串講04 圓錐曲線（考點串講）（原卷版）

串講04圓錐曲線知識網(wǎng)絡(luò)二、常考題型三、知識梳理1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．注：（1）若，M的軌跡為橢圓；（2）若，M的軌跡為線段；（3）若，M的軌跡無圖形2.橢圓的方程及簡單幾何性質(zhì)（1）焦點在x軸：①標準方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)②范圍：－a≤x≤a且－b≤y≤b③頂點：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)④軸長：長軸長＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq\a\vs4\al(2b)⑤焦點：F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)⑥焦距：|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)⑦對稱性：對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(0<e<1)（2）焦點在y軸：①標準方程：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)②范圍：－b≤x≤b且－a≤y≤a③頂點：A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)④軸長：長軸長＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq\a\vs4\al(2b)⑤焦點：F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)⑥焦距：|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)⑦對稱性：對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(0<e<1)3.點與橢圓的位置關(guān)系點P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置關(guān)系：點P在橢圓上?eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)；點P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)<1；點P在橢圓外部?eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)>1.4.直線與橢圓相交的弦長公式如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).5.雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．注：（1）當時，M的軌跡不存在；（2）當時，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線．（3）當時，M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．6.雙曲線的方程及簡單幾何性質(zhì)（1）焦點在x軸：①標準方程：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)②范圍：x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)③頂點：A1(－a,0)，A2(a,0)④軸長：實軸長2a；虛軸長2b⑤焦點：F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)⑥焦距：|F1F2|＝2c⑦對稱性：對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(1<e<＋∞)⑨漸近線：y＝±eq\f(b,a)x（2）焦點在y軸：①標準方程：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)②范圍：y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)③頂點：A1(0，－a)，A2(0，a)④軸長：實軸長2a；虛軸長2b⑤焦點：F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)⑥焦距：|F1F2|＝2c⑦對稱性：對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(1<e<＋∞)⑨漸近線：y＝±eq\f(a,b)x7.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．8.拋物線的方程及簡單幾何性質(zhì)（1）y2＝2px(p>0)①準線：②范圍：x≥0，y∈R③頂點：O(0,0)④開口方向：向右⑤焦點：⑥對稱性：x軸⑦離心率：e＝1（2）y2＝－2px(p>0)①準線：②范圍：x≤0，y∈R③頂點：O(0,0)④開口方向：向左⑤焦點：⑥對稱性：x軸⑦離心率：e＝1（3）x2＝2py(p>0)①準線：y＝－eq\f(p,2)②范圍：x∈R，y≥0③頂點：O(0,0)④開口方向：向上⑤焦點：⑥對稱性：y軸⑦離心率：e＝1（4）x2＝－2py(p>0)①準線：y＝eq\f(p,2)②范圍：x∈R，y≤0③頂點：O(0,0)④開口方向：向下⑤焦點：⑥對稱性：y軸⑦離心率：e＝19.直線與圓錐曲線相交，弦長、中點弦問題．（1）處理弦長問題，一般將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得方程組，化為一元二次方程后，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式或，其中k為直線AB的斜率，．（2）處理中點弦問題，一般有兩種思路。思路一：聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行設(shè)而不求；思路二：利用“點差法”．四、?？碱}型探究考點一橢圓的定義例1.已知為兩定點，，動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段例2.已知平面內(nèi)一動點P到兩定點，的距離之和為8，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【變式探究】已知是橢圓上一點，分別為的左、右焦點，則（

）A． B． C． D．考點二橢圓的標準方程例3.橢圓的離心率為，則（

）A．2 B．1 C． D．2或例4.已知橢圓的焦距等于2，則實數(shù)的值為．【變式探究】已知中心為坐標原點，焦點在坐標軸上的橢圓經(jīng)過點，，求的方程．考點三橢圓的幾何性質(zhì)例5.已知、是橢圓的兩個焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，則的周長為（

）A．16 B．8 C．25 D．32例6.設(shè)是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點距離之和為（

）A． B． C．4 D．【變式探究】已知橢圓的兩個焦點是、，點是橢圓上一點，且，則的面積是.考點四直線與橢圓的關(guān)系例7.直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定例8.過點A(0,1)的直線一定與橢圓相交.（正確或錯誤）【變式探究】已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，且過點，，(1)求的標準方程；(2)寫出的焦點和頂點坐標.考點五雙曲線的定義例9.已知雙曲線的左、右焦點為，，若雙曲線上存在點滿足，則雙曲線的一條漸近線方程為（

）A． B．C． D．例10.雙曲線的左右焦點分別是與是雙曲線左支上的一點，且，則（

）A．1 B．13 C．1或13 D．3【變式探究】若雙曲線上一點到其右焦點的距離是8,則點到其左焦點的距離是（

）A．4 B．10 C．2或10 D．4或12考點六雙曲線的標準方程例11.焦距為26，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方程是.例12.已知雙曲線的焦距為6，它的離心率為3，則該雙曲線的標準方程為.【變式探究】已知雙曲線的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過，兩點，求雙曲線的方程.考點七雙曲線的幾何性質(zhì)例13.如果曲線經(jīng)過平移坐標軸后的新方程為，那么新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為（

）A． B． C． D．例14.雙曲線的實軸長比虛軸長短（

）A．4 B．2 C．10 D．20【變式探究】已知雙曲線的左焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的實軸長為（

）A． B． C． D．考點八直線與雙曲線的關(guān)系例15.雙曲線：的漸近線恰好與曲線相切，則的離心率為（

）A． B． C． D．例16.若雙曲線的一條漸近線方程為，則．【變式探究】已知點在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點且斜率為的直線與雙曲線僅有一個交點，求實數(shù)的值．考點九拋物線的定義例17.已知拋物線上點的縱坐標為1，則到的焦點的距離為（

）A．1 B． C． D．2例18.已知為拋物線：（）上一點，點到的焦點的距離為，則（

）A．2 B．3 C．6 D．9【變式探究】若拋物線（）上一點到其焦點的距離為3，則該拋物線的方程為（

）A． B．C． D．考點十拋物線的標準方程例19.已知拋物線C關(guān)于x軸對稱，且焦點在直線上，則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．例20.拋物線的準線方程是，則其標準方程是.【變式探究】已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點是坐標原點且開口向左，又拋物線經(jīng)過點，求這個拋物線的標準方程．考點十一拋物線的幾何性質(zhì)例21.若拋物線上一點到準線的距離等于它到頂點的距離，則點的坐標可以為（

）A． B．C． D．例22.若點為拋物線上的動點，為該拋物線的焦點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式探究】過拋物線的焦點F作斜率為1的直線l，交