+a；a+(b+c)＝(a+b)

+c，λ(μa)＝(λμ)a；(λ+μ)a＝λa+

μa，λ(a+b)＝λa+

λb.問題5空間向量線性運(yùn)算律的證明和平面向量有哪些異同，如何證明空間向量的加法結(jié)合律？新知探究探究1：如圖1.1-6,在平行六面體

中,分別標(biāo)出

表示的向量.從中你能體會(huì)向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律嗎?一般地,三個(gè)不共面的向量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系?平行六面體法則：共起點(diǎn)，連對(duì)角新知探究探究2：對(duì)任意兩個(gè)空間向量

如果

有什么位置關(guān)系？反過來，

有什么位置關(guān)系時(shí)，平面向量共線的充要條件空間向量共線的充要條件

對(duì)任意兩個(gè)平面向量

a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，

使a＝λb

.

追問(1)

你還記得兩個(gè)向量共線的充要條件嗎？這個(gè)充要條件對(duì)于空間向量也成立嗎？

對(duì)任意兩個(gè)空間向量

a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，

使a＝λb

.新知探究如右圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由向量共線的充要條件可知，存在唯一確定的實(shí)數(shù)λ

，使得=λa.也就是說，直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定.新知探究追問(2)

任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移，移到同一平面內(nèi)，三個(gè)向量呢？ab.Oαcp

任意兩個(gè)空間向量總是共面的，但三個(gè)空間向量既可能共面，也可能不共面.

如何判斷三個(gè)向量是否共面呢？

新知探究追問(3)

你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個(gè)空間向量共面有什么關(guān)系？ab.Oαpp＝xa+yb若向量a，b是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則α內(nèi)任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.ab.Oαp若p在α內(nèi)，則有p＝xa+yb；若p＝xa+yb，則p在α內(nèi).p新知探究平面向量基本定理空間向量共面的充要條件

若向量a，b是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則α內(nèi)任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)

，使得：p＝xa+yb.ab.Oαp兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得：p＝xa+yb.ABC新知探究三、共面向量定理及其推論①空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，使②P、A、B、C四點(diǎn)共面的充要條件是對(duì)空間任意一點(diǎn)O，ACBP典例剖析例1

如圖,已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.典例剖析證明:·追問：最終的結(jié)果你還有沒有其他的表示方法？你能得到什么結(jié)論？一、知識(shí)回顧重溫基礎(chǔ)問題1：什么叫共線向量？提示：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量，也叫平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)于任意向量a，都有0∥a.二、探究本質(zhì)得出新知探究一：空間向量的共線的充要條件.二、探究本質(zhì)得出新知問題6：閱讀課本第4頁中間部分，回答下面問題：方向向量二、探究本質(zhì)得出新知提示：反映直線的傾斜方向.二、探究本質(zhì)得出新知二、探究本質(zhì)得出新知二、探究本質(zhì)得出新知探究二：共面向量及共面向量定理閱讀課本第4頁中下方部分，回答下面三個(gè)概念：向量a平行與直線l如何描述？向量a平行與平面α如何描述？什么是共面向量？二、探究本質(zhì)得出新知問題10：空間任意兩個(gè)向量是否共面？三個(gè)向量呢？提示：共面，不一定.問題11：什么是平面向量基本定理？二、探究本質(zhì)得出新知問題12：若向量a,b是空間兩個(gè)不共線的向量，如果p=xa+yb，則向量p與向量a,b有什么位置關(guān)系？反之，當(dāng)向量p與向量a,b有什么位置關(guān)系時(shí)，p=xa+yb？二、探究本質(zhì)得出新知問題13：若去掉不共線這個(gè)條件，上述問題是否成立？二、探究本質(zhì)得出新知問題14：結(jié)合前面三點(diǎn)共線的充要條件，探究空間四點(diǎn)共面的充要條件？二、探究本質(zhì)得出新知三、舉例應(yīng)用掌握定義三、舉例應(yīng)用掌握定義三、舉例應(yīng)用掌握定義四、學(xué)生練習(xí)加深理解－33a＋3b－5c四、學(xué)生練習(xí)加深理解五、歸納小結(jié)提高認(rèn)識(shí)1.兩個(gè)概念：共線向量、共面向量2.兩個(gè)定理：向量共線、共面的充要條件4.兩種方法：類比、轉(zhuǎn)化3.兩個(gè)推論：三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面的充要條件新知探究

空間向量夾角定義新知探究

新知探究

不能.向量沒有除法

例題講解

答案：×，×，×，×，×.例題講解

例題講解

為什么？小結(jié)運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積運(yùn)算夾角數(shù)量積常見題型

垂直模長夾角

由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，這樣任意兩個(gè)空間向量的夾角和數(shù)量積，都可以像平面向量來定義.

空間向量的夾角1定義

已知兩個(gè)非零向量a、b,在空間任取一點(diǎn)O，作=a,=b,則∠AOB叫做向量a,b的夾角，記作<a,b>.

空間向量夾角的范圍：[0,].π

如果<a,b>=，那么向量a、b互相垂直，記作a?b.說明練一練

如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'.則（1）與的夾角大小為

;（2）與的夾角大小為

;（3）與的夾角大小為

.90°135°60°

空間任意兩個(gè)非零向量a和b，則|a||b|cos

叫做a與b的數(shù)量積，記作a?b，即

a?b=|a||b|cos

空間向量的數(shù)量積2

特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為0.

a⊥b

a?b=0

a?a=|a||a|cos0=|a|2練一練

如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'邊長為1，則

(1)=

；(2)

=

.??01

空間向量的投影向量3abc

將空間向量a平移到與向量b共起點(diǎn)后，可作出a在b上的投影，進(jìn)而得到投影向量c(如圖1）.顯然c=|a|cos<a,b>;

同理可以作出a在直線l上的投影向量(如圖2）

alcacABB'A'

分別過空間向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B向平面α作垂線，垂足分別為A'、B',得到a在平面α上的投影向量c(如圖3）.

圖1圖2圖3練一練

如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'邊長為1，則

(1)在直線AB上的投影向量為

；(2)在平面BCC’B’上的投影向量為

.(3)在上投影向量的長度為

.

空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律4

空間向量的數(shù)量積滿足如下的運(yùn)算律：

(λa)?b=λ(a?b),λ∈R；

a?b=b?a(交換律)；

a?(b+c)=a?b+a?c(分配律).

對(duì)于空間向量a，b，c，判斷下列命題是否正確：

（1）若a≠0，則對(duì)于任意非零向量b，有a?b≠0;（2）若a≠0，且a?b=a?c，則b=c;（3）對(duì)于任意空間向量a，b，c，都有(a?b)?c=a?(b?c).練一練(1)錯(cuò)誤！當(dāng)a⊥b時(shí)也有a?b=0成立；(2)錯(cuò)誤！只要a⊥(b-c)，就有a?b=a?c成立；(3)錯(cuò)誤！(a?b)?c=λc

，a?(b?c)=μa(λ,

μ∈R)知識(shí)篇素養(yǎng)篇思維篇1.1.2空間向量的數(shù)量積

問題分析方法總結(jié)核心素養(yǎng)之

邏輯推理

+數(shù)學(xué)運(yùn)算

因?yàn)閜⊥q，所以p?q=0，即(3a-b)(λa+17b)=3λa2-17b2+(51-λ)ab=12λ-425-5(51-λ)=17λ-680=0得λ=40

將兩個(gè)向量垂直這一條件轉(zhuǎn)化為它們的數(shù)量積為0，也就把求值問題轉(zhuǎn)化為解方程問題.1.2.正三棱臺(tái)ABC-A'B'C'中，AB=4,A'B'=AA'=BB'=2,求.

問題方法核心素養(yǎng)之

邏輯推理

+數(shù)據(jù)分析

幾何體中向量的有關(guān)運(yùn)算，往往先選擇一組基底將目標(biāo)向量表示出來，再根據(jù)基向量的條件和運(yùn)算法則求解.分析第一步，用不共面的一組向量表示：，；第二步，由已知條件知：兩兩夾角均為60°.從而可得

==-23.

問題分析方法核心素養(yǎng)之

數(shù)學(xué)建模

+邏輯推理要證l⊥α，即證l垂直于內(nèi)的任意一條直線.設(shè)g為內(nèi)任意一條直線，分別在l、m、n、g上任取一非零向量l、m、n、g；存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)使g=xm+yn,則l?g=xl?m+yl?n=0,所以l⊥α選擇基底并構(gòu)建數(shù)量積模型是解決問題的關(guān)鍵.先將幾何關(guān)系先轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算結(jié)果，再回到幾何中去.B知識(shí)篇素養(yǎng)篇思維篇1.1.2空間向量的數(shù)量積

1.正方體ABCD-A'B'C'D'邊長為1，M、N分別是對(duì)角線

DA'、AC上的動(dòng)點(diǎn).(1)試用線性表示;(2)求MN長度的最小值.

數(shù)學(xué)思想之

函數(shù)思想

+主元思想問題解答(1)====(2)==

(0≤λ,μ≤1)1.正方體ABCD-A'B'C'D'邊長為1，M、N分別是對(duì)角線

DA'、AC上的動(dòng)點(diǎn).(1)試用線性表示;(2)求MN長度的最小值.

數(shù)學(xué)思想之

函數(shù)思想

+主元思想問題方法總結(jié)（1）要用一組基向量表示目標(biāo)向量，先將目標(biāo)向量表示成首尾相連的若干向量的和，再用基向量一一表示相關(guān)向量，最后合并同類項(xiàng)即可.

（2）含有兩個(gè)變量的二次多項(xiàng)式求最值，可選一變量作為主元配方，再將含另一變量的二次式配方，根據(jù)完全平方式的非負(fù)性可得最值.

2.已知P是邊長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'內(nèi)部(含表面)

的動(dòng)點(diǎn)，滿足條件：，求點(diǎn)P軌跡的長度.數(shù)學(xué)思想之

轉(zhuǎn)