2020-2021學年高中數(shù)學新教材第一冊學案：第二章一元二次函救、方程和不等式

第二幸一元二次函救、方程和不等式

2.2基本不等式（共2課時）

（第1課時）

學習目標

lo推導并掌握基本不等式，理斛這個基本不等式的幾何意義,

并掌握定理中的不等號“N”取等號的條件是：當且僅當兩個教相

等；

2.通過實例探究抽象基本不等式；通過多媒體體會基本不等式

好4而等號成立條件，

掌握運用基本不等式求最值；

重點難點

1.從不同角度探索不等式而〈管的證明過程，會用此不等式求

某些簡單函數(shù)的最值；

2.基本不等式等w痣等號成立條件；

知識梳理

一、情境導學

（1）如圖是在北京召開的第24界國際教學家大會的

會標，會桁是根據(jù)中國古代教學彖處災的弦圖設|討

的，處災是為了證明勾股定理而繪制了弦圖。

弦圖既標志著中國古代的教學成就，又象一只轉(zhuǎn)動的風車，歡

迎來自世界各地的教學家們。

思考1:這圖案中含有怎樣的幾何圖形？

思考2：你能發(fā)現(xiàn)圖嚎中的相等關系或不等關系嗎？

(2)探究圖形中的不等關系

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個全等的直

角三角形,設直角三角形的兩條直角邊長為a,bCa^bJ,那么

正方形的邊長為V7壽、這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab,

正方形的面積為/+/、

由于4個直角三角形的面積之和小于正方形的面積，

我們就得到了一個不等式：a2+Z?2>2ab,

問題1.思考證明：你能給出它的證明嗎？

學習過程

二、新知探究

基本不等式:如果a>0,b>0,我們用&、的分別代卷a、b,可

得a+c2瘋，通常我們把上式寫作:基本不等式早上瘋(a>0,b>0)

(當且僅當a=b時，取等號)

(1J在教學中，我們稱等為久。的算術平均數(shù)，稱疝為久b

的幾何平均.數(shù)。本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)

不小于它們的幾何平均數(shù).此不等式又叫均值不等式。

探兜1。從不等式的性質(zhì)推導基本不等式

如果學生類比重要不等式的證明給出證明，再介紹書上的分析

法O

分析法證■明：證明不等式W^NV^(a>0/>0)

探究2.理解基本不等式等2而的幾何意義

在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b、過

點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、

你能利用這個圖形得出基本不等式而《審的幾何斛奔嗎？

(1)AB表示什么？(2)審表示哪個線段？(3)短對應哪

個線段呢？

C4J0D與CD的大小關系如何？

典例解析：

利用基本不等式求景值

魚J1⑴已知。＞0力＞0,出?=36,求。+陰勺最小值。

(2)已知。＞0,/?＞0,。+。=18,求〃陰勺最大值。

基本不等式的使用條件

例2、1.(1)已知尤＜0,求函數(shù)/1(x)=x+L的最小值

x

⑵已知x＞3,函數(shù)尸x+」一,當x為何值時，函數(shù)有最值，并求其最值。

x-3

(3)若0求函數(shù)y=x(l-2x)的最大值。

a1.設0＜元〈-,求函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值。

跟蹤訓練2

2.函數(shù)“幻二名再豆+力工能否用基本不等式求最小值？

J/+2

達標檢涮

L下列不等式中，正確的是()

A、a+錯誤!N4B、a2+b2>4abCo錯誤2錯誤！

D、x?+錯誤!22錯誤！

2、若。>1,則。+錯誤!的最小值是()

A、2B.aC.錯誤！D、3

3、若mZ?都是正數(shù)，則錯誤!錯誤!的最小值為()

A.7B、8C,9D、10

4、已唉口X〉0,y>0,且錯誤！+錯誤！=1,貝1x+y的最小值為

課堂小結

我們學習了重要不等式。2+〃之2次?；基本不等式;兩正教。、b

的算術平均教r學人幾何平均數(shù)(而)及它們的關系(學'^yfab).

它們成立的條件不同，南者只要求八人都是賣數(shù)，而后者要求

a.Z?都是正教.它們既是不等式變形的基本工具，又是求函教最

值的重要工具(下一節(jié)我們將學習它們的應用).

參考各親：

問題lo證明：因為?2+b2-2ab=(a-b)2

v(a-/?)2>0,:.a2+b2>2ah,當且僅當a=b時等號成立

探究1：證明：要證g”瘋

只要證a-\-b>2>[ab只要證a+b-2yfah>0只、要證[fi-痂NQ顯

然，

是成立的.當且僅當a=b時，(3)中的等號成立.

探究2：易證火tZSACDs/et^DCB,那么CD2=CACB即

CD二癡.

這個圓的半徑為等，顯然，它大于或等于CO,即等2旅，

其中當且僅當點。與圓心重合..，即。=。時，等號成立.

因此：基本不等式點4審幾何意義是“半投不小于半錢”

例i(D解析:Q等3疝

\a+b22y[^b2序=12(當且僅當a=b=60寸取等)

(2)解析:Q八而/—r可a+b，",°？(/。亍+人、2)勺/18、),=8…1

(當且僅當。=人=9時取等)故aZ粕最大值為81

…c⑴解"(x)=x+L=-[(-x)+(」)]?2.(-x)?(-)=-2

例2。xxVx

當且僅當-x=-,即x=-1時有最小值-2

X

(2)Qx>3,\y=x+—J—=(x-3)+—+3?2J(x3)?—3=5

x-3x-3Vx-3

當且僅當x-3=—即x=4時，函數(shù)有最小值，最小值為5。

x-3

..0<x<-,Ql-2x>0

(3Jo不?2

\y=x(l-2x)=g鬃x(1一2制苗督+(；2*)=1

11

X——x——

當?shù)﹥H當2x=(l-2xJ，即4時，取“=”號,??.當4時，翦救

J=x(l—2x)的景大值是。

3

W：QO<x<-\3-2%>0

跟蹤訓練(U

\y=2g|x(3-2x)W2(2士衛(wèi)尸=2,當且僅當2x=3-2x即x=2?(0,」)時取等

2242

(2)由基本不等式知^/?互+-rJ=?2,序^^=2

Jf+2NJx?+2

當且僅當/再5=—=即/+2=1時取等，而這是不可

77+2

能的，故此函數(shù)不能用基本不等式求最小值。

達標檢測

1.解析：選D.〃v0,則。+錯誤!N4不成立，故A錯；a=l,Z?=1,

/+尻v4次?，故B錯,。=4,Z?=16,則錯誤!v錯誤!，故C錯；由基本

不等式可知D項正確.

2o解析：選D。?>1,所以〃一1>0,

所以〃+錯誤！=〃-1+錯誤！+1之2錯誤！+1=3.當且僅當1二錯誤！

即Q=2時取等號*

3o解析：選C。因為a,b都是正數(shù)，所以錯誤!錯誤!=5+錯誤!+錯誤!

>5+2錯誤！=9,

當且僅當b=2a>0時取等號,

4o解析：x+y=(x+y)?錯誤！=10+錯誤！+錯誤!N10+2錯誤！=10+6=

16o

2o2基本不等式（第2課時）

學習目標

lo能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題；

2o圍繞如何引導學生分析題意、設未知量、找出數(shù)量關索進

行求解這個中心，發(fā)展教學抽象和教學建模的核心素養(yǎng)。

重點難點

重點:在實際問題中建立不等關京，并能正確運用基本不等式求

最值；

唯點:注意運用不等式求最大（小）值的條件

知識梳理

I、小試牛力

1、判斷正誤.（正確的打“加’，錯誤的打“義”）

（1J對任意的a,b€R,若〃與Z?的和為定值，劉ab有最大

值、（）

（2）若孫=4,則x+y的最小值為4。（）

（3J函數(shù)/（幻=/+錯誤!的最小值為2錯誤!一1。（）

2、已知x+y=l且x〉0,y>0,則錯誤!+錯誤!的最小值是（）

A、2B,3C、4D、6

學習過程

二、新知探究

問題1.用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的

長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？

結論1:__________

問題2.用段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形茉

園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面彳只是多少？

結論2：__________

（三）典例解析

均值不等式在實際問題中的應用

例1、某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池，其叁積為4800/,深

為3mo如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造

價為120元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低造價為多少

元？

跟蹤訓練1.某地方政府準備在一塊面積足夠大的荒地上建一如

圖所示的一個矩形綜合性體閑廣場，其總面積

3000m2,其中場地四周（陰影部分）為通道，；

通道寬度均為2m,中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O

塑膠地面作為運動場地（其中兩個小場地形狀相同），塑膠運動

場地占地面積為S平方米、

（1）分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關式（寫出函數(shù)定義域力

（2）怎樣設計能使S取得最大值，最大值為多少?

2.某商品進貨價為每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當銷售價格為每件

x（50S爛80）元時，每天銷售的件數(shù)為錯誤!，若想每天獲得的利潤

最多，則銷售價應定為多少元？

【歸納總結】

利用基本不等式證明簡單的不等式

例2已知。，。都是正教，且〃+/?=1,

求證：（1+*]+廬9.

,beca,

+

跟蹤訓練3.已知:a,b,c€R,求證:"+萬+錯誤!+b+CO

達標檢測

1、已知正數(shù)4、Z?滿足出?=10,則a+Z?的最小值是（）

Ao10B、25C.5D、2錯誤!

2、小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時速分別為〃和

其全程的平均時速為心則（）

A.a<v<\^abB、v=錯誤！

C、錯誤!〈錯誤！D、V=錯誤！

3、票公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6

萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總

存儲費用之和最小，則x的值具_________、

4.禁單核決定投資3200元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，它

的后墻利用間喑不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側

墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米愛價20元，求：

①倉庫面積S的最大允許值是多少？

②為使S達利最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵

應設計為多長？

5.已知4>0,Z?>0,c>0,且〃+Z?+c=l,求證弓+"29。

課堂小結

1.利用基本不等式來解題時，要學會審題及根據(jù)題意列出函數(shù)表

達式，要懂得利用基本不等式來求最大(小)值

2.利用基本不等式解決實際問題的一般步驟：先建目標函數(shù)，再

用基本不等式求函數(shù)的最值，從而得出實際問題的解。

參考答案：

?、小試牛刀

lo答案：(\)X(2JX(3)N

2.斛折：法一：錯誤！+錯誤！=錯誤！=錯誤!N錯誤！=4,

當且僅當x=y=錯誤!時取等號，

法二：錯誤！+錯誤！=錯誤！+錯誤！=2+錯誤！+錯誤左4,當且僅當X=y=錯誤!時

取等號,

答喙：C

二、探究新知

問題1。解：(1J設矩形菜園的長為］m,寬為ym,則q=ioo,

籬笆的長為2(x+y)m

由號2歷，

可得x+y>2x/ioo,2(x+y)>40

等號當且僅當x=,時,成立，此時x=y=10,因此，這個矩形的長、寬為

10m時，

所用籬笆最短，最短籬笆為40m

問題2.斛:設矩形菜園的長為im,寬為ym,則

2(%+y)=36,%+y=18,

矩形菜園的面積為孫rn2,

由歷《亨吟=9,

可得<81,

可得等號當且僅當X=丁時成立，止匕時*x=y=9

因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面

積為81a

三、典例解析

例1.解：設底面的長為xm,寬為ym,水池總造價為z元，

才艮據(jù)題意有z=150x^22+120(2x3x+2x3y)=240000+720(%+y)

3盯=4800xy=1600

由今積為4800療，可得

由基本不等式與不等式性質(zhì)，可得240°°°+72°(x+y)N24°(X)°+72°x2H

日口z>240000+720x2,1600,z>297600

可得等號當且僅當x=y時成立，此時x=y=40

所以，將水池的地面設計成邊長為40m的正方形時總造價最低,

最低造價為297600元

跟蹤訓練1［解析］(1)由已知移=3000,2〃+6=y,

貝Iy=錯誤!(6<x<500),

S-(x-4)a+(x-6)a-(2x-10Ja=(2x-10)?錯誤！=(x-5)

(y-6)=3030-6x-----J-C---(6<x<500).

<2)5=3030-6x-錯誤03030-2錯誤！=3030-2x300=2430.

當且僅當6%=錯誤!，即x=50時,"="成立，此時x=50。y=60,

Smax=2430.即設計x=50m,y=60m時，運動場地面積最大，

最大值為2430n?、

跟蹤訓練2.將析：方法一：設當銷售價格為每件x元時，獲得的

利泗為y,由題意知，y=(x-50)?錯誤！

=(工一50)?錯誤！

=錯誤!.

x—50^0,「.x—50+錯誤!之20,

105八八

?，石20+20=2500,

當且僅當了-50二錯誤!，即x=60或x=40(舍去)時，等號成立，

'max=2500.

方法二：由題意如，y=(x-50)?錯誤!，

令x-50=Kx=t+5Q(t>0),

貝Uy=錯誤！=錯誤！=錯誤!S錯誤！=2500,

當且僅當t=錯誤!,即，=10時，等號成立，

此時X—60,'max—2500.

答：當銷售價格定為60元時，每天獲得的利潤最多，最多利潤

為2500元、

例2.：結合條件。+匕=1,將不等式左邊進行迨當變形，然后利用基

本不等式進行證明即可。

證明：因為a>0,b>0,a+b=l,

所以1+：=