光電變換的統(tǒng)計特性

關(guān)于光電變換的統(tǒng)計特性7.1雙隨機泊松點過程

一般光電子的發(fā)射過程遵守所謂雙隨機泊松點過程。設(shè)在不同瞬時t1,t2,…,tN產(chǎn)生光電子的聯(lián)合概率分布P(t1,t2,…,tN)可表示為(7.1-1)第2頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

按量子力學的觀點，將電子從束縛態(tài)激發(fā)到非束縛態(tài)的過程，就被看作是光電子發(fā)射過程。在Δt時間內(nèi)，從面元Δs上釋放電子的個數(shù)為

ΔPt=λ(t)Δt=αI(r,t)ΔsΔt(7.1-2)λ(t)=αI(r,t)Δs(7.1-3)第3頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

其中α是探測器的量子效率。λ是發(fā)射電子的速率，可理解為單位時間內(nèi)平均發(fā)射光電子的個數(shù)，ΔPt可理解為發(fā)射電子的概率。對探測器表面積分，就得到探測器發(fā)射電子速率為(7.1-4)第4頁,共63頁，2024年2月25日，星期天7.2相干光的光電子統(tǒng)計和泊松變換

由于相干光是光強恒定的，無起伏，因此光電子發(fā)射過程是泊松過程。則在t0~t0+T間隔內(nèi)產(chǎn)生n個光電子的概率為(7.2-1)第5頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

其中W表示在t0~t0+T時間內(nèi)產(chǎn)生的平均光電子數(shù):(7.2-2)

隨機變量n的正常矩母函數(shù)Qn(s)為(7.2-3)第6頁,共63頁，2024年2月25日，星期天累積量母函數(shù)(7.2-4)階乘矩母函數(shù)(7.2-5)第7頁,共63頁，2024年2月25日，星期天正常矩為(7.2-6)于是

〈n〉=W〈n2〉=W2+W〈n3〉=W3+3W2+W第8頁,共63頁，2024年2月25日，星期天階乘矩(7.2-7)累積量(7.2-8)第9頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

在式(7.2-1)中的W是光強一定時T間隔內(nèi)產(chǎn)生的平均光電子數(shù)。若W是隨機的，則光電子計數(shù)n的概率分布P(n)也是隨機的。需要取平均值給出有實際意義的概率分布:(7.2-9)P(n)與P(W)的這種關(guān)系叫泊松變換，記為P(n)=PT［P(W)］(7.2-10)第10頁,共63頁，2024年2月25日，星期天7.3線性極化熱光的光電子統(tǒng)計7.3.1T<<τc,A<<Ac的情形

τc和Ac分別為熱光場的相干時間和相干面積；而T是探測時間(或計數(shù)時間);A是探測器面積。A<<Ac可以看作是點探測器。由于取樣時間很短，在這段時間內(nèi)I可被看成常數(shù)，于是W=CI(r,t)T(7.3-1)第11頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

其中C=αA。這時的W可理解成t～t+T時間內(nèi)被接收器接收到的平均能量。因為W與光強度成正比，所以W的統(tǒng)計分布與光強度的統(tǒng)計分布有相同的形式，即(7.3-2)對應地有(7.3-3)(7.3-4)(7.3-5)第12頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

再利用泊松變換，就得到T<<τc,A<<Ac情況下線性極化熱光的光電子統(tǒng)計分布：(7.3-6)利用分步積分或查積分表,可得(7.3-7)第13頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

式(7.3-7)稱為玻色—愛因斯坦分布，也叫幾何分布，其中〈n〉=〈W〉。這種分布有遞推關(guān)系第14頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

式(7.3-7)稱為玻色—愛因斯坦分布，也叫幾何分布，其中〈n〉=〈W〉。這種分布有遞推關(guān)系(7.3-8)(7.3-9)(7.3-10)(7.3-11)第15頁,共63頁，2024年2月25日，星期天7.3.2T>>τc,A<<Ac的情況

T>>τc,A<<Ac時仍是點探測器，但取樣時間T較長，這時要考慮W的時間積分效應:(7.3-12)第16頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

時要根據(jù)I(t)的分布求W的分布一般是困難的，這里只給出處理問題的思路和結(jié)論。

基本思路：

(1)將光場V(t)在區(qū)間［0,T］內(nèi)用一組完全正交基展開，即所謂Karhunen-Loeve(K-L)展開。

(2)把K-L展開模的平方代入式(7.3-12)，并利用正交性可得(7.3-13)(7.3-14)第17頁,共63頁，2024年2月25日，星期天(3)Wk的正常矩母函數(shù)為(7.3-16)第18頁,共63頁，2024年2月25日，星期天(4)求式(7.3-16)的Laplace逆變換或式(7.3-14)的多重卷積就可求出W的概率分布。第19頁,共63頁，2024年2月25日，星期天7.4部分極化熱光的光電子統(tǒng)計

仍然設(shè)兩個正交的極化分量是統(tǒng)計獨立的，所以探測器探測的光強度I是兩個獨立的分量I1與I2之和，即第20頁,共63頁，2024年2月25日，星期天相應地，積分強度W為(7.4-1)(7.4-2)(7.4-3)第21頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

對應的光電子計數(shù)為

n=n1+n2(7.4-4)

其中,n1和n2分別對應著兩個獨立的分量W1和W2的光電子計數(shù)，它們也是統(tǒng)計獨立的。第22頁,共63頁，2024年2月25日，星期天7.4.1T<<τc,點探測器(A<<Ac)

與7.3節(jié)討論的情況一樣，這時W∝I，W的概率分布與I的概率分布形式相同。利用6.2節(jié)中討論部分極化熱光的結(jié)果，我們有(7.4-17)第23頁,共63頁，2024年2月25日，星期天矩母函數(shù)(7.4-18)再利用QcW(s)=lnQW(s)可以得到累積量：(7.4-19)第24頁,共63頁，2024年2月25日，星期天方差(7.4-20)第25頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

把矩母函數(shù)式(7.4-18)代入式(7.4-16),可求得光電子計數(shù)分布：(7.4-21)式(7.4-21)當然也可以利用兩個具有平均值第26頁,共63頁，2024年2月25日，星期天光電子分布的階乘矩為(7.4-22)(7.4-23)第27頁,共63頁，2024年2月25日，星期天7.4.2T>>τc,點探測器(A<<Ac)

在T>>τc,A<<Ac的情況下，W1、W2分別是I1、I2的積分，利用Karhunen-Loeve展開，可將W1、W2都表示為N個獨立的隨機變量之和，則W1、W2都服從形如(7.4-24)第28頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

的Γ分布。利用泊松變換，可以得到對應的光電子計數(shù)n1和n2的分布均為負二項分布:(7.4-25)另外,W的矩母函數(shù)為(7.4-26)第29頁,共63頁，2024年2月25日，星期天再利用式(7.4-16)可以算出(7.4-27)第30頁,共63頁，2024年2月25日，星期天相應的階乘矩為(7.4-28)第31頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

其中利用了Γ(n+1)=n!,Γ(1)=1以及另外,由式(7.3-17)知第32頁,共63頁，2024年2月25日，星期天7.5相干光與熱光相混合的光電子統(tǒng)計7.5.1極化的相干光和極化的熱光相混合的光電子統(tǒng)計極化的相干光和極化的熱光相混合的情況下光場的統(tǒng)計特性已在6.3節(jié)中討論過。光強度I的概率分布P(I)是Bessel分布:(7.5-1)第33頁,共63頁，2024年2月25日，星期天7.5.2相干光與部分極化熱光混合的情形相干光與部分極化熱光混合時，積分強度

可分為兩部分:W=W1+W2(7.5-9)

其中，(7.5-10)(7.5-11)第34頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

其中,P是部分極化光的極化度，θ是相干光振動方向與部分極化光的一個獨立分量所對應方向的夾角。根據(jù)獨立隨機變量和的統(tǒng)計規(guī)律，我們有(7.5-12)(7.5-13)(7.5-14)(7.5-15)(7.5-16)第35頁,共63頁，2024年2月25日，星期天7.6調(diào)制光束的光電子統(tǒng)計

調(diào)制光束模型的一個重要應用領(lǐng)域是光通信。為了傳遞信息，在光通信中必須對光束進行調(diào)制。本節(jié)我們首先討論一般的處理方法，然后討論一些實例。設(shè)光束受到一個統(tǒng)計獨立的效應的調(diào)制，那么光強度是兩種效應的乘積，即

I(t)=β(t)I0(t)(7.6-1)第36頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

式中I0(t)是原來未被調(diào)制的光束的強度，β(t)是調(diào)制效應，I0(t)和β(t)是兩個統(tǒng)計獨立的隨機過程。在計數(shù)時間間隔［t,t+T］內(nèi)的積分強度為(7.6-2)W=W1W2(7.6-3)第37頁,共63頁，2024年2月25日，星期天(1)對于β(t)的相干時間τcβ>>T:第38頁,共63頁，2024年2月25日，星期天(2)對于I0(t)的相干時間τc0>>T:第39頁,共63頁，2024年2月25日，星期天(3)對于同時有τc0>>T和τcβ>>T:

W=αI0(t)Tβ(t)=W0W1

其中

W0=αI0(t)TW1=β(t)第40頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

總之，不論上面哪種情形，都能將W寫成兩個獨立的隨機變量W1和W0的乘積，接下來的事情就是如何求出W的統(tǒng)計特性與W1、W0的統(tǒng)計特性之間的關(guān)系。由定義:(7.6-4)(7.6-5)第41頁,共63頁，2024年2月25日，星期天圖7.6-1分布函數(shù)的積分區(qū)間示意圖第42頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

例7-1相干光受熱光調(diào)制(如激光在大氣中傳輸時因隨機起伏造成的影響)這時在

I=βI0

中,I0是常數(shù)，β是熱光光強，所以調(diào)制光束變?yōu)闊峁馐势浣y(tǒng)計特性就是熱光的統(tǒng)計特性。光強度為指數(shù)分布，對于極化和部分極化的不同情況已作過詳細討論。例7-2熱光束受熱噪聲調(diào)制的情況(如星際觀察等)。例7-3熱光強度被實數(shù)高斯噪聲調(diào)制(通信模型)。第43頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

例7-4用一個確定的與計數(shù)不同步的周期信號進行強度調(diào)制。這里假定β(t)是一個確定的周期信號,調(diào)制周期為Tβ，但取樣與該周期信號不同步，這樣在計數(shù)時會引起額外的隨機性。有時在β(t)的峰值取樣，有時在谷值取樣。假設(shè)T<<Tβ，取樣時間中心t是［0,Tβ］內(nèi)均勻分布的隨機變量。不難算出β(t)的概率分布(當給定β的函數(shù)形式后)。對于如圖7.6-2所示的幾種波形，已知t～［0,T］均勻分布,則0＜t＜T其它

于是三種波形概率的求法如下(只考慮一個周期)。第44頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

圖7.6-2幾種β的波形

(a)方波；(b)三角形；(c)正弦波第45頁,共63頁，2024年2月25日，星期天1.方波方波如圖7.6-3所示。圖7.6-3方波第46頁,共63頁，2024年2月25日，星期天其中,按分布函數(shù)的定義

F(β)=P{B(t)≤β}第47頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

顯然:當β＜β1時，F(xiàn)(β)=0；當β≥β2時，F(xiàn)(β)=1;當β1≤β＜β2時β＜β1

β1≤β＜β2β≥β2

第48頁,共63頁，2024年2月25日，星期天2.三角波三角波如圖7.6-4所示。圖7.6-4三角波第49頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

其中,β2=1+0.5m,β1=1-0.5m。顯然,當β＜β1時，F(xiàn)(β)=0;當β＞β2時，F(xiàn)(β)=1；當β1≤β≤β2時第50頁,共63頁，2024年2月25日，星期天不難算出第51頁,共63頁，2024年2月25日，星期天3.正弦波正弦波如圖7.6-5所示。圖7.6-5正弦波第52頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

其中β2-β1=m。顯然,當β＜β1時,F(β)=0；當β＞β2時，F(xiàn)(β)=1；當β1≤β≤β2時第53頁,共63頁，2024年2月25日，星期天不難算出第54頁,共63頁，2024年2月25日，星期天7.7光電子統(tǒng)計應用舉例7.7.1光信號的直接探測在給定的時間間隔內(nèi)直接記錄光電子計數(shù)，并用來估計光強度即光信號(注意：記錄光電子是隨機變化的)。第55頁,共63頁，2024年2月25日，星期天

基本原理如下：設(shè)光信號為I(t)，為了測量I(t)，根據(jù)Nyquist定理可選擇一系列時間測出I1,I2,I3,…,從而得到I(t)。下面以某個測量為例說明如何測I。為了測出I(t)的變化，每次記錄Ii的時間比起I(t)的變化要足夠小。不妨設(shè)某次測量是在［0,T0］時間內(nèi)測量的，T0與I(t)變化相比來說很小，故在這段時間內(nèi)I不變。測量步驟為：第56頁,共63頁，2024年2月25日，星期天(1)把［0,T0］等間隔地分為M段，每段間隔T;(2)設(shè)每一段時間光電子計數(shù)為{n}=n1,n2,…,nM;(3)從n1,n2,…,nM中估計出單位時間內(nèi)平均光電子數(shù)λ；

(4)由I=λhΓ/ηA得到光強，其中η是量子效率，A是探測器面積。第57頁,共63頁，2024年2月25日，星期天1.樣本設(shè)X的分布函數(shù)為F，若隨機變量X1,X2,…,Xn為具有同一分布的相互獨立的隨機變量，則稱X1,X2,…,Xn為從X得到的容量為