2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新高考2卷）數(shù)學

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新高考2卷）數(shù)學

L已知集合A={—1,1,2,4}，B={x||x-l|?1),則Ac5=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.(2+2z)(l-20=()

A.-2+4zB.-2-4zC.6+2zD.6-2z

3.中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學和哲學的

體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖面圖，AA,BB',CC,DD

是桁，DD1,CQ,BB-A4是脊，ODt,DC{,CBt,

BA是相等的步，相鄰桁的脊步的比分別為也=0.5,

1

OD1

%=左膽=鼠,叢=內(nèi)，若匕，心,勺是公差為0」的等差數(shù)列，直線。4的斜

33

DClCB{-BA,

C.0.85D.0.9

4.已知向量向=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,a,c>=<b,c>,則實數(shù)/=()

A.—6B.—5C.5D.6

5.甲乙丙丁戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方

式有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

6.若sin(a+/7)+cos(a+/?)=2行cos(a+—)sinP,貝1J()

A.tan(a+/?)=-lB.tan(e+/?)=l

C.tan(cif-/?)=-lD.tan(cif-/7)=1

7.已知正三棱臺的高為1,上下底面的邊長分別為和4石，其頂點都在同一球面上,

則該球的表面積為（）

A.100不B.128不C.144〃D.192〃

22

8.若函數(shù)/(%)的定義域為兄且/(尤+丁)+/(x一丁)=/(尤)/。)，〃1)=1,則￡/(左)=

k=l

()

A.—3B.—2C.0D.1

27r

9.已知函數(shù)/(%)=sin(2x+0)(Ov0V?)的圖象關于點(q-,0)對稱，貝女)

A./(x)在(0,5三7r)單調(diào)遞減

TT11JT

B./(x)在(-五,五)有兩個極值點

C.直線x=*是曲線y=/(x)的一條對稱軸

6

D.直線>=#—x是曲線y=/(x)的一條切線

10.已知0為坐標原點，過拋物線C:/=2Px(p>0)的焦點F的直線與C交于A,8兩點，

點A在第一象限，點M(p,0),若|AF|=|AM|,貝ij()

A.直線A8的斜率為26B.|OB|=|OF\

C.|AB|>4|(2F|D.ZOAM+ZOBM<180°

11.如圖，四邊形4BCZ)為正方形，ED_L平面A8CQ,

FBHED,AB=ED=2FB,記三棱錐￡—ACD,

F-ABC,尸—ACE的體積分別為%,匕，匕，貝久

A.匕=2%

B.匕=2匕

C.%=匕+匕

D.2匕=3K

12.若實數(shù)尤，y滿足式+丁一孫=1,貝!1()

A.%+y?1B.x+y...-2C.x2+y2?2D.x"+y2--1

13.隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,/),若尸(2<%,2.5)=036,貝UP(X>2.5)=

14.曲線y=In|x|經(jīng)過坐標原點的兩條切線方程分別為

15.設點A(—2,3),3(0,a),直線AB關于直線y=a的對稱直線為/,已知/與圓

C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共點,則a的取值范圍為.

22

16.已知直線/與橢圓^+4=1在第一象限交于A,2兩點，/與x軸y軸分別相交于N

兩點，^.\MA\=\NB\,\MN\=2s/3,則直線/的方程為.

17.已知｛4｝為等差數(shù)列，｛"｝為公比為2的等比數(shù)列，且g—4=%—偽=%一4.

(1)證明：4=白；

(2)求集合｛k\bk=am+q，啜帆500｝中元素個數(shù).

18.記AABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,其對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的

三個正三角形的面積依次為S2,S3,且S］—$2+$3=立，sinB=-.

i。1z,j23

(1)求AABC的面積；

5

(2)若sinAsinC=方-,求b.

19.在某地區(qū)進行某種疾病調(diào)查，隨機調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡，得到如下樣

O102030405060708090年齡(歲)

⑴估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡；(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)

(2)估計該地區(qū)以為這種疾病患者年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口數(shù)占該

地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的16%,從該地區(qū)選出1人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種

疾病的概率(精確到0.0001).

20.如圖，P。是三棱錐F—ABC的高，PA=PB,AB±AC,E是尸8的中點.

(1)證明：OE〃平面PAC;

(2)若NABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE—6正弦值.

22_

21.設雙曲線C:=—3=1(?！?］〉0)的右焦點為歹(2,0),漸近線方程為y=±&.

ab

(1)求C的方程；

(2)經(jīng)過尸的直線與C的漸近線分別交于A,2兩點，點p(%,%),。(々,當)在。上，且

%1>x2>0,弘〉0.過P且斜率為-逝的直線與過。且斜率為四的直線交于點從下

面三個條件①②③中選擇兩個條件，證明另一個條件成立：①〃在A8上;②尸?！ˋ3;③

22.已知函數(shù)/(x)=xe0'—e'.

⑴當a=1時，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當x>0時，/(x)<-1,求實數(shù)。的取值范圍；

*111

(3)設〃eN,證明：,+,+..■+,>ln(?+1).

Vl2+1A/22+2拆十〃

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了集合的交集運算.

【解答】

解：方法一■：通過解不等式可得集合3={x|噴1k2},則Ac_B={l,2},故2正確.

法二：代入排除法.％=—1代入集合3={工||%—,可得|尤—l|g—1—1|=2>1,x=-l,

不滿足，排除4￡>;%=4代入集合3={x||x—,可得|x—1|=|4—1|=3>1,%=4,不

滿足，排除C,故2正確.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查復數(shù)的四則運算，為基礎題.

【解答】

解：(2+2z)(l-20=2-4Z+2Z-4Z2=2-2Z+4=6-2L

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查等差數(shù)列、直線的斜率與傾斜角的關系，比例的性質(zhì)，屬于中檔題.

【解答】

解：設oq=￡)G=CB]=3=1,則CC]=K，BBX=k2,

由題意得左3=匕+0.2,k3=+0.1,

日DD]+CCi+陰+=079S

OR+DC[+CB]+BA~’

解得左3=0.9.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了向量的坐標運算和夾角運算，屬于基礎題。

【解答】

-9+豌+163+i

解：由已知有亍=(3+兀4),cos<a,c>=cos<b,c>,故一團§—=同廳,

解得/=5.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查排列、組合的運用，屬于基礎題.

【解答】

解：先利用捆綁法排乙丙丁成四人，再用插空法選甲的位置，則有國國C；=24種.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查三角恒等變換的應用

法一：利用特殊值法，排除錯誤選項即可

法二，利用三角恒等變換，求出正確選項

【解答】

3

解：解法一：設，=0則sine+costz=0,iXtz=—TT,排除2,D

jr

再取。=0則sin分+cos/?=2sin/?,取〃=j排除A選C

解法二：由sin(tz+/?)+cos(tz+/?)=夜sin((z+/7+?)=y[lsin[((z+?)+，]

二后sin(夕+?)cos(3+^2cos(a+?)sin0,

故V2sin(tz+?)cos°=叵cos(tz+?)sin0

TTTTTT

故sin(1+i)cos/-cos(a+w)sin/=0,即sin(a+]一尸)=0,

A/2

故sin（tz-'+?）=《-sin（t/一,）+cos（a-，）=0，

2

故sin（＜z-，）=-cos（o-/7），故tan（（z-，）=-l.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查了正三棱臺和外接球的關系應用，球體表面積公式的應用.

【解答】

解：由題意如圖所示，上底面所在平面截球所得圓的半徑是旦4=3,

下底面所在平面截球所得圓的半徑是02A=4，

則軸截面中由幾何知識可得JR?—32+，尺2—42=1,解得代=25,

因此球的表面積是5=4萬氏2=4萬?25=100%

B；MyCl

AT.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)性質(zhì)的應用，涉及函數(shù)的周期與賦值法的應用。

【解答】

解：令y=l得/(x+l)+/(x—l)=/(x)./(l)=/(%)=>/(X+1)=/(%)—/(x—l)

故/(x+2)=/(x+1)-/(x),/(X+3)=/(x+2)-f(x+1),

消去/(x+2)和f(x+1)得到/(%+3)=-/(%),故/(幻周期為6;

令X=1,y=0得/(1)+/(I)=/(1)-/(0)=>/(0)=2,

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,

/(3)=〃2)-加)=-1-1=-2,

/(4)=/(3)-/(2)=-2-(-1)=-1，

/(5)=/(4)-/(3)=-1一(—2)=1,

/(6)=/(5)-/(4)=1一(-1)=2,

22

故￡f(k)=3[/(1)+/⑵+…+/(6)]+/(19)+/(20)+/(21)+/(22)

k=l

=/(D+/(2)+/(3)+/(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3

22

即Z(Q=—3.

左=1

9.【答案】AD

【解析】

【分析】

解：由題意得：/（T）=sin（T+°）=O,

所以—(p—kji,即0二———1~k兀,kwZ,

又0<0<?，所以k=2時，0=,

27r

故/(x)=sin(2x+-).

57r27r37r、冗

選項A:xe(O,二)時，2x+—e由y=sin〃圖象知/(x)在(0,3)單調(diào)遞減;

1233212

選項3:xe（—二，止）時，2x+—e由y=sin”圖象知/（x）在（―土,?。┯?

12r1311

個極值點；

選項C:由于=而胸=0,故直線%=得不是/（幻的對稱軸；

選項D:令尸(劣)=2cos+=-1,得cos(2x+夸)=一;,

解得2x+=2TC==27r+2左乃或2x+2=7r=4=7r+2左萬，kb,

3333

從而得x=k7i^x=——vkn,左eZ,

3

令左=0,則（o；乎）是斜率為-1的直線與曲線的切點,

從而切線方程為y—4=—（x—0）,即>x.

【解答】

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的對稱軸與對稱中心，函數(shù)的極

值，切線方程的求解，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查了拋物線的定義和性質(zhì)，屬于中檔題。

【解答】

5+P3

解：選項A：設尸M中點為N,則為=心=/^—=-/?＞所以

1121125

選項8:----1-----=>-....1-----=-^\BF\=-p=XB+^nXB=(■所以

\AF\\BF\PlP\BF\P6

4Pn+2

"2p.勺/所以阿"+H4+孚二普注

選項C:|A3|=$+M+p=y|p>2p=4|m.

選項。：由選項A,8知A(——p))5(—,------p),所以

4233

OAOB=(-p,—p)(B=--p2=--p2<0,所以ZAOB為鈍角;

423344

又MA.MB=p).(—-j-,—微)=—巳p2<0,所以XAMB為鈍角,

所以Z.OAM+ZOBM<180°.

n.【答案】CD

【解析】

【分析】

本題主要考查三棱錐的體積，屬于基礎題.

【解答】

I412

解：設AB=ED=2FB=2,則耳=—x2x2=—,匕=—x2xl=—.連結(jié)2。交AC于

133233

M,連結(jié)EM、FM,則FM=y/3,EM=A/6,EF=3,故SEMF=—?6?A/6=生旦,

^Ejivir22

K=；S"XAC=2,%=%+%，2%=3%

12.【答案】BC

【解析】

【分析】

本題考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

利用(中)2=1+3初,1+3(亨)2以及/+-)2一2孫=1+孫,進行求解.

【解答】

解：因為一+/-盯=1,所以(x+y)2=1+3孫”l+3(x；y)2,

化簡得(x+y)2,,4,所以—2領k+y2.故A錯，8對；

由/+9=(%+y)2-2xy-1+xy,貝U(x+y)2=1+3xy?4,

故孫，1,貝Ix2+y2^l+xy?2,

當x=^~,>=一^^時，滿足―+/一盯=1,

但此時必+產(chǎn)..1不成立，

故C對，。錯.

13.【答案】0.14

【解析】

【分析】

本題考查了正態(tài)分布的意義，正態(tài)曲線的對稱性及其應用.

【解答】

解：由題意可知，P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)—P(2<X,,2.5)=0.14.

14.【答案】y=-

X

y=—一

e

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)切線問題，設切點坐標，表示出切線方程，帶入坐標原點，求出切點的橫坐標，即

可求出切線方程，為一般題.

【解答】

解：當x>0時，點(和111%)(石〉0)上的切線為y-ln%1

為

若該切線經(jīng)過原點，貝山ri%—1=0,解得x=e,

此的切線方程為丁=土.

e

：

當X<0時，點(9,山(一%))(%2<0)上的切線為9一比(一?2)=—(?-?2)

夕2

若該切線經(jīng)過原點，貝Uln(—%)—1=0,解得x=—e,

x

此時切線方程為y=-二.

13

15.【答案】［上二］

32

【解析】

【分析】

本題考查直線關于直線對稱的直線求法，直線與圓的位置關系的應用，屬于中檔題.

【解答】

(2—3

解：因為超B=-y-，所以AB關于直線丁=。的對稱直線為(3—a)x—2y+2a=0,所以

|3(G—3)+4+2G|仁1］3

—77==丁61，整理可得6?2—11。+3?0,解得一Mz

44+(3-a)?32

16.【答案】x+岳-2五=0

【解析】

【分析】

本題考查了橢圓的中點弦問題，屬于偏難題。

【解答】

解：取A8的中點為E,因為|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|,設4(和%),3(%,%)

可得=_工,即％E4B=—上設直線至：丁=依+m，k<0,m>0,

%十%X-Z22

令x=0,y=m，令y=0,x=~-，所以E(---)，所以左x-^-=-k2=--,k=,

k2k2』22

k

加2+2根2=12,m=2,所以直線AB:y=—曰％+2,即X+血丁—2亞=0.

17.【答案】解：⑴設等差數(shù)列｛4｝公差為d

由%%%-"3，知q+d-2bl=q+2d—4b1,故d=2b、

曲g一仇二”一〃4，知％+d—2bl—8bl—（4+3d），

故Q+d—24=4d—（q+3d）;故％+d—2b、=d—%,整理得%二b1,得證.

⑵由⑴知d=24=24，由4=〃機+4知：bx?2*T=（+（加一1）?d+a]

即/.2"i=4+（吁1）?24+々，即2-=2m,

因為啜弧500,故2轟夢t1000,解得2張R10,

故集合｛4I4=am+%,費M500｝中元素的個數(shù)為9個.

【解析】本題考查等差、等比數(shù)列的通項公式，解指數(shù)不等式，集合中元素的個數(shù)問題，屬于中

檔題.

18.【答案】解:⑴?.?邊長為。的正三角形的面積為且二,

4

鴻―S2+S3=￥(/—/+。2)=孝，即accos5=l,

..12V213A/2

由sinBD=-ZH?cosBD------,..ac---------------,

33cosB4

,,_1,_13^172

故Sc——etcsinDB——x-----x—=-----.

必ARcr22438

372

(2)由正弦定理得：==———=：=2,故人=』sin3=L.

sin2BsinAsinCsinAsinCy/2422

V

【解析】本題考查利用正余弦定理解三角形

(1)利用余弦定理與正三角形的面積求得ac,繼而利用面積公式求解

(2)利用正弦定理進行變形，即可求解

19.【答案】解：⑴平均年齡

x=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023+55x0.020+65x0.017

+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲)

(2)設A=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)),則

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0,002)xl0=l-0.11=0.89

(3)設5=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患這種疾?。?

則由條件概率公式，得

尸(C⑶=3=="吵皎=0.0014375.0,0014.

P(B)16%0.16

【解析】本題考查了平均數(shù)，概率的求法，考查頻率分布直方圖、條件概率等知識.

20.【答案】解:⑴法一：連接。4、OB,

因為PO是三棱錐P—ABC的高，所以平面48C,所以POLQ4,PO±OB,

所以NPOA=NPOB=90°,又PA=PB,PO=PO,所以APOA公APOB,所以QA=OB,

作A8中點。，連接O。、DE,則有OD_LAB,又A3_LAC,所以O￡>〃AC,

又因為8仁平面PAC,ACu平面PAC,所以OD〃平面PAC,

又。、E分別為AB、PB的中點，所以，在中，DE//PA

又因為OE仁平面PAC,24u平面E4C,所以。E〃平面PAC,

又。。、DEu平面ODE,ODcDE=D,所以平面ODE//平面PAC,

又OEu平面0￡>￡,所以OE〃平面PAC;

法二：(1)連接。1、OB,

因為尸。是三棱錐尸―ABC的高，所以POJ_平面4BC,所以POLQ4,POLOB,

所以/POA=/POB=90°,又PA=PB,PO=PO,所以APOA注APOB,

所以=又AB_LAC,在RtAABE,。為8尸中點，

延長B。，交AC于R連接PR

所以在"?尸中，。、E分別為8尸、尸8的中點，所以EO〃尸歹，

因為EO仁平面PAC,PPu平面尸AC,所以EO〃平面P4C;

(2)法一：過點。作￡)/〃OP,以。B為x軸，為y軸，。尸為z軸.

建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為PO=3,PA=5,由(1)04=08=4,

又ZABO=NC8O=30°,所以8=2,DB=2?,

所以P(0,2,3),3(2后0,0),A(-2y/3,0,0),E(石

設AC=a,則C(—2百,a,0),

平面AEB的法向量設為或=(%,%,zj,直線AB的方向向量可設為a=(1,0,0),

直線DPu平面直線。尸的方向向量為B=(0,2,3)

'胃,病=0/血=0

'了.病=0'所以j的+3血=0'

所以西=0,設％=3,則4=—2,所以點=(0,3,—2);

平面AEC的法向量設為巧=(X2，%，22)，AC=(0,a,0)，AE=(3V3,1,-1)

/王福=0,所以叫2=0

3品2+觸+設=0'所以%=0,設9=也，則Z2=-6,

、AE-?2=0

所以萬=（百,0,—6）;

-n12124G

所以cos<々，n>=2

2l^l-l^r713x^9-13^-13，

二面角C—AE—5的平面角為。，則sind=Jl—cos2g=U,

13

所以二面角C—AE—B的正弦值為一

13

法二：（2）過點A作A/〃OP,以AB為無軸，AC為y軸，4尸為z軸

建立所示的空間直角坐標系.

因為PO=3,PA=5,由(1)QA=OB=4,

又ZABO=NC5O=30°,所以，AB=4百，所以P(26,2,3),8(46,0,0),

A(0,0,0),E(3A/3,1,1),設AC=a,則C(0,a,0),

平面AEB的法向量設為點=(%,如zj,AB=(4A0,0),AE=(373,1,1)

A^,nt-Of4V5xi=。

《紇n-u,所以《所以0設_2,則％=3

［福，同=0I38皿+酊+1防=0

所以*=(0,3,—2);

平面AEC的法向量設為%=(x,y,2),AC=(O,<z,O),*=(3G,L|)

［丸用=0廣的=°

\花,同=013v5g+g+/期=0

所以％=0，設赴=石，則？2=-6,所以巧=(6,0,-6);

一n,-n,12_厄_46

所以cos＜々n2>=^~h

I4I?I%I而xa一13坦—13

二面角C—AE—5的平面角為。，則sin8=Jl—cos?夕=一,

所以二面角C—AE—B的正弦值為一.

13

【解析】本題考查線面平行與二面角的求解，考查學生的空間想象與計算能力，有一定的難度.

21.【答案】解：⑴由題意可得2=6，yjcr+b1=2,故a=l,b=g

a

因此C的方程為Y—匕=1.

3

(2)設直線PQ的方程為y=履+機(左/0),將直線PQ的方程代入C的方程得

(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0,

則西+々=三白，m2+3

3—女2

二5（石+%2）2―4石尤2=）.

玉-x2

設點—），則｛二二怒:「

兩式相減，得=2石%-6（石+/）,而%=（向+根）一（區(qū)2+加）=左（王一九2），

kdm2+3-％2+km

故2GxM=左（不一工2）+逝（％+%2），解得知=

3-k2

兩式相加，得2yM~(y1-by2)=y/3(x1-x2)，而M+%=(依+加)+(仇+加)=k(x1+x2)+2m,

故2%=左(芯+42)+石(芯一工2)+2根，解得VM=3皿｝+3-=1.與?

一一3-kk

3

因此，點M的軌跡為直線y二3九,其中人為直線尸。的斜率.

k

若選擇①②：

設直線A8的方程為y=?x—2）,并設A的坐標為（4,%），8的坐標為（乙,%）?

皿天-2)—,26k

則，3K

VA-V3XAk-13

2k26k

同理可得出二屋口!,

4k212k

此時x+x=

ABF-3

yM=k(XM-2)

而點M的坐標滿足＜3

%=7%M

k

2k2_xA+xB6k

解得為=’WE

k2-322

故用為AB的中點,^\MA\=\MB\.

若選擇①③:

3

當直線AB的斜率不存在時，點M即為點尸（2,0）,此時M不在直線丁=—九上，矛盾.

k

故直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=p（x—2）（夕/0）,

并設A的坐標為（乙，力），B的坐標為（乙，為）?

'i/A=P(XA-2)2P26P

則＜后，解得乙=-----r'y=------T=

、VA-V3?Ap—y/3Ap—573

同理可得XL品rL需

吐葉Y_5+/_2Pl.y+y_6P

北匕時X-----2，yx--A--B-

M2p-3M2p2-3

33

由于點〃同時在直線y=2x上，故6P=2-2/,解得左=p.因此產(chǎn)?！ˋB

kk

若選擇②③：

設直線AB的方程為y=k(x—2),并設A的坐標為(x^,%)，2的坐標為(乙，為)?

VA=機以-2)2k2上k

則《f-解得x=------r=，%=------r-

、&A=V3XAAk—v3k—A/3

日工ML/口2k26k

同理可用/=ET%=一口’

設AB的中點為C(%,yc),則％=七2=若，