第十七章《勾股定理》同步單元基礎(chǔ)與培優(yōu)高分必刷卷（全解全析）

第十七章《勾股定理》同步單元基礎(chǔ)與培優(yōu)高分必刷卷全解全析1．A【解析】【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理可判斷A，B，D，利用勾股定理的逆定理可判斷C，從而可得答案.【詳解】解：∠A：∠B：∠C＝3：4：5，故A符合題意；則故B不符合題意；a：b：c＝5：12：13，設(shè)則所以能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；∠A：∠B：∠C＝1：2：3，故D不符合題意；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練的掌握“判定直角三角形的方法”是解本題的關(guān)鍵.2．D【解析】【分析】設(shè)BE為x，則AE為25-x，在由勾股定理有，即可求得BE=13．【詳解】設(shè)BE為x，則DE為x，AE為25-x∵四邊形為長方形∴∠EAB=90°∴在中由勾股定理有即化簡得解得故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題求折痕或其他邊長，主要可根據(jù)折疊前后兩圖形的全等條件，把某個直角三角形的三邊都用同一未知量表示出來，并根據(jù)勾股定理建立方程，進(jìn)而可以求解．3．B【解析】【分析】根據(jù)大正方形的面積是9，小正方形的面積是1，可得直角三角形的面積，即可求得ab的值．【詳解】解：∵大正方形邊長為3，小正方形邊長為1，∴大正方形的面積是9，小正方形的面積是1，∴一個直角三角形的面積是(9-1)÷4=2，又∵一個直角三角形的面積是ab=2，∴ab=4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了與弦圖有關(guān)的計(jì)算，還要注意圖形的面積和a，b之間的關(guān)系．4．C【解析】【分析】過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，由∠ACB=90°，CD⊥AB，AF平分∠CAB，可得∠CAF=∠FAD，從而得到CE=CF，再由角平分線的性質(zhì)定理，可得FC=FG，再證得，可得，然后設(shè)，則，再由勾股定理可得，然后利用三角形的面積求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵，∴，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴，∵，∴，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．D【解析】【分析】將點(diǎn)沿著它所在的棱向上翻折至點(diǎn)處，分如圖（見解析）所示的三種情況討論，分別利用化曲為直的思想和勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將點(diǎn)沿著它所在的棱向上翻折至點(diǎn)處，則新長方體的長、寬、高分別為，將這個新長方體展開為以下三種情況，如圖所示：，，，∵，∴螞蟻需爬行的最短距離是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．6．B【解析】【分析】作EF⊥AD于F，證明△EBA≌EFA，故（2）不正確；證明Rt△DCE≌DFE，得到DE平分∠CDA；故（1）正確；當(dāng)△EBA≌△DCE時，得到AB=CD，與原圖矛盾，故（3）不正確；根據(jù)△EBA≌EFA，Rt△DCE≌DFE，得到AB=AF，DC=DF，得到AB+CD=AF+DF=AD，故（4）正確；證明∠AED=90°，得到AE2+DE2=AD2，故（5）正確．問題得解．【詳解】解：如圖，作EF⊥AD于F，則∠AFE=∠DFE=90°，∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAE=∠BAE，∵AE=AE，∴△EBA≌EFA，故（2）不正確；∵△EBA≌EFA，∴EB=EF，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∴EF=EC，又∵DE=DE，∴Rt△DCE≌DFE，∴∠CDE=∠FDE，∴DE平分∠CDA；故（1）正確；當(dāng)△EBA≌△DCE時，AB=EC，BE=CD，由題意得BE=CE，可得AB=CD，與原圖矛盾，故（3）不正確；∵△EBA≌EFA，Rt△DCE≌DFE，∴AB=AF，DC=DF，∴AB+CD=AF+DF=AD，故（4）正確；∵∠B=∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠CDA=180°，∵∠FAE=∠BAE，∠CDE=∠FDE，∴∠EDA+∠EAD=90°，∴∠AED=90°，∴AE2+DE2=AD2，故（5）正確．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，根據(jù)題意添加輔助線，證明△EBA≌EFA、Rt△DCE≌DFE是解題關(guān)鍵．7．B【解析】【分析】根據(jù)題意過D作DN⊥BF于N，連接DI，進(jìn)而結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面積×4進(jìn)行分析計(jì)算即可.【詳解】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜邊AB＝10，∴BC＝AB＝5，AC＝＝5，過D作DN⊥BF于N，連接DI，在△ACB和△BND中，，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△MND≌Rt△OCB，∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC，∴EM＝DO，∴DN＝BC＝CI，∵DN∥CI，∴四邊形DNCI是平行四邊形，∵∠NCI＝90°，∴四邊形DNCI是矩形，∴∠DIC＝90°，∴D、I、H三點(diǎn)共線，∵∠F＝∠DIO＝90°，∠EMF＝∠DMN＝∠BOC＝∠DOI，∴△FME≌△DOI（AAS），∵圖中S2＝SRt△DOI，S△BOC＝S△MND，∴S2+S4＝SRt△ABC．S3＝S△ABC，在Rt△AGE和Rt△ABC中，，∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL），同理，Rt△DNB≌Rt△BHD，∴S1+S2+S3+S4+S5＝S1+S3+（S2+S4）+S5＝Rt△ABC的面積+Rt△ABC的面積+Rt△ABC的面積+Rt△ABC的面積＝Rt△ABC的面積×4＝5×5÷2×4＝50．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用．8．D【解析】【分析】由圖形可知，內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內(nèi)部五個小直角三角形的周長為大直角三角形的周長．【詳解】解：由圖形可以看出：內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內(nèi)部五個小直角三角形的周長為AC＋BC＋AB，∵BC＝，∴五個小直角三角形的周長之和＝為AC＋BC＋AB＝24．故選：D．【點(diǎn)睛】主要考查了勾股定理的知識和平移的性質(zhì)，難度適中，需要注意的是：平移前后圖形的大小、形狀都不改變．9．C【解析】【分析】由S△AEF+S△ABD＝8.5，得BD2+DG2＝17，從而有BG2+CG2＝34，即可得出答案．【詳解】解：由題意知：△ABD，△AEF都是等腰直角三角形，∴S△AEF＝，，∵S△AEF+S△ABD＝8.5，∴BD2+DG2＝17，∵BG2+CG2＝2（BD2+DG2），∴BG2+CG2＝34，∵BG＝5，∴CG＝＝3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，根據(jù)三角形的面積求出BD2+DG2＝17是解題的關(guān)鍵．10．C【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再由勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵連接AC，如圖所示：∵∠D=90°，AD=，CD=2，∴AC==4．∵BC=3，AB=5，32+42=52，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=××2+×4×3=+6．故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面積的計(jì)算．11．B【解析】【分析】在上截取點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先根據(jù)三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂線段最短可得的最小值為的長，然后根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理即可得出答案．【詳解】解：如圖，在上截取點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，平分，，在和中，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時，等號成立，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取得最小值，即的最小值為，，是等腰直角三角形，，，，解得，即的最小值為2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．12．C【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得，，則可判定①；由可得∠CDF=∠CBE，然后根據(jù)①可判定②；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)，得，通過三角形面積公式計(jì)算，得S△BEC+S△DCES△DBE；根據(jù)等腰三角形三線合一、垂直平分線和勾股定理的性質(zhì)，得AD2+CQ2=DQ2；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)，得，過點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、二次根式的計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵直角△ABC中，AB=BC，等腰直角△DBE，∴，，，∵，∴，△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE，即①正確；∴，，∵，∴由三角形內(nèi)角和可知∠CDF=∠CBE，∴∠CDE=∠ABD，故②正確；∵AD：DC=1：2，∴設(shè)，，∴，∵在等腰直角△ABC中，∴，∵，∴，∵等腰直角△DBE∴過點(diǎn)B作，交AC于點(diǎn)M，如下圖，∵等腰直角△ABC∴，∴，，，∴S△BEC+S△DCES△DBE，即④錯誤；連接，如下圖：∵BQ⊥DE，△DBE是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴AD2+CQ2=DQ2，即③正確；∵CD=BC，∴，，∴,∴,∴，過點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，如圖所示：設(shè)，∵，∴△FHE是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，即BD：EF=；故⑤正確；∴①②③⑤正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定及二次根式等知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形、全等三角形及勾股定理，從而完成求解．13．52【解析】【分析】由翻折的性質(zhì)可知：BN=NB′，設(shè)BN=x，在Rt△CNB′中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x；連接BM，MB′，由于CB′=3，則DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：BN=NB′，設(shè)BN=x，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=9，∠C=∠D=90°，∵NB′2=CB′2+CN2，∴x2=（9-x）2+32，解得x=5，∴BN=5；設(shè)AM=y，連接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，∵M(jìn)B=MB′，∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+y2=（9-y）2+（9-3）2，解得y=2，即AM=2，故答案為：5；2．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，利用了勾股定理建立方程求解．14．##【解析】【分析】設(shè)木柱長為尺，則繩索長尺，根據(jù)勾股定理，列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)木柱長為尺，則繩索長尺，根據(jù)題意得：，解得：即木柱長為尺．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．46【解析】【分析】利用勾股定理分別求出AB2，AC2，繼而再用勾股定理解題．【詳解】解：由圖可知，AB2=故答案為：46．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．16．【解析】【分析】利用點(diǎn)M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)確定N點(diǎn)，當(dāng)、、三點(diǎn)共線且時，的長取得最小值，再利用三角形的面積公式求出，在利用勾股定理求后即可求出的面積．【詳解】∵為的角平分線，將沿翻折，∴的對應(yīng)點(diǎn)一定在邊上．∴∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線且時，的長取得最小值∵在中，，，∴∵∴∴在中，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題以及勾股定理，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．【解析】【分析】連接AG、AE、AF，作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的對稱點(diǎn)，連接A，得出當(dāng)G、A、三點(diǎn)在同-直線上時，+AG的最小值為，再根據(jù)勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案【詳解】解：連接AG、AE、AF，作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的對稱點(diǎn)F'，連接AF'，則，∵等邊，，∴，∴，∴，∴當(dāng)G、A、三點(diǎn)在同-直線上時,AF'+AG的最小值為G連接G∵等邊△ABC的邊長為2，∴，，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．18．24【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵在中，，，∴，∴∵，，，∴∴，∴，∴答：需要綠化部分的面積為24．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用、三角形的面積計(jì)算，掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．19．（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）先證明再結(jié)合證明從而可得結(jié)論；（2）先證明再證明從而利用等面積法可得的長度.【詳解】解：（1），而（2），，，【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵.20．(1)千米(2)萬元【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求解的長度，再利用線段的和差關(guān)系可得答案；（2）利用等面積法可得：，再代入數(shù)據(jù)求解的長度，即可得到答案.(1)解：∵，∴∵在中，，，∴．∴（千米）．答：公路的長度是千米．(2)∵，∴．∵，∴．∴．∵，，，∴（千米）．∴修建公路的費(fèi)用為（萬元）．答：修建公路的費(fèi)用為萬元．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，利用等面積的方法求解三角形的高，熟練的運(yùn)用勾股定理求解直角三角形的邊長是解本題的關(guān)鍵.21．(1)-2(2)直角三角形【解析】【分析】（1）立方根為2的數(shù)是8，把b=8代入得+（a﹣c+4）2＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可以求出a和b的值，然后代入計(jì)算可得答案．（2）根據(jù)abc的數(shù)量關(guān)系得出三角形為直角三角形．(1)解：∵實(shí)數(shù)b的立方根為2，∴b=8∴+（a﹣c+4）2＝0,∴a-6=0；a-c+4=0解得：a=6；c=10.∴2a﹣3b+c＝2×6－3×8＋10=-2(2)解：∵a2+b2=62+82=100，c2=102=100∴a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解絕對值、一個數(shù)的偶次方、一個數(shù)的算數(shù)平方根等都是非負(fù)數(shù)，本題是一道基礎(chǔ)題．22．(1)見詳解；(2)5．【解析】【分析】（1）利用SAS證明即可；（2）過點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F，在Rt中求出EC，再根據(jù)三角形面積公式求出即可．(1)證明：，均為等腰直角三角形，AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90，∠ACB－∠ACE=∠ECD-∠ACE，即：∠BCE＝∠ACD，（SAS）(2)解：由（小問1）知，BE=AD=，過點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)及求三角形的面積，過點(diǎn)E作EF⊥BC是解決本題的關(guān)鍵．23．(1)cm；(2)2(3)4或6【解析】【分析】（1）求出BP=6，利用勾股定理求出PQ的長；（2）先求出CQ=6-2t，根據(jù)的面積是面積的得，計(jì)算即可；（3）根據(jù)勾股定理求出AC，當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時，計(jì)算出CQ的長，分別計(jì)算PQ分△ABC的周長中BP+BC+CQ的長及AP+AQ的長，列比例式計(jì)算即可．(1)解：當(dāng)出發(fā)2秒后，AP=2，BQ=4，∴BP=AB-AP=8-2=6，∵∠B=90°，∴（cm）(2)解：∵BQ=2t，BC=6，∴CQ=6-2t，∴，得t=2；(3)解：在中，，∴10，當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時，，∵BC=6，BP=8-t，∴PQ分△ABC的周長中BP+BC+CQ=，AP+AQ=，當(dāng)時