2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材第一冊(cè)學(xué)案：第二章一元二次函救、方程和不等式

第二幸一元二次函救、方程和不等式

2.2基本不等式（共2課時(shí)）

（第1課時(shí)）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

lo推導(dǎo)并掌握基本不等式，理斛這個(gè)基本不等式的幾何意義,

并掌握定理中的不等號(hào)“N”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)教相

等；

2.通過實(shí)例探究抽象基本不等式；通過多媒體體會(huì)基本不等式

好4而等號(hào)成立條件，

掌握運(yùn)用基本不等式求最值；

重點(diǎn)難點(diǎn)

1.從不同角度探索不等式而〈管的證明過程，會(huì)用此不等式求

某些簡單函數(shù)的最值；

2.基本不等式等w痣等號(hào)成立條件；

知識(shí)梳理

一、情境導(dǎo)學(xué)

（1）如圖是在北京召開的第24界國際教學(xué)家大會(huì)的

會(huì)標(biāo)，會(huì)桁是根據(jù)中國古代教學(xué)彖處災(zāi)的弦圖設(shè)|討

的，處災(zāi)是為了證明勾股定理而繪制了弦圖。

弦圖既標(biāo)志著中國古代的教學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，歡

迎來自世界各地的教學(xué)家們。

思考1:這圖案中含有怎樣的幾何圖形？

思考2：你能發(fā)現(xiàn)圖嚎中的相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

(2)探究圖形中的不等關(guān)系

將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直

角三角形,設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,bCa^bJ,那么

正方形的邊長為V7壽、這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab,

正方形的面積為/+/、

由于4個(gè)直角三角形的面積之和小于正方形的面積，

我們就得到了一個(gè)不等式：a2+Z?2>2ab,

問題1.思考證明：你能給出它的證明嗎？

學(xué)習(xí)過程

二、新知探究

基本不等式:如果a>0,b>0,我們用&、的分別代卷a、b,可

得a+c2瘋，通常我們把上式寫作:基本不等式早上瘋(a>0,b>0)

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào))

(1J在教學(xué)中，我們稱等為久。的算術(shù)平均數(shù)，稱疝為久b

的幾何平均.數(shù)。本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)

不小于它們的幾何平均數(shù).此不等式又叫均值不等式。

探兜1。從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式

如果學(xué)生類比重要不等式的證明給出證明，再介紹書上的分析

法O

分析法證■明：證明不等式W^NV^(a>0/>0)

探究2.理解基本不等式等2而的幾何意義

在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b、過

點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、

你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式而《審的幾何斛奔嗎？

(1)AB表示什么？(2)審表示哪個(gè)線段？(3)短對(duì)應(yīng)哪

個(gè)線段呢？

C4J0D與CD的大小關(guān)系如何？

典例解析：

利用基本不等式求景值

魚J1⑴已知。＞0力＞0,出?=36,求。+陰勺最小值。

(2)已知。＞0,/?＞0,。+。=18,求〃陰勺最大值。

基本不等式的使用條件

例2、1.(1)已知尤＜0,求函數(shù)/1(x)=x+L的最小值

x

⑵已知x＞3,函數(shù)尸x+」一,當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)有最值，并求其最值。

x-3

(3)若0求函數(shù)y=x(l-2x)的最大值。

a1.設(shè)0＜元〈-,求函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值。

跟蹤訓(xùn)練2

2.函數(shù)“幻二名再豆+力工能否用基本不等式求最小值？

J/+2

達(dá)標(biāo)檢涮

L下列不等式中，正確的是()

A、a+錯(cuò)誤!N4B、a2+b2>4abCo錯(cuò)誤2錯(cuò)誤！

D、x?+錯(cuò)誤!22錯(cuò)誤！

2、若。>1,則。+錯(cuò)誤!的最小值是()

A、2B.aC.錯(cuò)誤！D、3

3、若mZ?都是正數(shù)，則錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!的最小值為()

A.7B、8C,9D、10

4、已唉口X〉0,y>0,且錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=1,貝1x+y的最小值為

課堂小結(jié)

我們學(xué)習(xí)了重要不等式。2+〃之2次?；基本不等式;兩正教。、b

的算術(shù)平均教r學(xué)人幾何平均數(shù)(而)及它們的關(guān)系(學(xué)'^yfab).

它們成立的條件不同，南者只要求八人都是賣數(shù)，而后者要求

a.Z?都是正教.它們既是不等式變形的基本工具，又是求函教最

值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).

參考各親：

問題lo證明：因?yàn)?2+b2-2ab=(a-b)2

v(a-/?)2>0,:.a2+b2>2ah,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立

探究1：證明：要證g”瘋

只要證a-\-b>2>[ab只要證a+b-2yfah>0只、要證[fi-痂NQ顯

然，

是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，(3)中的等號(hào)成立.

探究2：易證火tZSACDs/et^DCB,那么CD2=CACB即

CD二癡.

這個(gè)圓的半徑為等，顯然，它大于或等于CO,即等2旅，

其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。與圓心重合..，即。=。時(shí)，等號(hào)成立.

因此：基本不等式點(diǎn)4審幾何意義是“半投不小于半錢”

例i(D解析:Q等3疝

\a+b22y[^b2序=12(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=60寸取等)

(2)解析:Q八而/—r可a+b，",°？(/。亍+人、2)勺/18、),=8…1

(當(dāng)且僅當(dāng)。=人=9時(shí)取等)故aZ粕最大值為81

…c⑴解"(x)=x+L=-[(-x)+(」)]?2.(-x)?(-)=-2

例2。xxVx

當(dāng)且僅當(dāng)-x=-,即x=-1時(shí)有最小值-2

X

(2)Qx>3,\y=x+—J—=(x-3)+—+3?2J(x3)?—3=5

x-3x-3Vx-3

當(dāng)且僅當(dāng)x-3=—即x=4時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為5。

x-3

..0<x<-,Ql-2x>0

(3Jo不?2

\y=x(l-2x)=g鬃x(1一2制苗督+(；2*)=1

11

X——x——

當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)2x=(l-2xJ，即4時(shí)，取“=”號(hào),??.當(dāng)4時(shí)，翦救

J=x(l—2x)的景大值是。

3

W：QO<x<-\3-2%>0

跟蹤訓(xùn)練(U

\y=2g|x(3-2x)W2(2士衛(wèi)尸=2,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x即x=2?(0,」)時(shí)取等

2242

(2)由基本不等式知^/?互+-rJ=?2,序^^=2

Jf+2NJx?+2

當(dāng)且僅當(dāng)/再5=—=即/+2=1時(shí)取等，而這是不可

77+2

能的，故此函數(shù)不能用基本不等式求最小值。

達(dá)標(biāo)檢測

1.解析：選D.〃v0,則。+錯(cuò)誤!N4不成立，故A錯(cuò)；a=l,Z?=1,

/+尻v4次?，故B錯(cuò),。=4,Z?=16,則錯(cuò)誤!v錯(cuò)誤!，故C錯(cuò)；由基本

不等式可知D項(xiàng)正確.

2o解析：選D。?>1,所以〃一1>0,

所以〃+錯(cuò)誤！=〃-1+錯(cuò)誤！+1之2錯(cuò)誤！+1=3.當(dāng)且僅當(dāng)1二錯(cuò)誤！

即Q=2時(shí)取等號(hào)*

3o解析：選C。因?yàn)閍,b都是正數(shù)，所以錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=5+錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!

>5+2錯(cuò)誤！=9,

當(dāng)且僅當(dāng)b=2a>0時(shí)取等號(hào),

4o解析：x+y=(x+y)?錯(cuò)誤！=10+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!N10+2錯(cuò)誤！=10+6=

16o

2o2基本不等式（第2課時(shí)）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

lo能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題；

2o圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)索進(jìn)

行求解這個(gè)中心，發(fā)展教學(xué)抽象和教學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn):在實(shí)際問題中建立不等關(guān)京，并能正確運(yùn)用基本不等式求

最值；

唯點(diǎn):注意運(yùn)用不等式求最大（小）值的條件

知識(shí)梳理

I、小試牛力

1、判斷正誤.（正確的打“加’，錯(cuò)誤的打“義”）

（1J對(duì)任意的a,b€R,若〃與Z?的和為定值，劉ab有最大

值、（）

（2）若孫=4,則x+y的最小值為4。（）

（3J函數(shù)/（幻=/+錯(cuò)誤!的最小值為2錯(cuò)誤!一1。（）

2、已知x+y=l且x〉0,y>0,則錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!的最小值是（）

A、2B,3C、4D、6

學(xué)習(xí)過程

二、新知探究

問題1.用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問這個(gè)矩形的

長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？

結(jié)論1:__________

問題2.用段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形茉

園的長和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面彳只是多少？

結(jié)論2：__________

（三）典例解析

均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用

例1、某工廠要建造一個(gè)長方形無蓋貯水池，其叁積為4800/,深

為3mo如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造

價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少

元？

跟蹤訓(xùn)練1.某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如

圖所示的一個(gè)矩形綜合性體閑廣場，其總面積

3000m2,其中場地四周（陰影部分）為通道，；

通道寬度均為2m,中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)

塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場地（其中兩個(gè)小場地形狀相同），塑膠運(yùn)動(dòng)

場地占地面積為S平方米、

（1）分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)式（寫出函數(shù)定義域力

（2）怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少?

2.某商品進(jìn)貨價(jià)為每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)銷售價(jià)格為每件

x（50S爛80）元時(shí)，每天銷售的件數(shù)為錯(cuò)誤!，若想每天獲得的利潤

最多，則銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？

【歸納總結(jié)】

利用基本不等式證明簡單的不等式

例2已知。，。都是正教，且〃+/?=1,

求證：（1+*]+廬9.

,beca,

+

跟蹤訓(xùn)練3.已知:a,b,c€R,求證:"+萬+錯(cuò)誤!+b+CO

達(dá)標(biāo)檢測

1、已知正數(shù)4、Z?滿足出?=10,則a+Z?的最小值是（）

Ao10B、25C.5D、2錯(cuò)誤!

2、小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時(shí)速分別為〃和

其全程的平均時(shí)速為心則（）

A.a<v<\^abB、v=錯(cuò)誤！

C、錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤！D、V=錯(cuò)誤！

3、票公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6

萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總

存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值具_(dá)________、

4.禁單核決定投資3200元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，它

的后墻利用間喑不花錢，正面用鐵柵，每米長造價(jià)40元，兩側(cè)

墻砌磚，每米長造價(jià)45元，頂部每平方米愛價(jià)20元，求：

①倉庫面積S的最大允許值是多少？

②為使S達(dá)利最大，而實(shí)際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵

應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？

5.已知4>0,Z?>0,c>0,且〃+Z?+c=l,求證弓+"29。

課堂小結(jié)

1.利用基本不等式來解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意列出函數(shù)表

達(dá)式，要懂得利用基本不等式來求最大(小)值

2.利用基本不等式解決實(shí)際問題的一般步驟：先建目標(biāo)函數(shù)，再

用基本不等式求函數(shù)的最值，從而得出實(shí)際問題的解。

參考答案：

?、小試牛刀

lo答案：(\)X(2JX(3)N

2.斛折：法一：錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!N錯(cuò)誤！=4,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=錯(cuò)誤!時(shí)取等號(hào)，

法二：錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=2+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤左4,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=錯(cuò)誤!時(shí)

取等號(hào),

答喙：C

二、探究新知

問題1。解：(1J設(shè)矩形菜園的長為］m,寬為ym,則q=ioo,

籬笆的長為2(x+y)m

由號(hào)2歷，

可得x+y>2x/ioo,2(x+y)>40

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=,時(shí),成立，此時(shí)x=y=10,因此，這個(gè)矩形的長、寬為

10m時(shí)，

所用籬笆最短，最短籬笆為40m

問題2.斛:設(shè)矩形菜園的長為im,寬為ym,則

2(%+y)=36,%+y=18,

矩形菜園的面積為孫rn2,

由歷《亨吟=9,

可得<81,

可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)X=丁時(shí)成立，止匕時(shí)*x=y=9

因此，這個(gè)矩形的長、寬都為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面

積為81a

三、典例解析

例1.解：設(shè)底面的長為xm,寬為ym,水池總造價(jià)為z元，

才艮據(jù)題意有z=150x^22+120(2x3x+2x3y)=240000+720(%+y)

3盯=4800xy=1600

由今積為4800療，可得

由基本不等式與不等式性質(zhì)，可得240°°°+72°(x+y)N24°(X)°+72°x2H

日口z>240000+720x2,1600,z>297600

可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=40

所以，將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低,

最低造價(jià)為297600元

跟蹤訓(xùn)練1［解析］(1)由已知移=3000,2〃+6=y,

貝Iy=錯(cuò)誤!(6<x<500),

S-(x-4)a+(x-6)a-(2x-10Ja=(2x-10)?錯(cuò)誤！=(x-5)

(y-6)=3030-6x-----J-C---(6<x<500).

<2)5=3030-6x-錯(cuò)誤03030-2錯(cuò)誤！=3030-2x300=2430.

當(dāng)且僅當(dāng)6%=錯(cuò)誤!，即x=50時(shí),"="成立，此時(shí)x=50。y=60,

Smax=2430.即設(shè)計(jì)x=50m,y=60m時(shí)，運(yùn)動(dòng)場地面積最大，

最大值為2430n?、

跟蹤訓(xùn)練2.將析：方法一：設(shè)當(dāng)銷售價(jià)格為每件x元時(shí)，獲得的

利泗為y,由題意知，y=(x-50)?錯(cuò)誤！

=(工一50)?錯(cuò)誤！

=錯(cuò)誤!.

x—50^0,「.x—50+錯(cuò)誤!之20,

105八八

?，石20+20=2500,

當(dāng)且僅當(dāng)了-50二錯(cuò)誤!，即x=60或x=40(舍去)時(shí)，等號(hào)成立，

'max=2500.

方法二：由題意如，y=(x-50)?錯(cuò)誤!，

令x-50=Kx=t+5Q(t>0),

貝Uy=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!S錯(cuò)誤！=2500,

當(dāng)且僅當(dāng)t=錯(cuò)誤!,即，=10時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)X—60,'max—2500.

答：當(dāng)銷售價(jià)格定為60元時(shí)，每天獲得的利潤最多，最多利潤

為2500元、

例2.：結(jié)合條件。+匕=1,將不等式左邊進(jìn)行迨當(dāng)變形，然后利用基

本不等式進(jìn)行證明即可。

證明：因?yàn)閍>0,b>0,a+b=l,

所以1+：=