中點(diǎn)四邊形專題訓(xùn)練(蘇華強(qiáng)供稿)

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中點(diǎn)四邊形專題訓(xùn)練(蘇華強(qiáng)供稿)

例1.在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，順次連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE?！?〕請(qǐng)判斷四邊形EFGH的外形，并予以證明；

〔2〕試添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH是菱形，并說(shuō)明理由。

例2、如圖,在四邊形ABC中,AB=AD,CB=CD,點(diǎn)M,N,P,Q分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，求證:四邊形MNPQ是矩形.

小結(jié)：中點(diǎn)四邊形：

對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形

(1)順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是.(2)順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是.(3)順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是.(4)順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是.(5)順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是.

中點(diǎn)四邊形肯定是平行四邊形，但它是否非常的平行四邊形取決于原四邊形的兩條對(duì)角線是否垂直或者是否相等，與是否相互平分無(wú)關(guān).

例3.如圖，四邊形ABCD取其四邊中點(diǎn)E、F、G、H，得四邊形EFGH。假設(shè)四邊形ABCD的面積為a，求S四邊形EFGH

思路一：〔整體思想與轉(zhuǎn)化思想〕

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要說(shuō)明，四邊形EFGH的面積是

1

，S

2ABCD

1

S四邊形ABCD。2

轉(zhuǎn)化為說(shuō)明SAEHSBEFSFCGSHGD連接BD，說(shuō)明：①SAEHSFCG

方法二：〔整體思想與轉(zhuǎn)化思想〕延長(zhǎng)EH于M，使HM=EH

延長(zhǎng)FG至N，使GN=FG，連接MN要說(shuō)明，S平行四邊形EFGH=

11

SABCD，②SBEFSDGHS四邊形ABCD即可。44

1

，轉(zhuǎn)化為說(shuō)明S

2ABCD

1

S平行四邊形EFGH=S平行四邊形EFNM；S平行四邊形EFNM=S四邊形ABCD

2

只要說(shuō)明：ΔAEH≌ΔDHM

ΔFCG≌ΔNDGΔMDN≌ΔEBF即可。

結(jié)論：

中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)為原四邊形對(duì)角線的和。中點(diǎn)四邊形的面積為原四邊形面積的一半。練習(xí)題：

1、〔2022年濱州〕順次連接對(duì)角線相互垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)，所得圖形肯定是〔〕

A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形

2、〔2022山東省煙臺(tái)市〕7、如圖，小區(qū)的一角有一塊外形為對(duì)角線相等四邊形的空地，為了美化小區(qū)，社區(qū)居委會(huì)計(jì)劃在空地上建一個(gè)四邊形的水池，使水池的四個(gè)頂點(diǎn)恰好在梯形各邊的中點(diǎn)上，那么水池的外形肯定是C

A、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形

3、順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)，得到了一個(gè)矩形，那么以下四邊形滿意條件的是〔〕

①平行四邊形②菱形③等腰梯形④對(duì)角線相互垂直的四邊形A.①③B.②③C.③④D.②④

4、〔2022湖北襄陽(yáng)〕順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，那么四邊形ABCD肯定是

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A.菱形B.對(duì)角線相互垂直的四邊形C.矩形D.對(duì)角線相等的四邊形

5．〔2022湖北宜昌，12，3分〕如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC，CD，DA的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論肯定正確的選項(xiàng)是().

A.∠HGF=∠GHEB.∠GHE=∠HEFC.∠HEF=∠EFGD.∠HGF=∠HEF

6、〔2022甘肅蘭州〕如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，根據(jù)此方法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1，那么第n個(gè)矩形的面積為。

D

……

7、〔2022年天津市〕我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．假設(shè)一個(gè)四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是一個(gè)矩形，那么四邊形ABCD可以是．

8、〔2022四川內(nèi)江〕如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿意條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形．

9．如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，△ADE和△BCE都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．

G

C

10、如圖，四邊形ABCD中，各邊中點(diǎn)分別為E、F、G、H.ACBD〔1〕四邊形EFGH的外形是；〔2〕假設(shè)AC=8，BD=6，

①那么四邊形EFGH的周長(zhǎng)=；②求四邊形EFGH的面積.

11、〔2022重慶江津〕如圖,四邊形ABCD中,AC=a,BD=b,

且

AC⊥BD,順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊形A1B1C1D1,

再順次連接四邊形

A12B2D2

3

D1C3

1

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A1B1C1D1各邊中點(diǎn),得到四邊形A2B2C2D2……,如此進(jìn)行下去,得到四邊形AnBnCnDn.〔1〕證明：四邊形A1B1C1D1是矩形；

〔2〕寫出四邊形A1B1C1D1和四邊形A2B2C2D2的面積；〔3〕寫出四邊形AnBnCnDn的面積；〔4〕求四邊形A5B5C5D5的周長(zhǎng).

12、如圖，四邊形ABCD中，各邊中點(diǎn)分別為E、F、G、H，連接AC與BD，ACBD74,四邊形EFGH是矩形，且四邊形EFGH的周長(zhǎng)是12.〔1〕AC與BD的位置關(guān)系；〔2〕求四邊形ABCD的面積

2

2

13、如下列圖，ABCD是學(xué)校內(nèi)一塊四邊形空地，學(xué)校在征集對(duì)這塊空地種植花草的設(shè)計(jì)

中選定了如下方案：把這個(gè)四邊形分成九塊，種植三種不同品種的花草，其中四邊形EFGH是四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形，四邊形MNPQ是四邊形EFGH的中點(diǎn)四邊形，現(xiàn)要在四邊形MNPQ中種上紅色的花，在△EPQ、△QFM、△MNG、△PHN中種上黃色的花，在△AEH、△BEF、△CGF、△DHG中種上紫色的花，已知紅、黃、紫三種花的單價(jià)分別為每平方米8元、10元、12元，而種紅花已用去120元．請(qǐng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)計(jì)算出種滿四邊形ABCD這塊空地的花需要多少元？

15.如下圖，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)

O.以O(shè)B、OC為鄰邊作第1個(gè)平行四邊形OBB1C，對(duì)角線相交于點(diǎn)A1；B

再以A1B1、A1C為鄰邊作第2個(gè)平行四邊形A1B1C1C，對(duì)角線相交于點(diǎn)

O1；再以O(shè)1B1、O1C1為鄰邊作第3個(gè)平行四邊形O1B1B2C1……依次類推.

〔1〕求矩形ABCD的面積；

〔2〕求第1個(gè)平行四邊形OBB1C、第2個(gè)平行四邊形A1B1C1C和第6個(gè)平行四邊形的面積.

A

D

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中點(diǎn)四邊形專題訓(xùn)練(蘇華強(qiáng)供稿)

例1.在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，順次連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE。〔1〕請(qǐng)判斷四邊形EFGH的外形，并予以證明；

〔2〕試添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH是菱形，并說(shuō)明理由。

例2、如圖,在四邊形ABC中,AB=AD,CB=CD,點(diǎn)M,N,P,Q分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，求證:四邊形MNPQ是矩形.

小結(jié)：中點(diǎn)四邊形：

對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形

(1)順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是.(2)順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是.(3)順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是.(4)順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是.(5)順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是.

中點(diǎn)四邊形肯定是平行四邊形，但它是否非常的平行四邊形取決于原四邊形的兩條對(duì)角線是否垂直或者是否相等，與是否相互平分無(wú)關(guān).

例3.如圖，四邊形ABCD取其四邊中點(diǎn)E、F、G、H，得四邊形EFGH。假設(shè)四邊形ABCD的面積為a，求S四邊形EFGH

思路一：〔整體思想與轉(zhuǎn)化思想〕

中點(diǎn)四邊形專題訓(xùn)練(蘇華強(qiáng)供稿)

要說(shuō)明，四邊形EFGH的面積是

1

，S

2ABCD

1

S四邊形ABCD。2

轉(zhuǎn)化為說(shuō)明SAEHSBEFSFCGSHGD連接BD，說(shuō)明：①SAEHSFCG

方法二：〔整體思想與轉(zhuǎn)化思想〕延長(zhǎng)EH于M，使HM=EH

延長(zhǎng)FG至N，使GN=FG，連接MN要說(shuō)明，S平行四邊形EFGH=

11

SABCD，②SBEFSDGHS四邊形ABCD即可。44

1

，轉(zhuǎn)化為說(shuō)明S

2ABCD

1

S平行四邊形EFGH=S平行四邊形EFNM；S平行四邊形EFNM=S四邊形ABCD

2

只要說(shuō)明：ΔAEH≌ΔDHM

ΔFCG≌ΔNDGΔMDN≌ΔEBF即可。

結(jié)論：

中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)為原四邊形對(duì)角線的和。中點(diǎn)四邊形的面積為原四邊形面積的一半。練習(xí)題：

1、〔2022年濱州〕順次連接對(duì)角線相互垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)，所得圖形肯定是〔〕

A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形

2、〔2022山東省煙臺(tái)市〕7、如圖，小區(qū)的一角有一塊外形為對(duì)角線相等四邊形的空地，為了美化小區(qū)，社區(qū)居委會(huì)計(jì)劃在空地上建一