河北省保定市部分地區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含答案）

-2024學(xué)年河北省保定市部分地區(qū)高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合，，則A. B. C. D.2.已知i為虛數(shù)單位，且，則(

)A.1 B. C. D.23.已知m，n為兩條不同直線，，為兩個(gè)不同平面，則下列結(jié)論正確的為(

)A.，，則

B.，，，，則

C.，，，則

D.，，，則4.若是奇函數(shù)，則(

)A.， B.，

C.， D.，5.已知銳角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸非負(fù)半軸，現(xiàn)將角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后，交以原點(diǎn)為圓心的單位圓于點(diǎn)，則的值為(

)A. B. C. D.6.已知向量，為單位向量，且滿足，則向量在向量上的投影向量為(

)A. B. C. D.7.保定的府河發(fā)源于保定市西郊，止于白洋淀藻雜淀，全長(zhǎng)26公里.府河作為保定城區(qū)主要的河網(wǎng)水系，是城區(qū)內(nèi)主要的排瀝河道.府河橋其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，是我市的標(biāo)志性建筑之一，懸鏈線函數(shù)形式為，當(dāng)其中參數(shù)時(shí)，該函數(shù)就是雙曲余弦函數(shù)，類似地有雙曲正弦函數(shù)若設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)x滿足不等式，則x的取值范圍為(

)

A. B. C. D.8.在橢圓中，，分別是左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)非頂點(diǎn)，I為內(nèi)切圓圓心，若，則橢圓的離心率e為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列說法正確的是(

)A.從50個(gè)個(gè)體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為20的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為

B.數(shù)據(jù)11，19，15，16，19眾數(shù)是19，中位數(shù)是15

C.數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7

D.對(duì)于隨機(jī)事件A與B，若，，則事件A與B獨(dú)立10.先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，最后把所得圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是(

)A.最小正周期為 B.在上單調(diào)遞增

C.時(shí)， D.其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱11.已知曲線，則以下說法正確的是(

)A.若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則

B.若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則其短軸長(zhǎng)取值范圍是

C.曲線C為橢圓時(shí)，離心率為

D.若曲線C為雙曲線，則漸近線方程為12.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在四面體中，是直角三角形，為直角，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SB，BC的中點(diǎn)，且，，，，則(

)

A.平面SAB

B.四面體是鱉臑

C.E是四面體外接球球心

D.過A、E、F三點(diǎn)的平面截四面體的外接球，則截面的面積是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知圓，過作圓O的切線l，則直線l的傾斜角為__________.14.保定某中學(xué)舉行歌詠比賽，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首歌曲可重復(fù)被抽取，則高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為__________.15.等差數(shù)列前13項(xiàng)和為91，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則__________.16.已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則的最大值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題10分

的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且

求角C的大小;若的角平分線交AB于點(diǎn)D，，，求18.本小題12分

在菱形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將菱形ABCD沿BD折起，使，M為線段BD中點(diǎn).

求大小;求直線AC與平面EFM所成角的大小.19.本小題12分在正項(xiàng)數(shù)列中，，且求證：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：20.本小題12分

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)，若的面積為1，過點(diǎn)H作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，

求p的值及直線MN的方程;點(diǎn)B是拋物線弧MN上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B處的切線與HM，HN分別交于點(diǎn)C，D，證明：21.本小題12分杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物為一組名為“江南憶”的三個(gè)吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊(yùn)含獨(dú)特的城市元素.本次亞運(yùn)會(huì)極大地鼓舞了中國(guó)人民參與運(yùn)動(dòng)的熱情.某體能訓(xùn)練營(yíng)為了激勵(lì)參訓(xùn)隊(duì)員，在訓(xùn)練之余組織了一個(gè)“玩骰子贏禮品”的活動(dòng)，他們來到一處訓(xùn)練場(chǎng)地，恰有20步臺(tái)階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺(tái)階，否則爬一步臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊(duì)員到達(dá)第7或第8步臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束.規(guī)定：到達(dá)第7步臺(tái)階，認(rèn)定失敗;到達(dá)第8步臺(tái)階可贏得一組吉祥物.假設(shè)平地記為第0步臺(tái)階.記隊(duì)員到達(dá)第n步臺(tái)階的概率為，記投擲4次后，隊(duì)員站在的臺(tái)階數(shù)為第X階，求X的分布列;ⅰ求證：數(shù)列是等比數(shù)列;ⅱ求隊(duì)員贏得吉祥物的概率.22.本小題12分已知函數(shù)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，當(dāng)時(shí)，證明：答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

化簡(jiǎn)集合A，再由交集的定義可得結(jié)果.【解答】

解：，所以，

故選2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

依題意先對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可求得

z

，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得

，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算可求得答案.【解答】

解：由題意得：

，則

，

.

故選3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查空間中的線、面位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

利用空間中的線、面位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【解答】

解：若，，則或，故A錯(cuò)誤;

B.若，，，，則或與相交，故B錯(cuò)誤;

C.若，，，則或與相交，故C錯(cuò)誤;

D.若，，則，又，則，故D正確，

故選：4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)奇函數(shù)得，取特殊值即可得出結(jié)果.【解答】

解：函數(shù)是R上的奇函數(shù)，

，即①，

，即②，

由①②解得，，

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，

故，5.【答案】D

【解析】【分析】本題考查任意角三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬于中檔題.

先得出和的值，由展開計(jì)算可得結(jié)果.【解答】

解：由題意，，

因?yàn)闉殇J角，

所以，

所以，

則

故選6.【答案】C

【解析】【分析】本題考向量的數(shù)量積和投影向量，屬于常規(guī)題.

求出和，利用投影向量的定義即可求解.【解答】

解：由向量，得，

由，得，

化簡(jiǎn)整理，得，

則，

則向量在向量上的投影向量為，

故選7.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可求解．【解答】

解：由題意得，，

定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

，

為奇函數(shù)；

在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞減

函數(shù)在R上單調(diào)遞增

，

，即，

，

解得：，

故選：8.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查橢圓的定義和性質(zhì)，屬于一般題.

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，結(jié)合題意得，再利用橢圓的定義和橢圓離心率的定義，即可求解.【解答】

解：設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，

則由，得

即

即，

橢圓的離心率

故選：9.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)和獨(dú)立事件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

對(duì)于A，結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解;對(duì)于B，結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義，即可求解;對(duì)于C，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解;對(duì)于D，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解.【解答】

解：對(duì)于A、從50個(gè)個(gè)體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為20的樣本，

則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，故A正確；

對(duì)于B、數(shù)據(jù)11，19，15，16，19從小到大排序?yàn)?1，15，16，19，19，

則眾數(shù)是19，中位數(shù)是16，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C、數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，

則，

則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7，故C正確；

對(duì)于D、對(duì)于隨機(jī)事件A與B，

若，則，

又，

則，即事件A與B獨(dú)立，故D正確10.【答案】AB

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的圖象變換和性質(zhì)，屬于一般題.

求出的解析式，再對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【解答】

解：將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到，

再把圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，

最后把所得圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，

對(duì)于A、函數(shù)的最小正周期為，故A正確；

對(duì)于B、當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故B正確；

對(duì)于C、當(dāng)時(shí)，，，則故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D、因?yàn)?，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤11.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查圓錐曲線的基本知識(shí)，處理橢圓和雙曲線的基本性質(zhì)的基本方法，屬于基礎(chǔ)題.

對(duì)于A，若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，滿足條件為，解得即可，判斷A正確；對(duì)于B，求得，由，可得短軸長(zhǎng)取值范圍，判斷故B正確；對(duì)于C，對(duì)曲線C分類討論，即可判斷C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若曲線C為雙曲線，求得漸近線方程，即可判斷D正確.【解答】

解：對(duì)于A，若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則曲線化簡(jiǎn)為，滿足的條件為，解得，故A正確；

對(duì)于B，若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，由范圍，可得短軸長(zhǎng)取值范圍是，故B正確；

對(duì)于C，若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則離心率為，若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則離心率為，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若曲線C為雙曲線，則漸近線方程為，故D正確.12.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查線面垂直的判定，考查球的截面的面積，屬于中檔題.

利用線面垂直的判定定理判斷A；證明四個(gè)面都為直角三角形，判斷B；確定球心的位置判斷C；求出截面的半徑，判斷【解答】

解：因?yàn)?，E是SB的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?，，平面SBC，

所以平面SBC，

因?yàn)槠矫鍿BC，所以，

因?yàn)槭侵苯侨切?，為直角，所以?/p>

因?yàn)?，AE，平面SAB，所以平面SAB，A正確；

因?yàn)闉橹苯?，，，所以?/p>

因?yàn)?，，所以為直角?/p>

因?yàn)槠矫鍿AB，平面SAB，

所以，為直角，

所以，

因?yàn)?，所以為直角?/p>

所以四面體是鱉臑，B正確；

由于E是SB的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)闉橹苯?，所以，所以E不是四面體外接球球心，C錯(cuò)誤；

取SC的中點(diǎn)O，易得，即O是四面體的外接球的球心，球的半徑為，

中，，所以，所以，

所以，

由于，

所以O(shè)到截面AEF的距離等于C到截面AEF的距離，設(shè)為h，

由，

則，所以，

所以截面的半徑為，

所以截面的面積是，D正確.

故選：13.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查圓的切線方程，直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于較易題.

根據(jù)條件求出直線OM的斜率，即可得到切線的斜率，從而求得傾斜角.【解答】

解：由題，圓的圓心為，在圓上，

則，所以直線l的斜率為，

令直線l的傾斜角為，則，

由于解得

故答案為14.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查古典概型，分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于較易題.

根據(jù)題意，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首，共有個(gè)基本事件，抽到不同歌曲有個(gè)基本事件，再根據(jù)古典概型求解即可.【解答】

解：由題，高三1班和高三2班每班抽簽選唱5首歌曲中的1首，共有個(gè)基本事件，

其中，高三1班和高三2班抽到不同歌曲有個(gè)基本事件，

故高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為

故答案為15.【答案】13

【解析】【分析】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)數(shù)運(yùn)算，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

由等差數(shù)列前n項(xiàng)和與等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求解.【解答】

解：由等差數(shù)列前13項(xiàng)和為91，可得，

所以，則，

所以

故答案為16.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題.

原不等式轉(zhuǎn)化為，令，顯然當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可得有最小值，則，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得到的最大值.【解答】

解：因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，

令，則，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，不滿足在R上恒成立；

當(dāng)時(shí)，令，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以，所以，

則，

令，則，

顯然當(dāng)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，所以，

即的最大值為

故答案為17.【答案】

解：由及正弦定理，可得

因?yàn)椋?/p>

又，所以，則，

又，所以；

為的平分線，，

設(shè)點(diǎn)D到BC和AC的距離為d，則，即，

，

又，

，

則有，

或舍去，所以

【解析】本題主要考查正、余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題.

由題意及正弦定理得，再利用兩角和公式化簡(jiǎn)即可得，進(jìn)而求出結(jié)果；

根據(jù)CD平分，且，利用角平分線定理得到，由，可得；18.【答案】解：為BD中點(diǎn)，，，

，AM、平面AMC，

平面AMC，

平面BCD，

平面平面BCD，

過A作，交CM于點(diǎn)O，又平面AMC，平面平面，

則平面BCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM所在直線為x軸，在平面BCD內(nèi)過O作CD垂線為y軸，OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

，，，，

，，

，所以，

所以

由得，，

設(shè)平面EMF法向量為，

得，

令，則，，

，

又，設(shè)直線AC與平面EFM所成角為，

，

又，則，

故AC與平面EMF所成角為

【解析】本題考查空間線線垂直的判定，考查直線與平面所成角，屬中檔題.

利用線面垂直、面面垂直的判定推導(dǎo)得垂直關(guān)系，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出

根據(jù)中信息，利用線面角的向量求法求解即得.19.【答案】解：

時(shí)，

，相除得，

，

，

，

又，

即數(shù)列是常數(shù)列，

所以，所以；

，

，

，

又因?yàn)閱握{(diào)遞增，

所以，

即

【解析】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法，是中檔題.

當(dāng)時(shí)，，與已知相除化簡(jiǎn)得，取對(duì)數(shù)得，可得數(shù)列是常數(shù)列，進(jìn)而得出；

易得，由裂項(xiàng)相消求和即可得證.20.【答案】解：，可得，

即拋物線方程為，

設(shè)切點(diǎn)，切線斜率為，

切線方程為，此切線過

解得，或，得兩切點(diǎn)坐標(biāo)，

所以直線MN方程為；

設(shè)切點(diǎn)，

可得B點(diǎn)處的切線為：，化簡(jiǎn)得，

由知，點(diǎn)，可得直線HM方程為

聯(lián)立解得C點(diǎn)橫坐標(biāo)

同理由N，H坐標(biāo)可得直線HN方程，

可得D點(diǎn)橫坐標(biāo)，

，

，

結(jié)論得證.

【解析】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

，可得，即拋物線方程為，設(shè)切點(diǎn)，可得切線方程為，此切線過，即可求解；

設(shè)切點(diǎn)，可得B點(diǎn)處的切線為，由直線HM方程為聯(lián)立解得C點(diǎn)橫坐標(biāo)，同理可得D點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由，，代入化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論.21.【答案】解：由題意得每輪游戲爬