新教材人教A版2.2.1基本不等式課件（39張）

2.2基本不等式第1課時基本不等式必備知識·自主學(xué)習(xí)1.重要不等式：如果a，b∈R，那么__________(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立).(1)公式：①條件：a>0，b>0；②結(jié)論：；③等號成立：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時.(2)本質(zhì)：基本不等式表明，兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).a2+b2≥2ab【思考】(1)重要不等式與基本不等式成立的條件相同嗎？基本不等式成立的條件能省略嗎？提示：兩個不等式成立的條件是不同的：前者要求a，b都是實數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù).基本不等式成立的條件“a>0，b>0”不能省略，例如是不成立的.(2)“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立”的含義是什么？提示：一方面是當(dāng)a=b時取等號，即a=b?；另一方面是僅當(dāng)a=b時取等號，即?a=b.已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y=時，和x+y有最___值為(積定和最小)；(2)如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y=時，積xy有最___值為(和定積最大).(3)應(yīng)用：求和式的最小值，乘積式的最大值.小大【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)對任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，a+b≥2均成立. (

)(2)若a≠0，則=4. (

)(3)若a>0，b>0，則ab≤. (

)提示：(1)×.任意a，b∈R，有a2+b2≥2ab成立，當(dāng)a，b都為正數(shù)時，不等式a+b≥2成立.(2)×.只有當(dāng)a>0時，根據(jù)基本不等式，才有不等式=4成立.(3)√.因為，所以ab≤.2.不等式(x-2y)+≥2成立的前提條件為 (

)

A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y【解析】選B.因為不等式成立的前提條件是各項均為正，所以x-2y>0，即x>2y.3.(教材二次開發(fā)：例題改編)設(shè)x，y滿足x+y=40，且x，y都是正數(shù)，則xy的最大值為_______.

【解析】因為x，y都是正數(shù)，且x+y=40，所以xy≤=400，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=20時取等號.答案：400關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一利用基本不等式比較大小(邏輯推理)【題組訓(xùn)練】

1.已知m=a-2+(a>2)，n=2-b2(b≠0)，則m，n之間的大小關(guān)系是(

)

A.m>n B.m<nC.m=n D.不確定2.設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是 (

)3.已知a>0且a≠1，又M=，則M，N，P的大小關(guān)系是_______.

【解析】1.選A.因為a>2，所以a-2>0.又因為m=(a-2)+，所以m≥=2，當(dāng)且僅當(dāng)a-2=，即a=3時取“=”.由b≠0，得b2≠0，所以n=2-b2<2，綜上可知m>n.2.選B.因為0<a<b，所以0<，所以a<，同樣由0<a<得所以<b，由基本不等式可得，綜上，a<<b.3.因為a>0且a≠1，所以，所以，所以，所以即P<N<M.答案：P<N<M【解題策略】關(guān)于基本不等式比較大小(1)若給定的代數(shù)式中既有“和式”又有“積式”，這便是應(yīng)用基本不等式的題眼，可考慮是否利用基本不等式解決.(2)在應(yīng)用基本不等式時一定要注意是否滿足條件，即a>0，b>0，同時注意能否取等號.【補償訓(xùn)練】若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是 (

)2+b2>2ab B.a+b≥2C. D.【解析】選D.對于A項，當(dāng)a=b時，應(yīng)有a2+b2=2ab，所以A項錯；對于B，C，條件ab>0，只能說明a，b同號，當(dāng)a，b都小于0時，B，C錯誤；對于D項，因為ab>0，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.類型二利用基本不等式求簡單問題的最值(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】1.當(dāng)x>1時，(x-1)++2的最小值為_____.

2.若x>0，y>0，且x+y=18，則xy的最大值是_____.

3.已知x<0，則3x+的最大值為_______.

【思路導(dǎo)引】1.利用基本不等式求“和的最小值”.2.利用基本不等式求積的最大值.3.當(dāng)項為負(fù)數(shù)時，可以通過提取負(fù)號化為正數(shù).【解析】1.令t=(x-1)++2，因為x-1>0，所以t≥+2=8，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=，即x=4時，t的最小值為8.答案：82.由于x>0，y>0，則x+y≥2，所以xy≤=81，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時，xy取到最大值81.答案：813.因為x<0，所以-x>0.則當(dāng)且僅當(dāng)=-3x，即x=-2時，3x+取得最大值為-12.答案：-12【解題策略】基本不等式的使用條件(1)一正：a>0，b>0，即：所求最值的各項必須都是正值；(2)二定：ab或a+b為定值，即：含變量的各項的和或積必須是常數(shù)；(3)三相等：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號；即：等號能否取得.在應(yīng)用基本不等式求最值時，要逐一驗證三個條件是否成立.【跟蹤訓(xùn)練】1.式子的最小值為 (

)【解析】選B.=|x|+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=±2時，等號成立.2.已知m=x+-2(x<0)，則m有 (

)【解析】選C.因為x<0，所以m=--2≤-2-2=-4，當(dāng)且僅當(dāng)-x=，即x=-1時取等號.類型三拼湊法利用基本不等式求最值(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】1.已知0<x<1，則x(3-3x)取得最大值時x的值為 (

)2.已知x<，則4x-2+的最大值為_______.

3.當(dāng)x>1時，不等式x+≥a恒成立，則實數(shù)a的最大值為_______.

【思路導(dǎo)引】通過湊項或湊系數(shù)的方法把“不定”問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再用基本不等式求解.【解析】1.選B.因為0<x<1，所以1-x>0.所以x(3-3x)=3x(1-x)≤.當(dāng)x=1-x，即x=時取等號.2.因為x<，所以5-4x>0，令y=4x-2+，所以y=4x-2+=-+3≤-2+3=1，當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=，即x=1時，上式等號成立，故當(dāng)x=1時，ymax=1.答案：13.因為x>1，所以x-1>0.又x+=x-1++1≥2+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時等號成立，則a≤3，所以a的最大值為3.答案：3【解題策略】通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形.(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo).(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.【跟蹤訓(xùn)練】1.若0<x<，則函數(shù)y=x(8-3x)的最大值為_______.

【解析】因為0<x<，所以y=(3x)(8-3x)≤當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號.答案：2.函數(shù)y=的最大值為_______.

【解析】令t=≥0，則x=t2+1，所以y=當(dāng)t=0，即x=1時，y=0；當(dāng)t>0，即x>1時，y=，因為t+=4(當(dāng)且僅當(dāng)t=2時取等號)，所以y=即y的最大值為(當(dāng)t=2，即x=5時y取得最大值).答案：

課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知ab=4，a>0，b>0，則a+b的最小值為 (

)【解析】選C.因為a>0，b>0，所以a+b≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號，故a+b的最小值為4.2+y2=2，則xy的最大值是 (

)【解析】選B.xy≤=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取“=”.3.設(shè)a>b>0，則下列不等式中一定成立的是 (

)A.a-b<0 B.0<<1C. D.ab>a+b【解析】選C.因為a>b>0，由基本不等式知一定成立.4.若0<x<1，則的取值范圍是_______.

【解析】由0<x<1知3-2x>0，故=當(dāng)且僅當(dāng)x=時，上式等號成立.所以0<≤.答案：0<≤

5.(教材二次開發(fā)：練習(xí)改編)已知a，b是不相等的正數(shù)，x=，則x，y的大小關(guān)系為_______.

【解析】因為a，b是不相等的正